数学新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第1课时 均值不等式 学案
学案2：2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 第1课时 均值不等式知识点一 重要不等式对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 时，等号成立． 体验1．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．4知识点二 算术平均值与几何平均值给定两个正数a ，b ，数 称为a ，b 的算术平均值；数ab 称为a ，b 的几何平均值． 知识点三 均值不等式1．均值不等式：如果a ，b 都是正数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当 时，等号成立．2．几何意义：所有周长一定的矩形中， 的面积最大． 思考1．均值不等式中的a ，b 只能是具体的数吗？思考2.均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？3．均值不等式的常见变形(1)当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ； (2)若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. 体验2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立． ( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2. ( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.( )体验3.已知x ＞0，则y ＝x ＋3x ＋2的最小值是________． 体验4.当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是______．(填序号)①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab . 题型探究类型1 对均值不等式的理解 【例1】 给出下面三个推导过程： ①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a＋a ≥24a·a ＝4； ③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2.其中正确的推导为( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③规律方法均值不等式使用的条件是什么？[提示] 利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立)． 跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x≥2x ·1x＝2； ②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4； ③若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 类型2 利用均值不等式比较大小【例2】 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋a b ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2abD ．2ab a ＋b≥ab(2)已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________． 规律方法1．在理解均值不等式时，从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意不等式成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b .跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P ＞Q ＞MB ．M ＞P ＞QC ．Q ＞M ＞PD ．M ＞Q ＞P类型3 利用均值不等式证明不等式【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法． 当堂达标1．对于任意a ，b ∈R ，下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋b 2≥abB ．a ＋1a ≥2C ．b a ＋a b≥2D ．⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2 2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －b <0B ．0<a b<1C ．ab <a ＋b2D ．ab >a ＋b3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A ．12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 24．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－55．若a ＞0，b ＞0且2a ＋1b ＝3，则ab 的最大值为________．课堂小结回顾本节知识，自我完成以下问题：1．试比较不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 的区别与联系．[提示] (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的．前者要求a ，b是实数即可，而后者要求a ，b 都是正实数(实际上后者只要a ＞0，b ＞0即可)．(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a ＝b 时，等号成立”．2．使用均值不等式应注意哪几点？[提示] (1)均值不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0. (2)常见的变形：a ＋b ≥2ab ，ab ≤a 2＋b 22，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. (3)“当且仅当a ＝b 时，取等号”的含义： a ＝b ⇔a ＋b2＝ab .(4)a ，b 可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，但应保证a ＞0，b ＞0.参考答案知识点梳理知识点一 重要不等式 a ＝b体验1．【答案】C【解析】xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．知识点二 算术平均值与几何平均值 a ＋b2知识点三 均值不等式 1．a ＝b 2．正方形思考1．[提示] a ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 思考2. [提示] 不能．如a ＝－3，b ＝－4，均值不等式不成立． 3．均值不等式的常见变形 (2)≤.体验2.【答案】(1)× (2)× (3)√【解析】(1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a＝2成立． (3)因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. 体验3.【答案】23＋2【解析】∵x ＞0，3x ＞0，∴y ≥23＋2，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时等号成立．体验4.【答案】③【解析】根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．题型探究类型1 对均值不等式的理解 【例1】【答案】B【解析】①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件，∴4a＋a ≥24a·a ＝4是错误的； ③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝⎛⎭⎫－x y ，⎝⎛⎭⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确． 跟踪训练1．【答案】②【解析】①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即当x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2.③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2 利用均值不等式比较大小 【例2】【答案】(1)D (2)p ＞q【解析】(1)由a ＋b 2≥ab 得a ＋b ≥2ab ，∴A 成立；∵b a ＋a b≥2b a ·ab＝2，∴B 成立； ∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，∴D 不一定成立． (2)∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac . ∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac .∴p ＞q . 跟踪训练2．【答案】B【解析】显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛ 由a ＋b ＞(a ＋b )24⎭⎫也就是a ＋b 4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b2＞ab .故M ＞P ＞Q . 类型3 利用均值不等式证明不等式【例3】证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2b a ·ab＋2c a ·a c＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c >9.当堂达标 1．【答案】D【解析】A 选项，当a ＜0，且b ＜0时不成立；B 选项，当a ＜0时不成立；C 选项，当a 与b 异号时不成立．故选D ． 2．【答案】C【解析】∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b 2一定成立．3．【答案】B【解析】∵ab ＜⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴ab ＜14，∴2ab ＜12.∵a 2＋b 22＞a ＋b2＞0，∴a 2＋b 22＞12， ∴a 2＋b 2＞12.∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2 ＝ab －a 2＝a (b －a )＞0，∴b ＞a 2＋b 2，∴b 最大． 4．【答案】C【解析】由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．5．【答案】98【解析】因为a ＞0，b ＞0，所以2a ＋1b ＝3≥22a b ，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝34，b ＝23时，等号成立，所以a b ≤98.。
2019-2020学年人教B版必修 第一册1 第1课时 均值不等式学案
2．2.4 均值不等式及其应用 第1课时 均值不等式问题导学预习教材P72－P75的内容，思考以下问题： 1．正数a ，b 的算术平均值和几何平均值是什么？ 2．均值不等式的内容是什么？3．均值不等式中的等号成立的条件是什么？ 4．两个正数的积为常数时，它们的和有什么特点？ 5．两个正数的和为常数时，它们的积有什么特点？1．算术平均值与几何平均值给定两个正数a ，b ，数a ＋b2称为a ，b 的算术平均值；数ab 称为a ，b 的几何平均值．2．均值不等式如果a ，b 2a ＝b 时，等号成立．■名师点拨 (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的．前者要求a ，b 是实数即可，而后者要求a ，b 都是正实数(实际上后者只要a ≥0，b ≥0即可)．(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a ＝b时，等号成立”．3．均值不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．■名师点拨 利用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合均值不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋ab ≥2.( )(5)函数y ＝x ＋1x 的最小值为2.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．3D ．4解析：选D.因为a >0，所以a ＋1a＋2≥2a ·1a＋2＝2＋2＝4. 不等式(x －2y )＋1x －2y ≥2成立的前提条件为( )A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正实数，所以x －2y >0，即x >2y ，故选B.已知0＜x ＜1，则x (1－x )的最大值为________，此时x ＝________．解析：因为0＜x ＜1，所以1－x ＞0，所以x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时“＝”成立，即当x ＝12时，x (1－x )取得最大值14.答案：14 12对均值不等式的理解下列结论正确的是( ) A ．若x ∈R ，且x ≠0，则4x ＋x ≥4B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值【解析】 对于选项A ，当x <0时，4x ＋x ≥4显然不成立；对于选项B ，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C ，忽视了验证等号成立的条件，即x ＝1x ，则x ＝±1，均不满足x ≥2；对于选项D ，x －1x 在0<x ≤2的范围内单调递增，有最大值2－12＝32.【答案】 B应用均值不等式时的三个关注点给出下列条件：①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0.其中能使b a ＋ab≥2成立的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只需a ，b 同号即可，所以①③④均可以．故选C.利用均值不等式直接求最值(1)已知t ＞0，求y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值；(2)若实数x ，y 满足2x ＋y ＝1，求xy 的最大值． 【解】 (1)依题意得，y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t－4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2. (2)因为实数x ，y 满足2x ＋y ＝1， 所以y ＝1－2x ，所以xy ＝x (1－2x )＝－2x 2＋x ＝－2⎝⎛⎭⎫x －142＋18≤18， 当x ＝14，y ＝12时取等号，最大值是18.(1)若a ＋b ＝p (和为定值)，当a ＝b 时，积ab 有最大值p 24，可以用均值不等式ab ≤a ＋b 2求得．(2)若ab ＝s (积为定值)，则当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2s ，可以用均值不等式a ＋b ≥2ab 求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．1．(2019·北京朝阳期末考试)若x ＞0，则y ＝12x ＋13x 的最小值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．8解析：选C.因为x ＞0，所以y ＝12x ＋13x ≥212x ·13x ＝4，当且仅当12x ＝13x ，即x ＝16时等号成立，故选C.2．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B.因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝9＋42＝25，因此当且仅当x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取得最大值25. 3．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C.因为a ，b 都是正数，所以⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a ＞0时取等号．利用均值不等式借助拼凑法求最值(1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．【解析】 (1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋4y ＝1， 所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋4y x ＋x y≥9，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝13，y ＝16时取等号，所以1x ＋1y 的最小值为9.【答案】 (1)6 (2)9若把本例(1)中的条件“x >2”改为“x <2”，求y ＝x ＋4x －2的最大值．解：因为x <2，所以2－x >0，所以y ＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2≤－2（2－x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫42－x ＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立． 故y ＝x ＋4x －2的最大值为－2.通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．1．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.23解析：选B.由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．6 2D ．62－3解析：选D.y ＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥23（x 2＋1）·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.3．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________．解析：x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16. 即x ＝4，y ＝12时等号成立，所以x ＋y 的最小值为16. 