2021届福建省厦门一中高三下学期周考三理科数学试卷

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福建省厦门市2021届新高考第三次质量检测数学试题含解析

福建省厦门市2021届新高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为F,对称轴与准线的交点为7\ P为C上任意一点，若\PT\ = 2\PF\t则ZPTF=( )A.30。

B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C【解析】【分析】如图所示：作PM垂宜于准线交准线于M,则故\PT\ = 2\PM\,得到答案.【详解】如图所示：作PW垂直于准线交准线于M,则在RtAPTM中，『TAzlPMl，故ZPLW=30°,即ZP7F = 60。

.故选：C.【点睛】本题考査了抛物线中角度的计算，意在考査学生的计算能力和转化能力.2.已知抛物线C:y2=4x和点£>(2,0),宜线x = O'-2与抛物线C交于不同两点4 , B,宜线BD与抛物线C交于另一点E.给出以下判断：①以BE为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB与宜线OE的斜率乘积为-2 ；③设过点A , B, E的圆的圆心坐标为(“")，半径为厂，则a2-r2=4.其中，所有正确判断的序号是()A. B. C.②③ D.【答案】D 【解析】【分析】世十— 十小“亠. 〃i+厶 I BF I +1EF I I BE I c 一对于①，利用抛物线的定义，利用〃 =一 = --------------------- ----- >-—- = R 可判断：2 2 2对于②，设直线DE 的方程为A =/ny + 2,与抛物线联立，用坐标表示直线0B 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将*0-2代入抛物线C 的方程可得，）"严8,从而，儿=-比，利用韦达定理可得l8EF=16〃『+48〃r+32,再由r 2=IWI 2+[—,可用m 表示斥，线段处的中垂线与x 轴的I 2丿交点（即圆心N ）横坐标为2加$+4,可得a,即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段处为直径的圆为M,则圆心M 为线段处的中点・/{ //^// / 「 HOv-/D v设3, E 到准线的距离分别为山，〃一 OM 的半径为/?,点M 到准线的距离为〃,显然B, E, F 三点不共线,由题意可设直线DE 的方程为x =小+ 2,代入抛物线C 的方程，有），一4〃巧一8 = 0. 设点B, E 的坐标分别为（初）,也”2），则” +儿=4加，必儿=_8・所以"2 =（加）i + 2）（my 2 + 2） = nry { y 2 + 2m （必 + 力）+4 = 4.y. y*则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为」二=-2.所以②正确. 牛2则〃=d x +d 2 _IBFI + I£FI 、2 2 >竽=/?・所以①正确.将代入抛物线C 的方程可得，〉"严8・从而，儿根据抛物线的对称性可知, A, E 两点关于X 轴对称，所以过点A, B, E •的圆的圆心N 在」轴上.由上，有 V] + y 2 = 4/n , X {+X 2 =4m 2+4 ,则 I BE l 2=（x, + x 2）2 一4XjX 2 + （” + y 2）? -4”y 2 = 1+ 48〃『+ 32 . 所以，线段处的中垂线与工轴的交点（即圆心2）横坐标为2亦+4,所以“ =2亦+ 4・代入.r, + x 2 =曲 + 4 , % + y 2 = 4/n ，得/=令川 +16m 2 + 12, 所以a 2-r=（2m 2 + 4）2 一（4〃『+16m 2 +12）= 4. 所以③正确. 故选：D 【点睛】本题考査了抛物线的性质综合，考査了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.3.已知向啟Q,万满足|«| = 4, 5在Q 上投影为-2,则\a-3b\的最小值为（） A. 12B. 10C. 710D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据/；在Q 上投影为-2,以及COS <67,5 >6 [-1,0）,可得网_广2；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入问叭即可求得p-3万h ・【详解】乙在Q 上投影为-2 ,即/； cos <a,b >= -2 •.•"卜0 cos<a,b ><0 又 cosC,5>w[—1,0）•••|^|mln =2a-3b =（i 2-6a b+9b 2 =|«|2 -6 ci\|/?|cos>+91/?|~ =9 +64/. a-3b=79x4 + 64 = 10mln本题正确选项：B于是, r =IMNF +彳2沪+4-宁）+（宁卜曲+ 12/+8,【点睛】本题考査向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b 的最小值.4.如图，己知宜线/：y = £(x+l)仏＞0)与抛物线C ：r =4%相交于A, B 两点，且A 、B 两点在抛物N, ^\AM\ = 2\BN\9 贝％的值是(【答案】C 【解析】【分析】直线y = k(x+\)(k ＞0)恒过定点P(-bO),由此推导出\OB\ = ^-\AF\t 由此能求出点3的坐标，从而能求出R 的值•【详解】设抛物线C ：r = 4x 的准线为= 直线V = k (兀+1)伙＞ 0)恒过定点P(-bO),如图过A 、B 分别作AM 丄/于M, BN 口于N, 由\AM\ = 2\BN\t 贝y|^4| = 2|ra|, 点B 为AP 的中点、连接OB, ®|(9B| = ||AF|,A \OB\=\BF\,点B 的横坐标为解得k = ^故选：C.【点睛】V2代入直线 y = £(x+l)(£>0),33•••点B 的坐标为〃,把B本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考査抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.5.已知函数/©)= ：：：：]，若不等式4)牛胡对任意的xeR恒成立，则实数k的取值范围是()A.(Y,l]B. [1,-KX>)C. [0,1)D. (-1,0]【答案】A【解析】【分析】先求出函数心)在(1,0)处的切线方程，在同一宜角坐标系内画出函数和g(x) = |x-刈的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当宀1时，/(x) = lnx,^>/(x) =丄nf(l) = l,所以函数/(x)在(1,0)处的切线方程为：y = x-\f令^x) = \x-k\,它与横轴的交点坐标为伙,0).在同一宜角坐标系内画出函数和g(X)=|x胡的图象如下图的所示：故选：A【点睛】本题考査了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考査了导数的应用，属于中档题.6.将函数/（x） = >/3sin2x-2cos2x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移f个单位长度，贝IJ所得函数图象的一个对称中心为（）OA. B.1竺 C.( D.^,-1]< 8丿< 8 J\8 )\ 8【答案】D【解析】【分析】先化简函数解析式，再根据函数y = AM（处+0）的图象变换规律，可得所求函数的解析式为y = 2 sin 再由正弦函数的对称性得解.【详解】y = y/3 sin 2x-2cos2x=^3 sin 2x - (1 + cos 2x) = 2 sin 2x ・••将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为再向右平移2个单位长度,所得函数的解析式为8=2sin _x_— _1.13 4；— x-— = k7r^>x = -k7r + — ,k eZ ,3 4 2 8R=0可得函数图象的一个对称中心为 —,-1 ,故选D.、O【点睛】三角函数的图象与性质是高考考査的热点之一，经常考査定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解.7.己知人（心,y.J 是圆心为坐标原点0,半径为1的圆上的任意一点，将射线04绕点o 逆时针旋转斗到0B 交圆于点巩心，儿），则2几+儿的最大值为（）A. 3B. 2C. 73 D- >/5【答案】C 【解析】【分析】设射线OA 与x 轴正向所成的角为a ,由三角函数的定义得儿=sin a,儿=血（& +J ）,2儿+力=-sina + —cosa ,利用辅助角公式计算即可•2 2【详解】设射线OA 与x 轴正向所成的角为由已知， x A = cos a. y A = sin a 9X H = cos(a + M),= sin(a + J),所以 2儿 + y B = 2sina + sin(a + 二)=2sina-」sina + ^^cosa = —sina + —cosa = >/3sin(a + —) < -^3， 2 2 2 2 6当时，取得等号. 故选：c.312=2 sin — x【点睛】本题考査正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.8.己知集合M={yl-l<y<3}t N = {兀1兀(2 兀一7圧0},则MuN=( )A. [0,3)B. D. 0【答案】c【解析】【分析】先化简N ={xlx(2x-7)0O} = < 尤10。

2021年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2021年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析2021年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2021?福建）复数z=（3��2i）i的共轭复数等于（） 2+3i A．��2��3i B．��2+3i C． 2��3i D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求．解答：解：∵z=（3��2i）i=2+3i，∴．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．（5分）（2021?福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） A．圆柱 B．圆锥C．四面体 D．三棱柱考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A 点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题． 3．（5分）（2021?福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（） 8 10 12 14A．B． C． D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6 解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2��a1=4��2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题． 4．（5分）（2021?福建）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）1A．B． C． D．考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可．解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=loga3，解得a=3，选项A，y=a=3=3��x��x单调递减，故错误；选项B，y=x，由幂函数的知识可知正确； 33选项C，y=（��x）=��x，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=loga（��x）=log3（��x），当x=��3时，y=1，但图象明显当x=��3时，y=��1，故错误．故选：B．点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题． 5．（5分）（2021?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）18 A．20 B． 21 C． 240 D．考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图． 12n分析：算法的功能是求S=2+2+…+2+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案． 12n解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=2+2+…+2+1+2+…+n的值，12123∵S=2+2+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=2+2+2+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．故选：B．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 6．（5分）（2021?福建）直线l：y=kx+1与圆O：x+y=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件充分必要条件 C．D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 22解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x+y=1相交于A，B 两点， 22则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=即充分性成立．，d=，则△OAB的面积为×=成立，若△OAB的面积为，则S=解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．=×2×==，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键． 7．（5分）（2021?福建）已知函数f（x）= A．f（x）是偶函数 f（x）是周期函数 C．考点：余弦函数的单调性．，则下列结论正确的是（）B． f（x）是增函数 D． f（x）的值域为[��1，+∞） 3专题：函数的性质及应用．分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[��1，1]，当x ＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[��1，+∞），故正确．故选：D 点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题． 8．（5分）（2021?福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（） A． C．=（0，0），=（3，5），=（1，2） =（6，10） B． D． =（��1，2），=（2，��3），=（5，��2） =（��2，3） 2 考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可．解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（��1，2）+μ（5，��2），则3=��λ+5μ，2=2λ��2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，��3）+μ（��2，3），则3=2λ��2μ，2=��3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题． 9．（5分）（2021?福建）设P，Q分别为圆x+（y��6）=2和椭圆Q两点间的最大距离是（） A．B． 5 + 考点：椭圆的简单性质；圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 22+y=1上的点，则P，2C． 7+ D． 6 4分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则22∵圆x+（y��6）=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D．点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 10．（5分）（2021?福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（） 23455523455A．B．（1+a5）（1+a+a+a+a+a）（1+b）（1+c）（1+b+b+b+b+b）（1+c） 552345（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）C． 1+a5）（1+c） D．（（1+b）（1+c+c+c+c+c）考点：归纳推理；进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决．解答：解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、32345个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a+a+a+a；从5个无区别的5蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c+2c+233c+454c=（1+c），根据5555分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a+a+a+a）（1+b）（1+c）．故选：A．点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2021?福建）若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 1 ．考点：简单线性规划． 5感谢您的阅读，祝您生活愉快。

