第3章多重共线性
多重共线性
解决方法
解决方法
（1）排除引起共线性的变量 找出引起多重共线性的解释变量，将它排除出去，以逐步回归法得到最广泛的应用。 （2）差分法 时间序列数据、线性模型：将原模型变换为差分模型。 （3）减小参数估计量的方差：岭回归法（Ridge Regression）。 （4）简单相关系数检验法
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简介
简介
对线性回归模型 基本假设之一是自变量，之间不存在严格的线性关系。如不然，则会对回归参数估计带来严重影响。为了说 明这一点，首先来计算线性回归模型参数的 LS估计的均方误差。为此。重写线性回归模型的矩阵形式为 其中服从多元正态分布，设计矩阵 X是的，且秩为 p。这时，参数的 LS估计为，而回归系数的 LS估计为。 注意到由此获得的 LS估计是无偏的，于是估计的均方误差为 其中是的特征根。显然，如果至少有一个特征根非常接近于零，则就很大，也就不再是的一个好的估计。由 线性代数的理论知道，若矩阵的某个特质根接近零，就意味着矩阵 X的列向量之间存在近似线性关系。 如果存在一组不全为零的数，使得 则称线性回归模型存在完全共线性；如果还存在随机误差 v，满足，使得 则称线性回归模型存在非完全共线性。 如果线性回归模型存在完全共线性，则回归系数的 LS估计不存在，因此，在线性回归分析中所谈的共线性 主要是非完全共线性，也称为复共线性。判断复共线性及其严重程度的方法主要有特征分析法(analysis of eigenvalue)，条件数法 (conditional numbers)和方差扩大因子法(variance inflation factor)。
产生原因
产生原因
主要有3个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 （2）滞后变量的引入 （3）样本资料的限制
影响
影响
计量经济学：多重共线性
计量经济学：多重共线性多重共线性52=.53085123 第四章专门讨论古典假定中⽆多重共线性假定被违反的情况，主要内容包括多重共线性的实质和产⽣的原因、多重共线性产⽣的后果、多重共线性的检测⽅法及⽆多重共线性假定违反后的处置⽅法。
第⼀节什么是多重共线性⼀、多重共线性的含义第三章讨论多元线性回归模型的估计时，强调了假定⽆多重共线性，即假定各解释变量之间不存在线性关系，或者说各解释变量的观测值之间线性⽆关。
在计量经济学中所谓的多重共线性(Multi-Collinearity)，不仅包括解释变量之间精确的线性关系，还包括解释变量之间近似的线性关系。
从数学意义上去说明多重共线性，就是对于解释变量k X 、、X X 32，如果存在不全为0的数k λλλ,2,1 ，能使得n ,2, ,1i 033221 ==++++ki k i i X X X λλλλ ( 4.1 )则称解释变量k X X X ,,,32 之间存在着完全的多重共线性。
⽤矩阵表⽰，解释变量的数据矩阵为X=213112232223111k k nnkn X X X X X X X X X ??（4.2）当Rank(X )在实际经济问题中，完全的多重共线性并不多见。
常见的情形是解释变量k X X X ,,,32 之间存在不完全的多重共线性。
所谓不完全的多重共线性，是指对于解释变量k X 、、X X 32，存在不全为0的数k λλλ,2,1 ，使得n ,2, ,1i 033221 ==+++++i ki k i i u X X X λλλλ（4.3）其中,i u 为随机变量。
这表明解释变量k X 、、X X 32只是⼀种近似的线性关系。
如果k 个解释变量之间不存在完全或不完全的线性关系，则称⽆多重共线性。
若⽤矩阵4表⽰，这时X 为满秩矩阵，即Rank(X )=k 。
需要强调，解释变量之间不存在线性关系，并⾮不存在⾮线性关系，当解释变量存在⾮线性关系时，并不违反⽆多重共线性假定。
第3章 线性回归与非线性回归
Yt B1 B2 X t ut
假设 u t u t -1 v t -1 1 其中，v满足OLS假定，并且 是已知的。
Yt 1 B1 B2 X t 1 ut 1
方程(9 - 2)的两边同时乘以 , 得到 :
Yt -1 B1 B2 X t -1 u t -1
View/Residual Tests/Heteroskedasticity Tests 或者 eq01.hettest(type=Glejser) c car pmg pop rgnp
斯皮尔曼（Spearman）秩相关检验。 戈德费尔德－匡特（Goldfeld-Quandt)检验 巴特莱特（Bartlett）检验 匹克（Peak）检验 布鲁尔什－培甘（Breusch－Pagan）检验 CUSUMSQ检验
在方程定义窗口的定义栏中输入： 线性化方法：ls log(Y) c log(K) log(L) 非线性方法：ls Y=c(1)*K^c(2)*L^c(3)
有时遇到估计结果不符合常规或显示出无法收敛 的错误信息时，需要设定选项重新估计。 （1）初始值(Start Value) 初始值是EViews进行第一次迭代计算时参数所取 的数值。这个值保存在与回归函数有关的系数向 量中。回归函数必须定义初始值。例如如果回归 函数包含表达式1/C (1)，就不能把C (1)的初始值 设定为0，同样如果包含表达式LOG (C (2))，那C (2)必须大于零。