答案：161．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：选D.a ＜0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由均值不等式可知D 项正确．2．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为( ) A ．25 B ．252C ．254D ．258解析：选D.a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝258，当且仅当a ＝52，b ＝54时取等号，故选D. 3．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( )A ．2B ．aC ．2a a －1D ．3解析：选D.a ＞1，所以a －1＞0， 所以a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号．4．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：因为x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3xy ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取等号． 又x ＋y ＝4， 所以1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.[A 基础达标]1．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：选D.对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0，所以b a ＋ab≥2b a ·a b ＝2，即b a ＋ab≥2成立．2.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D.322解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0， a ＋6≥0， 所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92.即（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为92.3．已知实数x ，y 满足x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选D.因为x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·xy＝8， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝4，y ＝2时等号成立．故选D.4．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－2 3x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x，即x ＝33时取等号． 5．设x ＞0，则y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.因为x ＞0，所以x ＋12＞0，所以y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为0. 6．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 解析：因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.答案：327．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．解析：因为点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2（2m ＋n ）n ＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即n ＝12，m ＝14时取等号．答案：88．给出下列不等式：①x ＋1x ≥2；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③x 2＋y 2xy ≥2；④x 2＋y 22>xy ；⑤|x ＋y |2≥|xy |.其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2，①不正确；因为x 与1x同号，所以⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，②正确； 当x ，y 异号时，③不正确；当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，④不正确； 当x ＝1，y ＝－1时，⑤不正确．答案：②9．已知y ＝x ＋1x. (1)已知x ＞0，求y 的最小值；(2)已知x ＜0，求y 的最大值．解：(1)因为x ＞0，所以x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2. (2)因为x ＜0，所以－x ＞0.所以y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1－x ≤－2（－x ）·1－x＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立．所以y 的最大值为－2. 10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1x －3的最大值； (2)已知x ＞0，求y ＝2x x 2＋1的最大值． 解：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7，由均值不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22（3－x ）·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ≤－22，－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1. [B 能力提升]11．若0＜x ＜12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为( ) A ．1B.12C.14D.18解析：选 C.因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x 1－4x 2＝12×2x 1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C. 12．已知x ≥52，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1解析：选D.y ＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2， 因为x ≥52，所以x －2＞0， 所以12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥12·2（x －2）·1x －2＝1， 当且仅当x －2＝1x －2， 即x ＝3时取等号．故y 的最小值为1.13．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab .(1)求ab 的最小值；(2)求a ＋2b 的最小值．解：因为2a ＋b ＝ab ，所以1a ＋2b＝1. (1)因为a >0，b >0；所以1＝1a ＋2b ≥22ab ，当且仅当1a ＝2b ＝12， 即a ＝2，b ＝4时取等号；所以ab ≥8，即ab 的最小值为8.(2)a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ·2a b ＝9， 当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b ＝3时取等号； 所以a ＋2b 的最小值为9.14．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值． 解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2≥4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3，即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.[C 拓展探究]15．是否存在正实数a 和b ，同时满足下列条件：①a ＋b ＝10；②a x ＋b y＝1(x >0，y >0)且x ＋y 的最小值为18，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．解：因为a x ＋b y＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 又x ＋y 的最小值为18，所以(a ＋b )2＝18.由⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2＝18，a ＋b ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．。
《 2.2.4 均值不等式及其应用》学历案-高中数学人教B版19必修第一册
《2.2.4 均值不等式及其应用》学历案（第一课时）一、学习主题本节学习主题为高中数学课程中的《2.2.4 均值不等式及其应用》。
本节课将围绕均值不等式的定义、性质及其在数学问题中的应用展开，旨在使学生掌握均值不等式的基本概念和基本应用方法，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、学习目标1. 知识与技能：（1）理解均值不等式的概念及表达式形式。
（2）掌握均值不等式的基本性质。
（3）能够运用均值不等式解决简单的数学问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和归纳，发现均值不等式的规律。
（2）通过小组合作和交流，共同探讨和解决数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和热爱。
（2）培养学生合作学习和交流的意识和能力。
（3）使学生认识到数学在日常生活和实际工作中的应用价值。
三、评价任务1. 了解学生对均值不等式概念的理解程度，能否正确表述其含义。
2. 检验学生是否掌握均值不等式的基本性质，能否正确运用这些性质解决数学问题。
3. 评价学生在小组合作和交流中的表现，是否能够积极参与讨论并发表自己的观点。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例引出均值不等式的概念，如平均数、中位数等，让学生感受均值不等式的实际应用。
2. 新课学习：（1）讲解均值不等式的概念及表达式形式，让学生理解其含义。
（2）通过具体例子，让学生感受均值不等式的基本性质。
（3）引导学生通过观察和归纳，发现均值不等式的规律。
3. 课堂活动：组织学生进行小组合作，共同探讨和解决数学问题，让学生相互交流、互相学习。
4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或随堂练习，检测学生对均值不等式概念及基本性质的理解和掌握情况。
2. 课后作业：布置相关作业题，让学生回家后独立完成，巩固所学知识。
作业应包括基础题和拓展题，以满足不同层次学生的需求。
六、学后反思1. 教师反思：教师应对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供借鉴。
2020-2021学年人教B版必修第一册 2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时 学案
2.2.4均值不等式及其应用第1课时学习目标1.学会推导并掌握均值不等式.2.能够简单应用定理求最值.自主预习1.给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均值,数称为a,b的几何平均值.≥√ab,当且仅当时,等号成立.2.如果a,b都是正数,那么a+b23.几何意义:所有周长一定的矩形中,的面积最大.课堂探究问题探究一(1)假设一个矩形的长和宽分别为a和b,求与这个矩形周长相等的正方形的边长,以及与这个矩形面积相等的正方形的边长,并比较这两个边长的大小;(2)如下表所示,再任意取几组正数,算出它们的算术平均值和几何平均值,猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小,并根据(1)说出结论的几何意义.a12b14a+b132√ab12√2问题探究二均值定理的几何解释:作线段AD=a,延长AD至点B,使DB=b(a,b>0)以AB为直径作半圆O,过D点作CD⊥AB于D,交半圆于点C,连接AC,BC,OC.当点D在线段AB(端点除外)上运动时,试探讨OC与CD的大小关系.典型例题:的最小值,并说明当x为何值时y取得最小值.例1已知x>0,求y=x+1x变式训练1已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y的最小值,并说明此时x,y的值.要点归纳在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值; 三是考虑等号成立的条件是否具备.例2 已知ab>0,求证:b a +a b≥2,并推导出等号成立的条件.变式训练2已知ab>0,求证:b 3a +3a b≥2,并推导出等号成立的条件.例3 已知x ∈(-1,3),求y=(1+x )(3-x )的最大值,以及y 取得最大值时x 的值.核心素养专练1.若0<a<b ,则下列不等式一定成立的是( )A.a>a+b2>√ab >b B.b>√ab >a+b2>a C.b>a+b2>√ab >aD.b>a>a+b2>√ab2.已知a>0,b>0,则1a +1b +2√ab 的最小值是()A .2B .2√2C .4D .53.设b>a>0,且a+b=1,则此四个数12,2ab ,a 2+b 2,b 中最大的是( )A .b B.a 2+b 2 C .2abD .124.x ∈[0,3],y=(1+x )(3-x )的最大值是 ,最小值是 .参考答案自主预习.a+b2√ab2.a=b3.正方形 课堂探究例1 解:因为x>0,所以根据均值不等式有x+1x≥2√x ·1x=2,其中等号成立的条件是当且仅当x=1x,即x 2=1,解得x=1或x=-1(舍去),因此x=1时,y 取得最小值2.变式训练1 解:∵x>0,y>0,∴4x+6y ≥2√24×y . 又xy=24,∴4x+6y ≥2√24×24=48. 当且仅当4x=6y 时,等号成立. 即当x=6,y=4时,最小值为48.例2 证明:因为ab>0,所以b a >0,a b>0,根据均值不等式得b a +a b ≥2√b a ·a b =2. 即b a +ab≥2. 当且仅当b a =ab时,即a 2=b 2等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是a=b.变式训练2 证明:因为ab>0,所以b 3a>0,3a b>0,根据均值不等式得b 3a +3a b ≥2√b 3a ·3a b=2. 即b 3a +3ab≥2. 当且仅当b 3a =3ab时,即9a 2=b 2等号成立.因为ab>0,所以等号成立的条件是3a=b.例3 解:当x ∈(-1,3)时,1+x>0,3-x>0.√(1+x)(3-x)≤1+x+3-x2=2.从而(1+x )(3-x )≤4,即y ≤4.当且仅当1+x=3-x ,即x=1时,等号成立.从而x=1时,y 取得最大值4. 核心素养专练. . 3.A 4.4 0学习目标1.能够掌握均值不等式的内容以及证明过程.2.结合具体实例,能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.自主预习知识点一 算术平均值与几何平均值对任意两个 a ,b ,数 叫做a ,b 的算术平均值,数 叫做a ,b 的几何平均值,两个正实数的算术平均值 它的几何平均值.知识点二 均值定理 1.均值定理如果 ,那么a+b2√ab .当且仅当a=b 时,等号成立,以上结论通常称为 定理,又叫均值不等式.均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值. 2.均值不等式求最值的条件 (1)x ,y 必须是 .(2)求积xy 的最大值时,应看和x+y 是否为 ;求和x+y 的最小值时,应看积xy 是否为 . (3)等号成立的条件是否满足. 3.用均值不等式求最值(1)设x ,y 为正实数,若x+y=s (和s 为定值),则当且仅当 时,积xy 有最 值. (2)设x ,y 为正实数,若xy=p (积p 为定值),则当且仅当 时,和x+y 有最 值.课堂探究探究均值不等式国际数学家大会是由国际数学联盟(IMU )主办,首届大会于1897年在瑞士苏黎世举行,1900年巴黎大会之后每四年举行一次,它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.问题1 四边形ABCD 特殊吗?问题2 四边形的面积与四个直角三角形之间有关系吗?问题3 每个直角三角形的两直角边分别用a ,b 表示,你能用ab 来表示四边形与直角三角形的面积吗?问题4 中间的小正方形可以消失吗?问题5 此时a 2+b 2与2ab 的关系怎么样?问题6 a 2+b 2≥2ab 的关系永远成立吗?你能用代数法证明吗?问题7 特别地,当√a ,√b 代替a ,b 时,上述表达式变为什么?均值定理 如果a ,b ∈R +,那么 ,当且仅当a=b 时,等号成立. 均值定理可以表述为: . 均值不等式的使用条件:尝试分别用代数法和几何法证明均值定理. 代数法: 几何法:例1 已知x ,y ∈R +,求证:y x +xy≥2,并推导出不等式中等号成立的条件.变式训练1 已知a ,b ∈R +,求证:(a +1a )(b +1b )≥4.例2 (1)已知矩形的面积为100,则这个矩形的长、宽各为多少时,矩形的周长最短?最短周长是多少?(2)已知矩形的周长为36,则这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是多少?变式训练2 已知x ∈(-1,3),求y=(1+x )(3-x )的最大值,以及y 取最大值时x 的值.核心素养专练1.已知a ,b ,c 为不全相等的正数,求证:a+b+c>√ab +√bc +√ac .2.求函数y=2-4x-x (x>0)的最大值及相应的x.课后作业课本第76页练习A .参考答案自主预习正实数,a+b2,√ab ,大于或等于 知识点二 1.a ,b ∈R +,≥,均值 2.(1)正实数 (2)定值,定值3.(1)x=y 最大值 (2)x=y 最小值 课堂探究a+b2≥√ab ,两个正实数的算数平均数大于等于它们的几何平均数. 例1 证明:∵x ,y ∈R +,∴x y >0,yx>0.∴y x +x y ≥2√y x ·x y =2,即y x +xy ≥2,当且仅当x=y 时等号成立.变式训练1 证明:∵a ,b ∈R +,∴1a ,1b∈R +.∴a+1a ≥2√a ·1a =2,b+1b ≥2√b ·1b =2. ∴(a +1a )(b +1b )≥4.当且仅当a=1a,b=1b,即a=b=1时等号成立. 例2 解:(1)设矩形的长为x ,则宽为100x,则矩形的周长l=2(x +100x )≥2×2√x ·100x=40,当且仅当x=100x,即x=10时等号成立,因此,当矩形的长和宽都是10时,它的周长最短,最短周长为40.(2) 设矩形的长为x ,则宽为36-2x2=18-x ,则矩形的面积S=x (18-x )≤(x+18-x 2)2=81,当且仅当x=18-x ,即x=9时等号成立,因此,当矩形的长宽都是9时,它的面积最大,最大面积为81.变式训练2 解:因为x ∈(-1,3),所以1+x>0,3-x>0. 所以y=(1+x )(3-x )≤[(1+x)+(3-x)2]2=4, 当且仅当1+x=3-x ,即x=1时等号成立. 因此y 的最大值是4,此时x 是1.核心素养专练1.解:∵a ,b c 为不全相同的正数,∴a+b>2√ab ,b+c>2√bc ,a+c>2√ac , ∴a+b+b+c+a+c>2√ab +2√bc +2√ac . ∴a+b+c>√ab +√bc +√ac .2.解:∵x>0,∴y=2-4x -x=2-(4x+x)≤2-2√4x·x=-2.当且仅当4x=x,即x=2时等号成立.因此y的最大值是-2,此时x=2.课后作业。