福建省厦门市数学高三理数第三次模拟考试试卷

福建省厦门市数学高三理数第三次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·淮北期末) 设集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·齐河模拟) 已知，则复数z+5的实部与虚部的和为（）A . 10B . ﹣10C . 0D . ﹣53. （2分）甲乙两组统计数据用茎叶图表示，设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，，则A . <，>B . <,<C . >,>D . >,<4. （2分）已知等差数列{an}的前三项依次为a﹣1，﹣a，3，则该数列中第一次出现负值的项为（）A . 第9项B . 第10项C . 第11项D . 第12项5. （2分）(2017·泉州模拟) 执行一次如图所示的程序框图，若输出i的值为0，则下列关于框图中函数f （x）（x∈R）的表述，正确的是（）A . f（x）是奇函数，且为减函数B . f（x）是偶函数，且为增函数C . f（x）不是奇函数，也不为减函数D . f（x）不是偶函数，也不为增函数6. （2分）(2018·益阳模拟) 设双曲线的左焦点，直线与双曲线在第二象限交于点，若（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·怀仁期末) 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且，则△ABC是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形或直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形8. （2分）(2020·甘肃模拟) 如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高二下·张掖期中) 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2018高二下·陆川月考) 已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点为，则实数的值为（）A . 4B .C . 8D .11. （2分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是（）A .B . aC .D .12. （2分） (2017高二下·瓦房店期末) 已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是（）A . (－∞，1]B . [1，＋∞)C . (－∞，2]D . [2，＋∞)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与垂直，则m=________．14. （1分） (2018高三上·沧州期末) 若满足约束条件则的取值范围为________．15. （1分） (2016高三上·安徽期中) （x2+ ﹣2）3展开式中的常数项为________．16. （1分）(2017·桂林模拟) 已知{an}满足，则a6﹣a5的值为________．三、解答题 (共7题；共35分)17. （5分） (2016高一下·舒城期中) 在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．（1）判断△ABC的形状；（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围．18. （5分） (2018高二上·寻乌期末) 如图，直三棱柱中，分别是的中点，．(Ⅰ)证明：∥平面；(Ⅱ)求锐二面角的余弦值．19. （5分）(2020·潍坊模拟) 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积（单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50参考公式：其中．临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.841 5.024 6.63510.828参考数据：（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 ,求的分布列及数学期望．20. （5分）(2018·朝阳模拟) 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线.21. （5分）(2020·秦淮模拟) 已知函数g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：．22. （5分）(2017·临翔模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，t≠0），其中0≤a ＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4sinθ，曲线．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标系；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．23. （5分）(2018·海南模拟) 设函数 .（1）若不等式的解集为，求的值；（2）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共35分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

