固体物理习题ch1~ch2解答
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习题
第一章
1、NaCl与金刚石结构是复式格子还是布拉维格子，各
自的基元是什么？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢， 设晶格常数为a
NaCl：复式格子，基元为一对Na－Cl，原 胞基矢为a1 、a2 、a3，晶胞为面心立方，基 矢为a、b、c，
a1 1/ 2a( j k ) a2 1/ 2a(i k )
2、简单正交(hkl)晶面间距
Ghkl Ghkl Ghkl
2 2 2 2
Ghkl ha kb lc
2 2
abc
h a k b l c 2(a b )hk 2(a c )hl 2(b c )kl
• 有通过原点和（100）的晶面 • 两个晶面之间的晶面平分基轴a1，间距为a1/h1 • 晶面族第一个面在a1轴上的截距为a1 /h1
• a2/h2 , a3/h3
• ( h1 h2 h3)－晶面指数
六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?
• 六角密积属六角晶系, 一个晶胞包含6个原子.
体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期 为多大? 实际周期为多大?
基本概念
• 倒易点阵
– 布里渊区
• Bragg反射和Laue方程 • 原子散射因子 • 几何结构因子
倒易点阵
K h Rl 2
ai b j 2ij
2
0
• 正格子是真实的晶体结构，L (长度) 倒格子为晶体点阵的衍射图象，量纲L-1 • 正点阵中的一个平面 倒易点阵的一个点 • 倒格子的晶胞体积*=(2)3 • 正格子中的一族晶面 (h k l) 与倒易矢量正交 • 倒格矢的模正比与正空间 (h k l) 平面面间距的倒数
a b c 2 2bc (b c ) i 2ac j 2ab k
2 4 2 b 2 c 2 4 2 a 2 2 2 a a 2 a b c a 2 4 2 b 2 b 2 4 2 c 2 c
几何结构因子采用结晶学中的晶胞
Fhkl s f j e
j
2 ni ( hu j kv j lw j )
I hkl Fhkl
2
Fhkl F
hkl
f j cos 2 n( hu j kv j lw j ) j
2
2
f j sin 2 n( hu j kv j lw j ) j
• 把晶体分解成相互平行的晶面，每一个晶面都相当于 一个半透明的镜子，当x-ray射到晶面上时，晶面要反 射一部分x-ray，并将大部分x-ray透射到下一个晶面。 当从相邻的晶面上来的反射波有相同的位相，称为 Bragg峰，这种现象称之为Bragg反射
2d sin n
Laue方程
Rl ( S S0 )
C
晶体衍射的主要方法
• Laue法：X光波长在一定范围内 • 旋转晶体法 • 粉末衍射法
原子散射因子和几何结构因子
• 晶格对X射线的衍射晶体内每个原子对X射线的散射 • 原子对X射线的散射原子内每个电子对X射线的散射
• 原子内各部分电子云对X射线的散射波之间有相位差
产生干涉 • 原子散射因子： 原子内所有电子的散射波的振幅的几何和 一个电子的散射波的散射振幅
2 k2 l2 2 2 h Ghkl 4 ( 2 2 2 ) d a b c Ghkl
1
h2 k 2 l 2 ( 2 2 2) a b c
3、六角密集结构的倒格矢
a 3a a i j 1 2 2 a 3a i j a 2 2 2 a 3 ck
1 1 j 1 1 1 k) 1
2 4 a 2 1 1 1 b1 3 (a2 a3 ) 3 ( i a /2 a 4 1 1 1 2 ( 2i 2 j 0k ) ( x y ) a a
2 2 c2 2 2 a a 3 4 3
金刚石
金刚石一个晶胞有8个原子，对角线长
3
3a
R
3 a 8
3 4 3 3 a 8 a 原子体积 = 3 16 8