人教B版(2019)数学必修(第一册)：2.2.4 均值不等式及其应用 学案
均值不等式及其应用【学习目标】掌握基本不等式ab ≤a ＋b2（a ，b ≥0）．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．【学习重难点】均值不等式的应用．【学习过程】 【第1课时】一、自主学习知识点一：数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 1．数轴上两点之间的距离公式一般地，如果A （a ），B （b ），则线段AB 的长为AB ＝|a －b |． 2．中点坐标公式如果线段AB 的中点M 的坐标为x ．若a <b ，如图所示，则M 为x ＝a ＋b 2． 知识点二：基本不等式（1）重要不等式：对于任意实数a 、b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．（2）a >0，b >0），当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2和ab 分别叫做正数a ，b 的算术平均数和几何平均数．2a b+≤（a ，b ∈R ＋）的应用： （1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a >0，b >0，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤M 24，当且仅当a ＝b 时等号成立．即：a ＋b ＝M ，M 为定值时，（ab ）max ＝M 24．（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a >0，b >0，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，当且仅当a ＝b 时等号成立．基础自测：1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是（）A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2abC．1a＋1b>2abD．ba＋ab≥2解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2ba·ab，即ba＋ab≥2成立．答案：D2．若a>1，则a＋1a－1的最小值是（）A．2B．aC．2aa－1D．3解析：a>1，所以a－1>0，所以a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1＝3．当且仅当a－1＝1a－1即a＝2时取等号．答案：D3．下列不等式中，正确的是（）A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC．ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错误；由基本不等式可知D 项正确．答案：D4．已知x ，y 都是正数．（1）如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________． （2）如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：（1）x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．（2）xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254， 即xy 的最大值是2254．当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 答案：（1）215 （2）2254 二、素养提升题型一：对基本不等式的理解例1：（1）下列不等式中，不正确的是（ ） A ．a 2＋b 2≥2|a ||b |B ．a 2b ≥2a －b （b ≠0）C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≥2ab －1（b ≠0）D ．2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2（2）给出下列命题：①若x ∈R ，则x ＋1x ≥2；②若a <0，b <0，则ab ＋1ab ≥2；③不等式y x ＋xy ≥2成立的条件是x >0且y >0．其中正确命题的序号是________．解析：（1）A 中，a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a ||b |，所以A 正确．由a 2＋b 2≥2ab ，得a 2≥2ab －b 2．B中，当b <0时，a 2b ≤2a －b ，所以B 不正确．C 中，b ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≥2ab －1，所以C 正确．D 中，由a 2＋b 2≥2ab ，得2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2，所以D 正确．1．举反例、基本不等式⇒逐个判断． 2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断． 答案：（1）B解析：（2）只有当x >0时，才能由基本不等式得到x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，故①错误；当a <0，b <0时，ab >0，由基本不等式可得ab ＋1ab ≥2ab ·1ab ＝2，故②正确；由基本不等式可知，当y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2y x ·xy ＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故③错误．基本不等式的两个关注点（1）正数：指式子中的a ，b 均为正数， （2）相等：即“＝”成立的条件． 答案：（2）②跟踪训练1：设0<a <b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D ．ab <a <a ＋b2<b解析：0<a <b ⇒a 2<ab <b 2⇒a <ab <b ，0<a <b ⇒2a <a ＋b <2b ⇒a <a ＋b 2<b ，又ab <a ＋b2，所以a <ab <a ＋b2<b ．答案：B利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．题型二：利用基本不等式求最值例2：已知x >0，求y ＝x ＋1x 的最小值，并说明x 为何值时y 取得最小值． 解析：因为x >0，所以根据均值不等式有 x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，其中等号成立当且仅当x ＝1x ，即x 2＝1，解得x ＝1或x ＝－1（舍）．因此x ＝1时，y 取得最小值2． 三、教材反思1．利用基本不等式求最值的策略2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．跟踪训练2：（1）已知x >0，y >0，且x ＋y ＝8，则（1＋x ）（1＋y ）的最大值为（ ） A ．16 B ．25 C ．9 D ．36（2）若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值（ ） A ．3 B ．4C ．92D ．112解析：（1）因为x >0，y >0，且x ＋y ＝8，所以（1＋x ）（1＋y ）＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝9＋42＝25， 因此当且仅当x ＝y ＝4时， （1＋x ）·（1＋y ）取最大值25．（2）因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，所以x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0． 设x ＋2y ＝t >0，所以t ＋14t 2－8≥0， 所以t 2＋4t －32≥0， 即（t ＋8）（t －4）≥0， 所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4． 答案：（1）B ；（2）B 状元随笔1．展开（1＋x ）（1＋y ）⇒将x ＋y ＝8代入⇒用基本不等式求最值．2．利用基本不等式得x ＋2y ＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－8≥0⇒设x ＋2y ＝t>0，解不等式求出x ＋2y 的最小值．易错点：利用基本不等式求最值例：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是（ ）A ．245B ．285C ．5D ．6错解：由x ＋3y ＝5xy ⇒5xy ≥23xy ，因为x >0，y >0，所以25x 2y 2≥12xy ，即xy ≥1225． 所以3x ＋4y ≥212xy ≥212·1225＝245，当且仅当3x ＝4y 时取等号，故3x ＋4y 的最小值是245．错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．正解：由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝（3x ＋4y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y5x≥135＋23x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5．答案：C 四、课时作业（一）选择题1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a 、b 同号即可，∴①③④均可以． 答案：C2．已知t >0，则y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为（ ）A ．－1B ．－2C ．2D ．－5解析：依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t （t >0）的最小值是－2．答案：B3．若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则（ ）A ．ab ≤12B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤3解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴（a 2＋b 2）＋（a 2＋b 2）≥（a 2＋b 2）＋2ab ， 即2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2＝4， ∴a 2＋b 2≥2． 答案：C4．若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b＝2a >0时取等号．答案：C （二）填空题5．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是________．解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0时“＝”成立，此时a ＝1． 答案：a ＝16．设a ＋b ＝M （a >0，b >0），M 为常数，且ab 的最大值为2，则M 等于________． 解析：因为a ＋b ＝M （a >0，b >0），由基本不等式可得，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝M 24， 因为ab 的最大值为2，所以M 24＝2，M >0，所以M ＝22． 答案：227．已知x >0，y >0，且1y ＋3x ＝1，则3x ＋4y 的最小值是________． 解析：因为x >0，y >0，1y ＋3x ＝1，所以3x ＋4y ＝（3x ＋4y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝13＋3x y ＋12y x ≥13＋3×2x y ·4yx ＝25（当且仅当x ＝2y ＝5时取等号），所以（3x ＋4y ）min ＝25． 答案：25（三）解答题8．已知x <54，求f （x ）＝4x －2＋14x －5的最大值．解析：因为x <54，所以4x －5<0，5－4x >0．f （x ）＝4x －5＋3＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－＋3＝1． 当且仅当5－4x ＝15－4x时等号成立， 又5－4x >0，所以5－4x ＝1，x ＝1．所以f （x ）max ＝f （1）＝1．9．已知函数f （x ）＝4x ＋ax （x >0，a >0）在x ＝3时取得最小值，求a 的值．解析：因为f （x ）＝4x ＋a x ≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f （x ）取得最小值． 又因为x ＝3，所以a ＝4×32＝36．尖子生题库：10．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，求函数y ＝1x ＋81－2x的最小值． 解析：y ＝22x ＋81－2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x ＋81－2x ·（2x ＋1－2x ）＝10＋2·1－2x 2x ＋8·2x 1－2x ，而x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2·1－2x 2x ＋8·2x 1－2x ≥216＝8，当且仅当2·1－2x 2x ＝8·2x 1－2x，即x ＝16∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时取到等号，则y ≥18，所以函数y ＝1x ＋81－2x的最小值为18．【第2课时】一、素养提升题型一：利用基本不等式证明不等式例1：已知a 、b 、c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ．解析：∵a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0， ∴a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ．当且仅当a 2b ＝b 时等号成立． b 2c ＋c ≥2b 2c ·c ＝2b ．当且仅当b 2c ＝c 时等号成立． c 2a ＋a ≥2c 2a ·a ＝2c ，当且仅当c 2a ＝a 时等号成立．相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ．判断a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0 证a 2b ＋b≥2a 证b 2c ＋c≥2b 证c 2a ＋a≥2c得所证不等式方法归纳：（1）在利用a ＋b ≥2ab 时，一定要注意是否满足条件a >0，b >0．（2）在利用基本不等式a ＋b ≥2ab 或a ＋b2≥ab （a >0，b >0）时要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．（3）另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用． 跟踪训练1：已知x >0，y >0，z >0．求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8．证明：因为x >0，y >0，z >0， 所以y x ＋z x ≥2yzx >0， x y ＋z y ≥2xzy >0， x z ＋y z ≥2xyz >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．分别对y x ＋z x ，x y ＋z y ，x z ＋yz 用基本不等式⇒同向不等式相乘． 题型二：利用基本不等式解决实际问题例2：（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？分析：在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．解析：（1）设矩形的长与宽分别为x 与y ，依题意得xy ＝100．因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ＝10，所以2（x ＋y ）≥40．当且仅当x ＝y 时，等号成立，由⎩⎨⎧ x ＝y ，xy ＝100可知此时 x ＝y ＝10．因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．（2）设矩形的长与宽分别为x 与y ，依题意得2（x ＋y ）＝36，即x ＋y ＝18．因为x >0，y >0，所以182＝x ＋y 2≥xy ， 因此xy ≤9，即xy ≤81．当且仅当x ＝y 时，等号成立，由⎩⎨⎧x ＝y ，x ＋y ＝18可知此时 x ＝y ＝9．因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．二、教材反思利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值．（4）正确写出答案．跟踪训练2：某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解析：（1）设该船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×n ＋n n －12×4 ＝－2n 2＋40n －98＝－2（n －10）2＋102，∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（2）年平均利润为y n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12， 当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．状元随笔1．盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成．