半导体费米能级推导

3．杂质半导体的能带
（1）N 型半导体
如果在四价的锗(Ge)或硅(Si)组成的晶体中掺入五价原子磷(P) 或砷(As)，就可以构成N 型半导体。

以硅掺磷为例，如图1－8(b)所示，五价的磷用四个价电子与周围的硅原子组成共价键，尚多余一个电子。

这个电子受到的束缚力比共价键上的电子要小得多，很容易被磷原子释放，跃迁成为自由电子，该磷原子就成为正离子，这个易释放电子的原子称为施主（原子）。

由于施主原子的存在，它会产生附加的束缚电子的能量状态。

这种能量状态称为施主能级，用E a 表示，它位于禁带之中靠近导带底的附近。

施主能级表明，P 原子中的多余电子很容易从该能级（而不是价带）跃迁到导带而形成自由电子。

因此，虽然只要掺入少量杂质，却可以明显地改变导带中的电子数目，从而显著地影响半导体的电导率。

实际上，杂质半导体的导电性能完全由掺杂情况决定，掺杂百万分之一就可使杂质半导体的载流子浓度达到本征半导体的百万倍。

N 型半导体中，除杂质提供的自由电子外，原晶体本身也会产生少量的电子－空穴对，但由于施主能级的作用增加了许多额外的自由电子，使自由电子数远大于空穴数，如图1－8(b)所示。

因此，N 型半导体将以自由电子导电为主，自由电子为多数载流子（简称多子），而空穴为少数载流子（简称少子）。

（2）P 型半导体
如果在四价锗或硅晶体中掺入三价原子硼(B)，就可以构成P 型半导体。

以硅掺硼为例，如图1－8(c)所示，硼原子的三个电子与周围硅原子要组成共价键，尚缺少一个电子。

于是，它很容易从硅晶体中获取一个电子而形成稳定结构，这就使硼原子变成负离子而在锗晶体中出现空穴。

这个容易获取电子的原子称为受主（原子）。

由于受主原子的存在，也会产生附加的受主获取电子的能量状态。

这种能量状态称为受主能级，用E d 表示，它位于禁带之中靠近价带顶附近。

受主能级表明，B 原子很容易从Si 晶体中获取一个电子形成稳定结构，即电子很容易从价带跃迁到该能级（不是导带），或者说空穴跃迁到价带。

与N 型半导体的分析同理，图1－8(c)价带中的空穴数目远大于导带中的电子数目。

P 型半导体将以空穴导电为主，空穴为多数载流子（简称多子），而自由电子为少数载流子（简称少子）。

二、热平衡状态下的载流子
一个不受外界影响的封闭系统，其状态参量（如温度、载流子浓度等）与时间无关的状态称为热平衡态。

下面讨论热平衡态下载流子的浓度。

根据量子理论和泡利不相容原理，半导体中电子的能级分布服从费米统计分布规律。

即，在热平衡条件下，能量为E 的能级被电子占据的概率为： n f 1()1exp f E E E kT =−⎛⎞+⎜⎟⎝⎠
（1－18）式中，E f 为费米能级；k =1.38×10-23J/K 为玻耳兹曼常数；T 为绝对温度。

空穴的占据概率是不被电子占据的概率，它为
p n f 1
1()1exp f f E E E kT =−=−⎛⎞+⎜⎟⎝⎠（1－19）
E f 并不是一个可被电子占据的真实能级，而是一个描述电子在各能级中分布的参量。

在K 0>T 时，若f E E =，则5.0)(n =E f ；若f E E <，则5.0)(n >E f ；若f E E >，则有5.0)(n <E f 。

可见，E f 的意义是电子占据率为0.5时所对应的能级。

以本征半导体为例，绝对温度为零时，由于没有任何热激发，电子全部位于价带；当温度高于绝对温度时，价带的部分电子由于热激发跃迁到导带成为自由电子。

价带中电子的分布可用式（1－18）来解释，价带能级低于费米能级，即E v < E f ，当T =0 时，能量为E v 的能级被电子占据的概率为100％；当温度高于绝对温度时，能量为E v 的能级被电子占据的概率小于100％。

同理，可以解释导带中电子的分布和价带中空穴的分布。

可见，用费米能级E f 可以描述半导体载流子的分布。

在式（1－18）中，当f exp E E kT −⎛⎞−⎜⎟⎝⎠
>>1或f 5E E KT −>时，有 f n ()exp E E f E kT −⎛⎞≈−⎜⎟⎝⎠ （1－20）
对于导带能级，在室温条件下，很容易满足c f 5E E KT −>，从而导带中电子占据的概率
同理，价带中空穴占据的概率 半导体理论进一步指出：热平衡态下，在整个导带中总的电子浓度n 和价带中的空穴浓度p 分别为
c f c exp E E n N kT −⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠ （1－23） f v v exp E E p N kT −⎛⎞=−⎜⎟⎝
⎠ （1－24）式中，2/32*e c 22⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=h kT m N π称为导带有效状态密度，3/2*p v 222m kT N h π⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠称为价带有效状态
密度，*e m 为自由电子的有效质量，*p m 为自由空穴的有效质量，h 为普朗克常数。