建模过程仍是先打开方程定义窗口，在定义栏中输 入模型的非线性表达式即可。不同的是有时候可能 迭代无法收敛，则需要通过修改选项设置来重新估 计。 与例3.6比较，可以看出，线性化与NLS法的参数估 计值完全一样，统计量输出相同，这是由于线性化 仅改变了变量的形式，而NLS法也没有改变y和1/x 的线性关系，在这两种情况下进行最小二乘估计对 于待估参数来说是等价的。
什么是多重共线性如何进行多重共线性的检验
什么是多重共线性如何进行多重共线性的检验多重共线性是指在统计模型中，独立变量之间存在高度相关性或者线性依赖关系，从而给模型的解释和结果带来不确定性。
在回归分析中，多重共线性可能导致系数估计不准确、标准误差过大、模型的解释变得复杂等问题。
因此，对于多重共线性的检验和处理是非常重要的。
一、多重共线性的检验多重共线性的检验可以通过以下几种方式进行：1. 相关系数矩阵：可以通过计算独立变量之间的相关系数，判断它们之间的关系强度。
当相关系数超过0.8或-0.8时，可以视为存在高度相关性，即可能存在多重共线性问题。
2. 方差扩大因子（VIF）：VIF是用来检验自变量之间是否存在共线性的指标。
计算每一个自变量的VIF值，当VIF值大于10或者更高时，可以视为存在多重共线性。
3. 条件数（Condition index）：条件数也是一种用来检验多重共线性的指标。
它度量了回归矩阵的奇异性或者相对不稳定性。
当条件数超过30时，可以视为存在多重共线性。
4. 特征值（Eigenvalues）：通过计算特征值，可以判断回归矩阵的奇异性。
如果存在特征值接近于零的情况，可能存在多重共线性。
以上是常用的多重共线性检验方法，可以根据实际情况选择合适的方法进行检验。
二、多重共线性的处理在检测到存在多重共线性问题后，可以采取以下几种方式进行处理：1. 去除相关性强的变量：在存在高度相关变量的情况下，可以选择去除其中一个或多个相关性较强的变量。
2. 聚合相关变量：将相关性强的变量进行加权平均，得到一个新的变量来替代原来的变量。
3. 主成分分析（PCA）：主成分分析是一种降维技术，可以将相关性强的多个变量合并成为一个或多个无关的主成分。
4. 岭回归（Ridge Regression）：岭回归是一种缓解多重共线性的方法，通过加入一个正则化项，来使得共线性变量的系数估计更加稳定。
5. Lasso回归（Lasso Regression）：Lasso回归也是一种缓解多重共线性的方法，通过对系数进行稀疏化，来选择重要的变量。
多重共线性(统计累赘)的概念、特征及其测量方式和处理方式
试述多重共线性（统计累赘）的概念、特征及其测量方式和处理方式。
1、概念多重共线性是指自变量之间存在线性相关关。
倘若其中两个自变项的关系特别强，则在相互控制后就会使每者的效果减弱，而其他的变相的效果就会因此而增大。
2、特征3、产生原因产生多重相关性的原因主要包括四方面。
一是没有足够多的样本数据; 二是选取的自变量之间客观上就有共线性的关系; 还可能由其它因素导致, 如数据采集所用的方法, 模型设定, 一个过度决定的模型等。
但多数研究者认为共线性本质上是由于样本数据不足引起的。
4、测量方式（1）经验式的诊断方法通过观察,得到一些多重相关性严重存在的迹象。
①在自变量的简单相关系数矩阵中,有某些自变量的相关系数值较大。
②回归系数的代数符号与专业知识或一般经验相反;或者该自变量与因变量的简单相关系数符号相反。
③对重要自变量的回归系数进行t 检验,其结果不显著。
特别是当F 检验能在高精度下通过,测定系数R 2的值也很大,但自变量的t 检验却全都不显著,这时多重相关性的可能将会很大。
④如果增加或删除一个变量,或者增加或删除一个观测值,回归系数发生了明显的变化。
⑤重要自变量的回归系数置信区别明显过大。
⑥在自变量中,某一个自变量是另一部分自变量的完全或近似完全的线性组合。
⑦对于一般的观测数据,如果样本点的个数过少,比如接近于变量的个数或者少于变量的个数,样本数据中的多重相关性就会经常存在。
（2）统计检验方法共线性的诊断方法是基于对自变量的观测数据构成的矩阵X ’X 进行分析,使用各种反映自变量间相关性的指标。
共线性诊断常用的统计量有方差膨胀因子VIF 或容限TOL 、条件指数和方差比例等。
方差膨胀因子VIF 是指回归系数的估计量由于自变量的共线性使其方差增加的一个相对度量。
对于第i 个回归系数,它的方差膨胀因子定义为：VIF=1/1-R 2=1/TOL i 其中R2i 是自变量Xi 对模型中其余自变量线性回归模型的R 平方。
第三章 经典假设条件不满足时的问题与对策
例2．有滞后变量的情形 Yt = β 1+β 2Xt+β 3 Xt-1 + ut 一般而言，Xt和Xt –1往往高度相关，将模型变换 为： Yt = β 1+β 2（Xt - Xt –1）+β 3´Xt -1+ ut
其中β 3´=β 3 +β
2
经验表明：△ Xt 和 Xt –1 的相关程度要远远小于和 Xt和Xt –1的相关程度，因而这种变换有可能消除或 减缓多重共线性。
