全国高考理科数学试题及答案-陕西卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）． 1．复数(2)12i i i +-等于（ ） A ．i B ．i - C ．1D ．1-2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B U ð中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===o ，则a等于（ ）AB ．2CD4．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ）A ．64B ．100C ．110D ．12050y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A B ． C ．- D ．-6．“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数3()2x f x +=，1()fx -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ）A ．2-B ．1C ．4D ．108．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD ．39．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈I ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ） A ．m n θϕ>>， B ．m n θϕ><， C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，10．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．311．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）． 13．(1)1lim2n a n n a∞++=+→，则a = ．14．长方体1111ABCD A B C D -的各顶点都在球O 的球面上，其中1::AB AD AA =A B ，两点的球面距离记为m ，1A D ，两点的球面距离记为n ，则mn的值为 ． 15．关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o．其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火A B abl αβ炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）已知函数2()2sincos 444x x xf x =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由． 18．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第i 次击中目标得4-i (123)i =，，分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=o ，1A A ⊥平面ABC，1A A =AB =，2AC =，111AC =，12BD DC =．（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =u u u r u u u rg ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．A 1 A C 1B 1BDC21．（本小题满分12分）已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围． 22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L ，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =L ，，； （Ⅲ）证明：2121n n a a a n +++>+L ．2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C 二、13．1 14．1215．② 16．96 三、17．解：（Ⅰ）2()sin2sin )24x x f x =-Q sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．Q ()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是偶函数．18．（Ⅰ）设该射手第i 次击中目标的事件为(123)i A i =，，，则()0.8()0.2i i P A P A ==，， ()()()0.20.80.16i i i i P A A P A P A ==⨯=．（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，3． ξ的分布列为00.00810.03220.1630.8 2.752E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．解法一：（Ⅰ）Q 1A A ⊥平面ABC BC ⊂，平面ABC ，∴1A A BC ⊥．在Rt ABC △中，2AB AC BC ==∴=，，:1:2BD DC =Q，3BD ∴=，又3BD ABAB BC==，DBA ABC ∴△∽△，90ADB BAC ∴∠=∠=o ，即AD BC ⊥．又1A A AD A =I ，BC ∴⊥平面1A AD ，BC ⊂Q 平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）如图，作1AE C C ⊥交1C C 于E 点，连接BE ， 由已知得AB ⊥平面11ACC A ．AE ∴是BE 在面11ACC A 内的射影．由三垂线定理知1BE CC ⊥，AEB ∴∠为二面角1A CC B --的平面角．过1C 作1C F AC ⊥交AC 于F 点， 则1CF AC AF =-=，11C F A A =，160C CF ∴∠=o ．在Rt AEC △中，sin 6022AE AC ==⨯=o在Rt BAE △中，tan 3AB AEB AE ===．arctan3AEB ∴∠=， 即二面角1A CC B --为arctan解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，，:1:2BD DC =Q ，13BD BC ∴=u u u r u u u r ．A 1AC 1B 1BD CFE（第19题，解法一）（第19题，解法二）D ∴点坐标为033⎪ ⎪⎝⎭，，．∴2033AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，，1(0)(00BC AA ==u u ur u u u r ，，．10BC AA =u u u r u u u rQ g ，0BC AD =u u u r u u u r g ，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A =I ， BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．（Ⅱ）BA ⊥Q 平面11ACC A，取0)AB ==u u u r，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面11BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==u u u r u u u u rg g ，n n ．200m m ⎧+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，，l n ∴==，，如图，可取1m =，则=⎭n ，010cos 5⨯+<>==，m n ， 即二面角1A CC B --为arccos5． 20．解法一：（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， Q 直线l 与抛物线C 相切，222282()048m m mk k m k ∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =u u u r u u u rg ，则NA NB ⊥，又M Q 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥Q x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又12||||AB x x =-===．2168k +∴=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =u u u r u u u rg ．解法二：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把2y kx =+代入22y x =得 2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-，．∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．22y x =Q ，4y x '∴=，∴抛物线在点N 处的切线l 的斜率为44kk ⨯=，l AB ∴∥． （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =u u u r u u u rg ．由（Ⅰ）知22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，，，，则 22221212224488k k k k NA NB x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r g222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212144444k k k k x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g()221212121214()4164k k k x x x x x x k x x ⎡⎤⎡⎤=-++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦g22114(1)421624k k k k k k ⎛⎫⎡⎤=--⨯++⨯-+⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0=，21016k --<Q ，23304k ∴-+=，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =u u u r u u u rg ．21．解：（Ⅰ）222222()2(1)2()()()k x c x kx kx x ckf x x c x c +-+--+'==++，由题意知()0f c '-=， 即得220c k c ck --=，（*）0c ≠Q ，0k ∴≠． 由()0f x '=得220kx x ck --+=，由韦达定理知另一个极值点为1x =（或2x c k=-）． （Ⅱ）由（*）式得21k c =-，即21c k=+． 当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-．（i ）当0k >时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数．1(1)012k kM f c +∴===>+， 221()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，由2122(2)k k M m k -=++≥及0k >，解得k （ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02km f ==<22(1)1112(2)22k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．综上可知，所求k的取值范围为(2))-∞-+∞U ，． 22．解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+Q ，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n n n a --==g ，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032nn na =>+， 21121(1)3nx x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 2112111(1)3n x x x ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭2111(1)1(1)n x x x a ⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦2112(1)1n a x x=-+++g 2111n n n a a a x ⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭n a ≤，∴原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭L ≥21121(1)3nx x x ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭L 2212221(1)333n n nx x x ⎛⎫=-+++- ⎪++⎝⎭L ．∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭L ， 则2212111111133n n n n n n a a a n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭L ≥． ∴原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭， 则222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=+++g 0x >Q ，∴当23n x <时，()0f x '>；当23n x >时，()0f x '<， ∴当23n x =时，()f x 取得最大值212313n n nf a ⎛⎫== ⎪⎝⎭+． ∴原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．。