厦门一中届高三(下)第三次周考.docx

厦门一中2016届高三（下）第三次周考 2016.03.29理科数学试题满分为150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}3121|{≤+≤-=x x A ，}02|{≤-=xx x B ，则=B A （） A ．}01|{<≤-x x B ．}10|{≤<x x C ．}20|{≤≤x x D ．}10|{≤≤x x2.复数312i i i z +-=（i 为虚数单位）的共轭复数为（） A ．i 21+ B ．1-i C ．i -1 D ．i 21-4.学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如下图所示），根据图中所给的数据可知=+b a（）A ．0.024B ．0.036C ．0.06D ．0.65.下面程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的b a ,分别为18,15，则输出的a 为（）A ．0B ．1C ．3D ．156.设函数)sin()(ϕω+=x A x f ，（2||,0,πϕω<>A ）的部分图像如图，若)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =，则=+)(21x x f （）A ．1B ．21 C ．22 D ．237.4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种8.已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，若)cos 2()cos 4(ππn n n a n -=+，则=20S （）A ．31B ．122C ．324D ．4849.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=93),3cos(30|,log |)(3x x x x x f π，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当4321x x x x <<<时，满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，则4321x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（）A ．)429,7(B ．)4135,21(C ．)30,27[D ．)4135,27( 10.已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且||||2CF BC =，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 3±=B ．x y 22±=C ．x y )13(+±=D ．x y )13(-±=11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．2B ．38C ．4D ．92012.已知1ln 1)(-+=x x x f ，)()(*∈=N k xk x g ，对任意的1>c ，存在实数b a ,满足c b a <<<0，使得)()()(b f a f c f ==，则k 的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b （b a <），原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过C ，F 两点，则=ab .14.在等差数列}{n a 中，首项31=a ，公差2=d ，若某学生对其连续10项求和，在遗漏一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 .15.已知空间四面体ABCD 中，6==CD AB ，2====BD BC AD AC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积是 .16.设)('x f 是函数)(x f 的导函数，且)(2)('x f x f >，)(R x ∈，e f =)21(（e 为自然对数的底数），则不等式2)(ln x x f <的解集为 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，DC AC 3=.（Ⅰ）若30=∠DAC ，求B ∠；（Ⅱ）若DC BD 2=，且22=AD ，求DC .18.（本小题满分12分）在四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且1AA AB =， 6011=∠=∠AD A AB A .（Ⅰ）求证：平面⊥BD A 1平面AC A 1；若 30=∠DAC ，求B ∠；（Ⅱ）若221==D A BD ，求平面BD A 1与平面BD B 1所成角的大小.19.（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布)50,800(2N 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .（Ⅰ）求0p 的值；（Ⅱ）某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？【参考数据：若),(~2σμN X ，有6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ，9974.0)33(=+≤<-σμσμX P 】20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，四个顶点分别为A 、B 、C 、D ，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：OP OM ⋅为定值；（Ⅲ）试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由.21.（本小题满分12分）设函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f .（Ⅰ）若函数)(x f 在e x =处的切线与y 轴相交于点)2,0(e -，求a 的值；（Ⅱ）当21<<x 时，求证：)2ln(1ln 112x x x -->-. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆中，以BC 为直径的⊙O 分别交AB AC ,于点F E ,，CF BE ,交于点H .（Ⅰ）判断过C 点平行于AH 的直线是否是⊙O 的切线，并加以证明；（Ⅱ）求证：2BC CF CH BE BH =⋅+⋅.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 2y x （α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ.（Ⅰ）求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；（Ⅱ）动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点)1,1(-P ，求||||AB PB +的最小值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|1||3|)(+--=x x x f ，R x ∈.（Ⅰ）解不等式1)(-<x f ；（Ⅱ）设函数4||)(-+=a x x g ，且)()(x f x g ≤在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数a 的取值.厦门一中2016届高三（下）第三次周考 2016.03.29理科数学参考答案一、选择题：BACCCD BBDCBB二、填空题：13.21+； 14.200； 15.π7； 16.),0(e .10.解析：由2CF BC =，故a CF CF BF 2211=-=，∴a BF 42=.21122221211112cos F F BF BF F F BF OF MF O BF ⋅-+==∠，∴c a a c a c b 222)4()2()2(222⋅⋅-+=， ∴02222=--a ab b ，∴022)(2=--a b a b ，解得31+=ab ，∴x y )31(+±=，选C. 11.解析：如图可用三棱柱进行切割得到，为四棱锥的高的用面积法得522⨯=h ，3854)25(31=⨯⨯=V ，选B12.解析：2)1(ln 1)('---=x x x x x f ，令,1ln )(',ln 1)(+=+=x x h x x x h )(x h 在)1,0(e 减，在),1(+∞e增， 011)1()(>-=≥ee h x h ，∴0)('<xf 知)(x f 在)1,0(和),1(+∞减，如图依题当),1(+∞∈x 时，)()(x f xg <恒成立，即)(x f 在)(x g 上方，1ln ,1ln 1-+<-+<x x x x k x x x k ，令,)1(2ln )(',1ln )(2---=-+=x x x x t x x x x x t 令2ln )(--=x x x s ，xx s 11)('-=，知)(x s 在),1(+∞增，1)1()(-=>s x s ，10>∃x ，,0)(,0)(00==x t x s 02ln 00=--x x 由024ln 4,023ln 3>--<--，得)4,3(0∈x 知)(x t 在),0(0x 减，在),(0+∞x 增，)4,3(1)2()(000000∈=--+=<x x x x x x t k ，∴3min =k .选B.15.解析：法一【补形】发现四面体对棱相等，可将四面体放在一个长方体（长宽高为3，3，1），故外接球半径为：272331=++=R ，所以外接球表面积为ππ7474=⋅=S . ★注：事实上，只要四面体对棱相等，都可以将其放置在长方体中，其棱长恰为长方体对角线长. 【法二】利用对棱中点：注意到四面体有一对棱长为6，其余均为2，故作AB ，CD 的中点F E ,，由对称性得知球心必在EF 的中点上；故外接球半径27==OC R .16.解析：【依题构造函数】令,0)(2)(')()(2)(')(',)()(222222>-=⋅-⋅==x x x x x ex f x f e x f e e x f x g e x f x g ∴)(x g R上增，又2ln ln 22x e e x x ==，∴,1)21()21(212==⋅e f g 不等式)21()(ln 1)(ln ln 2g x g e x f x <⇔<⇔，21ln <x ，故),0(e x ∈.三、解答题：17.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，根据正弦定理，有DACDC ADC AC ∠=∠sin sin . ∵DC AC 3=，所以23sin 3sin =∠=∠DAC ADC . 又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC ，∴ 120=∠ADC ，∴ 3030120180=--=∠C ，∴60=∠B .（Ⅱ）设x DC =，则x AC x BC x BD 3,3,2===，∴x AB B BC AC B 6,36cos ,33sin ====.在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=，即222223626246)22(x x x x x =⨯⨯⨯-+=，得2=x .故2=DC .18.：（Ⅰ）∵AD AB AA ==1,6011=∠=∠AD A AB A ,∴AB A 1∆和AD A 1∆均为正三角形，于是D A B A 11=，设AC 与BD 的交点为O ，则BD O A ⊥1，又ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，而O AC O A = 1，∴⊥BD 平面AC A 1，而⊂BD 平面BD A 1，故平面⊥BD A 1平面AC A 1（Ⅱ）由D A B A 11=及221==D A BD 知D A B A 11⊥，又由,,,11BD BD AB B A AD D A ===得BDA 1∆≌ABD ∆，故 90=∠BAD 于是112221AA BD O A AO ===，从而O A AO 1⊥，结合BD O A ⊥1，得⊥O A 1底面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系，则),1,0,0(),0,1,0(),0,1,0(),0,0,1(1A D B A -),1,0,1(11-==AA BB ),0,2,0(1==DB BB 设平面BD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001BB n BD n 得⎩⎨⎧=+-=00z x y ，令1=x ，得)1,0,1(=n ，平面BD A 1的一个法向量为)0,0,2(=CA ，设面BD A 1与面BD B 1所成角为θ，则22||||cos =⋅⋅=CA n CAn θ，故 45=θ.19.解：（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布)50,800(2N ，故9544.0)900700(,50,800=≤<==X P σμ，由正态分布的对称性，得)900700(2121)900800()800()900(0≤<+=≤<+≤=≤=X P X P X P X P p 9772.0=.0p ≥等价于9006036≥+y x .于是问题等价于求满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥++≤≤+,,,0,,9006036,7,21N y x y x y x x y y x 使目标函数y x z 24001600+=达到最小的y x ,.作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为)12,5(P ，)14,7(Q ，)6,15(R .由图可知，当直线y x z 24001600+=在y 轴上截距2400z 最小，即z 取得最小值.故应配备A 型车5辆，B 型车12辆.20.解：（Ⅰ）∵222,,2c b a c b a +===，∴22=b ，所以椭圆方程为12422=+y x . （Ⅱ）法1【设点法】设),,(),,2(110y x P y M 则),,(11y x OP =),2(0y OM =，直线CM ：)2(4+=x y y ，即2400y x y y +=，代入椭圆方程4222=+y x ，得0422)81(2020220=-+++y x y x y ，∵8)8(4)2(20201+-=-y y x ，∴8)8(220201+--=y y x ，∴882001+-=y y y ，∴),88,8)8(2(2002020+-+--=y y y y OP ∴48324888)8(4202020202020=++=+++--=⋅y y y y y y OM OP （定值）.法2【设线法】04)2(4222222=-+⇒⎩⎨⎧=+-=ny y n y x ny x ，同上理)84,242(222++-n n n n P ，)4,2(n M 同上理…… （Ⅲ）设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥，=--=DP y m MQ ),,2(0),88,84(2002020++-y yy y 则由0=⋅DP MQ 得,088)2(8420202020=+--+-y y m y y 从而得0=m ，∴存在)0,0(Q 满足条件. 法2. =-=DP n m QM ),4,2()24,28(22++-n nn ， (02)82)2(822=+=+-=⋅n mn m DP MQ ，∴存在)0,0(Q 满足条件.21.解：（Ⅰ）∵a x x a x x x x f -++=-++=11ln 1ln )('，∴a ee f -+=21)('，∴函数)(x f 在e x =处的切线方程为l ：))((')(e x e f e f y -=-，由题知切线l 过点)2,0(e -，故))(21()]1(1[2e a ee a e e --+=--+--，解得2=a .法2：∵a x x x f -++=11ln )('，∴由题知a ee e ef e f -+=---=210)2()()('，即)21()2()1(1a e e e e a e -+=----+，解得2=a .（Ⅱ）令)0(,11ln )(')(>-++==x a x x x f x g ，∴21)('xx x g -=，当时，0)('>x g ，函数)(x g 在),1(+∞上单调递增；当10<<x 时，0)('<x g ，函数)(x g 在)1,0(上单调递减；所以a g x g x g -===2)1()()(min 极小，当2≤a 时，即02≥-a 时，0)1()(≥≥g x g ，即0)('≥x f .故2=a 时，)(x f 在)2,1(上单调递增，∴0)1()(=>f x f ，即)1(2ln )1(->+x x x ，∴)1(21ln 1-+<x x x ……① ∵21<<x ，∴120<-<x ，∴121>-x， ∴)1(23)121(212121ln 1--=--+-<-x x xx x ，即)1(23)2ln(1--<-x x x …………② ①+②得：12)1(23)1(21)2ln(1ln 1-=--+-+<-+x x x x x x x .故当21<<x 时，)2ln(1ln 112x x x -+>-得证. 22.证明：（Ⅰ）连结EF ，延长AH 交BC 于D ，过C 点平行于AH 的直线是CM ，∵BC 是直径， ∴90=∠=∠BFC BEC ，∴180=∠+∠AEH AFH ，∵E H F A ,,,四点共圆，∴21∠=∠，又∵BFEC 是圆内接四边形，∴31∠=∠，∴ 32∠=∠，而C C ∠=∠，∴ADC ∆∽BEC ∆，∴90=∠=∠BEC ADC ，∴BC AD ⊥，∴BC CM ⊥，∴CM 是⊙O 的切线.（Ⅱ）∵180=∠+∠HEC HDC ，∴E C D H ,,,四点共圆，∴BC BD BE BH ⋅=⋅，同理BC CD CF CH ⋅=⋅，两式相加2)(BC BC CD BD BC CD BC BD CF CH BE BH =⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅.23.解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧=+=ααsin cos 2y x 可得1)2(22=+-y x ；由直线l 是极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，可得4)cos (sin =+θθρ，即4=+y x .（Ⅱ）法1：设P 关于直线的对称点为),(b a Q ，故⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=++-531)1)(11(42121b a a b b a ，∴)5,3(Q ，由（Ⅰ）知曲线C 为圆，圆心)0,2(C ，半径1=r ，1261||||||||||-=-≥+=+QC AB QA AB PA .仅当C A B Q ,,,四点共线时，且A 在C B ,之间时等号成立，故126|)||(|min -=+AB PA法2：设C 关于直线的对称点为),(n m D ，同上解得⎩⎨⎧==24n m ，由（Ⅰ）知曲线C 为圆，圆心)0,2(C ，半径1=r ，1261||||||||||-=-≥+=+QC AB QA AB PA .当且仅当C A B Q ,,,四点共线时，且A 在C B ,之间时等号成立，故126|)||(|min -=+AB PA .法3：如图（数形结合）要写清楚，注意到倾斜角135，)2,4(D ……24.解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<=+--=3,431,221,4|1||3|)(x x x x x x x f ，由不等式1)(-<x f法1：分段函数解得；法2：作出函数图像解得……}23|{>x x（Ⅱ）∵函数4||)(-+=a x x g ，且)()(x f x g ≤在]2,2[-∈x 上恒成立，∴|1||3|4||)(+--≤-+=x x a x x g 在]2,2[-∈x 上恒成立，在同一个坐标系画出函数)(x f y =和)(x g y =的图像，如图所示：故当]2,2[-∈x 时，若40≤-≤a 时，则函数)(x g 在函数)(x f 的图像的下方，≤)(x g )(x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求得04≤≤-a ，故所求的实数a 的取值范围为]0,4[-.。

