2021届福建省厦门一中高三下学期周考三理科数学试卷
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A． B． C． D．
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 、 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A． B． C． D．
12．已知 ， ，对任意的 ，存在实数 满足 ，使得 ，则 的最大值为（）
8．B
【解析】
试题分析：由题意得，因为 ，所以 ，所以数列 的奇数项构成首项为 ，公差 的等差数列，偶数项构成 ，公差为 的等差数列，所以 ，故选B.
考点：等差数列的求和公式.
方法点睛：本题主要考查了数列的递推式和等差的前 项和公式的应用，其中涉及到三角函数的求值，着重考查了归纳、猜想，寻找数列的规律利用等差数列的求和公式求解数列的和和推理、运算能力，属于中档试题，本题的解答中，求解数列 的值，得到数列 的奇数项构成首项为 ，公差 的等差数列，偶数项构成 ，公差为 的等差数列，即可求解 的值.
（Ⅲ）试问 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得以 为直径的圆恒过直线 、 的交点，若存在，求出点 的坐标；若不存在请说明理由.
21．设函数 .
（Ⅰ）若函数 在 处的切线与 轴相交于点 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时，求证： .
22．选修4-1：几何证明选讲
如图， 中，以 为直径的⊙ 分别交 于点 ， 交于点 .
考点：复合命题的真假判定.
4．C
【解析】
试题分析：由题意得，根据频率分布直方图中，各个矩形的面积和为 ，则 ，所以 ，故选C.
考点：频率分布直方图的应用.
5．C
【解析】
试题分析：由题意得， ，不满足 ，则 变为 ；由 ，则 变为 ；由 ，则 变为 ；由 ，则 变为 ；由 ，则 变为 ，由 ，则输出的 ，故选C.
6．设函数 ，（ ）的部分图像如图，若 ，
且 ，则 （）
A．1B． C． D．
7．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A．12种B．24种C．30种D．36种
8．已知 为数列 的前 项和，若 ，则 （）
A．31B．122C．324D．484
9．已知函数 ，若存在实数 ， ， ， ，当 时，满足 ，则 的取值范围是（）
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）某客运公司用 ， 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. ，
两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公
司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求 型车不多于 型车7辆.若每天要以不小于 的概率
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
13．如图，正方形 和正方形 的边长分别为 ， （ ），原点 为 的中点，抛物线 经过 ， 两点，则 .
14．在等差数列 中，首项 ，公差 ，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．
15．已知空间四面体 中， ， ，则四面体 的外接球的表面积是.
9．D
【解析】
试题分析：画出函数 的图象，如图所示，令 ，作出直线 ，由 时， ；由 时， ；由图象可得，当 时，直线与曲线 由四个交点，由图象可得 ，则 ，即为 ，可得 ，由 的图象关于直线 对称，可得 ，则 在 上递增，即有 ，故选D.
运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 型车、 型车各多少
辆？
（参考数据：若 ，有 ， ， ）
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，四个顶点分别为 、 、 、 ，且四边形 是边长为2的正方形，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明： 为定值；
2021年福建省厦门一中高三下学期周考三理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．复数 （ 为虚数单位）的共轭复数为（）
A． B． C． D．
3．已知命题 ： ， ，命题 ： 是 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）
24．选修4-5：不等式选讲
设函数 ， .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）设函数 ，且 在 上恒成立，求实数 的取值.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：由题意得， ， ，所以 ，故选B.
考点：集合的运算.
2．A
【解析】
试题分析：由题意得 ，所以 ，故选A.
考点：复数的运算及共轭复数的定义.
3．C
【解析】
试题分析：根据指数函数的性质可知，命题 为真命题；由 ，所以 是 的充要条件，所以命题 为假命题，所以 为真命题，故选C.
16．设 是函数 的导函数，且 ， ， （ 为自然对数的底数），则不等式 的解集为.
三、解答题
17．如图， 是直角三角形 斜边 上一点， .
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 .
18．在四棱柱 中，底面 是菱形，且 ， .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成角的大小.
19．假设每天从甲地去乙地的旅客人数 是服从正态分布 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 .
考点：程序框图.
6．D
【解析】
试题分析：由题意得，根据给定的图象，可知 ，则 且 ，即 ，又 ，即 ，所以 ，又 且 ，所以 ，所以 ，故选D.
考点：三角函数的图象与性质.
7．B
【解析】
试题分析：由题意得，其中恰有两人选甲，共有 种选法；余下的两人，各有两种选法，所以所有的选法共有 种，故选B.
考点：排列、组合的应用.
A． B． C． D．
4．学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如图所示），根据图中所给的数据可知
（）
A．0.024B．0.036C．0.06D．0.6
5．下面程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 分别为 ，则输出的 为（）
A．0B．1C．3D．15
（Ⅰ）判断过 点平行于 的直线是否是⊙ 的切线，并加以证明；
（Ⅱ）求证： .
23．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .
（ⅠHale Waihona Puke Baidu求曲线 与直线 在该直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）动点 在曲线 上，动点 在直线 上，定点 ，求 的最小值.