也有人建议用VIF>10作为存在严重多重共线性的 标准, 特别在解释变量多的情形应当如此。
需要指出的是，所有VIF值都低，并不能排除严 重多重共线性的存在，这与使用相关系数矩阵检验 的情况相似。
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四 、解决多重共线性的方法 思路；加入额外信息。 具体方法有以下几种： 1．增加数据 多重共线性实质上是数据问题，因此，增加 数据就有可能消除或减缓多重共线性，具体方 法包括增加观测值、利用不同的数据集或采用 新的样本。 例：需求函数Yt = β 1+β 2Xt+β 3Pt+ ut
第一节 多重共线性
应用 OLS 法的一个假设条件是；矩阵 X 的秩 =K+1<N 。即自变量之间不存在严格的线性关系， 观测值个数大于待估计的参数的个数。这两条无 论哪一条不满足，则 OLS 估计值的计算无法进行， 估计过程由于数学原因而中断，就象分母为0一样。
这两种情况都很罕见。然而，自变量之间存在 近似的线性关系则是很可能的事。事实上，在经 济变量之间，这种近似的线性关系是很常见的。
1．根据回归结果判别 判别是否存在多重共线性的最简单方法是分析回归 结果。 如果发现: 系数估计值的符号不对； 某些重要的解释变量t值低，而R2不低； 当一不太重要的解释变量被删除后，回归结果著 变化。 则可能存在多重共线性。其中上述第一、二种现象 是多重共线性存在的典型迹象。 此方法简便易行，因而是实践中最常用的方法，缺 点是无 法确诊。
多重共线性问题及解决方法
多重共线性问题及解决方法概念所谓多重共线性（Multicollinearity）是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确。
一般来说，由于经济数据的限制使得模型设计不当，导致设计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。
后果参数估计失去其意义检验与检验目前常用的多重共线性诊断方法有：1.自变量的相关系数矩阵R诊断法：研究变量的两两相关分析，如果自变量间的二元相关系数值很大，则认为存在多重共线性。
但无确定的标准判断相关系数的大小与共线性的关系。
有时，相关系数值不大，也不能排除多重共线性的可能。
2.方差膨胀因子（the variance inflation factor，VIF)诊断法：方差膨胀因子表达式为：VIFi=1/（1-R2i)。
其中Ri为自变量xi对其余自变量作回归分析的复相关系数。
当VIFi很大时，表明自变量间存在多重共线性。
该诊断方法也存在临界值不易确定的问题，在应用时须慎重。
3.容忍值（Tolerance，简记为Tol）法：容忍值实际上是VIF的倒数，即Tol＝1/VIF。
其取值在0～1之间，Tol越接近1，说明自变量间的共线性越弱。
在应用时一般先预先指定一个T ol值，容忍值小于指定值的变量不能进入方程，从而保证进入方程的变量的相关系数矩阵为非奇异阵，计算结果具有稳定性。
但是，有的自变量即使通过了容忍性检验进入方程，仍可导致结果的不稳定。
4.多元决定系数值诊断法：假定多元回归模型p个自变量，其多元决定系数为R2y（X1，X2,…，Xp）。
分别构成不含其中某个自变量（Xi,i=1,2,…，p）的p个回归模型，并应用最小二乘法准则拟合回归方程，求出它们各自的决定系数R2i（i=1,2,…，p）。
如果其中最大的一个R2k与R2Y很接近，就表明该自变量在模型中对多元决定系数的影响不大，说明该变量对Y总变异的解释能力可由其他自变量代替。
它很有可能是其他自变量的线性组合。
计量经济学之多重共线性
计量经济学之多重共线性引言多重共线性是计量经济学中一个重要的概念，在经济学研究中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将深入探讨多重共线性的概念、原因和影响，并介绍一些常见的解决方案和应对方法。
什么是多重共线性？多重共线性是指在回归分析中，自变量之间存在高度相关性的情况。
具体来说，多重共线性指的是自变量之间线性相关性较高，可能导致回归分析的结果不准确或难以解释。
多重共线性的原因多重共线性的产生有多种原因，以下是一些常见的原因：1.样本选择偏倚：当样本中存在特定的特征或者数据的选择方式导致一些变量的相关性增强。
2.变量的定义重复：有些变量可能在定义上重复，导致它们之间存在高度相关性。
3.缺少重要变量：当回归模型中存在遗漏的重要变量时，其他变量可能会代替这些遗漏的变量，导致多重共线性。
4.数据测量误差：测量误差也可能导致自变量之间存在高度相关性。
多重共线性的影响多重共线性可能会对回归模型产生一系列的问题和影响：1.估计系数不准确：多重共线性会导致回归系数的估计不准确，使得对自变量的解释变得困难。
2.系数符号相反：多重共线性可能导致估计系数的符号与理论预期相反。
3.误差项的方差增加：多重共线性会导致误差项的方差增加，从而降低了模型的精确度。
4.解释力度减弱：多重共线性会降低模型的解释力度，使得我们难以解释模型的结果。