2．利用基本不等式求平均利润．三、课时作业（一）选择题1．已知a ，b ，c ，是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12解析：∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c （a ＋b ＋c ）＝3＋a b ＋b a ＋a c ＋c a ＋b c ＋c b ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：C2．(3－a )(a ＋6)（－6≤a ≤3）的最大值为（ ）A ．9B．9 2C．3D．32 2解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时，等号成立．答案：B3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为4.5m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（）A．9.5mB．10mC．10.5mD．11m解析：不妨设直角三角形两直角边长分别为a，b，则ab＝9，注意到直角三角形的周长为l＝a＋b＋a2＋b2，从而l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝6＋32≈10.24，当且仅当a＝b＝3时，l取得最小值．从最节俭的角度来看，选择10.5m．答案：C4．已知函数y＝x－4＋9x＋1（x>－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）A．－3 B．2 C．3 D．8解析：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5．由x>－1，得x＋1>0，9x＋1>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2(x＋1)×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3．答案：C（二）填空题5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y （单位：万元）与机器运转时间x （单位：年）的关系为y ＝－x 2＋18x －25（x ∈N *），则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：86．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 解析：设xy ＝t （t >0），由xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，即t 2≥22t ＋6，（t －32）（t ＋2）≥0，∴t ≥32，则xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，2x ＋y ＋6＝xy ，即x ＝3，y ＝6时等号成立，∴xy 的最小值为18．答案：187．某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q 2%，若p >q >0，则提价多的方案是________．解析：设原价为1，则提价后的价格为方案甲：（1＋p %）（1＋q %），方案乙：⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2， 因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %＋1＋q %2＝1＋p ＋q 2%， 且p >q >0， 所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q 2%，即（1＋p %）（1＋q %）<⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2， 所以提价多的方案是乙．答案：乙（三）解答题8．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9． 证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9． ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9（当且仅当a ＝b ＝12时等号成立）． 9．桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S 平方米，其中a ：b ＝1：2．（1）试用x ，y 表示S ； （2）若要使S 最大，则x ，y 的值各为多少？解析：（1）由题可得，xy ＝1800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋6＝3a ＋6，S ＝（x －4）a ＋（x －6）b ＝（3x －16）a ＝（3x －16）y －63＝1832－6x －163y （x >6，y >6，xy ＝1800）．（2）方法一：S ＝1832－6x －163y ≤1832－26x ×163y ＝1832－480＝1352，当且仅当6x ＝163y ，xy ＝1800，即x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值1352．方法二：S ＝1832－6x －163×1 800x ＝1832－⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋9 600x ≤1832－26x ×9 600x ＝1832－480＝1352，当且仅当6x ＝9 600x ，即x ＝40时取等号，S 取得最大值，此时y ＝1 800x ＝45． 尖子生题库：10．已知a >b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22（a －b ）．证明：∵a >b ，∴a －b >0，又ab ＝1，∴a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2＋2ab －2ab a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b＝a －b ＋2a －b ≥2(a －b )·2a －b＝22，即a 2＋b 2a －b ≥22，即a 2＋b 2≥22（a －b ），当且仅当a －b ＝2a －b，即a －b ＝2时取等号．。
2020数学 必修 第一册 人教B版(新教材)第二章 2.2.4 第一课时 均值不等式
2.2.4 均值不等式及其应用第一课时 均值不等式教材知识探究如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车.问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？提示 由图可知①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”.1.算术平均值与几何平均值(1)两个正数的算术平均值、几何平均值定义给定两个正数a，b，数_______称为a，b的算术平均值；数_____称为a，b的几何平均值.(2)均值不等式如果条件改为a≥0，b≥0，均值不等式仍成立a＝b2.重要不等式已知a，b∈R，则有(1)a2＋b2≥2ab；(2)(a＋b)2≥4ab；(3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2；当且仅当a＝b时，等号成立.教材拓展补遗[微判断]×√√[微训练]1.不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________.解析 当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，等号成立.答案 a＝12.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________(填序号).答案 ③[微思考]题型一 利用均值不等式比较大小【例1】 设0<a<b，则下列不等式中正确的是( )答案 B规律方法 利用均值不等式比较实数大小的注意事项(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.【训练1】 比较大小：________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).答案 ≥题型二【例2】 已知a ，b ，c 为正数，且用均值不等式证明不等式当代数式含有三项或多项时，要拆分成部分能利用均值不等式的形式a ＋b ＋c ＝1“1”的代换是常用转化技巧规律方法 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.证明 因为a，b，c全不相等，题型三 均值不等式的变形应用【例3】 (1)设a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：证明 (1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)≥2ab＋2bc＋2ca.∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时等号成立).规律方法几个重要的不等式一、素养落地1.通过学习均值不等式培养数学抽象素养，通过运用均值不等式进行证明提升数学运算及逻辑推理素养.3.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.二、素养训练1.下列不等式成立的是( )答案 A2.若0<a<b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.∵0<a<b且a＋b＝1，答案 B答案 ≥4.设a>0，b>0，给出下列不等式：其中恒成立的是________(填序号).答案 ①②③5.已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.证明 ∵a＋b＋c＝1，∴(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)本节内容结束。
2019-2020新人教B版数学必修1第2章 2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时 均值不等式1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值．2．均值不等式(1)当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； (2)均值不等式的常见变形①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ； ②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0B [当a 2＋1＝2a ，即(a －1)2＝0，即a ＝1时“＝”成立．] 2．已知a ，b ∈(0,1)，且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2abC ．2abD ．a ＋bD [∵a ，b ∈(0,1)，∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab (a ≠b )， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b .又∵a ＋b ＞2ab (a ≠b )，∴a ＋b 最大．]3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8B [∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.]4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab .③ [根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]【例1】①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4； ③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③B [①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确．②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的． ③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]1．均值不等式ab ≤a ＋b2 (a ＞0，b ＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： (1)定理成立的条件是a ，b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4； ③若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.② [ ①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]【例2( )A．a＋b≥2ab B.ba＋ab≥2C.a2＋b2ab≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[(1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.2．如果0＜a＜b＜1，P＝a＋b2，Q＝ab，M＝a＋b，那么P，Q，M的大小顺序是()A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞PB [显然a ＋b2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b⎝⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞(a ＋b )24也就是a ＋b 4＜1可得，所以a ＋b ＞a ＋b 2＞ab .故M ＞P ＞Q .]【例3】 已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9.[思路点拨] 看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·ab ＋2c a ·ac ＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2 ＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c >9.本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8.[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋， 且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8.1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. [证明] 由均值不等式可得 a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7. [证明] 由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1(a ＞1)，则a ＋2b ＝a ＋6aa －1＝a ＋6(a －1)＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝(a －1)＋6a －1＋7≥26＋7， 当且仅当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号．1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b2.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构.1．思考辨析(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)若a ≠0，则a ＋1a≥2a ·1a＝2.( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) [提示] (1)任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a ＝2成立．(3)因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. [答案] (1)× (2)× (3)√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －b <0 B ．0<ab <1 C.ab <a ＋b2D ．ab >a ＋bC [∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．] 3．不等式9x －2＋(x －2)≥6(其中x ＞2)中等号成立的条件是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝－3 C ．x ＝5D ．x ＝－5C [由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去)．] 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b . [证明] ∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .。
(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.2.4.1 均值不等式 (含答案)