2021届福建省厦门第一中学高三下周考三文科数学试卷

2021年福建省厦门第一中学高三下周考三文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合}11|{≤≤-=x x M ，},|{2M x x y y N ∈==，=N M （）A ．]1,1[-B ．),0[+∞C ．)1,0(D ．]1,0[2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知}{n a 是公差为21的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和.若1462,,a a a 成等比数列，则=5S （）A ．235 B ．35 C ．225 D ．25 4．设)0,1(),0,1(21F F -是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为E 的上顶点，若122PF PF ⋅=，则=a （） A ．1 B ．2 C ．2 D ．45．已知)(x f 是定义域为R 的偶函数，且0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f 的解集为（）A ．)41,41(-B ．)21,21(-C ．)2,2(-D ．)1,1(-6．已知函数)0(32sin 32sin )(2>+-=ωωωx x x f ，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π，则)(x f 在区间]2,0[π上的最小值为（） A ．2- B ．2 C ．3- D ．32-7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．π334+B ．π634+C ．π332+D ．π65 8．阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．69．设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,00623022y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则22b a +的最小值为（）A ．425B ．949C ．25144D ．49225 10．已知三棱锥，侧棱垂直底面，，底面是边长为3的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ． 11．已知抛物线M ：y x 42=，圆C ：4)3(22=-+y x ，在抛物线M 上任取一点P ，向圆C 作两条切线PA 和PB ，切点分别为B A ,，则CB CA ⋅的最大值为（）A ．94-B ．34- C ．1- D ．0 12．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,0),1ln()(x xe x x x f x ，方程)(0)()(2R m x mf x f ∈=+有四个不相等实根，实数m 的取值范围是（）A ．)1,(e --∞B ．)0,1(e - C．),1(+∞-e D ．)1,0(e二、填空题13．已知向量b a ,，满足)3,1(=a ，)()(b a b a -⊥+，则=||b . 14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=2,1)1(log 2,54)(212x x x x x x f ，若)62()3(2->-a f a a f ，则实数a 的取值范围是 .15．设定义在R 上的奇函数)(x f ，其导函数为)('x f ，且0)1(=f ，若0>x 时，)(x f 0)('>+x xf ，则关于x 的不等式0)(>x f 的解集为 .16．ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A B 2=，0cos cos cos >C B A ，则bA a sin 的取值范围是 .三、解答题17．已知各项均为正数的等比数列}{n a 的前三项为a a 2,4,2-，记前n 项和为n S . （Ⅰ）设62=k S ，求a 和k 的值；（Ⅱ）令n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．甲、乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）：甲：79，81，82，78，95，93，84，88乙：95，80，92，83，75，85，90，80（Ⅰ）画出甲、乙两组同学成绩的茎叶图；（Ⅱ）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定；（Ⅲ）在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于90分的再随机地抽3名同学进行培训，求抽出的3人中既有甲组同学又有乙组同学的概率.（参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差：])()()[(122221x x x x x x ns n -+-+-= ，其中x 为样本平均数） 19．如图，直三棱柱'''C B A ABC -中，5==BC AC ，6'==AB AA ，E D ,分别为AB 和'BB 上的点，且λ=='EB BE DB AD .（Ⅰ）求证：当1=λ时，CE B A ⊥'；（Ⅱ）当λ为何值时，三棱锥CDE A -'的体积最小，并求出最小体积.20．已知圆E ：49)21(22=-+y x 经过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点21,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且A E F ,,1三点共线.直线l 交椭圆C 于N M ,两点，且)0(≠=λλOA MN .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当AMN ∆的面积取得最大值时，求直线l 的方程.21．已知函数16)(2++=ax x x f ，12ln 8)(++=b x a x g ，其中0>a .（Ⅰ）设两曲线)(x f y =，)(x g y =有公共点，且在该点处的切线相同，用a 表示b ，并求b 的最大值；（Ⅱ）设)()()(x g x f x h +=，证明：若1≥a ，则对任意2121),,0(,x x x x ≠+∞∈，有14)()(1212>--x x x h x h .22．若以直角坐标系xOy 的O 为极点，Ox 为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系得曲线C 的极坐标方程是θθρ2sin cos 6=. （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（Ⅱ）若直线l 的参数方程为t t y t x (323⎪⎩⎪⎨⎧=+=为参数)，当直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||AB .23．设函数)(|3||2|)(R m m x x x x f ∈---+-=.（Ⅰ）当4-=m 时，求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）若存在R x ∈0，使得41)(0-≥mx f ，求实数m 的取值范围.参考答案1．D【解析】试题分析：由题意得，2{|,}{|01}N y y x x M y y ==∈=≤≤，所以{|01}M N x x =≤≤，故选D.考点：集合的运算.2．A【解析】试题分析：在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.考点：复数的基本运算.3．C【解析】试题分析：因为}{n a 是公差为21的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，1462,,a a a 成等比数列，所以2111111(5)()(13)222a a a +⨯=++⨯，解得132a =，所以535412552222S ⨯=⨯+⨯=，故选C.考点：等差数列的通项公式及求和.4．B【解析】试题分析：因为12(1,0),(1,0)F F -是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为E 的上顶点，所以12(0,),(1,),(1,)P b PF b PF b =--=-，因为122PF PF ⋅=，所以21212PF PF b ⋅=-=，解得223314b a =⇒=+=，解得2a =.考点：椭圆的标准方程及几何性质.5．D【解析】试题分析：由题意得，当0x ≥时，x x f )21()(=，则不等式21)(>x f ，即11()22x >，解得01x ≤<；又因为函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，当10x -<<时，()2x f x =，则不等式21)(>x f ，即122x >，解得10x -<<，所以不等式21)(>x f 的解集为{}|11x x -<<，故选D.考点：函数的奇偶性及不等式的求解.6．C【解析】试题分析：由题意得，2()sin sin 2sin()23x f x x wx wx wx ωπω=-+=+=+，又函数()f x 的图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π，即122T π=，所以T π=，则22w wππ=⇒=，即()2sin(2)3f x x π=+，又因为[0,]2x π∈，所以42[,]333x πππ+∈，当4233x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，最小值为()2sin(2)23f x ππ=⨯+= C. 考点：三角函数的图象与性质；三角函数的最值.7．B【解析】试题分析：根据给定的三视图可知，原几何体表示上部为底面半径为1的半个圆锥，下部为半径为1的半球，所以几何体的体积为23231211141114123232323V V V r h r ππππ=+=⨯+⨯=⨯⨯⨯⨯46+=，故选B. 考点：几何体的三视图即几何体的体积.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的几何体的三视图可知，几何体分为上下两部分，再根据几何体的体积公式计算几何体的体积.8．B【分析】根据框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】逐步执行程序框图如下：初始值：1,0a i ==，第一步：011,111250i a =+==⨯+=<，进入循环；第二步：112,221550i a =+==⨯+=<，进入循环；第三步：213,3511650i a =+==⨯+=<，进入循环；第四步：314,41616550i a =+==⨯+=>，结束循环，输出4i =.故选：B.【点睛】本题主要考查由程序框图计算输出值，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.9．C【解析】试题分析：由)0,0(>>+=b a by ax z ，得a z y x b b =-+，作出可行域如图所示，因为0,0a b >>，所以直线a z y x b b=-+的斜率为负，且截距最大时，z 也最大，平移直线a z y x b b =-+，由图象可知当a z y x b b=-+经过点A 时，直线的截距最大，此时z 也最大，由2203260x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得4(4,3)3x A y =⎧⇒⎨=⎩，此时4312z a b =+=，22b a +的几何意义为直线4312a b +=上的点到原点的距离的平方，则原点到直线4312a b +=的距离为125d =，所以22b a +的最小值为2212144()525d ==，故选C.考点：线性规划的应用.10．B【解析】试题分析：根据已知中底面ABC ∆是边长为3的正三角形，垂直底面，，可得此三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以为高的正三棱柱的外接球，因为ABC ∆是边长为3的正三角形，所以ABC ∆的外接圆的半径为3r =，球心到ABC ∆的外接圆的圆心的距离为2d =，所以球的半径为347R =+=，所以三棱锥的外接球的表面积为244728S R πππ==⨯=，故选B.考点：求的体积与表面积；球内接多面体. 11．D【解析】试题分析：由题意得，圆C 的半径为2r =，即2,2CA CB ==，设,CA CB θ=，则cos 4cos CA CB CA CB θθ⋅=⋅=，要使得CB CA ⋅取得最大值，则只需cos θ最大，即θ最小，由图可知，当PC 最短时，θ最小，cos θ最大，设(,)P x y ，则222(3)29PC x y y y =+-=-+，此时min 22PC =，此时90θ=，所以cos θ最大为0，所以CB CA ⋅的最大值为0.考点：抛物线与圆的最值问题及向量的数量积的运算.【方法点晴】本题主要考查了圆的切线方程、抛物线上的点与圆心的最短距离及向量的数量积的运算问题，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法及推理、运算能力，本题的解答中，根据向量的数量积可得要使得CB CA ⋅取得最大值，则只需cos θ最大，即θ最小，再由图象可知，当PC 最短时，θ最小，cos θ最大，转化为抛物线上的点到圆心的最短距离问题，即可求解⋅的最大值.12．B【解析】试题分析：当0x <时，()xf x xe =-，则()(1)xf x x e '=-+，由()01f x x '=⇒=-，即当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<时，()0f x '<，当1x =-时，函数()f x 取得极大值，此时()11f e -=，且当0x <时，()0f x >，当0x ≥时，()ln(1)0f x x =+≥，设()t f x =，则当1t e =时，方程()t f x =有两个根，当1t e >或0t =时，方程()t f x =一个根，当10t e<<时，方程()t f x =有三个根，当0t <时，方程()t f x =没有实数根，则方程)(0)()(2R m x mf x f ∈=+等价为20t mt +=，即0t =或t m =-，当0t =时，方程()t f x =有一个根，所以若方程)(0)()(2R m x mf x f ∈=+有四个不等的实根，则等价()t f x =有三个根，即10m e <-<，所以10m e-<<，故选B.考点：函数的图象的应用；方程根的个数问题.【方法点晴】本题主要考查了函数图象的应用及函数方程根的个数的判断，其中求解函数的导数，研究函数的取值范围，利用换元法和图象法进行求解的解决本题的关键，着重考查了转化的思想方法及数形结合思想的应用，属于难度较大的试题，本题的解答中，根据函数的解析式作出函数大致图象，转化为()t f x =根的个数问题，得以求解函数()f x 由四个不相等的实根是实数m 的取值范围. 13．10 【解析】试题分析：由)()(-⊥+，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=，即22a b =，所以22||||1310b a ==+=.考点：向量的运算.14．)3,2( 【解析】试题分析：由题意得，当2x ≤时，函数21()45f x x x =-+为单调递减函数，根据对数函数的性质可知，当2x >时，212()log (1)1f x x =-+为单调递减函数，且1(2)1f =，2(2)1f =，所以函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-=2,1)1(log 2,54)(212x x x x x x f 在R 是为单调递减函数，所以)62()3(2->-a f a a f ，则22326560a a a a a -<-⇒-+<，解得23x <<.考点：函数单调性的应用. 