解决多重共线性的方法针对多重共线性问题，我们可以采取以下方法来解决：1.增大样本量：增大样本量可以降低变量之间的相关性，从而减轻多重共线性的影响。
2.删除相关变量：通过检验变量之间的相关性，删除相关性较高的变量，可以减轻多重共线性的程度。
3.主成分分析：主成分分析是一种降维的方法，可以将相关性较高的变量合并为一个主成分，从而避免了多重共线性的问题。
4.增加惩罚项：在回归模型中增加惩罚项，如岭回归或lasso回归，可以减轻多重共线性的影响。
5.使用时间序列数据：对于存在多重共线性的房地产数据等时间序列数据，可以使用时间序列模型来避免多重共线性的问题。
多重共线性
2.采用综合统计检验法
R2与F值较大，但t检验值较小，说明各解释变量对Y的联合线 性作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独 立作用不能分辨，故t检验不显著。
3.3 多重共线性
3、辅助回归模型检验 通过每个解释变量对其它解释变量的辅助回归模型
xi a0 a1 x1 ai 1 xi 1 ai 1 xi 1 ak xk
3.3多重共线性
• • • • 多重共线性及其产生原因 多重共线性的后果 多重共线性的检验 多重共线性的方法
一、多重共线性及其产生原因
1.多重共线性的概念---解释变量间相关
对于多元线性回归模型 yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bkxki+εi 存在一组不全为零的常数λ1，λ2，…λk，使得 λ1x1i + λ2x2i +…+ λkxki +νi=0 其中νi是一个随机误差项，则称模型存在着多重共线性。 “共线性”：变量间线性相关 “多重”：多种组合 “完全多重共线性”： νi=0
3.3 多重共线性
例5．服装需求函数。根据理论和经验分析，影响居民服 装需求的主要因素有：可支配收入X、流动资产拥有量 K、服装类价格指数P1和总物价指数P0 。教材P124的表 3-4给出了有关统计资料。 设服装需求函数为 ：Y=a+b1x+b2P1+b3P0+b4K+ε (1)相关系数检验 键入：COR Y X K P1 P0 输出的相关系数矩阵为：
3.3 多重共线性
2、间接剔除重要的解释变量 ⑴利用附加信息
例如，著名的Cobb-Dauglas 生产函数中
附加信息： α +β =1 则
计量经济学 第3章 多重共线性
剔除P值大的自变量
和前面的回归结果比较，收入弹性增 大了，但是价格弹性的绝对值却下降 了。不过需要注意的是，简化了的模 型的系数估计是有偏的
程序（gretl）
• • • • • • • • • • • open E:\data\data31.xls setobs 1 1962 --time-series ly=log(y) lx1=log(x1) lx2=log(x2) lx3=log(x3) lx4=log(x4) model1 <- ols ly 0 lx1 lx2 lx3 lx4 corr lx1 lx2 lx3 lx4 vif model2 <- ols ly 0 lx1 lx2
程序（EViews）
• • • • • • • • • • • • wfopen E:\data\data31.xls @freq A 1962 genr ly=log(y) genr lx1=log(x1) genr lx2=log(x2) genr lx3=log(x3) genr lx4=log(x4) equation eq1.ls ly c lx1 lx2 lx3 lx4 freeze eq1.results cor lx1 lx2 lx3 lx4 eq1.varinf equation eq2.ls ly c lx1 lx2 freeze eq2.results
第3章 多重共线性
学习目标 案例简介 案例分析 问题探讨与思考 练习
学习目标
• 理解多重共线性定义及存在多重共线性所带来的影响 • 掌握如何辨别模型中是否存在多重共线性现象 • 能够对多重共线性加以处理
案例简介
通过对人均鸡肉消费量和人均实际可支配收入、鸡肉的实际零售价格、猪肉的实际零售价格 及牛肉的实际零售价格之间的关系进行分析，以验证鸡肉的需求价格弹性及相关的交叉弹性 等。
第三章 违背经典假定的线性回归模型
2. 理论性强，检验值弱
如果从经济理论或常识来看某个解释变量对被解释 变量有重要影响，但是从线性回归模型的拟合结果
来看，该解释变量的参数估计值经检验不显著，那
么可能是解释变量间存在多重共线性所导致的。
3. 新引入解释变量后，方差增大 在多元线性回归模型中新引入一个变量后，发现模
型中原有参数估计值的方差明显增大，则说明新加
其中Y、X、P、P1 分别代表需求量、收入、商品价
格与替代商品价格，由于商品价格与替代商品价格
往往是同方向变动，该需求函数模型可能存在多重 共线性。
考虑用两种商品价格之比作解释变量，代替原模 型中商品价格与替代商品价格两个解释变量，则模 型为如下形式：
p Y 0 1 X （ ） u 2 p1
如设某多元线性回归模型中原有k个解释变量
X 1，X 2， X k 将每个解释变量对其他解释变量进行回
归，得到k个回归方程：
X 1 f ( X 2 , X 3 , X k )
...
