离散数学题库

离散数学

1.在自然推理系统P

中构造下面推理的证明：

前提：,,p q r q r

s ⌝∨∨⌝→ 结论：p s →.

3设一阶逻辑公式

((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =∃⌝∃→∃→

试将G 化成与其等价的前束范式。

4.判断下面推理是否正确，并证明你的结论。

如果小王今天家里有事，则他不会来开会。

如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。

小张今天看到小王。所以小王今天家里没事。

5、构造下面推理的证明

前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧∃∧→∀

结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧∃

6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ↔↔→∧→=的类型。 7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(⌝P ∨(Q ↔R ))的主析取范式

，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。

8用逻辑推理证明：

所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。

9、设A ＝{∅，1，{1}}，B ＝{0，{0}}，求P (A )、P (B )－{0}、P (B )⊕B 。

10、设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}

(1)画出R 的关系图。

(2)写出R 的关系矩阵。

(3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。

11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<,>|x 1+y 2 = x 2+y 1} 。

（1）、证明R 是X 上的等价关系。

（2）、求出X 关于R 的商集。

12.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A 的极大元`极小元`最大元和最小元.

(1)A={a,b,c,d,e} R ={,,,,,,}⋃I A . (2)A={a,b,c,d,e}, R ={,}⋃IA.

14A={a,b,c,d}，R={,,,}为A 上的关系，利用矩阵乘法求R 的传递闭包，并画出t （R ）的关系图。

15. 设>< ,G 是群, },|{x y y x G y G x x S =∈∀∈=且对于,证明S 是G 的子群。 17 S=Q×Q,其中Q 为有理数集合，定义S 上的二元运算*，

∀,∈S ，*=,

(1)求<3,4>*<1,2>.

(2)已知<-1,3>*=<-5,1>,求a,b.

(3)*是可交换的吗？是可结合的吗？

18. 设R 为实数集，+为普通加法，∙为普通乘法，是一个代数系统，*是R 上的一个二元运算，使得R y x ∈∀,，都有 x*y=x+y+x ∙y

证明:是独异点。

19对于下有向图,

(1) 写出入度序列和出度序列；

(2) 写出邻接矩阵A ，第一行元素之和的含义是什么？

(3) 求4A ,据此说明从A 到A 的长度为4的回路用多少？

20（1)在一个无向图中有6条边,3度顶点和5度顶点各1个,其余顶点都是2度点,该图有几个顶点?

(2)画一棵带权为2，2，2，3，3，4，5，8的最优二叉树T ，并计算它的权W （T ）。

21已知某有向图的邻接矩阵如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=00011011110001004321v v v v A 试求：3v 到1v 的长度为4的有向路径的条数。

22设是可交换群，H={a ∈G ｜∃k ∈N(正整数集)，使a k =e}，

证明H 是G 的子群。

23.在自然推理系统P

中构造下面推理的证明： 前提：

,,p q r q r s ⌝∨∨⌝→

结论：p s →. 24.求p r q p →→∨))((的主析取范式；

(2)根据主析取范式直接写出主合取范式；

(3)根据主析取范式直接写出真值表。

25、构造下面推理的证明

前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧∃∧→∀

结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧∃

26 A={a,b,c,d}，R={,,,}为A 上的关系，利用矩阵乘法求R 的传递闭包，并画出t （R ）的关系图。

27、A={(0,0),(0,1),(1,0),(1,3),(2,2),(2,3),(3,1), (3,3),(3,2)},

R={<(a,b),(c,d)>| (a,b),(c,d)∈A 且a+b=c+d }.

(1)证明：R 是A 上的等价关系．

(2)给出R 确定的对A 的划分(分类)

28、翻译下列论题，并证明结论。

H1:每个中国公民在享受公民权利的同时必须履行公民义务。

H2：有些中国人没有履行公民义务。

C ：有些人不是中国公民。

30、求p r q p →→∨))((的主析取范式；

(2)根据主析取范式直接写出主合取范式；