下面分析和计算热平衡态下本征半导体、N 型半导体和P 型半导体的载流子浓度和它们
c f n c ()exp E E f E kT −⎛⎞≈−⎜⎟⎝⎠ （1－21） f
v p c ()exp E E f E kT −⎛⎞≈−⎜⎟⎝⎠ （1－22）
的费米能级分布。

（1）本征半导体
本征半导体中，自由电子和空穴都是由于共价键破裂而产生的，所以自由电子浓度n i 等于空穴浓度p i ，并称之为本征载流子浓度，用n i 或者p i 表示。

由式（1－23）和式（1－24），本征载流子浓度
式中，E fi 表示本征半导体的费米能级。

所以，本征载流子浓度
式中，E g = E c －E v 为半导体的禁带宽度。

由式（1－25）～（1－26），得到本征半导体的费米能级： ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++=*e *p i c v v c fi ln 43ln 21)(21m m kT E N N kT E E E （1－28）
式中的E i 为中间能级，处于禁带中间位置。

对于硅、锗等半导体材料，**p e /0.5~1m m =；对
砷化镓则**p
e /7.4m m =。

式（1－28）的第二项很小，可以忽略。

因此本征半导体的费米能级E
f 位于禁带中线处，大体上与E i 重叠，如图1－9(a)所示。

此外，由式（1－23）～（1－26）式，还可以得到：
从（1－29）式可得到如下重要结论：
①在每种半导体中平衡载流子的电子和空穴浓度乘积与费米能级无关；
②在一定的温度下，该乘积由材料的禁带宽度决定；
③对一定的半导体材料，该乘积只决定于温度T ，与材料所含杂质无关。

（a ） （b ） （c ）
图1－9 本征和掺杂半导体中的费米能级
（a ）本征半导体；（b ）N 型半导体；（c ）P 型半导体
c fi i c exp E E n N kT −⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠ （1－25） i fi v v exp E E p N kT −⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠ （1－26）
()()()1/21/2i i i i c v g exp /2n p n p N N E kT ===− （1－27）
()()i i c v g exp /np n p N N E kT ==− （1－29）
（2）N 型半导体
N 型半导体中，导带中的自由电子浓度高于本征半导体的电子浓度。

室温下施主原子基本上都电离，此时导带中的电子浓度
d i d N p N n ≈+= （1－30）
式中，N d 为N 型半导体中掺入的施主原子浓度。

由式（1－29）和式（1－30）得到空穴的浓度为： d 2i N n p = （1－31）
式中，n i 为本征半导体浓度。

利用式（1－23）和式（1－31）
，得到N 型半导体中的电子浓度 c
fn d c exp E E n N N kT −⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠＝ （1－32）
利用式（1－25）和（1－32）
，N 型半导体的费米能级为： i d i i d fi fn ln ln n N kT E n N kT E E +≈+=（1－33）
由上式可见：N 型半导体中的费米能级位于禁带中央以上；掺杂浓度愈高，费米能级离禁带中央愈远，愈靠近导带底，如图1－9(b)所示。

（3）P 型半导体
同理，可得到在P 型半导体室温下价带中的空穴浓度p 和电子浓度n 分别为：
a i a N n N p ≈+= （1－34）
式中，N a 为P 型半导体中掺入的受主原子浓度。

a 2i N n n = （1－35）P 型半导体的费米能级
i a i fp ln n N kT E E −= （1－36）
由上式可知：P 型半导体费米能级位于禁带中央位置以下；掺杂浓度愈高，费米能级离禁带中央愈远，愈靠近价带顶，如图1－9(c)所示。

三、半导体对光的吸收
1．吸收定律
一束光入射在半导体上，有多少能量被吸收是由材料本身的性质和入射光波长决定的。

如图1－10(a)所示，当光垂直入射到半导体表面时，进入到半导体内的光功率为
Φ(x )=Φ0(1－r )e -αx （1－37）
这就是吸收定律。

式中，Φ0为入射光功率；Φ(x )为距离入射光表面x 处的光功率；r 为反射率，是入射光波长的函数，通常波长愈短反射愈强；α为的吸收系数，与材料、入射光波长。