X 1 f ( X1 , X 3 , X k )
X k f ( X1 , X 2 , X k -1 )
对值是否很大(一般在0.8以上)，就可以判断两个 解释变量间是否存在多重共线性。
四、多重共线性的修正
(一) 增大样本容量 除完全多重共线性的情况外，样本容量越大，解 释变量观测值之间的相关性越弱。
(二) 先验信息法 先验信息法是指根据经济理论或者其他已有研 究成果事前确定回归模型参数间的某种关系，将 这种约束条件与样本信息综合考虑，进行最小二 乘估计。运用参数间的先验信息可以消除多重共
K u K e AL( ) e L
u
两边取对数
Y L ln lnA ln K K
计量经济学4.3多重共线性
对数据进行清洗，处理缺失值和异常 值，进行描述性统计分析和可视化， 以初步了解数据分布和特征。
模型构建与求解过程
变量选择
模型设定
模型求解
根据研究目的和理论基础，选 择与被解释变量（贷款违约风 险）相关的解释变量（如年龄 、收入、负债比等），并控制 其他可能影响结果的变量（如 性别、教育程度等）。
诊断工具
相关系数矩阵
通过观察解释变量之间的相关系数，可以初步判断是否存在多重 共线性。当相关系数较高时，可能存在多重共线性问题。
散点图与回归分析
通过绘制散点图并进行回归分析，可以直观地观察解释变量之间的 线性关系，从而判断是否存在多重共线性。
方差分解与主成分分析
利用方差分解和主成分分析方法，可以诊断多重共线性的来源和影 响程度。
采用多元线性回归模型，以贷 款违约风险为被解释变量，以 上述解释变量为自变量，构建 计量经济学模型。
运用最小二乘法（OLS）对模型 进行求解，得到各解释变量的系 数估计值、标准误、t统计量和p 值等。
结果展示与解读
结果展示
将模型求解结果以表格形式展示，包括各解释变量的系数估计值、标准误、t统计量、p值和置信区间等。
检验方法
方差膨胀因子（VIF）检验
通过计算解释变量的方差膨胀因子，判断是否存在多重共线性。当VIF值远大于1时，表明存在严 重的多重共线性。
条件指数（CI）检验
利用条件指数的大小来判断多重共线性的程度。条件指数越大，多重共线性问题越严重。
特征根与条件数检验
通过计算特征根和条件数来判断多重共线性的存在。当特征根接近于0或条件数较大时，表明存 在多重共线性。
案例分析
案例一
通过收集某地区房价、人口、收入等变量的数据，建立计量经济学模型进行实证分析。在模型检验过 程中，发现房价与人口、收入之间存在较高的相关系数，且VIF值较大，表明存在多重共线性问题。 经过进一步诊断和处理，最终得到合理的模型结果。
《多重共线性》课件
诊断方法比较
检验统计量
检验统计量提供量化指标，可以 明确指出多重共线性的程度，但 其依赖于样本数据，稳定性相对
较差。
图形化诊断
图形化诊断直观易理解，但可能存 在主观性，并且难以量化多重共线 性的程度。
综合运用
在实际应用中，应综合运用多种方 法进行多重共线性的诊断，以确保 诊断结果的准确性和可靠性。
Condition Index
Condition Index是诊断多重共线性的另一种统计量，当某些Condition Index值特别 大时，可能存在多重共线性问题。
图形化诊断
散点图
通过绘制自变量间的散点图，可以直 观地观察到是否存在线性关系，从而 初步判断是否存在多重共线性问题。
相关系数矩阵
通过绘制相关系数矩阵，可以观察到 自变量间的相关系数，当某两个自变 量的相关系数接近1或-1时，可能存 在多重共线性问题。
多重共线性的影响
参数估计值不稳定
01
模型中的参数估计值会随着样本的微小变化而发生较大的变化
，导致模型预测的不稳定性。
模型预测精度降低
02
由于参数估计值的不准确，会导致模型的预测精度降低，预测
结果的可信度下降。
模型解释性差
03
由于解释变量之间的高度相关关系，使得模型难以解释各个解
释变量对因变量的影响程度，降低了模型的解释性。
多重共线性PPT课件
目 录
• 多重共线性的定义 • 多重共线性的成因 • 多重共线性的诊断 • 多重共线性的处理 • 案例分析
01
多重共线性的定义
什么是多重共线性
1
共线性是指解释变量之间存在高度相关性的现象 。
2
在多元线性回归模型中，如果解释变量之间存在 高度相关关系，会导致模型估计的参数不准确， 甚至出现完全错误的结论。
多重共线性名词解释
