【2019年整理】常微分方程试题库
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常微分方程试题库
二、计算题（每题6分）
1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；
2. 解方程：x y x
y
e 2d d =+； 3. 解方程：；
4. 解方程：
t e x dt
dx
23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；
6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x
y
；
7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；
8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；
12. 解方程：
y y dx dy
ln =； 13. 解方程：y x e dx
dy
-=；
14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；
15. 解方程：x y dx
dy
cos 2=；
16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；
17. 解方程：x xy dx dy
42=+；
18. 解方程：23=+ρθ
ρ
d d ；
19. 解方程：22x y xe dx
dy
+=；
20. 解方程：422x y y x =-'；
选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx
解： ,2,1,0,2
,±±=+==k k x k y π
ππ是原方程的常数解， （2分）
当2
,π
ππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：
0cos sin sin cos =-dx x
x
dy y y ，
（2分） 积分得原方程的通解为：
C x y =cos sin . （2分）
2. 解方程：
x y x
y
e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式
⎰
⎰
+
⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dx
x p dx
x p （
2分）
x x
x x
dx
x dx e Ce
dx e C e
dx e e C e 3
1)()
(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰
分）
（分）（22
3. 解方程：
解：由一阶线性方程的通解公式
⎰⎰+⎰
=-))(()()(dx e x f C e y dx
x p dx x p （2分）
=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdx
xdx
（2分）
⎰+=)sec (cos 2xdx C x
x x C sin cos +=. （2分）
4. 解方程：
t e x dt
dx
23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式
⎰⎰+⎰
=-))(()()(dt e t f C e x dt
t p dt t p （2分）
=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dt
t dt （2分）
⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 235
1
+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y
解：原方程可化为：
02=+---y y xde ydy dx e ， （2分） 即 0)(2=--y xe d y ， （2分） 原方程的通解为：
C y xe y =--2. （2分）
6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x
y
解：原方程可化为：
0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ， （2分） 即 0)4
1
ln (4=+y x y d ， （2分） 原方程的通解为：
C y x y =+44
1
ln . （2分）
7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy
解：因为x
N
x x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程， （2分） 由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ， （1分） 得: 0)()(232=+y x d y x d ， （2分） 故原方程的通解为：
C y x y x =+232. （1分）
8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：
0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ， （1分） 特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分） 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， （2分） 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）
9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：
0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ， （1分） 特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分） 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， （2分） 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）
10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：
0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ， （1分） 特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分） 所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，
（2分） 原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）
11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 解：原方程可化为：
2
1
,2
1-='='y x ， （2分）