15．),1()0,1(+∞- 【解析】试题分析：由当0>x 时，)(x f 0)('>+x xf ，即()[]0xf x '>，所以函数()()g x xf x =在0>x 上是单调递增函数，又0)1(=f ，所以()10g =，所以当(0,1)x ∈时，()0g x <，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >，由()()()000g x xf x f x >⇒>⇒>，即不等式0)(>x f 的解集为(1,)+∞；又因为函数)(x f 是R 上的奇函数，所以()()g x xf x =为R 上的偶函数，所以在0x <上函数()()g x xf x =单调递减函数，又0)1(=f ，所以()10f -=，则()10g -=，所以当(,1)x ∈-∞-时，()0g x >，当(1,0)x ∈-时，()0g x <，由当0x <时，()()()000g x xf x f x <⇒<⇒>，即不等式0)(>x f 的解集为(1,0)-，综上所述不等式0)(>x f 的解集为(1,0)(1,)-+∞.考点：函数的奇偶性；函数的单调性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的应用，解答中根据已知条件结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这也是分类讨论思想在解答问题的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题简单化，是高中数学常见和常考的方法，同时本题的解答中当0>x 时，)(x f 0)('>+x xf ，即()[]0xf x '>，得到函数()()g x xf x =在0>x 上是单调递增函数是解答的一个关键点. 16．)21,63(【解析】试题分析：由0cos cos cos >C B A ，可知三角形为锐角三角形，由正弦定理可知2sin sin 22sin cos B A B A A A =⇒==，2cos b a A =，sin 1tan 2a A A b =，因为180A B C ++=，2B A =，所以3180,60303CA C A +==->，因为290A <，所以(30,45)A ∈，tan 13A <<，则sin 162a Ab <<. 考点：正弦定理的应用.【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用和三角函数的范围，解答的思路就是通过把三角形的边的问题转化为角的问题，然后利用三角函数的基本性质解答问题，体现了转化的思想方法，属于中档试题，本题的解答中先利用二倍角公式化简2B A =换成边的关系，求得A 的范围，再根据正切函数的单调性，即可求解sin a Ab的取值范围. 17．(I) 4=a ，5=k ；（II ）62)32(1+-=+n n n T .【解析】试题分析：（I ）由题意得3122a a a =，即)2(216-=a a ，解得4=a ，又由k S ，可解得5=k ；（II ）求得nn n n a n b 2)12()12(-=-=，利用乘公比错位相减法求解数列的和. 试题解析：（Ⅰ）由已知得3122a a a =，即)2(216-=a a ，所以0822=--a a ，解得4=a 或2-=a （不合题意，舍去）所以6221)21(21)1(,2,4,211221=--=--=====k k k q q a S a a q a a ，解得5=k ，所以4=a ，5=k .（Ⅱ）令n n n n q a a 222111=⋅==--，nn n n a n b 2)12()12(-=-=，n n n T 2)12(25232132-++⋅+⋅+⋅= ，① 1322)12(2)32(23212+-+-++⋅+⋅=n n n n n T ，②①－②得：1322)12()222(22+--++++=-n n n n T ，解得62)32(1+-=+n n n T考点：等比数列的通项公式及数列求和.18．（I ）茎叶图见解析；（II ）甲组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定；（III）910. 【解析】试题分析：（I ）根据给定的数据，有茎叶图的规则，画出茎叶图；（II ）利用平均数和方差的公式计算成甲乙各自的平均数和方差，作出比较和评价；（III ）列出抽出3名同学有以下10所有基本事件，利用古典概型的概率公式求解概率.试题解析：（Ⅰ）甲、乙两组同学成绩的茎叶图如下：（Ⅱ）从平均分和方差的角度看，甲组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定，理由如下：85)8884939578828179(81=+++++++=甲x ，85)8090857583928095(81=+++++++=乙x5.35])8588()8584()8593()8595()8578()8582()8581()8579[(81222222222=-+-+-+-+-+-+-+-=甲S 41])8580()8590()8585()8575()8583()8592()8580()8595[(81222222222=-+-+-+-+-+-+-+-=乙S 由于乙甲x x =，22乙甲S S <，所以，甲组同学在此次模拟考试中发挥比较稳定.（Ⅲ）若甲组同学中成绩不低于90分的两人设为B A ,，乙组同学中成绩不低于90分的三人设为c b a ,,，则从他们中抽出3名同学有以下10种可能：,,,,,,,,,,abc Bbc Bac Bab Abc Aac Aab ABc ABb ABa其中全是乙组的只有abc 一种情况，没有全是甲组的情况，所以抽出的3人中既有甲组又有乙组同学的概率是：1091011=-=P . 考点：茎叶图；数据的平均数和方差的计算；古典概型及其概率的计算. 19．（I ）证明见解析；（II ）当1=λ时，CDE A V -'有最小值18. 【解析】试题分析：（I ）根据正方形的性质和直三棱柱的特殊，先证明⊥B A '平面CDE ，即可证明CE B A ⊥'；（II ）设x BE =，则x E B x DB x AD -=-==6',6,，利用体积公式列出体积关于x 的二次函数，根据二次函数的性质，求解体积的最小值.试题解析：（Ⅰ）证明：∵1=λ，∴E D ,分别为AB 和'BB 的中点，又AB AA '，且三棱柱'''C B A ABC -为直三棱柱，∴平行四边形''A ABB 为正方形，∴B A DE '⊥， ∵BC AC =，D 为AB 的中点，∴AB CD ⊥， ∵三棱柱'''C B A ABC -为直三棱柱，∴⊥CD 平面''A ABB ，又⊂B A '平面''A ABB ，∴AB CD ⊥，又D DE CD = ，∴⊥B A '平面CDE ， ∵⊂CE 平面CDE ， ∴CE B A ⊥'.（Ⅱ）设x BE =，则x E B x DB x AD -=-==6',6, 由已知可得C 到平面DE A '的距离即为ABC ∆的边AB 所对的高4)2(22=-=AB AC h ， ∴h S S S S V V E B A DBE D AA A ABB DE A C CDE A ⋅---==∆∆∆--)(31'''''''四边形 )60(]27)3[(32)366(32)]6(3)6(21336[3122<<+-=+-=⋅-----=x x x x h x x x x ，∴当3=x ，即1=λ时，CDE A V -'有最小值18. 考点：线面垂直关系的判定与证明；体积的计算.20．（I ）12422=+y x ；（II ）222±=x y . 【解析】试题分析：（I ）由题意得把焦点坐标代入椭圆的方程求出c ，再由条件得到1F A 为圆E 的直径求出1AF ，根据勾股定理求出2AF ，根据椭圆的定义和222c b a +=，依次求出,a b 的值，即可求解椭圆的方程；（II ）由（I ）求出点A 的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA 的斜率，设直线l 的方程和,M N 的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出MN ，由点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，代入三角形的面积求出AMN ∆的面积的表达式，化简后利用基本不等式求解面积的最大值及对应的m 的值，代入直线l 的方程即可.试题解析：（Ⅰ）∵A E F ,,1三点共线，∴A F 1为圆E 的直径，∴212F F AF ⊥. 由49)210(22=-+x ，得2±=x ，∴2=c ， 189||||||2212122=-=-=F F AF AF ，4||||212=+=AF AF a ，2=a∵222c b a +=，∴2=b ，∴椭圆C 的方程为12422=+y x . （Ⅱ）由题知，点A 的坐标为)1,2(， ∵)0(≠=λλOA MN ，∴直线的斜率为22，故设直线l 的方程为m x y +=22，),(),,(2211y x N y x M ，联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1242222y x m x y ，得02222=-++m mx x ， ∴,2,222121-=-=+m x x m x x 且084222>+-=∆m m ，即22<<-m所以2212212123124)(211||1||m x x x x x x k MN -=-+⋅+=-⋅+=，点A 到直线l 的距离3||6m d =， ∴21||21=⋅=∆d MN S AMN 2312m -22422)4(223||62222=+-⨯≤-=⨯m m m m m ，当且仅当224m m =-，即2±=m 时等号成立，此时直线l 的方程为222±=x y . 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系，涉及到韦达定理和弦长公式、向量共线条件以及直线与圆、椭圆的位置关系等知识的综合应用，考查知识点多，综合性较强，属于中档试题，本题的解答中，设直线l 的方程和,M N 的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式求出MN ，由点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，求出AMN ∆的面积的表达式，利用基本不等式求解面积的最大值及对应的m 的值.21．（I ）432e ；（II ）证明见解析. 【解析】试题分析：（I ）先求在公共点处的切线方程，只须分别求出其斜率的值，利用导数求出在切点处的导数值，在结合导数的几何意义，即可求出切线的斜率，利用两个斜率相等得到等式，从而用a 表示b ，最后再利用导数的方法求b 的最大值即可，研究函数的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点的函数值的大小，最后确定出最大值；（II ）不妨设),0(,21+∞∈x x ，21x x <，14)()(2121>--x x x h x h ，可变形为变形得112214)(14)(x x h x x h ->-，令x x h x T 14)()(-=，再利用导数研究函数的单调性与极值（最值），即可证明命题成立. 试题解析：（Ⅰ）解：设)(x f 与)(x g 的图象交于点),(00y x P （00>x ），则有)()(00x g x f =，即12ln 8160020++=++b x a ax x （1）又由题意知)(')('00x g x f =，即00862x aa x =+ （2）由（2）解得a x =0或a x 40-=（舍去）将a x =0代入（1）整理得a a ab ln 42722-= 令a a a a K ln 427)(22-=，则)ln 83()('a a a K -= 当),0(83e a ∈时，)(a K 单调递增，当),(83+∞∈e a 时)(a K 单调递减，所以43832)()(e e K a K =≤=，即≤b 432e ，b 的最大值为432e （Ⅱ）证明：不妨设),0(,21+∞∈x x ，21x x <，14)()(2121>--x x x h x h变形得112214)(14)(x x h x x h ->-令x x h x T 14)()(-=，14682)('2-++=a x a x x T ， ∵1≥a ，0146814682)('2≥-+≥-++=a a a xa x x T 所以)(x T 在),0(+∞上单调递增，)()(12x T x T >，即14)()(2121>--x x x h x h 成立同理可证，当21x x >时，命题也成立综上，对任意),0(,21+∞∈x x ，21x x ≠，不等式14)()(2121>--x x x h x h 成立考点：导数的几何意义；导数在函数解题中的应用；不等关系的证明.【方法点晴】本题主要考查了切线方程的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点的切线方程、导数在函数中的应用、不等式的证明等知识，着重考查了学生推理、运算能力及转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中，设),0(,21+∞∈x x ，21x x <，即14)()(2121>--x x x h x h ，可变形为变形得112214)(14)(x x h x x h ->-令x x h x T 14)()(-=，转化为利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而证明相应的不等式. 22．（I ）x y 62=，曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线；（II ）8.【解析】试题分析：（I ）将极坐标方程两边同乘ρ，去分母即可得到直角坐标方程；（II ）写出直线l 的参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，根据参数的几何意义，求得AB .试题解析：（Ⅰ）由θθρ2sin cos 6=，得θρθρcos 6sin 22=，x y 62=. 所以曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线.（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y tx 323 代入x y 62=得0322=--t t ，1,321-==t t8||2)](3[)()()(||12212212221221=-=-+-=-+-=t t t t t t y y x x AB解法二：代入x y 62=得0322=--t t ，3,21212-==+t t t t84)(2)](3[)()()(||12212212212221221=-+=-+-=-+-=t t t t t t t t y y x x AB考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；直线参数方程的应用. 23．（I ）2；（II ）}1{)0,( -∞. 【解析】试题分析：（I ）利用绝对值的意义，去掉绝对值号，化为分段函数，利用分段函数的性质，求解函数的最值；（II ）由41)(0-≥mx f ，即m m x x x 14|3||2|000+≥+--+-，转为2)(1max =≤+x g mm ，分类讨论m ，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）当4-=m 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=+--+-=3,532,12,334|3||2|)(x x x x x x x x x x f ，∴函数)(x f 在]3,(-∞上是增函数，在),3(+∞上是减函数，所以2)3()(max ==f x f . （Ⅱ）41)(0-≥mx f ，即m m x x x 14|3||2|000+≥+--+-，令4|3||2|)(+--+-=x x x x g ，则存在R x ∈0，使得≥)(0x g mm 1+成立， ∴2)(1max =≤+x g m m ，即21≤+mm ， ∴当0>m 时，原不等式为0)1(2≤-m ，解得1=m ，当0<m 时，原不等式为0)1(2≥-m ，解得0<m ，综上所述，实数m 的取值范围是}1{)0,( -∞. 考点：分段函数的性质；函数恒成立问题的求解.。