多重共线性名词解释多重共线性(MLC)是指分析结果为两个或以上自变量共同影响的现象，具有相互独立性，表现为因变量正值与共同影响因素负值之差的绝对值比因变量大。
多重共线性在连续测量中是十分常见的，它广泛存在于人口统计学、心理学、生物学、生态学、经济学等学科的各种分析中，它严重影响着各种统计分析方法的有效性。
多重共线性可以通过两种途径来产生：第一种是由于多重观测造成的，即同一时间内观测同一对象可能有不同的记录;第二种是由于多次观测造成的，即一次观测同一变量后得到两个或多个数据，其中只有一个数据可用于分析。
例如同时给予研究对象两种食物，收集到的数据便可能呈现两种结果，这就是“多重共线性”。
自变量对因变量的贡献不同，即某一因变量并不是另一因变量的线性函数，这种现象称为多重共线性。
通常情况下，多重共线性不影响分析结果，但是对统计推断却构成很大的干扰。
对共线性进行识别和处理时，首先要明确产生多重共线性的原因，然后才能选择合适的方法去减小共线性。
根据原因不同，可把多重共线性分为2类：第一类是由于随机误差引起的，称为系统性多重共线性;第二类是由于随机误差之外的因素引起的，称为随机性多重共线性。
2、连续性原理和直接效应定律。
连续性原理是指对于某些已知量X，若随机抽取若干个样本X(X。
无限多)，而事先不告诉Y，则所得的样本X的统计量Y与总体Y之间具有极为密切的关系，即样本统计量具有良好的代表性。
若将随机抽取的这些样本累积起来，就可估计总体X的数值。
这就是直接效应定律。
按照样本统计量与总体统计量之间的关系，可以将多重共线性分为两类：一类是内在性多重共线性(多重内在性)，另一类是外在性多重共线性(多重外在性)。
3、重复测量问题。
1)如何提高重复测量精度。
(1)降低随机误差。
①采用随机化变量时，必须确保样本的随机性，并尽可能排除样本内部的多重共线性。
②考虑随机化对样本空间结构的影响。
2)如何提高平均值的准确性。
(1)排除样本内部的多重共线性。
多重共线性问题的定义和影响多重共线性问题的检验和解决方法
多重共线性问题的定义和影响多重共线性问题的检验和解决方法多重共线性问题的定义和影响，多重共线性问题的检验和解决方法多重共线性问题是指在统计分析中，使用多个解释变量来预测一个响应变量时，这些解释变量之间存在高度相关性的情况。
共线性是指两个或多个自变量之间存在线性相关性，而多重共线性则是指两个或多个自变量之间存在高度的线性相关性。
多重共线性问题会给数据分析带来一系列影响。
首先，多重共线性会导致统计分析不准确。
在回归分析中，多重共线性会降低解释变量的显著性和稳定性，使得回归系数估计的标准误差变大，从而降低模型的准确性。
其次，多重共线性会使得解释变量的效果被混淆。
如果多个解释变量之间存在高度的线性相关性，那么无法确定每个解释变量对响应变量的独立贡献，从而使得解释变量之间的效果被混淆。
此外，多重共线性还会导致解释变量的解释力度下降。
当解释变量之间存在高度的线性相关性时，其中一个解释变量的变化可以通过其他相关的解释变量来解释，从而降低了该解释变量对响应变量的独立解释力度。
为了检验和解决多重共线性问题，有几种方法可以采用。
首先，可以通过方差膨胀因子（VIF）来判断解释变量之间的相关性。
VIF是用来度量解释变量之间线性相关性强度的指标，其计算公式为：VIFi = 1 / (1 - R2i)其中，VIFi代表第i个解释变量的方差膨胀因子，R2i代表模型中除去第i个解释变量后，其他解释变量对第i个解释变量的线性回归拟合优度。
根据VIF的大小，可以判断解释变量之间是否存在多重共线性。
通常来说，如果某个解释变量的VIF大于10或15，那么可以认为该解释变量与其他解释变量存在显著的多重共线性问题。
其次，可以通过主成分分析（PCA）来降低多重共线性的影响。
PCA是一种降维技术，可以将高维的解释变量压缩成低维的主成分，从而减少解释变量之间的相关性。
通过PCA，可以得到一组新的解释变量，这些新的解释变量之间无相关性，并且能够保留原始解释变量的主要信息。
多重共线性问题课件
多重共线性的表现形式
相关性矩阵
通过计算自变量之间的相关性矩阵，可以发现高度相关的自变量 。
特征值
在多重共线性情况下，某些特征值的绝对值会接近于0，这表明自 变量之间存在高度相关。
方差膨胀因子
数据收集阶段预防
总结词
在数据收集阶段，预防多重共线性的关键是保证 数据的准确性和完整性，以及合理的数据样本量 。
总结词
在数据收集阶段，可以通过增加样本量来降低多 重共线性的影响。
详细描述