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 、 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A． B． C． D．
12．已知 ， ，对任意的 ，存在实数 满足 ，使得 ，则 的最大值为（）
8．B
【解析】
试题分析：由题意得，因为 ，所以 ，所以数列 的奇数项构成首项为 ，公差 的等差数列，偶数项构成 ，公差为 的等差数列，所以 ，故选B.
考点：等差数列的求和公式.
方法点睛：本题主要考查了数列的递推式和等差的前 项和公式的应用，其中涉及到三角函数的求值，着重考查了归纳、猜想，寻找数列的规律利用等差数列的求和公式求解数列的和和推理、运算能力，属于中档试题，本题的解答中，求解数列 的值，得到数列 的奇数项构成首项为 ，公差 的等差数列，偶数项构成 ，公差为 的等差数列，即可求解 的值.
（Ⅲ）试问 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得以 为直径的圆恒过直线 、 的交点，若存在，求出点 的坐标；若不存在请说明理由.
21．设函数 .
（Ⅰ）若函数 在 处的切线与 轴相交于点 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时，求证： .
22．选修4-1：几何证明选讲
如图， 中，以 为直径的⊙ 分别交 于点 ， 交于点 .
考点：复合命题的真假判定.
4．C
【解析】
试题分析：由题意得，根据频率分布直方图中，各个矩形的面积和为 ，则 ，所以 ，故选C.
考点：频率分布直方图的应用.
5．C
【解析】
试题分析：由题意得， ，不满足 ，则 变为 ；由 ，则 变为 ；由 ，则 变为 ；由 ，则 变为 ；由 ，则 变为 ，由 ，则输出的 ，故选C.
6．设函数 ，（ ）的部分图像如图，若 ，
且 ，则 （）
A．1B． C． D．
7．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
A．12种B．24种C．30种D．36种
8．已知 为数列 的前 项和，若 ，则 （）
A．31B．122C．324D．484
9．已知函数 ，若存在实数 ， ， ， ，当 时，满足 ，则 的取值范围是（）
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）某客运公司用 ， 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次. ，
两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公
司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求 型车不多于 型车7辆.若每天要以不小于 的概率
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
13．如图，正方形 和正方形 的边长分别为 ， （ ），原点 为 的中点，抛物线 经过 ， 两点，则 .
14．在等差数列 中，首项 ，公差 ，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为．
15．已知空间四面体 中， ， ，则四面体 的外接球的表面积是.
9．D
【解析】
试题分析：画出函数 的图象，如图所示，令 ，作出直线 ，由 时， ；由 时， ；由图象可得，当 时，直线与曲线 由四个交点，由图象可得 ，则 ，即为 ，可得 ，由 的图象关于直线 对称，可得 ，则 在 上递增，即有 ，故选D.
运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 型车、 型车各多少
辆？
（参考数据：若 ，有 ， ， ）
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，四个顶点分别为 、 、 、 ，且四边形 是边长为2的正方形，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明： 为定值；
2021年福建省厦门一中高三下学期周考三理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．复数 （ 为虚数单位）的共轭复数为（）
A． B． C． D．
3．已知命题 ： ， ，命题 ： 是 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）
24．选修4-5：不等式选讲
设函数 ， .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）设函数 ，且 在 上恒成立，求实数 的取值.
参考答案
1．B
【解析】
试题分析：由题意得， ， ，所以 ，故选B.
考点：集合的运算.
2．A
【解析】
试题分析：由题意得 ，所以 ，故选A.
考点：复数的运算及共轭复数的定义.
3．C
【解析】
试题分析：根据指数函数的性质可知，命题 为真命题；由 ，所以 是 的充要条件，所以命题 为假命题，所以 为真命题，故选C.
16．设 是函数 的导函数，且 ， ， （ 为自然对数的底数），则不等式 的解集为.
三、解答题
17．如图， 是直角三角形 斜边 上一点， .
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 .
18．在四棱柱 中，底面 是菱形，且 ， .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成角的大小.
19．假设每天从甲地去乙地的旅客人数 是服从正态分布 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为 .
考点：程序框图.
6．D
【解析】
试题分析：由题意得，根据给定的图象，可知 ，则 且 ，即 ，又 ，即 ，所以 ，又 且 ，所以 ，所以 ，故选D.
考点：三角函数的图象与性质.
7．B
【解析】
试题分析：由题意得，其中恰有两人选甲，共有 种选法；余下的两人，各有两种选法，所以所有的选法共有 种，故选B.
考点：排列、组合的应用.
A． B． C． D．
4．学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如图所示），根据图中所给的数据可知
（）
A．0.024B．0.036C．0.06D．0.6
5．下面程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 分别为 ，则输出的 为（）
A．0B．1C．3D．15
（Ⅰ）判断过 点平行于 的直线是否是⊙ 的切线，并加以证明；
（Ⅱ）求证： .
23．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .
（ⅠHale Waihona Puke Baidu求曲线 与直线 在该直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）动点 在曲线 上，动点 在直线 上，定点 ，求 的最小值.