高三一模试卷(数学理含答案)

福建省厦门市厦门三中高三阶段训练理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(共60分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置。

2．第Ⅰ卷共2页。

答题时，考生须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

在试卷上作答无效。

参考公式：球的表面积公式：，其中是球的半径；圆锥的侧面积公式：，其中为圆锥底面半径，为圆锥母线长。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)在复平面内，复数对应的点所在象限是 (A)一(B)二(C)三(D)四(2)若集合，则是的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)设是双曲线右支上一点，其一条渐近线方程是分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 (A) (B)(C)或 (D)或(4) 则大小关系是(A) (B) (C) (D)(5)某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有 (A)48种 (B)36种 (C)30种 (D)24种 (6)某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格。

由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C24S R π=R S rl π=r l 21i+2{1,},{2,4}A m B ="2"m ="{4}"A B =P 2221(0)9x y a a -=>12320,x y F F -=、18PF =||2PF ||412412214222,,sin ,xa xdxb e dxc xdx ===⎰⎰⎰a b c 、、a c b <<a b c <<c b a <<c a b <<产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C 产品的数量是产品类别 A B C 产品数量（件） 1300 样本容量（件）1300(A)900件(B)800件(C)90件(D)80件(7)已知直线平面且给出下列四个命题：①若则②若则③若则④若则其中真命题是 (A)①②(B)①③ (C)①④ (D)②④(8)设为函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是(A)192 (B)182 (C)-192 (D)-182 (9)某器物的三视图如图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为 (A)(B)(C)(D)(10)数列中，如果数列是等差数列，则 (A)(B) (C) (D)(11)定义在上的函数满足且时，则(A)(B)(C) (D) (12)从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其而积的取值范围是，则这一椭圆离心率的取值范围是(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷(共90分)注意事项：,,l m ,αβ、,,l m αβ⊥⊂//,αβ;l m ⊥,l m ⊥//;αβ,αβ⊥//;l m //,l m ;αβ⊥a sin 3cos ()y x x x =+∈R 61()a x x-2x 4π5π8π9π{}n a 352,1,a a ==1{}1n a +11a =1110113-17-R ()f x ()(),(2)(2),f x f x f x f x -=--=+(1,0)x ∈-1()2,5x f x =+2(log 20)f =1451-45-2b 22[3,4]b b e 32[,]3222[,]3233[,]3253[,]32第Ⅱ卷共2页。

福建省厦门市普通高中2021届高三毕业班下学期第三次质量检测(三模)数学试题

绝密★启用前福建省厦门市普通高中2021届高三毕业班下学期第三次质量检测(三模)数学试题一、单选题（共8小题）.1．集合M＝{x|y＝ln（x﹣2）}，N＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣4，2）B．（2，4）C．（2，+∞）D．（4，+∞）2．双曲线﹣＝1的焦点到渐近线的距离是（）A．2 B．3 C．D．63．已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，若S1＝S25，a3+a8＝32，则S16＝（）A．80 B．160 C．176 D．1984．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°,冬至前后正午太阳高度角约为30°．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿,图2是其示意图,则其出檐AB的长度（单位：米）约为（）A．3 B．4 C．6（﹣1）D．3（+1）5．△ABC中,CA＝2,CB＝4,D为CB的中点,＝2,则•＝（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣46．福建省采用“3+1+2”新高考模式,其中“3”为全国统考科目语文、数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在思想政治地理、化学和生物四门中再选择两门．某中学调查了高一年级学生的选科倾向,随机抽取200人,其中选考物理的120人,选考历史的80人,统计各选科人数如表：选择科目思想政治地理化学生物选考类别物理类35 50 90 65历史类50 45 30 35 则（）附：K2＝P（K2≥k）0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．物理类的学生中选择地理的比例比历史类的学生中选择地理的比例高B．物理类的学生中选择生物的比例比历史类的学的中选择生物的比例低C．有90%以上的把握认为选择生物与选考类别有关D．没有有95%以上的把握认为选择生物与选考类别有关7．已知函数（x）＝x2﹣x﹣a sinπx+1有且仅有一个零点,则实数a等于（）A ．B ．C ．D．28．如图,在四棱锥P﹣ABCD的平面展开图中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形,∠HDC＝∠FAB＝90°,则四棱锥P﹣ABCD外接球的球心到面PBC的距离为（）。