3 3 密度 = 16 a
a3
3 16
4、金刚石键角1090 28’
A(0,0,0), B(1/4, 1/4,1/4), C(1/2, 0, 1/2), D(0, 1/2, 1/2), E(1/2, 1/2, 0 ) BA= －（1/4i+ 1/4j+1/4k） BE＝ 1/4i+ 1/4j－1/4k BA.BE＝-1/16= 3 / 4 3 / 4 cos
2 2 8 a 2 b1 3 (a2 a3 ) 3 ( i j k ) ( x y z ) a /4 a 4 a
2 b2 (x y z) a
2 b3 (x y z) a
以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心 立方晶体中的原子数之比. • 设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶 胞的边长为 4 R / 3 , 晶胞的体积4R /
3
一个晶胞包含两
3
个原子, 单位体积晶体中的原子数为2 / 4R /
3
3
;
• 面心立方晶胞的边长为4R /
3、球占据体积与总体积的比
• 简立方：/6,
简立方原子半径 R=a/2；原子体积 V=4R3/3 = a3/6 晶胞体积为 a3；密度 =
6
a3 a
3
6
体心立方：
bcc一个晶胞有二个原子
2a a 2 R
2
3
1/ 2
4
3a / 4
3 3 a 8
画出体心和面心的原胞和晶胞，在结晶学中, 晶 胞是按晶体的什么特性选取的?
• 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周 期性又要考虑晶体的宏观对称性.
晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、
OB和OC分别与基矢、和重合，除O点外,OA、OB和OC上是
否有格点？ 若ABC面的指数为（234），情况又如何？
4 3a V 2 3 4
密度 =
a3
3 8
FCC
fcc一个晶胞有四个原子
2 R a 4
4 2 V 4 a 3 4
3
密度 = 4V
2 3 a 6
六角密积
hcp一个晶胞有6个原子 R=a/2
4 a 原子体积 = 6 a 3 3 2
Rl ( S S0 )
2 k S
k-k0= nKh满足方程,与入射波矢差一个倒格矢的方向 将出现衍射极大，得到亮斑 Laue衍射条件就是Bragg定理在倒易空间的表现形式
反射球
• 反射球把晶体衍射和衍射照片上的斑点直接联系起 来——Ewarld球
Байду номын сангаас
P
Kh
O
' k nK h K h
A C D B E
cos 1 / 3,
109 28
0
,
5
• 面心立方（110）和（111）晶面族的原 子数面密度，晶格常数为a
（100）晶面的原子密度＝（1/4×4 + 1）/ a2 = 2 / a2
(110) 晶面的原子密度＝( 1/4×4 + 1/2 ×2)/ 21/2×a2 = 1.414 / a2 (111) 晶面的原子密度＝( 1/2×3 + 1/6 ×3) / 3/1/2 / 2 ×a2 = 2.31 / a2
2
, 一个晶胞包含四个原子,
2
单位体积晶体中的原子数为 4 / 4R /
.
3
• 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 =0.918.
解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？ 为什么？
• 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层 之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因 为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低 的晶面.