2．2.4 均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值．前提给定两个正数a，b结论数a＋b2称为a，b的算术平均值数ab 称为a，b的几何平均值(2)均值不等式前提a，b都是正数，结论a＋b2≥ab ，等号成立的条件当且仅当a＝b时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．(3)本质：算数平均值的本质就是数a ，b 在数轴上对应点的中点坐标．几何平均值的本质就是a ，b 乘积的开方．均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值． (4)应用：应用均值不等式求最值．(1)均值不等式中的a ，b 只能是具体的某个数吗？ 提示：Xa ，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式．(2)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4）2 ≥（－3）×（－4） 是不成立的． 2．均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”“二定”“三相等”．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的．( )提示：×．不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b2 ≥ab成立的条件是a >0，b >0.(2)当a >0，b >0时a ＋b ≥2ab .( ) 提示：√．均值不等式的变形公式．(3)当a >0，b >0时ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2.( ) 提示：√．均值不等式的变形公式． (4)函数y ＝x －1＋1x －1的最小值是2.( )提示：×．当x －1<0，即x ＜1时，x －1＋1x －1 是负数．2．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．4【解析】选A.当a ，b 为正实数时，由ab ≤a ＋b 2 ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2＝1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以ab 的最大值为1. 3．(教材例题改编)已知x >1，y ＝x ＋1x －1 ，则y 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.因为x >1，则x －1>0，由基本不等式得y ＝x －1＋1x －1＋1≥2（x －1）·1x －1＋1＝3，当且仅当x ＝2时，等号成立，因此，y 的最小值是3.类型一 对均值不等式的理解(数学抽象)1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0.其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”，即当ba ，ab 均为正数时，可得b a ＋ab ≥2，此时只需a ，b 同号即可，所以①③④均满足要求．2．不等式a ＋1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝12 C ．a ＝1 D ．a ＝2【解析】选C.因为a >0，根据均值不等式ab ≤a ＋b2 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2 a 中等号成立当且仅当a ＝1. 3．若a >0，b >0，且M ＝a ＋b2 ，G ＝ab ，H ＝a 2＋b 22 ，则M ，G ，H 的大小关系为________．【解析】因为a >0，b >0，所以有a ＋b2 ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，因此有M ≥G .a 2＋b 2≥2ab ⇒a 2＋b 2＋a 2＋b 2≥2ab ＋a 2＋b 2⇒a 2＋b 2≥（a ＋b ）22 ⇒a 2＋b 22 ≥（a ＋b ）24(当且仅当a ＝b 时取等号)，因为a >0，b >0，所以有a 2＋b 22 ≥a ＋b2 ，因此有H ≥M . 答案：H ≥M ≥G均值不等式使用的条件利用均值不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是，要判断参数是否为正；“二定”是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等”是，一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).【补偿训练】设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a<b<ab <a ＋b 2 B ．a<ab <a ＋b2 <b C ．a<ab <b<a ＋b 2 D ．ab <a<a ＋b2 <b【解析】选B .因为0<a<b ，所以0< a < b ，所以a<ab ，同样由0<a<b 得a 2 <b 2 ，所以a ＋b 2 <b ，由均值不等式可得，ab <a ＋b 2 ，综上，a<ab <a ＋b2 <b.类型二 利用均值不等式求最值(数学运算)【典例】当x>1时，求x 2＋8x －1 的最小值．探求解书写表达令t＝x2＋8x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋9x－1＝(x－1)＋9x－1＋2，①因为x－1＞0，所以t≥2（x－1）·9x－1＋2＝8，当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时，t的最小值为8.②注意书写的规范性：①为了表达式的完整性，可以将表达式记为t＝x2＋8x－1②步骤中不能省略验证等号成立的条件题后反思表达式的恒等变形是解题的关键，ax2＋bx＋cdx＋e(ad≠0)形式的表达式通常分母不变，将分子化为m(dx＋e)2＋n(dx＋e)＋q的形式(m，n，q为常数)并展开，再利用均值不等式求解，均值不等式的应用必须一正、二定、三相等，三者缺一不可利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点(1)两种类型：①若a＋b＝p(两个正数a，b的和为定值)，则当a＝b时，积ab有最大值p24，可以用均值不等式ab ≤a＋b2求得．②若ab＝S(两个正数的积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2S ，可以用均值不等式a＋b≥2ab 求得．(2)一个关注点：不论哪种情况都要注意等号取得的条件．(2021·潍坊高一检测)规定记号“⊙”表示一种运算，即a⊙b＝ab ＋a ＋b(a，b为正实数).若1⊙k＝3，则k的值为________，此时函数y＝k⊙xx的最小值为________．【解析】由题意得1⊙k＝k ＋1＋k＝3，即k＋k －2＝0，所以k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k＝1.y＝k⊙xx ＝x＋x＋1x＝1＋x ＋1x≥1＋2x×1x＝3，当且仅当x ＝1x，即x＝1时，等号成立．答案：1 3【拓展延伸】1.一次式除以二次式形式的表达式的最值的求法(1)分子一次形式不变，将分母的二次形式改写为分子一次形式的平方或者一次形式的几倍或者常数形式．(2)分子分母同除以分子后利用均值不等式求解．2．利用均值不等式求解整式形式的最值(1)判断所求表达式中未知量的正负．(2)直接使用均值不等式求解，特别注意最后要进行等号成立时的未知量的检验．【拓展训练】对任意x>0，xx 2＋3x ＋1的最大值为________．【解析】由题意，对任意x>0，有x x 2＋3x ＋1 ＝1x 2＋3x ＋1x ＝1x ＋1x ＋3≤12x·1x ＋3 ＝15 ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立， 即x x 2＋3x ＋1 的最大值为15 . 答案：15总结：本题主要考查了均值不等式的应用，解答中对xx 2＋3x ＋1 进行等价转化求得最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．类型三 间接利用均值不等式求最值“不正”问题【典例】已知x<0，则3x ＋12x 的最大值为________． 【思路导引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值． 【解析】因为x<0，所以－x>0.则3x ＋12x ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12－x ＋（－3x ） ≤－212（－x ）·（－3x ） ＝－12，当且仅当12－x＝－3x ，即x ＝－2时，3x ＋12x 取得最大值为－12. 答案：－12若条件改为“x<1”，结论改为“则3(x －1)＋12x －1 的最大值为________．”如何求解？【解析】因为x<1，所以x －1<0，故－(x －1)>0，所以3(x －1)＋12x －1 ＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3（x －1）＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x －1 ≤ －2－3（x －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12x －1 ＝－12，当且仅当－3(x －1)＝－12x －1 ，即x ＝－1时，3(x －1)＋12x －1 取得最大值－12.答案：－12“不定”问题【典例】(1)已知x>2，求x ＋1x －2的最小值．【思路导引】先对式子变形，凑定值后再利用均值不等式求最值． 【解析】(1)因为x>2，所以x －2>0，所以x ＋1x －2 ＝x －2＋1x －2 ＋2≥2（x －2）⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －2 ＋2＝4，所以当且仅当x －2＝1x －2 (x>2)，即x ＝3时，x ＋1x －2 的最小值为4.(2)已知0<x<4，求x(8－2x)的最大值．【解析】因为0<x<4，所以8－2x>0，所以x(8－2x)＝12 ×2x(8－2x)≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋8－2x 2 2 ＝8， 所以当且仅当2x ＝8－2x ()0<x<4 ， 即x ＝2时有最大值，x(8－2x)的最大值为8.若把本例(1)改为：已知x<54 ， 试求4x －2＋14x －5的最大值．【解析】因为x<54 ，所以4x －5<0，5－4x>0. 所以4x －5＋3＋14x －5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x 时等号成立，又5－4x>0，所以5－4x ＝1，x ＝1时，4x －2＋14x －5的最大值是1.1．负数在均值不等式中的应用当所给式子均小于0时，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化．2．通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提．1．(2021·宜春高一检测)已知两个正数a ，b 满足3a ＋2b ＝1，则3a ＋2b 的最小值是( )A ．23B ．24C ．25D ．26【解析】选C .根据题意，正数a ，b 满足3a ＋2b ＝1， 则3a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫6a b ＋6b a≥13＋26a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝15 时等号成立． 即3a ＋2b 的最小值是25.2．不等式9x －2 ＋(x －2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5【解析】选C .由均值不等式知等号成立的条件为9x －2 ＝x －2，即x ＝5(x ＝－1舍去).3．已知x<0，则x ＋94x 的最大值是________．【解析】已知x<0，则x ＋94x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋9－4x ≤－294 ＝－3，当－x ＝9－4x，即x ＝－32 时，等号成立．答案：－3【补偿训练】(2020·潍坊高一检测)设a>b>0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选D .因为a>b>0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝ab ＋1ab ＋a(a －b)＋1a （a －b ） ≥2＋2＝4，(当且仅当ab ＝1且a(a －b)＝1即a ＝ 2 ，b ＝22 时，取“＝”号)，故应选D .备选类型 “不等”问题【典例】下列命题中，正确的是( ) A ．x ＋4x 的最小值是4B ．x 2＋4 ＋1x 2＋4的最小值是2C ．如果a>b ，c>d ，那么a －c>b －dD ．如果ac 2>bc 2，那么a>b【思路导引】利用均值不等式和对勾函数的性质，以及不等式的性质，分别对四个选项进行判断，得到答案．【解析】选D .选项A 中，若x<0，则无最小值，所以错误；选项B 中，t ＝x 2＋4 ≥2，则函数y ＝x 2＋4 ＋1x 2＋4转化为函数y ＝t ＋1t ，在[2，＋∞)上单调递增，所以最小值为52 ，所以错误； 选项C 中，若a ＝c ，b ＝d ，则a －c ＝b －d ，所以错误； 选项D 中，如果ac 2>bc 2，则c≠0，所以c 2>0，所以可得a>b.运用均值不等式解“不等”问题(1)观察运用均值不等式求最值的表达式是否满足一正二定； (2)使用均值不等式，检验等号是否成立，成立即运用均值不等式，否则结合单调性加以求解．下列各式中，最小值是2的为( )A ．(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1B ．(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2C ．(x 2＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1 D ．x 2＋3 ＋1x 2＋3【解析】选C .选项A ，只有当x ＋1>0，即x ＞－1时，才有(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1≥2（x ＋1）·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 ＝2(当且仅当x ＝0时取等号)成立，此时(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 的最小值为2，当x ＋1<0，即x<－1时，(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1 没有最小值，因此选项A 是错误的；选项B ，只有当x ＋2>0，即x ＞－2时，才有(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 ≥2（x ＋2）·1（x ＋2）＝2(当且仅当x ＝－1时取等号)成立，此时(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 的最小值为2，当x ＋2<0，即x ＜－2时，(x ＋2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋2 没有最小值，因此选项B 是错误的；选项C ，因为x 2＋1>0，所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 ≥ 2⎝⎛⎭⎫x 2＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 ＝2(当且仅当x ＝0时取等号)，因此⎝⎛⎭⎫x 2＋1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2＋1 的最小值为2，所以本选项是正确的； 选项D ，因为x 2＋3 >0，所以x 2＋3 ＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，x 2＋3 ＝1x 2＋3⇒x 2＋3＝1⇒x 2＝－2方程无实数根，故不等式取不到等号，因此本选项是错误的．1．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4【解析】选C.xy ≤x 2＋y 22 ＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．2．(2021·烟台高一检测)已知a >0，b >0，若不等式4a ＋1b ≥ma ＋b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．10B ．12C ．16D ．9【解析】选D.由已知a >0，b >0，若不等式4a ＋1b ≥ma ＋b恒成立，所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )恒成立，转化成求y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )的最小值，y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝5＋4b a ＋ab ≥5＋24b a ·ab ＝9，当且仅当a ＝2b 时等号成立，所以m ≤9.3．(教材练习改编)已知x>3，y ＝x 2－3x ＋1x －3 ，则y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】选D .因为x>3，所以x －3>0，则y ＝x 2－3x ＋1x －3＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2（x －3）×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时取等号． 4．已知0<x<4，则4x ＋14－x 的最小值为________，此时x ＝________．【解析】因为x ＋4－x4 ＝1，且0<x<4，所以4x ＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋14－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4＋4－x 4 ＝54 ＋x 4（4－x ） ＋4－x x ≥54 ＋2x 4（4－x ）·4－x x ＝94 ，当且仅当x ＝83 时等号成立．答案：94 835．若a>0，b>0且2a ＋1b ＝3，则ab 的最大值为________． 【解析】因为a>0，b>0，所以2a ＋1b ＝3≥22a b ，当且仅当2a ＝1b ，即a ＝34 ，b ＝23 时，等号成立，所以a b ≤98 . 答案：98。
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.4 第1课时 均值不等式
比较两个数或式子的大小时,往往要综合应用作差(商)比较法、分析法、
综合法等多种方法.应用均值不等式时,可能应用公式的原形,也可能应用
其变形公式.
【变式训练2】 若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式:
①ab≤1;② + ≤ 2;③a +b ≥2;④a +b
2
是
.(填序号)
2
3
1
≥3;⑤
x+ =-[(-x)+ ]≤-2
-
1
时,x+ ≥2
1
(-)· =-2.故
-
答案:(-∞,-2]∪[2,+∞)
1
· =2;当
x<0 时,
1
x+ 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
当利用a+b≥2 求值或取值范围时,一定要注意公式成立的前提是a,b为
正数,等号成立的条件是a=b.
4
3· =4
值为
3,当且仅当
.
4
3x= 时,等号成立.
1
1
3.已知a,b均为正实数,且a+b=1.若α=a+ ,β=b+
是
.
1
1
+
1
解析:α+β=a+ +b+ =(a+b)+ =1+ .
∵a+b≥2 ,
∴ab≤
+ 2
2
=
1 2
2
=
1
∴α+β=1+ ≥1+4=5.
2020-2021学年新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第1课时 均值不等式 学案