2021届福建省厦门第一中学高三最后一次模拟数学(理)试题

2019届福建省厦门第一中学高三最后一次模拟数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数()13z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（） A ．2-B ．2C ．2iD ．2i -2．已知命题{}2:|560p A x x x =-+<，命题{}:|lg(2),q B x y x a a R ==-∈.若命题q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围是（） A ．2a <B ．2a ≤C ．4a <D ．4a ≤3．若x ，y 满足0{10x y x y x -≤+≤≥，，，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．24．若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（） A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<5．数列{}n a 满足()11++=-⋅nn n a a n ，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1106．在《算法统宗》中有一“以碗知僧”的问题，具体如下“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，恰合用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧.”记该寺内的僧侣人数为0S ，运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（）A ．414B ．504C ．462D ．5407．若函数())f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，||αβ-的最小值是2π，则下列判断正确的是（） A ．()f x 图象关于直线6x π=对称B ．()f x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增 D ．()f x 图象可由2cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象向右平移3π个单位得到 8．高考结束后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学去A 、B 、C 、D 四地旅游，每人只去一地，每地均有人去，且甲同学只去A 地，则不同出行方案种数为（） A ．48B ．54C ．60D ．729．某变量X 的总体密度曲线为sin(02)42xy x ππ=<<，变量T 的总体密度曲线为cos(02)42xy x ππ=<<，在同一直角坐标系中作两曲线如图所示，图中两阴影区域记作I ，II ，在矩形OABC 区域中任取一点，则点落在区域I 或II 的概率为（）A ．2ππ- B ．22ππ- C ．4ππ- D ．42ππ- 10．过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若||||3MN AB =，则l 的斜率为（）A B C ．1 D ．211．棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，一平行于平面1A BD 的平面α与棱AB ，AD ，1AA 分别交于点E ，F ，G ，点P 在线段11A C 上，且1//PG AC ，则三棱锥P EFG -体积的最大值为（）A ．1B ．2C D12．已知函数2()(1)2xa f x x e x =--，对于任意1x R ∈，()20,x ∈+∞，不等式()()121222f x x f x x x +-->-恒成立，则整数a 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知向量()2,3a =，(),6b m =-，若a b ⊥，则2a b +=__________.14．)5111x ⎛⎫-⋅⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为__________.15．已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点P 满足22OPF POF ∠=∠（O 为坐标原点），则E 的渐近线方程为____________.16．平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，AD CD =，120ADC =∠︒，则BCD ∆面积的最大值为__________.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =（*n N ∈，且2n ≥）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++< 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，E 是1CC 的中点，1BC =，12BB =，160BCC ∠=︒.（1）证明：1B E AE ⊥；（2）若AB =11A B E A --的余弦值.19．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值． ①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，()11,A x y ，B ⎛ ⎝⎭，()22,C x y 是椭圆上三个不同的点，F 为其右焦点，且||AF ，|BF |，||CF 成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴交点为D ，求直线BD 的斜率k .21．{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{max =，己知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-，2221()max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设21()()3(1)2h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得3()42g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.22．曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的直角坐标方程为10x +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标方程；（2）若直线:l y kx =与曲线1C ，2C 的交点分别为A ，B （A ，B 异于原点），当斜率3k ∈⎣时，求1||||OA OB +的取值范围. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()225f x x =+-. （1）解不等式：()|1|f x x ≥-；（2）当1m ≥-时，函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.参考答案1．A 【解析】【分析】由题意结合复数的除法法则确定z 的值，然后可得其虚部. 【详解】由题意可得：()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-，则z 的虚部是2-. 故选A . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题. 2．D 【分析】首先求得集合A ,B ，然后结合题意和恒成立的条件可得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得：命题p ：{}|23A x x =<<，命题q ：|2a B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，命题q 是p 的必要不充分条件，故不等式2ax >，即2a x <在区间()2,3上恒成立，据此可知：a 的取值范围是4a ≤. 故选D . 【点睛】本题主要考查集合的表示，由必要不充分条件求参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．D 【详解】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2，故选D.考点：本题考点为线性规划的基本方法 4．A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】23a =，12232<<，∴12a <<，22log 5log 4b =>，∴2b >，32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A. 【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 5．B 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选B ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6．C 【解析】设僧侣人数为x ，则0036434S S +=，则0624S =；运行该程序，第一次，2i =，62412612S =-=，第二次，3i =，61218594S =-=，第三次，4i =，59424570S =-=，第四次，5i =，57030540S =-=，第五次，6i =，54036504S =-=，第六次，7i =，50442462S =-=，7i <不成立，此时输出的S 的值为462，故选C. 7．C 【分析】首先确定函数的解析式，然后结合函数的解析式考查函数的对称轴、对称中心、单调性等性质即可. 【详解】函数的解析式即：()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， ||αβ-的最小值是2π，故42T π=，即：1242ππω⨯=，解得：1ω=，函数的解析式即()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，考查所给的选项： A . 当6x π=时，632x k ππππ+=≠+，题中的说法错误；B . 当3x π=时，62x ππ+=，故03f π⎛⎫≠⎪⎝⎭，题中的说法错误； C . 若,03x π2⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则,626x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，题中的说法正确；D . 2cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象向右平移3π个单位所得函数的解析式为： ()2cos 2sin 36y x x f x ππ⎡⎤⎛⎫=--=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，题中的说法错误；故选C . 【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求解方法，三角函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．C 【解析】【分析】由题意利用加法原理和排列组合公式计算不同的出行方案种数即可. 【详解】由题意可得，当A 地只有1人时，出行方案种数为：12234236C C A =种，当A 地有2人时，出行方案种数为：134324C A =种，结合分步加法计数原理可得不同出行方案种数为362460+=. 故选：C . 【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 9．B 【解析】【分析】由题意首先利用微积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型计算公式可得概率值. 【详解】由题意可得，区域Ⅰ的面积：11211021cossin44242S x dx x dx πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰11201211sin |cos42222x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦42π=-. 区域Ⅱ的面积：2322cos sin4242S x x dx ππππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰23211sin cos |2222x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭122=-+，则点落在区域I 或II 的概率为122224S S p πππ+-==⨯.故选：B . 【点睛】本题主要考查定积分及其应用，几何概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B 【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义和特殊角的三角函数值首先求得直线的倾斜角，然后确定其斜率即可. 【详解】分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为',','A B N ，由抛物线的定义知AF =()11,||,||22AA BF BB NN AA BB AB '''''==+=，因为|||MN AB =，所以|||'|,3'MN MN NN NN ==，所以∠MNN '=30°，即直线MN 的倾斜角为150°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为60°，l 故选：B . 【点睛】本题主要考查抛物线的性质，直线的倾斜角及斜率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．B 【分析】由题意首先求得三棱锥P EFG -体积的表达式，然后利用导函数求解体积的最大值即可. 【详解】设()03AG t t =<<，则由题意可得：EF =，2EFG S ∆∴==2，又PG ⊥平面EFG ，且)PG t =-，1133EFG V S PG ∆∴=⋅=2)t -=()32132t t -+，()21362V t t '=-+，max (2)2V V ∴==. 故选B . 【点睛】本题主要考查立体几何中体积的求解，由导函数求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．C 【分析】首先将原问题转化为恒成立的问题，然后结合导函数在特殊点处的值即可确定整数a 的最大值. 【详解】()()()()1212212122f x x f x x x x x x x +-->-=--+，设112t x x =+，212t x x =-则有12,t t R ∈且12t t >，即()()1221f t f t t t ->-恒成立，即()()1122f t t f t t +>+，令()()g x f x x =+，则()g x 在R 上单调递增，即()0g x '≥恒成立，即()10xg x xe ax =-+≥'，(1)10g e a -+'=≥，得14a e ≤+<，下证3a =成立：()31x g x xe x '=-+，易证当0x ≤时，()311x x g x xe x xe '=-+≥+，考查函数：xy x e =⋅，则()'1xy ex =+，故函数x y x e =⋅在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增，当1x =-时，函数的最小值为min 1y e=-，据此可得：()1'110x g x xe e≥+≥->，当0x >时，()31xg x xe x '=-+>22(1)3121(1)0x x x x x x +-+=-+=-≥，故3a =成立. 故选C . 【点睛】本题主要考查等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法，不等式的放缩等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．13 【分析】先化简a b ⊥得到m 的值，再求2a b +. 【详解】因为a b ⊥，所以2m-18=0,所以m=9.所以2a b +=（4,6）+（9，-6）=（13,0），所以2a b +=13. 故答案为13. 【点睛】(1)本题主要考查向量垂直的坐标表示和向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设a =(,),x y 则2a x =+14．-5 【分析】)51展开式与11x ⎛⎫- ⎪⎝⎭相乘得到x 项，则展开式中2x 项与1x 相乘，x 项与-1相乘，再相加，得到系数.【详解】要求x 的系数，则)51展开式中2x 项与1x相乘，x 项与-1相乘，所以展开式中2x 项为41255Cx =与1x相乘得到5x ，展开式中x 项为23510C x =，与-1相乘得到10x -，所以x 的系数为1055-+=- 【点睛】本题考查二项展开式的与其他因式相乘所得到的某一项的系数，分类清楚，认真计算即可得到结果，属于简单题. 15．y = 【解析】【分析】由题意利用对称性首先求得点P 的坐标，然后结合两点之间距离公式确定a ,b 的关系即可确定渐近线方程. 【详解】设F 1点关于渐近线的对称点为()00,P x y ，不妨设渐近线方程为by x a=，则： 0000122y b x c a y x c b a ⎧⨯=-⎪+⎪⎨-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：22002b a x caby c ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因为22OPF POF ∠=∠，所以PF 2=F 2O =c，根据两点间距离可得2P c F ==，整理可得：42244a 4a b c +=，即()()2222224a a b a b +=+，据此有：()()222230a b ab +-=据此可得：ba= 故E的渐近线方程为y =. 【点睛】本题主要考查点关于直线的对称性，双曲线的渐近线的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16【分析】由题意结合正弦定理和余弦定理得到关于三角形面积的解析式，结合三角函数的性质即可确定BCD ∆面积的最大值. 【详解】设ABC α∠=，BCA β∠=，依题意得30ACD ∠=︒，AC =则12BCD S CB CD ∆=⋅⋅sin 6πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭ABC ∆中由余弦定理得：241221cos 54cos AC αα=+-⨯⨯⨯=- ABC ∆中正弦定理得：sin sin AC ABαβ=，即sin sin AC βα⋅= 则222cos AC AC β=-22sin 54cos AC βα=-22sin (2cos )αα-=-，即cos 2cos AC βα⋅=-，所以BCD S ∆==2sin 2πα⎛⎫-+ ⎪=≤，当且仅当23απ=取等号. 综上可得：BCD ∆面积的最大值为.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、余弦定理的应用，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 17．(1) 21n a n =- (2)见证明【分析】(1)由题意将递推关系式整理为关于n S 与1n S -的关系式，求得前n 项和然后确定通项公式即可；(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式. 【详解】（1）由n a =1n n S S --=1(2)n =≥，所以数列1==为首项，以1为公差的等差数列，1(1)1n n =+-⨯=，即2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==，也满足上式，所以21n a n =-；（2）当2n ≥时，111(21)(22)n na n n n n =<--111112(1)21n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，所以123111123n a a a na +++⋅⋅⋅+1111111122231n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪-⎝⎭313222n =-< 【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 18．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）证明：连接1BC ，BE ，发现1⊥BC BC ，求出BE 和1B E ，并证得1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，所以1B E ⊥平面ABE ，证得1B E AE ⊥；（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面1AB E 的法向量为n ，设平面11A B E 的法向量为m ，然后计算夹角即可. 【详解】解：（1）证明：连接1BC ，BE ，因为在中，1BC =，112CC BB ==，160BCC ∠=︒．所以1⊥BC BC ．所以1112BE CC ==，因为1B E ==所以1B E BE ⊥，又AB ⊥平面11BB C C ，且1B E ⊂平面11BB C C ，所以1B E AB ⊥，ABBE B =，所以1B E ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ，所以1B E AE ⊥．（2）以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则(A ，()1B -，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1A -，所以13,2B E ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1AB =-，13,2A E ⎛= ⎝，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z =，设平面11A B E 的法向量为(),,m a b c =，则1100{{y B E n AB n x -=⋅=⇒⋅=+=，取(1,3,n =，则1100{{30y B E m A m a E -=⋅=⇒⋅=-=，取()1,3,0m =．所以cos ,26m n n m m n ⋅〈〉===⋅⨯，即二面角11A B E A --的平面角的余弦值为3．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的证明，空间向量求解二面角的平面角，属于中档题. 19．（1）0.95；（2）①B 生产线挽回的平均损失较多；②分布列见解析，16200元. 【分析】（1）根据独立事件同时发生以及对立事件的概率，求出产品至少有一件合格的概率，根据已知建立p 的不等量关系，即可求解；（2）①根据（1）的结论求出,A B 生产线不合格品率，进而求出两条生产线的不合格品数，即可求出结论；②X 的可能取值为6，8，10，根据频数分布图，求出X 可能值的频率，得到X 的分布列，根据期望公式求解即可. 【详解】（1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，从A ，B 生产线上抽检到合格品分别为事件M ，N ，由题知，M ，N 互为独立事件，所以()P M p =，()21P N p =-，()1()1()()P C P M N P M P N =-⋅=-⋅ 21(1)[1(21)]12(1)p p p =----=--，令212(1)0.995p --，解得0.95p ，故p 的最小值00.95p =．（2）由（1）可知，A ，B 生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1．①由题知，A 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.0550⨯=（件），可挽回损失为505250⨯=（元），B 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.1100⨯=（件），可挽回损失为1003300⨯=（元）．由此，估计B 生产线挽回的平均损失较多． ②由题知，X 的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则20259(6)20040P X +===，60401(8)2002P X +===， 203511(10)20040P X +===，所以X 的分布列为所以9111()68108.140240E X =⨯+⨯+⨯=（元）．故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元）．【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查创新与应用和运算求解的能力，属于中档题．20．(1) 2211612x y +=【解析】【分析】（1）由题意求得a ,b ,c 的值即可确定椭圆方程；（2）由题意结合椭圆方程和等差数列的性质可得点D 的坐标，然后结合点的坐标可得直线的斜率. 【详解】（1）依题意得12c e a ==，即2a c =，b =，将点B 代入椭圆方程可得2292114a b +=，即229211412c c+=，解得2c =，所以椭圆的方程为2211612x y +=.（2）依题意得221111612x y +=，即22113124x y =-，且有14x ≤，(2,0)F||AF ==1142x ==-同理可得35||422BF =-=，21||42CF x =- 又||AF ，|BF |，||CF 成等差数列，则有126x x +=.因为221111612x y +=，222211612x y +=，两式相减可得()()1212111612x x x x +-+()()12120y y y y +-=，所以()12121292AC y y k x x y y -==--+，则AC 的中垂线为()12122(3)29y y y y y x +-=+-，令0y =可得34x =，所以3,04D ⎛⎫⎪⎝⎭为定点，则有BD k =. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中直线恒过定点的问题及应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21．（1）个；（2）存在，ln 21(,2]4-. 【解析】试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到的解析式，进一步求值域即可；（2）分别对和两种情况进行讨论，得到的解析式，进一步构造，通过求导得到最值，得到满足条件的的范围．试题解析：（1）设()()()()2211212ln ,2x x F x x x F x x x x-='+=---=，．．．．．．．．．．．．．1分令()0F x '>，得()1,x F x >递增；令()0F x '<，得()01,x F x <<递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴()()min 10F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴()21f x x =-．．．．．．．．．．．．．3分设()()21312G x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合()f x 与()G x 在(]0,1上图象可知，这两个函数的图象在(]0,1上有两个交点，即()h x 在(]0,1上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（或由方程()()f x G x =在(]0,1上有两根可得）（2）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立，则2223ln 42{1324422x x x a x a x a a x a +<+⎛⎫-+-++<+ ⎪⎝⎭，对()2,x a ∈++∞恒成立，即()()21ln 42{20x x a x x a -<+->，对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①设()()1112ln ,222x H x x x H x x x'-=-=-=，令()0H x '>，得()02,x H x <<递增；令()0H x '<，得()2,x H x >递减， ∴()()max 2ln 21H x h ==-，当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->，∵0a <，∴4ln 21,04a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．故当ln 21,04a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当22a +≥即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减，∴()()()12ln 212H x H a a a <+=+--． ∵()111ln 210222a a a '⎛⎫+--=-≤ ⎪+⎝⎭，∴()()20ln 210H a H +≤=-<，故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②若()()220x x a +->对()2,x a ∈++∞恒成立，则22a a +≥，∴[]1,2a ∈-．．．．．．．．．．．11分由①及②得，ln 21,24a -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：导数应用. 【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.22．(1) 1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθθ=.(2)3,⎡⎣ 【解析】【分析】(1)由题意首先将参数方程化为普通方程，然后转化为极坐标方程即可；(2)利用(1)中求得的极坐标方程和极坐标的几何意义将原问题转化为三角函数求值域的问题，结合三角函数的性质可得1||||OA OB +的取值范围. 【详解】（1）由1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消θ得()2211x y -+=，即2220x y x +-= 将cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+代入1C ，2C 得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，2C 的极坐标方程为cos sin 1ρθθ=.（2）设直线l 的极坐标方程为θα=，ρ∈R ，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，联立方程可得A 2cos ρα=，B ρ=所以1||2cos ||OA OB α+=+cos 3cos ααα=3παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则有2,323πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即sin 3πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦综上1||OA OB+的取值范围为3,⎡⎣ 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．（1）(][),82,-∞-⋃+∞（2）{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（Ⅱ）由题意，可将m 的值分为1m =-和1m >-进行分类讨论，当1m =-时，函数()315g x x =+-不过原点，且最小值为5-，此时满足题意；当1m >-时，函数()37,13,133,x m x g x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，再由函数()g x 的单调性及值域，求出实数m 的范围，最后综合两种情况，从而得出实数m 的范围.试题解析：（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩，解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-⋃+∞.（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增.要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫⋃-⎪⎢⎣⎭.。