数据的质量直接关系到模型的准确性和可靠性， 因此需要确保数据的准确性和完整性。此外，合 理的数据样本量可以降低随机误差的影响，提高 模型的稳定性和可靠性。
多重共线性问题的
03
诊断
特征值诊断法
总结词
通过计算模型中自变量的特征值来判断是否存在多重共线性问题。
详细描述
特征值诊断法是通过计算自变量的特征值来判断自变量之间的相关性。如果自变量的特征值接近于零 ，说明该自变量与其他自变量高度相关，存在多重共线性问题。
条件指数法
总结词
通过计算自变量之间的条件指数来判断 是否存在多重共线性问题。
VS
详细描述
条件指数是一种衡量自变量之间相关性的 指标，如果条件指数大于一定阈值，说明 自变量之间存在多重共线性问题。
方差膨胀因子法
总结词
通过计算自变量的方差膨胀因子来判 断是否存在多重共线性问题。
详细描述
方差膨胀因子是衡量自变量对因变量 影响的放大程度，如果方差膨胀因子 大于一定阈值，说明自变量之间存在 多重共线性问题。
Байду номын сангаас
第三节 多重共线性
i=1,2,…,n
其中ci不全为0，vi为随机误差项，则称为 近似共线 性 （ approximate multicollinearity ） 或 交 互 相 关 (intercorrelated)。
在矩阵表示的线性回归模型 Y=Xβ+µ β µ 中，完全共线性指：秩(X)<k+1，即 完全共线性指 完全共线性
σ2
其中r12为x1 , x2的相关系数. 1 2 由于r12 ≤ 1, 故 = VIF ≥ 1. 2 ˆ 1 − r12
VIF为方差膨胀因子 为方差膨胀因子(Variance 称VIF为方差膨胀因子(Variance Inflating Factor)
当完全不共线 完全不共线时, 完全不共线
2 ˆ r12 = 0, D ( β1 ) =
注意： 注意：
除非是完全共线性，多重共线性并不意味 着任何基本假设的违背(G-M假设中对有无共 线性无特别要求！）； 因此，即使出现较高程度的多重共线性， OLS估计量仍具有线性性等良好的统计性质。 问题在于，即使OLS法仍是最好的估计方 问题在于 法，它却不是“完美的”，尤其是在统计推断 上无法给出真正有用的信息。
易见 : 0 ≤ TOL ≤ 1.一般 : 当TOL < 0.1时, 认为模型 存在较严重的多重共线性!
二、多重共线性的影响 1、完全共线性下参数估计量不存在
Y = Xβ+ μ β
的OLS估计量为：
ˆ β= ( X ′X ) −1 X ′Y
如果存在完全共线性， 不存在， 如果存在完全共线性，则(X’X)-1不存在，无法得 完全共线性 到参数的估计量。 到参数的估计量。
例：对离差形式的二元回归模型
y = β 1 x1 + β 2 x 2 + µ
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Var(bˆ) 2 ( X X )ii1
参数估计量经济含义不合理
（共线解释变量前的参数度量的是共线变量们共同对被解释 变量的贡献）
t检验的误差增大（估计量的方差很大，相应标准差增大，
进行t检验时，接受零假设的可能性增大）
预测功能失效,估计量及其标准差非常敏感，观测值稍微
进行一次剔除或引入称为“一步”，这样逐 步的进行下去，直到最后得到模型达到“最 优”——模型中无不显著解释变量。
逐步剔除法
1.先将解释变量全部引入模型，并估计 2.再依据各个解释变量的显著性; 每次从模型中剔除一个不显著的解释
变量 从不显著的解释变量中，剔除t最小的
解释变量 直至留在模型中的全部解释变量显著， 得到最简洁的模型（模型中不包含不显著
It=β1+β2rt+β3Yt+β4Yt-1+μt
It=投资，rt=利率，Yt=当期GDP，Yt-1=上期GDP 而Y1,……,Yn 自相关（成比例），所以Yt与Yt-1相关
常见经济问题中的多重共线
1、产出受规模的限制和影响，技术、设备、管理
的约束下各投入要素之间存在比例关系，以某行
业的企业为样本建立企业生产函数，那么解释变量 之间存在多重共线。
变化，估计量就会产生较大的变动
t检验的原假设为 j 0
t
j
ˆ j j
C jj
e'e n k 1
ˆ2C jj SBj
三. 产生多重共线性的原因
1.各时间序列解释变量受同一因素影响:
政治事件； 偶然事件等
2. 经济变量在时间上有共同变动的趋势
3.某一变量及其滞后变量同时作为解释变量