2.2.4 均值不等式及其应用素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b >0)求最值的常用方法及需注意的问题.1．注意从数与形的角度来审视均值不等式，体会数形结合思想的应用．2．通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解．3．注重均值不等式的变形，体会其特征，强化记忆.第1课时 均值不等式必备知识·探新知基础知识1．均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值.前提 给定两个正数a ，b 结论数a ＋b2称为a ，b 的__算术平均值__ 数ab 称为a ，b 的几何平均值(2)前提 __a ，b __都是正数结论 a ＋b2≥ab 等号成立的条件 当且仅当a ＝b 时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 提示：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b >0.(2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法．(4)都可以用来求最值． 2．均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 思考2：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．基础自测1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y ≥2成立的条件为( B )A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B ．3．如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是__4__.解析：因为a >0，所以a ＋1a ＋2≥2a ·1a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1a，即a ＝1(－1舍)时取等号．4．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为__14__，此时x ＝__12__.解析：因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝(12)2＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时“＝”成立，即当x ＝12时，x (1－x )取得最大值14.5．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是__2__.解析：xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．关键能力·攻重难类型 对均值不等式的理解 ┃┃典例剖析__■典例1 (1)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2(2)不等式a ＋1≥2a (a >0)中等号成立的条件是( C ) A ．a ＝0 B ．a ＝12C ．a ＝1D ．a ＝2思路探究：(1)使用均值不等式的前提条件是a >0，b >0；(2)均值不等式中，等号成立的条件是a ＝b .解析：(1)对于A 项，当a ＝b 时，应有a 2＋b 2＝2ab ，所以A 项错；对于B ，C ，条件ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D 项，因为ab >0，所以b a ，a b >0，所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. (2)因为a >0，根据均值不等式ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2a 中等号成立当且仅当a ＝1.归纳提升：在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等” 一正，a ，b 均为正数； 二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a ＝b 有解． ┃┃对点训练__■1．若a ，b ∈R ，则下列不等式恒成立的是( C ) A ．|a ＋b |2≥|ab |B ．b a ＋a b≥2C ．a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2D ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4解析：令a ＝－2，b ＝2，则A 错误，B 也错误，D 也错误． 对于C ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2a 2＋2b 2≥a 2＋b 2＋2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，故C 正确．类型 利用均值不等式求最值 ┃┃典例剖析__■ 1．和为定值求积的最值典例2 已知0<x <13，求代数式x (1－3x )的最大值．思路探究：由题可知1－3x >0，配凑x 的系数，易知3x ＋(1－3x )为定值1，则可以利用均值不等式求解．解析：∵0<x <13，∴1－3x >0.∴x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112.归纳提升：求两数积的最值时，一般需要已知这两数的和为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和为定值，再利用均值不等式求最值，变形后仍要求满足“一正、二定、三相等”．2．积为定值求和的最值典例3 (1)已知x >54，求代数式4x －2＋14x －5的最小值；(2)已知x <54，求代数式4x －2＋14x －5的最大值．思路探究：(1)由x >54，得4x －5>0，且(4x －5)·14x －5为定值1，故把4x －2＋14x －5改写成4x －5＋14x －5＋3即可．(2)由于x <54，得4x －5<0，故求的不是最小值，而是最大值，故要做两方面的转化，一是将负数转化为正数，另一方面需要将两式变形，使两数积为定值，再利用均值不等式解答．解析：(1)∵x >54，∴4x －5>0，∴4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥2(4x －5)·14x －5＋3＝5，当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．∴当x ＝32时，4x －2＋14x －5取得最小值5.(2)∵x <54，∴4x －5<0，∴5－4x >0，∴4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x )＋15－4x ]＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时取等号．故当x ＝1时，4x －2＋14x －5取得最大值1.归纳提升：在利用均值不等式求两数和的最值时，若“一正、二定、三相等”中的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式．转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等．3．变换技巧“1”的代换典例4 已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．思路探究：要求x ＋y 的最小值，根据均值不等式，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，可进行“1”的代换，也可以“消元”等．解析：方法一：(“1”的代换)： ∵1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·(1x ＋9y )＝10＋y x ＋9xy .∵x >0，y >0，∴y x ＋9xy≥2y x ·9xy＝6，则x ＋y ≥16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 方法二：(消元法)： 由1x ＋9y ＝1，得x ＝y y －9. ∵x >0，y >0，∴y －9>0.∴x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝(y －9)＋9y －9＋10.∵y －9>0，∴y －9＋9y －9≥2(y －9)·9y －9＝6，则x ＋y ≥16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号，此时x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 归纳提升：常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用均值不等式求最值． ┃┃对点训练__■2．(1)已知x >0，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( B )A ．8B ．9C ．10D ．11(2)当x >1时，x 2＋8x －1的最小值为__8__；(3)已知0<x <12，求12x (1－2x )的最大值．解析：(1)因为x >0，y >0且x ＋4y ＝1，所以1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(x ＋4y )＝1＋4y x ＋xy ＋4≥24y x ·x y ＋5＝9，当且仅当x ＝13，y ＝16时取等号．(2)令t ＝x 2＋8x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2，因为x －1>0，所以t ≥2(x －1)·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，t 的最小值为8.(3)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以12x (1－2x )＝14×2x (1－2x )≤14(2x ＋1－2x 2)2＝116，所以当且仅当2x ＝1－2x (0<x <12)，即x ＝14时，12x (1－2x )的最大值为116.课堂检测·固双基1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( C ) A ．a －b <0 B ．0<a b <1C ．ab <a ＋b 2D ．ab >a ＋b解析：因为a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．2．已知当x ＝a 时，代数式x －4＋9x ＋1(x >－1)取得最小值b ，则a ＋b ＝( C ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，由x >－1，得x ＋1>0，9x ＋1>0，所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2(x ＋1)×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.3．已知x >0，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为__3__，取得最大值时y 的值为__2__.解析：因为x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，所以xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．4．已知x >0，y >0，且xy ＝100，则x ＋y 的最小值为__20__. 解析：x ＋y ≥2xy ＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取“＝”． 5．求t ＝x ＋1x 的取值范围.解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x 即x ＝1时，“＝”成立，所以x ＋1x≥2.当x <0时，x ＋1x ＝－(－x ＋1－x )≤－2－x ·1－x＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时“＝”成立．所以x ＋1x ≤－2故t ＝x ＋1x 的取值范围为{t |t ≤－2或t ≥2}．。
学案1：2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 第1课时 均值不等式知识点 均值不等式1.给定两个正数a ，b ，数a ＋b 2称为a ，b 的算术平均值，数ab 称为a ，b 的几何平均值． 2．如果a ，b ，当且仅当 时，等号成立． 3．几何意义：所有周长一定的矩形中， 的面积最大．自主检测1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2＞2|ab | 2．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b ＞2abD ．b a ＋a b≥2 3．若x ＞0，y ＞0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( )A ．1x ＋y ＞14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy≥1 题型探究探究一 用均值不等式判断不等式的成立例1.有下列式子：①a 2＋1＞2a ；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③a ＋b ab≥2；④x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 方法提升利用均值不等式比较实数大小的注意事项(1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)．(2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a ＞0，b ＞0.跟踪训练1.设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝x (43－3x )⎝⎛⎭⎫0＜x ＜433，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ≥ND ．M ≤N 探究二 用均值不等式证明不等式例2.(1)证明不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .方法提升利用均值不等式证明不等式的注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用. 知识拓展一、千变万化，不离其宗►逻辑推理均值不等式的几种常见变形及结论(1)a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)；(2)ab ≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b ≥2(ab ＞0)； (5)a ＋k a≥2k (a ＞0，k ＞0)； (6)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b 都是正实数)．[典例] 已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝1，求证：ab ＋ac ＋bc ≤1.二、忽视均值不等式的条件►逻辑推理[典例] 设y ＝x ＋1x，求y 的取值范围．参考答案知识点梳理知识点 均值不等式2．≥ a ＝b3．正方形自主检测1．【答案】A2．【答案】D3．【答案】B题型探究探究一 用均值不等式判断不等式的成立例1.【解析】∵a 2－2a ＋1＝(a －1)2≥0，∴a 2＋1≥2a ，故①不正确；对于②，当x ＞0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取“＝”)；当x ＜0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝－x －1x ≥2(当且仅当x ＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a ＝b ＝－1，则a ＋b ab＝－2＜2，故③不正确；对于④，x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1－1≥1(当且仅当x ＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C.【答案】C跟踪训练1.【解析】M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4， N ＝x (43－3x )＝13×3x (43－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋43－3x 22＝4. ∴M ＞N .【答案】A探究二 用均值不等式证明不等式例2.(1)证明：∵a 2＋b 2≥2ab ,b 2＋c 2≥2bc ,c 2＋a 2≥2ac .∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )(当且仅当a ＝b ＝c 取等号)∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .(2)证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＞0，ac b ＞0，ab c ＞0. 则bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，bc a ＋ab c ≥2b ，ac b ＋ab c≥2a . 由不等式的性质知，2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，∴bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c . [典例] 证明：∵ab ≤a ＋b 2，bc ≤b ＋c 2，ac ≤a ＋c 2，∴ab ＋ac ＋bc ≤2(a ＋b ＋c )2＝1. 故原不等式成立．[典例]解：当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2.当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”． 当x ＜0时，y ＝x ＋1x ＝－[(－x )＋1－x], ∵(－x )＋1－x ≥2,∴－[(－x )＋1－x]≤－2. 当且仅当x ＝1x时，即x ＝－1时取“＝”． ∴y 的取值范围为{y |y ≤－2或y ≥2}.。
2.2.4(第1课时)均值不等式 学案(含答案)