2 b2 ( y z) a
2 b3 (x z) a
FCC的倒格子是BCC
a a1 2 ( y z ) a a 2 ( x z ) 2 a a ( x y) 3 2
1 3 a1 (a 2 a3 ) a 4
1 3 6 c 3 2a 3 a a 晶胞体积 = 2 2
3
密度 =
a 3
2 3 3 2a 6
hcp
2 a c a2 2 AE AG EF a 3 2 3 3 c2 8 c 8 1.633 a 3 a2 3
a3 1/ 2a(i j )
金刚石：复式格子，基元为 两个C原子，原胞基矢为a1 、 a2 、a3，晶胞为面心立方基 矢为a、b、c，
2、六角密集结构
• • • • O’A1A3: (1,1-2,1) A1A3B3B1: (1,1-2,0) A2B2B5A5: (1,-1,0,0) A1A2A3A4A5A6: (0,0,0,1)
a2 a3 b1 2 a 3 a1 b2 2 a1 a 2 b3 2
• 正格子中的一族晶面倒格子中的一个点 • 晶体衍射：晶格和波的作用，一族晶面散射波的 干涉照片上一个点 • 用倒格点描述衍射问题
Bragg定理和Laue方程
BCC的倒格子是FCC
a a (x y z) 1 2 a a ( x y z) 2 2 a a 3 2 ( x y z )
1 3 a1 (a 2 a3 ) a 2
几何结构因子——晶胞对射线的衍射
• Laue衍射条件:各阵点上散射波的相长干涉条件 • 可能会出现尽管Laue条件满足，而由于基元中各原子散射波之间发生相 互干涉而使得总散射波强度为零的情况 • 衍射条纹的位置＋相对强度原胞结构 • 复式格子由相同的子格子套构而成，衍射加强对应与相同的Bragg条件
• 各子格之在同一方向的衍射极大又将发生干涉
• 总衍射强度决定于原胞中原子的相对位置和原子的散射因子 • 原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波 动振幅之比
几何结构因子
F ( K ) f je
j iK r j
, rj u j a1 v j a2 w j a3
• 结晶学的晶胞,其基矢为a,b,c,只考虑由格矢ha+kb+lc构 成的格点. 因此, 体心立方元素晶体[111]方向上的结晶 学周期为
3a ,
但实际周期为 3a /2.
第二章 晶体中的衍射
X射线衍射的本质
• 晶面间距A
• 与晶面间距相当的波：X光、电子束、中子束
• X射线射到晶体各层面的原子，原子中的电子发生强 迫振荡 • 向周围发射同频率的电磁波，即散射 • 每个原子是散射的子波波源 • 劳厄斑是散射的电磁波的叠加。
2 k S
• k-k0= nKh满足方程,与入射波矢差一个倒格矢的方 向将出现衍射极大，得到亮斑
' • 一组倒易点阵矢量 k h 确定可能的x-ray反射 ' (由各个方
向的反射波发生相长干涉而来)，所有的 k h对应了可能 的反射束。
Bragg定理和Laue方程
2d sin n
第一章
1、NaCl与金刚石结构是复式格子还是布拉维格子，各
自的基元是什么？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢， 设晶格常数为a
NaCl：复式格子，基元为一对Na－Cl，原 胞基矢为a1 、a2 、a3，晶胞为面心立方，基 矢为a、b、c，
a1 1/ 2a( j k ) a2 1/ 2a(i k )
2、简单正交(hkl)晶面间距
Ghkl Ghkl Ghkl
2 2 2 2
Ghkl ha kb lc
2 2
abc
h a k b l c 2(a b )hk 2(a c )hl 2(b c )kl
• 有通过原点和（100）的晶面 • 两个晶面之间的晶面平分基轴a1，间距为a1/h1 • 晶面族第一个面在a1轴上的截距为a1 /h1
• a2/h2 , a3/h3
• ( h1 h2 h3)－晶面指数
六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?
• 六角密积属六角晶系, 一个晶胞包含6个原子.
体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期 为多大? 实际周期为多大?