例如，投资模型
c x c x c x
0
1 1i
2 2i
k ki
其中C不全为0，即某一个解释变量可以用其他解释变量
的线性组合表示，则称为完全多重共线性。
完全多重共线的情况并不多见，一般出现不同程度的多 重共线。
完全多重共线性 1 X1i 2 X 2i 0
近似多重共线性 1X1i 2 X 2i vi 0
周曙东教授，南京农业大学
多重共线性
1 完全多重共线性; 近似多重共线性 2 产生多重共线性的原因 3 多重共线性的后果 4 多重共线性的检验 5 克服多重共线的办法
一、多重共线性的含义
对于模型
y x x x u
ห้องสมุดไป่ตู้
i
0
1 1i
2 2i
k ki
i
如果某两个或多个解释变量之间线性相关：
的解释变量）。
剔除的准则：
剔除某解释变量后使模型的R2,F不显 著的减少，应当剔除；否则不剔除。
引入的准则：
引入某解释变量后使模型的R2,F显著 增加的，应当引入；否则不引入。
T检验也要通过。
五、克服多重共线的办法
1.剔除共线变量 2.差分法 3.变换模型形式 4.利用已知信息 5.增加样本容量
i1
i2
i3
伴随矩阵 逆矩阵
A11...A1n
对任意n 阶矩阵A ，称
A*
为A 的伴随矩阵，
An1...Ann
其中，Aij 是A 中元素aij 的代数余子式。
A1 A* ( A 0时) A
二. 多重共线性的后果
完全多重共线性： 普通最小二乘法失效
Bˆ X X 1 X Y
Q i
f
Ki , Liui
K i , Li 成比例
2、服装需求函数（高收入者进精品店；I P相关）
q i
f
Ii,
p , i
ui
3、相对收入假设，时间序列数据建立消费函数 （当期收入与前期消费相关）
c I c u
t
0
1t
2 t 1
t
多重共线性最常出现在时间序列数据模型中，但 也出现在截面数据模型中。
甚至大于
被解释变量Y与解释变量Xi的简单相关系数的
绝对值。
选定序列组， quick\group statistics\correlations
3. 辅助回归判定系数法（解释变量较多）
对k个解释变量，分别以其中一个对 其他所有解释变量进行回归，
并得出样本决定系数
X 1 f1 ( X 2 , X 3 , X k ) X 2 f2 ( X1, X 3 , X k ) X j f j ( X 1 ,, X j 1 , X j 1 ,, X k ) X k f k ( X 1 , X 2 , X k 1 )
四. 多重共线性的检验
1、观察回归结果
①判断参数估计值的符号及大小，
如果不符合经济理论或实际情况，
可能存在多重共线性
②R2,F均很大,而解释变量在统计上不显 著, 即各t统计值均偏小,
则可能存在多重共线性
2、简单相关系数法（变量个数较少）
解释变量组的相关矩阵
解释变量Xi间的简单相关系数的绝对值
计量经济学
授 课：管理科学与工程学院 刘刚 公共信箱public2005@（jiliang） 答疑时间周五晚，六教812系统工程教研
室 必修课 48学时 闭卷考试
课件参考
本课件制作过程中重点参阅了以下作者的 成果，在此表示衷心的感谢
祝发龙教授，山东工商学院 李子奈教授，清华大学 席尧生教授，重庆商学院 谢识予教授，复旦大学 丁永健教授，大连理工大学
近似多重共线
完全多重共线的情况不多，一般出现不同程度 的多重共线
近似多重共线性:
∣X‘X∣≈0, ( X’X)-1存在，
但
1 1 1.01
X
1 11
2 3 4
1.99 24..9091
主对角线上的元素很大
c x c x c x
0
1 i1
2 i2
3 i3
x x x 其中0 0 X X 0
完全多重共线
Y=XB+U=(1，X1,……,Xi,……,Xk)B+U
完全共线性:∣X‘X∣=0 ( R(X)< k + 1)，
(X'X)-1不存在
1 1 2
X
1 11
2 3 4
4
6 8
c x c x c x
0
1 i1
2 i2
3 i3
x x x 这里，0 2 0
i1
i2
i3
X X 0
如果 某Xj方程
可决系数R2很大，F检验显著，
则 Xj可用其他解释变量的线性组 合表出，
即Xj与其他解释变量多重共线。 应将Xj从解释变量中排除
4.逐步回归法
逐步回归法 分为 逐个剔除法 与 逐个引入法
“逐步”指的是在使用回归分析方法建立模型时， 一次只能剔除（减少）一个解释变量或者一次只 能引入（增加）一个解释变量。