2.2.4（第1课时）均值不等式学案（含答案）22..2.42.4均值不等式及其应用均值不等式及其应用第第11课时课时均值不等式均值不等式学习目标1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值知识点一算术平均值与几何平均值两个正数的算术平均值.几何平均值定义给定两个正数a，b，数ab2称为a，b的算术平均值；数ab称为a，b的几何平均值知识点二均值不等式1均值不等式如果a，b都是正数，那么ab2ab，当且仅当ab时，等号成立2几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大思考均值不等式可以有哪些变形答案当a0，b0，则ab2ab；当a0，b0，则abab22.1对任意a，bR，a2b22ab均成立2若a0，b0且ab，则ab2ab.3a，b同号时，baab2.4函数yx1x的最小值为2.一.对均值不等式的理解例1下列命题中正确的是A当a，bR 时，abba2abba2B若a0，b0，b0的两个注意点1不等式成立的条件a，b都是正数2“当且仅当”的含义当ab时，ab2ab的等号成立，即abab2ab；仅当ab时，ab2ab的等号成立，即ab2abab.跟踪训练1多选下列结论不正确的是A若xR，且x0，则4xx4B当x0时，x1x2C当x2时，x1x的最小值为2D当0x2时，2x1x的最小值为22答案AC解析对于选项A，当x0时，求12x4x的最小值；3当x0的最小值是2.2x0，12x0,4x0.12x4x212x4x83.当且仅当12x4x，即x3时，等号成立，取得最小值83，当x0时，12x4x的最小值为83.3x0.则12x4x212x4x83，当且仅当12x4x时，即x3时取等号12x4x83.当x0，y0，且xy8，则1x1y的最大值为A16B25C9D36答案B解析因为x0，y0，且xy8，所以1x1y1xyxy9xy9xy2294225，当且仅当xy4时，等号成立，1x1y取得最大值25.2若x0，则12x13x的最小值为________，若x0，所以12x13x212x13x4，当且仅当12x13x，即x16时等号成立所以x0时，12x13x的最小值为4.当x0，所以12x13x12x13x212x13x4.当且仅当x16时，等号成立所以x2，则yx4x2的最小值为________答案6解析因为x2，所以x20，所以yx4x2x24x222x24x226，当且仅当x24x2，即x4时，等号成立所以yx4x2的最小值为6.延伸探究若把本例中的条件“x2”改为“x2”，求yx4x2的最大值解因为x0，所以yx4x22x42x222x42x22，当且仅当2x42x，得x0或x4舍去，即x0时，等号成立故yx4x2的最大值为2.反思感悟通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略1拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形2代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标3拆项.添项应注意检验利用均值不等式的前提.跟踪训练31已知0x13，求yx13x的最大值；2已知x1，求yx23x4x1的最小值解10x0，yx13x133x13x133x13x22112.当且仅当3x13x，即x16时，取等号，当x16时，函数取得最大值112.2x1，x10，yx23x4x1x12x12x1x12x11221，当且仅当x12x1，即x21时，等号成立，函数y取得最小值221.三.利用均值不等式证明例4设a，b，c都是正数，求证bcacababcabc.证明a，b，c都是正数，bca，cab，abc也都是正数，bcacab2c，cababc2a，bcaabc2b，2bcacababc2abc，即bcacababcabc，当且仅当abc时，等号成立反思感悟利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项1策略从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”2注意事项多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法；对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型跟踪训练4已知a，b，c都是正实数，求证abbcca8abc.证明a，b，c都是正实数，ab2ab0，bc2bc0，ca2ca0.abbcca2ab2bc2ca8abc.即abbcca8abc，当且仅当abc时，等号成立1设ta2b，sab21，则t 与s的大小关系是AstBstCstDs0，b0Dab2ab答案AC解析a2b22abab20，a2b22ab，aba2b22，故选A，由均值不等式可知C 是其变形，C正确4若x0，则x5x______25，若x”“0时，x5x2x5x25，当且仅当x5x，即x5时取等号当x0时，x5xx5x25.当且仅当x5时取等号5已知x54，则y4x214x5的最大值为________，此时x的值是______答案11解析x0.y4x214x554x154x3254x154x3231，当且仅当54x154x，即x1时，等号成立故当x1时，y的最大值为1.1知识清单1ab2aba，b都是正数2利用均值不等式求最值3利用均值不等式证明2方法归纳拼凑法3常见误区忽视等号成立的条件；多次使用均值不等式忽略等号同时成立的条件。
人教B版必修第一册224均值不等式及其应用第1课时均值不等式学案
其次章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式素养导引1.能通过对两个正数的算术平均值与几何平均值的比拟抽象出均值不等式.(数学抽象)2.能够利用求差法推导均值不等式,理解均值不等式的几何意义.(规律推理、直观想象)3.明确均值不等式的形式及等号成立的条件,会用均值不等式解决简洁的最大值或最小值问题.(规律推理、数学运算)1．算术平均数与几何平均数前提给定两个正数a,b结论数a＋b2称为a,b的算术平均值数ab 称为a,b的几何平均值2.均值不等式前提a，b都是正数，结论a＋b2≥ab ，等号成立的条件当且仅当a＝b时，等号成立几何意义全部周长肯定的矩形中，正方形的面积最大．【批注】均值不等式使用时须满意一正、二定、三相等三个条件． [诊断]1．辨析记忆(对的打“√〞，错的打“×〞).(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的．( × )提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；不等式a ＋b 2 ≥ab成立的条件是a >0，b >0.(2)当a >0，b >0时a ＋b ≥2ab .( √ ) 提示：均值不等式的变形公式．(3)当a >0，b >0时ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2 2.( √ )提示：均值不等式的变形公式． (4)函数y ＝x －1＋1x －1的最小值是2.( × )提示：.当x －1<0，即x ＜1时，x －1＋1x －1 是负数．2．(教材P73例1改编)x >1，y ＝x ＋1x －1 ，那么y 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选C.由于x >1，那么x －1>0，由根本不等式得y ＝x －1＋1x －1＋1≥2〔x －1〕·1x －1＋1＝3，当且仅当x ＝2时，等号成立，因此，y 的最小值是3.学习任务一 对均值不等式的理解(数学抽象)1．(多项选择题)以下条件可使b a ＋ab ≥2成立的有( ) A ．ab >0B ．ab <0C ．a >0，b >0D ．a <0，b <0【解析】选ACD.依据根本不等式的条件，a ，b 同号，那么b a >0，ab >0. 2．以下不等式的推导过程正确的选项是________．①假设x >1，那么x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②假设x <0，那么x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤〔－x 〕＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2〔－x 〕·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4； ③假设a ，b ∈R ，那么b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2.【解析】①中无视了根本不等式等号成立的条件，当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，由于x >1，所以x ＋1x >2；③中无视了利用根本不等式时每一项必需为正数这一条件． 答案：②3．假设a >0，b >0，且M ＝a ＋b2 ，G ＝ab ，H ＝a 2＋b 22 ，那么M ，G ，H 的大小关系为________．【解析】由于a >0，b >0，所以有a ＋b2 ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，因此有M ≥G .a 2＋b 2≥2ab ⇒a 2＋b 2＋a 2＋b 2≥2ab ＋a 2＋b 2⇒a 2＋b 2≥〔a ＋b 〕22 ⇒a 2＋b 22 ≥〔a ＋b 〕24 (当且仅当a ＝b 时取等号)，由于a >0，b >0，所以有a 2＋b 22 ≥a ＋b2 ，因此有H ≥M .所以H ≥M ≥G .答案：H ≥M ≥G1．均值不等式使用的条件利用均值不等式求最值时，肯定要正确理解和把握“一正，二定，三相等〞的内涵：“一正〞是，要推断参数是否为正；“二定〞是，要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；“三相等〞是，肯定要验证等号能否成立(主要留意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是屡次用≥或≤时等号能否同时成立). 2．几个重要不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2 2(a ，b ∈R )；(3)a ＋b ≥2ab (a ，b 都是正数)； (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (5)a 2＋b 22 ≥〔a ＋b 〕24(a ，b ∈R ). 学习任务二 利用均值不等式求最值(数学运算) 【典例】求以下各题的最值．(1)a >0，b >0，a ＋b ＝18，求ab 的最大值；(2)x >0，y >0，xy ＝10，求z ＝2x ＋5y 的最小值； (3)当x >1时，求x 2＋8x －1的最小值．【解析】(1)由于ab ≤a ＋b 2 ，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫182 2 ＝81(当且仅当a ＝b ＝9时取等号)，故ab 的最大值为81. (2)由x >0，y >0，xy ＝10.那么2x ＋5y ＝2y ＋5x 10 ≥210xy10 ＝2.所以z min ＝2. 当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立．(3)令t ＝x 2＋8x －1 ＝〔x －1〕2＋2〔x －1〕＋9x －1 ＝(x －1)＋9x －1 ＋2，由于x －1＞0，所以t ≥2〔x －1〕·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，t 的最小值为8.利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点(1)两种类型：①假设a ＋b ＝p (两个正数a ，b 的和为定值)，那么当a ＝b 时，积ab 有最大值p 24 ，可以用均值不等式ab ≤a ＋b 2 求得．②假设ab ＝S (两个正数的积为定值)，那么当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2S ，可以用均值不等式a ＋b ≥ 2ab 求得． (2)一个关注点：不管哪种状况都要留意等号取得的条件．规定记号“⊙〞表示一种运算，即a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数).假设1⊙k ＝3，那么k 的值为______，此时函数y ＝k ⊙xx 的最小值为________．【解析】由题意得1⊙k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， 所以k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1.y ＝k ⊙x x ＝x ＋x ＋1x＝1＋x ＋1x ≥1＋2x ×1x ＝3，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立． 答案：1 3【拓展延长】齐次式的因式分解1.ax 2＋bx ＋cdx ＋e (ad ≠0)形式的表达式通常分母不变，将分子化为m (dx ＋e )2＋n (dx ＋e )＋q 的形式(m ，n ，q 为常数)并绽开，再利用均值不等式求解，均值不等式的应用必需一正、二定、三相等，三者缺一不行． 2．(1)分子一次形式不变，将分母的二次形式改写为分子一次形式的平方或者一次形式的几倍或者常数形式． (2)分子分母同除以分子后利用均值不等式求解．【拓展训练】对任意x >0，xx 2＋3x ＋1的最大值为________．【解析】由题意，对任意x >0，有x x 2＋3x ＋1 ＝1x 2＋3x ＋1x＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x ＋3＝15 ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15 . 答案：15学习任务三 间接利用均值不等式求最值(数学运算) 角度1 “不正〞问题【典例】(1)不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的前提条件为__________．【解析】由于不等式(x －2y )＋1x －2y ≥2成立的前提条件是各项均为正数，所以x －2y >0，即x >2y . 答案：x >2y(2)求12x ＋3x 的最值．【解析】由表达式可知x ≠0，当x >0时，由均值不等式可知12x ＋3x ≥212x ·3x ＝12， 当且仅当12x ＝3x ，即x ＝2时，等号成立，故12x ＋3x 的最小值为12；当x <0时，12x ＋3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋〔－3x 〕 ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ·〔－3x 〕 ＝－12，当且仅当－12x ＝－3x ，即x ＝－2时，等号成立，故12x ＋3x 的最大值为－12.角度2 “不定〞问题【典例】(1)x <54 ，求4x －2＋14x －5 的最大值．(2)当0<x <4时，求y ＝x (8－2x )的最大值．【解题指南】(1)凑项．此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．(2)凑系数．此题无法直接运用根本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用根本不等式求最大值． 【解析】(1)由于4x －5<0，所以首先要“调整〞符号，又(4x －2)·14x －5不是常数，所以对4x －2要进行拆、凑项，由于x <54 ，所以5－4x >0，所以4x －2＋14x －5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1时，4x －2＋14x －5取得最大值1.(2)由0<x <4知，8－2x >0，y ＝x (8－2x )＝12 [2x ·(8－2x )]≤12 (2x ＋8－2x2)2＝8， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时，等号成立， 故当x ＝2时，y ＝x (8－2x )取得最大值为8.“不定〞问题的拼凑技巧1．求和需积定．(1)积定那么直接利用均值不等式求解最值；(2)不定那么将所求和式通过加(或减)一个常数凑项后使其乘积定下，再运用均值不等式求解． 2．求积需和定．(1)和定直接利用均值不等式求最值；(2)不定那么将所求乘积式通过乘以(或除以)一个常数凑系数后使其和定下，再运用均值不等式求解．1．(2022·武汉高一检测)x <23 ，那么3x ＋23x －2 的最大值为________．【解析】由题设，3x －2<0，那么2－3x >0，所以3x ＋23x －2 ＝2－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤〔2－3x 〕＋22－3x ≤2－ 2〔2－3x 〕·22－3x＝2－22 ，当且仅当x ＝2－23 时等号成立． 所以3x ＋23x －2 的最大值为2－22 .答案：2－222．(2022·三明高一检测)0<x <12 ，那么y ＝x ⎝⎛⎭⎫1－2x 的最大值为__________．【解析】由于0<x <12 ，所以1－2x >0，所以y ＝x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝12 ·()2x ·⎝⎛⎭⎫1－2x ≤12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫1－2x 2 2 ＝18 . 当且仅当2x ＝1－2x 即x ＝14 时等号成立，所以y ＝x ⎝⎛⎭⎫1－2x 的最大值为18 .答案：18【补偿训练】设a >b >0，那么a 2＋1ab ＋1a 〔a －b 〕 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】选D.由于a>b>0，所以a2＋1ab＋1a〔a－b〕＝a2－ab＋ab＋1ab＋1a〔a－b〕＝ab＋1ab＋a(a－b)＋1a〔a－b〕≥2＋2＝4(当且仅当ab＝1且a(a－b)＝1，即a＝2，b＝22时，取“＝〞号).关闭Word文档返回原板块。
新教材人教B版必修第一册 2.2.4均值不等式及其应用第1课时 课件1(15张)
•
问题1 四边形ABCD特殊吗？
• 系吗？
问题2 四边形的面积与四个直角三角形之间有关
•
问题3 每个直角三角形的两直角边分别用a,b表示，
你能用ab来表示四边形
与直角三角形的面积吗？
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问题4 中间的小正方形可以消失吗 ？
•
问题5 此时与系永远成立吗？你能用代数法证明吗 ？
2.2.4 均值不等式及其应用（第一课时）
1.学习目标 2.探究均值不等式 3.题型探究 4.课堂小结
1.学习目标
• 学习目标
• 1.能够掌握均值不等式的内容以及证明过程. • 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单 的最大值或最小值问题．
2.探究均值不等式
国•际数学家大会是由国际数学联盟 （IMU）主办，首届大会于1897年在 瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之 后每四年举行一次，它已经成为最高 水平的全球性数学科学学术会议.第24 届国际数学家大会会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的 明暗使它看上去像一个风车，代表中 国人民热情好客.
• 什么？
问题7 特别的，当代替a、b时，上述表达式变为
• 均值定理
• 如果a，b∈R＋，那么
a＋_b ≥__
2
a.b当且仅当a＝b时，
等号成立，以上结论通常称为___均值__定理，又叫均
值不等式.
• 均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等 于它的几何平均值.