基本概念
• 倒易点阵
– 布里渊区
• Bragg反射和Laue方程 • 原子散射因子 • 几何结构因子
倒易点阵
K h Rl 2
ai b j 2ij
2
0
• 正格子是真实的晶体结构，L (长度) 倒格子为晶体点阵的衍射图象，量纲L-1 • 正点阵中的一个平面 倒易点阵的一个点 • 倒格子的晶胞体积*=(2)3 • 正格子中的一族晶面 (h k l) 与倒易矢量正交 • 倒格矢的模正比与正空间 (h k l) 平面面间距的倒数
a b c 2 2bc (b c ) i 2ac j 2ab k
2 4 2 b 2 c 2 4 2 a 2 2 2 a a 2 a b c a 2 4 2 b 2 b 2 4 2 c 2 c
几何结构因子采用结晶学中的晶胞
Fhkl s f j e
j
2 ni ( hu j kv j lw j )
I hkl Fhkl
2
Fhkl F
hkl
f j cos 2 n( hu j kv j lw j ) j
2
2
f j sin 2 n( hu j kv j lw j ) j
• 把晶体分解成相互平行的晶面，每一个晶面都相当于 一个半透明的镜子，当x-ray射到晶面上时，晶面要反 射一部分x-ray，并将大部分x-ray透射到下一个晶面。 当从相邻的晶面上来的反射波有相同的位相，称为 Bragg峰，这种现象称之为Bragg反射
2d sin n
Laue方程
Rl ( S S0 )
C
晶体衍射的主要方法
• Laue法：X光波长在一定范围内 • 旋转晶体法 • 粉末衍射法
原子散射因子和几何结构因子
• 晶格对X射线的衍射晶体内每个原子对X射线的散射 • 原子对X射线的散射原子内每个电子对X射线的散射
• 原子内各部分电子云对X射线的散射波之间有相位差
产生干涉 • 原子散射因子： 原子内所有电子的散射波的振幅的几何和 一个电子的散射波的散射振幅
2 k2 l2 2 2 h Ghkl 4 ( 2 2 2 ) d a b c Ghkl
1
h2 k 2 l 2 ( 2 2 2) a b c
3、六角密集结构的倒格矢
a 3a a i j 1 2 2 a 3a i j a 2 2 2 a 3 ck
1 1 j 1 1 1 k) 1
2 4 a 2 1 1 1 b1 3 (a2 a3 ) 3 ( i a /2 a 4 1 1 1 2 ( 2i 2 j 0k ) ( x y ) a a
2 2 c2 2 2 a a 3 4 3
金刚石
金刚石一个晶胞有8个原子，对角线长
3
3a
R
3 a 8
3 4 3 3 a 8 a 原子体积 = 3 16 8
3 3 密度 = 16 a
a3
3 16
4、金刚石键角1090 28’
A(0,0,0), B(1/4, 1/4,1/4), C(1/2, 0, 1/2), D(0, 1/2, 1/2), E(1/2, 1/2, 0 ) BA= －（1/4i+ 1/4j+1/4k） BE＝ 1/4i+ 1/4j－1/4k BA.BE＝-1/16= 3 / 4 3 / 4 cos
2 2 8 a 2 b1 3 (a2 a3 ) 3 ( i j k ) ( x y z ) a /4 a 4 a
2 b2 (x y z) a
2 b3 (x y z) a
以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心 立方晶体中的原子数之比. • 设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶 胞的边长为 4 R / 3 , 晶胞的体积4R /
3
一个晶胞包含两
3
个原子, 单位体积晶体中的原子数为2 / 4R /
3
3
;
• 面心立方晶胞的边长为4R /
3、球占据体积与总体积的比
• 简立方：/6,
简立方原子半径 R=a/2；原子体积 V=4R3/3 = a3/6 晶胞体积为 a3；密度 =
6
a3 a
3
6
体心立方：
bcc一个晶胞有二个原子
2a a 2 R
2
3
1/ 2
4
3a / 4
3 3 a 8
画出体心和面心的原胞和晶胞，在结晶学中, 晶 胞是按晶体的什么特性选取的?
• 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周 期性又要考虑晶体的宏观对称性.
晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、
OB和OC分别与基矢、和重合，除O点外,OA、OB和OC上是
否有格点？ 若ABC面的指数为（234），情况又如何？
4 3a V 2 3 4
密度 =
a3
3 8
FCC
fcc一个晶胞有四个原子
2 R a 4
4 2 V 4 a 3 4
3
密度 = 4V
2 3 a 6
六角密积
hcp一个晶胞有6个原子 R=a/2
4 a 原子体积 = 6 a 3 3 2
Rl ( S S0 )
2 k S
k-k0= nKh满足方程,与入射波矢差一个倒格矢的方向 将出现衍射极大，得到亮斑 Laue衍射条件就是Bragg定理在倒易空间的表现形式
反射球
• 反射球把晶体衍射和衍射照片上的斑点直接联系起 来——Ewarld球
Байду номын сангаас
P
Kh
O
' k nK h K h
A C D B E
cos 1 / 3,
109 28
0
,
5
• 面心立方（110）和（111）晶面族的原 子数面密度，晶格常数为a
（100）晶面的原子密度＝（1/4×4 + 1）/ a2 = 2 / a2
(110) 晶面的原子密度＝( 1/4×4 + 1/2 ×2)/ 21/2×a2 = 1.414 / a2 (111) 晶面的原子密度＝( 1/2×3 + 1/6 ×3) / 3/1/2 / 2 ×a2 = 2.31 / a2
2
, 一个晶胞包含四个原子,
2
单位体积晶体中的原子数为 4 / 4R /
.
3
• 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 =0.918.
解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？ 为什么？
• 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层 之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因 为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低 的晶面.
2 b2 ( y z) a
2 b3 (x z) a
FCC的倒格子是BCC
a a1 2 ( y z ) a a 2 ( x z ) 2 a a ( x y) 3 2
1 3 a1 (a 2 a3 ) a 4
1 3 6 c 3 2a 3 a a 晶胞体积 = 2 2
3
密度 =
a 3
2 3 3 2a 6
hcp
2 a c a2 2 AE AG EF a 3 2 3 3 c2 8 c 8 1.633 a 3 a2 3
a3 1/ 2a(i j )
金刚石：复式格子，基元为 两个C原子，原胞基矢为a1 、 a2 、a3，晶胞为面心立方基 矢为a、b、c，
2、六角密集结构
• • • • O’A1A3: (1,1-2,1) A1A3B3B1: (1,1-2,0) A2B2B5A5: (1,-1,0,0) A1A2A3A4A5A6: (0,0,0,1)
a2 a3 b1 2 a 3 a1 b2 2 a1 a 2 b3 2
• 正格子中的一族晶面倒格子中的一个点 • 晶体衍射：晶格和波的作用，一族晶面散射波的 干涉照片上一个点 • 用倒格点描述衍射问题
Bragg定理和Laue方程
BCC的倒格子是FCC
a a (x y z) 1 2 a a ( x y z) 2 2 a a 3 2 ( x y z )
1 3 a1 (a 2 a3 ) a 2
几何结构因子——晶胞对射线的衍射
• Laue衍射条件:各阵点上散射波的相长干涉条件 • 可能会出现尽管Laue条件满足，而由于基元中各原子散射波之间发生相 互干涉而使得总散射波强度为零的情况 • 衍射条纹的位置＋相对强度原胞结构 • 复式格子由相同的子格子套构而成，衍射加强对应与相同的Bragg条件
• 各子格之在同一方向的衍射极大又将发生干涉
• 总衍射强度决定于原胞中原子的相对位置和原子的散射因子 • 原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波 动振幅之比
几何结构因子
F ( K ) f je
j iK r j
, rj u j a1 v j a2 w j a3
• 结晶学的晶胞,其基矢为a,b,c,只考虑由格矢ha+kb+lc构 成的格点. 因此, 体心立方元素晶体[111]方向上的结晶 学周期为
3a ,
但实际周期为 3a /2.
第二章 晶体中的衍射
X射线衍射的本质
• 晶面间距A
• 与晶面间距相当的波：X光、电子束、中子束
• X射线射到晶体各层面的原子，原子中的电子发生强 迫振荡 • 向周围发射同频率的电磁波，即散射 • 每个原子是散射的子波波源 • 劳厄斑是散射的电磁波的叠加。
2 k S
• k-k0= nKh满足方程,与入射波矢差一个倒格矢的方 向将出现衍射极大，得到亮斑
' • 一组倒易点阵矢量 k h 确定可能的x-ray反射 ' (由各个方
向的反射波发生相长干涉而来)，所有的 k h对应了可能 的反射束。
Bragg定理和Laue方程
2d sin n