2021届福建省厦门市高考数学第三次质检试卷(含答案解析)

2021届福建省厦门市高考数学第三次质检试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，则能正确表示集合M={−1,0，1}和N={−1,1}关系的韦恩(Venn)图是()A. B. C. D.2.原命题：若双曲线方程是x2−y2=1，则其渐近线方程是y=±x.那么该原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.一等差数列的前n项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n的值为()A. 12B. 14C. 16D. 184.已知表面积为24π的球外接于三棱锥S−ABC，且∠BAC=π3，BC=4，则三棱锥S−ABC的体积最大值为()A. 8√23B. 16√23C. 163D. 3235.向量a⃗=(1,−√3)，若a⃗+b⃗ 在a⃗上的投影为1，则a⃗⋅b⃗ =()A. −2B. −1C. 1D. 26.已知以下列联表，且已知P(K2≥6.635)≈0.010，根据此列联表求得随机变量K2的观测值k≈16.373>6.635，那么以下说法正确的是()患心脏病患其它病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437A. 秃顶与患心脏病一定有关系B. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病有关系C. 我们有1%的把握认为秃顶与患心脏病有关系D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病没有关系7.函数图象交点的横坐标所在区间是()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (1,5)8.已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于()A. 4B. 3C. 2D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优，据当地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图(一)与人均月收入绘制成如图(二)所示的不完整的条形统计图，现给出如下信息，其中正确的信息为()A. 10月份人均月收入增长率为2%B. 11月份人均月收入约为1442元C. 12月份人均月收入有所下降D. 从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E为底面ABCD的中心，点F为线段PA上的动点，则下列结论正确的是()A. AP⊥CDB. 存在点F ，使得CF ⊥PBC. 存在点F ，使得CF =2√23PBD. 存在点F ，使得直线CF 与直线PE 为异面直线11. 已知抛物线E ：x 2=4y 与圆C ：x 2+(y −1)2=16的公共点为A ，B ，点P 为圆C 的劣弧AB⏜上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则下列四个命题中正确的是( )A. |AB|=2√3B. 点P 纵坐标的取值范围是(3,5]C. 点N 到圆心C 距离的最小值为1D. 若l 不经过原点，则△CPN 周长的取值范围是(8,10)12. 下列命题为真命题的是( )A. 若a >b >0，则1a <1b B. 若a >b >0，则ac 2>bc 2 C. 若aa <b <0，则1a <1bD. 若a <0<b ，则1a <1b三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=cox(ωx +π6)(ω>0)在区间[0,5π3]上的值域为[−1,√32]，则ω的取值范围为______． 14. 二项式(√x √x 3)5的展开式中常数项为______(用数字作答) 15. 设z −2i =1−i1+i ，则|z|=______．16. 已知函数f(x)={log a (x −2),x >3(5−a)x −3,x ≤3满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2>0成立，则实数a 的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在单调递增数列{a n }中，a 1=2，a 2=4，且a 2n−1，a 2n ，a 2n+1成等差数列，a 2n ，a 2n+1，a 2n+2成等比数列，n =1，2，3，…． (Ⅰ)(ⅰ)求证：数列{√a 2n }为等差数列； (ⅰ)求数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)设数列{1a n}的前n 项和为S n ，证明：S n >4n3(n+3)，n ∈N ∗．18. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且sin A =√1010，cos2B =35，(1)求A+B的值；(2)若b−a=2−√2，求a，b，c的值．19.已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，点P到A，B，C的距离均为2√3.设二面角P−AC−B与二面角P−BC−A 的大小分别为α，β．(1)求1tan2α+1tan2β的值；(2)若tanβ=√3tanα，求二面角A−PC−B的余弦值．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆右顶点到直线x+y+√3=0的距离为√6，离心率e=√63(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知A为椭圆与y轴负半轴的交点，设直线l：y=x+m，是否存在实数m，使直线l与椭圆有两个不同的交点M、N，是|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21.某校对学生的思想品德、学业成绩、社会实践能力进行综合评价，思想品德、学业成绩、社会实践能力评价指数分别记为x，y，z，每项评价指数都为1分、2分、3分、4分、5分五等，综合评价指标S=x+y+z，若S≥13，则该学生为优秀学生．现从该校学生中，随机抽取10名学生作为样本，分为A，B两组，其评价指数列表如下：A组学生编号A1A2A3A4A5评价指数(x,y，z)(3,4，3)(4,3，4)(4,4，2)(4,3，5)(4,5，4)B组学生编号B1B2B3B4B5评价指数(x,y，z)(3,5，3)(4,3，2)(5,4，4)(5,4，5)(4,5，3)(1)从A，B两组中各选一名学生，依次记为甲、乙，求乙的综合评价指标大于甲的综合评价指标的概率；(2)若该校共有1500名学生，估计该校有多少名优秀学生．22. 已知函数，．(1)若在上的最大值为，求实数的值；(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；。

福建省厦门市2021届新高考三诊数学试题含解析

福建省厦门市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩…函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（）A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞UD ．(0,1)【答案】C【解析】【分析】转化()()g x f x kx =+有1个零点为()y f x =与y kx =-的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.【详解】 ()()g x f x kx =+有1个零点等价于()y f x =与y kx =-的图象有1个交点．记()(1)(3)(1)h x x x x x =--->，则过原点作()h x 的切线，设切点为00(,)x y ，则切线方程为000()()()y h x h x x x '-=-，又切线过原点，即000()()h x h x x '=，将0000()13,()()h x x x x =---，02003()38x h x x '-+=-代入解得02x =．所以切线斜率为2(2)328231h '=-⨯+⨯-=，所以1k <-或0k >．故选：C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.2．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（）A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x xB ．20,(1)(1)∀+>-x x x x „C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x „D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x „【答案】C【解析】【分析】套用命题的否定形式即可.【详解】命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”.故选：C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.3．已知集合{}|124A x x =<≤，|B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B =ð（） A ．{}5|x x ≥B ．{}|524x x <≤C ．{|1x x ≤或}5x ≥D ．{}|524x x ≤≤【答案】D【解析】【分析】首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得；【详解】解：∵2650x x -+->，解得15x <<∴{}|15B x x =<<，∴{}|524A B x x =≤≤ð.故选：D【点睛】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.4．函数cos 220,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为cos 22y x x =2sin(2)2sin(2)66x x ππ=-=--，由3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数的增区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32ππ. 故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.5． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242【答案】C【解析】【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a则()233513512n a n n =+-=-令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。