3.题型探究
• 例1 已知x，y都是正数.求证 y x 2
• 问题：（1） 已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、 宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
• （2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为 多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
高中数学第二章2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用学案新人教B版必修第一册
2.2.4 均值不等式及其应用(教师独具内容)课程标准：1.理解均值不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握均值不等式及变形的应用.5.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：均值不等式条件的创造.【情境导学】(教师独具内容)如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？【知识导学】知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式(1)一般地，如果A (a )，B (b )，则线段AB 的长为AB ＝□01|a －b |，这是数轴上两点之间的距离公式．(2)如果线段AB 的中点M 的坐标为x .若a <b ，则□02a <x <b .因为M 为中点，所以AM ＝MB ，即x －a ＝b －x ，因此x ＝□03a ＋b 2.不难看出，当a ≥b 时，上式仍成立．这就是数轴上两点之间的□04中点坐标公式． 知识点二 算术平均值与几何平均值给定两个正数a ，b ，数□01a ＋b 2称为a ，b 的算术平均值；数□02ab 称为a ，b 的几何平均值．知识点三 均值不等式如果a ，b 都是正数，那么□01a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．我们把这个不等式称为均值不等式．均值不等式也称为□02基本不等式，其实质是：□03两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．知识点四 均值不等式与最大(小)值当x ，y 均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x ＋y ＝s (s 为定值)，则当且仅当□01x ＝y 时，xy 取得最□02大值□03s 24(简记：和定积有最大值)．(2)若xy ＝p (p 为定值)，则当且仅当□04x ＝y 时，x ＋y 取得最□05小值□062p (简记：积定和有最小值)．【新知拓展】1．由均值不等式变形得到的常见的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b 均为正实数)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4(a ，b 同号)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )． 2．利用均值不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意均值不等式成立的条件；(2)多次使用均值不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用． 3．利用均值不等式的解题技巧与易错点 (1)利用均值不等式求最值常用构造定值的技巧 ①加项变换； ②拆项变换； ③统一换元；④平方后再用均值不等式． (2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数； ②易忘“定”，用均值不等式时，和或积为定值； ③易忘“等”，用均值不等式要验证等号是否可以取到； ④易忘“同”，多次使用均值不等式时，等号成立的条件应相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a ＋b2≥ab 对于任意实数a ，b 都成立．( )(2)若a >0，b >0，且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2xx －1.( )(4)式子x ＋1x的最小值为2.( )(5)若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m 2＋1≥2m 等号成立的条件是________． (2)b a ＋a b≥2成立的条件是________． (3)x ＞1，则x ＋1x －1的最小值为________． (4)若a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为________．答案 (1)m ＝1 (2)a 与b 同号 (3)3 (4)2题型一 对均值不等式的理解 例1 给出下面三个推导过程： ①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋a b ≥2 b a ·ab＝2； ②因为a ∈R ，a ≠0，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4；③因为x ，y ∈R ，xy <0，所以x y ＋y x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导过程为( ) A ．①② B ．②③ C ．②D ．①③[解析] 从均值不等式成立的条件考虑．①因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ，a b∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的条件，故正确；②因为a ∈R ，a ≠0不符合均值不等式成立的条件，所以4a ＋a ≥24a·a ＝4是错误的；③由xy <0得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将x y ＋y x看成一个整体提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确． [答案] D 金版点睛均值不等式a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a ，b 都是非负实数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，a ＋b2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b .[跟踪训练1] 下列命题中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2 B ．当a ＞0，b ＞0时，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4C ．当a ＞4时，a ＋9a的最小值是6D ．当a ＞0，b ＞0时，2aba ＋b≥ab 答案 B解析 A 中，可能b a＜0，所以不正确；B 中，因为a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0，相乘得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以正确；C 中，a ＋9a≥2a ·9a＝6中的等号不成立，所以不正确；D 中，由均值不等式知，2aba ＋b≤ab (a ＞0，b ＞0)，所以不正确．题型二 利用均值不等式比较大小 例2 已知a ＞1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小关系是( ) A.a ＋12＜a ＜2a a ＋1 B.a ＜a ＋12＜2a a ＋1C.2a a ＋1＜a ＜a ＋12 D.a ＜2a a ＋1≤a ＋12[解析] 当a ，b 是正数时， 2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2a a ＋1≤a ≤a ＋12. 又a ＞1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C. [答案] C[题型探究] 对一切正数m ，不等式n ＜4m＋2m 恒成立，求常数n 的取值范围．解 当m ∈(0，＋∞)时，由均值不等式，得4m＋2m ≥24m·2m ＝42，且当m ＝2时，等号成立，故n 的取值范围为n ＜4 2.金版点睛利用均值不等式比较大小在利用均值不等式比较大小时，应创设应用均值不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑均值不等式使用的条件，其次要明确均值不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．[跟踪训练2] 已知：a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，试比较1a ＋1b，2a 2＋b 2，4的大小． 解 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4，a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2＝12－ab ≥12－14＝14，即2a 2＋b 2≤4. ∴1a ＋1b ≥4≥2a 2＋b 2. 题型三 利用均值不等式求代数式的最值例3 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值；(2)已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值； (3)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，求x ＋y 的最大值． [解] (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，1x ＋9y＝1， 即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)∵2x ＋y ＋6＝xy ， ∴y ＝2x ＋6x －1，x ＞1，xy ＝x 2x ＋6x －1＝2x 2＋3x x －1＝2[x 2－1＋3x －1＋4]x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋4x －1＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋5≥2×⎝⎛⎭⎪⎫2 x －1·4x －1＋5＝18.当且仅当x ＝3时，等号成立，∴xy 的最小值为18. (3)因为1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以(x ＋y )2≤43，即x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y ＞0，且x 2＋y 2＋xy ＝1，即x ＝y ＝33时，等号成立，∴x ＋y 的最大值为233. [结论探究] 若本例(1)中的条件不变，如何求xy 的最小值？ 解 1x ＋9y ＝y ＋9x xy ≥2y ·9x xy ＝6xy xy＝6xy，又因为1x ＋9y＝1，所以6xy≤1，xy ≥6，xy ≥36，当且仅当y ＝9x ，即x ＝2，y ＝18时，等号成立． 所以(xy )min ＝36. 金版点睛利用均值不等式求代数式的最值(1)利用均值不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．[跟踪训练3] (1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x >0，y >0，且满足x 3＋y4＝1，求xy 的最大值．解 (1)∵x ，y 为正数，且x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当2y x ＝x y，即当x ＝2－1，y ＝1－22时等号成立． ∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2.(2)∵x 3＋y 4＝1，∴1＝x 3＋y 4≥2xy12＝33xy . ∴xy ≤ 3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时等号成立．∴xy ≤3，即xy 的最大值为3. 题型四 利用均值不等式求函数的最值 例4 (1)求y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值； (2)已知0<x <13，求y ＝x (1－3x )的最大值；(3)已知x ＞－1，求y ＝x 2＋3x ＋4x ＋1的最小值．[解] (1)∵y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3， 又∵x >3，∴x －3>0，1x －3>0， ∴y ≥21x －3·x －3＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时，y 取得最小值5.(2)∵0<x <13，∴1－3x >0，y ＝x (1－3x )＝13·3x ·(1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112.当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，取等号，∴当x ＝16时，函数取得最大值112.(3)∵x >－1，∴x ＋1＞0，y ＝x 2＋3x ＋4x ＋1＝x ＋12＋x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1＋1≥22＋1， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，函数y 取得最小值22＋1. [条件探究] 在本例(1)中把“x >3”改为“x <3”，y ＝1x －3＋x 的最值又如何？ 解 ∵x <3，∴x －3<0， ∴y ＝1x －3＋x ＝－13－x－(3－x )＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13－x ＋3－x ＋3≤－213－x·3－x＋3＝－2＋3＝1.当且仅当13－x ＝3－x ，即x ＝2时，取等号．故函数y ＝1x －3＋x (x <3)有最大值1，没有最小值． 金版点睛利用均值不等式求函数的最值(1)利用均值不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法．[跟踪训练4] (1)已知x <54，则y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(2)若x >1，则y ＝x 2x －1的最小值为________．答案 (1)1 (2)4解析 (1)∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x ＋15－4x ＋3≤－25－4x ×15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立． 故当x ＝1时，y 的最大值为1.(2)∵x >1，∴y ＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2≥2＋2＝4， 当且仅当1x －1＝x －1，即(x －1)2＝1时，等号成立， ∴当x ＝2时，y 的最小值为4. 题型五 利用均值不等式证明不等式 例5 已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数， 求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ＞3. [证明]b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. ∵a ，b ，c 都是正数， ∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2， 同理c a ＋a c≥2，c b ＋b c≥2，∵a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＞6， ∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc＞3. 金版点睛利用均值不等式证明不等式(1)利用均值不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择均值不等式及其变形不等式来证，如a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，可变形为ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a >0，b >0)可变形为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22等．同时要从整体上把握均值不等式，如a 4＋b 4≥2a 2b 2，a 2b 2＋b 2c 2≥2(ab )(bc )，都是对“a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ”的灵活应用．(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件．[跟踪训练5] 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10.证明 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋a ＋b ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a ＋b ＋c b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ＋b ＋c c ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥10.1．a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( ) A.2ab a ＋b ＜a ＋b2＜ab B.a ＋b2≥2aba ＋b≥ab C.a ＋b2＞ab ＞2aba ＋bD.ab <2ab a ＋b ＜a ＋b2答案 C 解析2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ＜a ＋b2.2．已知x ＞0，y ＞0，x ≠y ，则下列四个式子中值最小的是( ) A.1x ＋y B.14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y C.12x 2＋y 2 D.12xy 答案 C解析 解法一：∵x ＋y ＞2xy ，∴1x ＋y ＜12xy，排除D ； ∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝x ＋y 4xy ＝14xy x ＋y＞1x ＋y2x ＋y ＝1x ＋y， ∴排除B ； ∵(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＜2(x 2＋y 2)，∴1x ＋y ＞12x 2＋y 2，排除A ，故选C.解法二：取x ＝1，y ＝2.则1x ＋y ＝13；14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝38； 12x 2＋y 2＝110；12xy ＝122＝18. 其中110最小，故选C.3．若a ＞0，则代数式a ＋25a( ) A ．有最小值10B ．有最大值10C ．有最大值没有最小值D ．既没有最大值也没有最小值答案 A解析 利用均值不等式得a ＋25a ≥2a ·25a ＝10，当且仅当a ＝25a ，即a ＝5时，取得最小值10.4．已知x ，y 均为正数，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为( )A.14B.12C.18D.116答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0.∴4xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.∴xy ≤116. 当且仅当x ＝4y ，即x ＝12，y ＝18时取等号． 5．已知a >b ，ab ＝1，求证：a 2＋b 2≥22(a －b )．证明 ∵a >b ，∴a －b >0，又ab ＝1， ∴a 2＋b 2a －b ＝a 2＋b 2－2ab ＋2ab a －b ＝a －b 2＋2ab a －b ＝a －b ＋2a －b ≥2a －b ·2a －b ＝22，即a 2＋b 2a －b ≥22，即a 2＋b 2≥22(a －b )，当且仅当a －b ＝2a －b，即a －b ＝2时取等号．。
2020-2021学年新教材人教B版必修第一册 均值不等式 学案
2．2.4 均值不等式及其应用第1课时 均值不等式[课程目标] 1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；3.掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．知识点一 均值不等式[填一填](1)如果a ，b 都是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均值，称ab 为a ，b 的几何平均值．因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．[答一答]1．如何证明均值不等式？提示：因为a >0，b >0，所以a ＋b 2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝(a －b )22≥0，即a ＋b2≥ab .当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立． 2．从几何角度如何解释均值不等式？ 提示：以长为a ＋b 的线段为直径作圆，在直线AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b .过点C 作垂直于直线AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，如图，连接BD ′，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝AC ·CB ，得CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b 2，显然，它大于或等于CD ，即a ＋b2≥ab .当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．知识点二 均值不等式的应用[填一填]设x ，y 都为正数，则有如下关系：(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .[答一答]3．如何证明“和定积最大，积定和最小”？ 提示：(1)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy .又x ＋y ＝s ，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝s 24，当且仅当x ＝y 时，取等号．故若x ＋y ＝s ，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立．又xy ＝p ，∴x ＋y ≥2p .故若xy ＝p ，当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .类型一 均值不等式应用的条件 [例1] 下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2 B ．若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |C ．若x 为负实数，则x ＋4x ≥－2x ·4x＝－4 D ．若x ≠0，则x 2＋1x2≥2x 2·1x2＝2 [解析] 因a ，b ∈R ，故当a ，b 异号时，b a 与ab 均负，故直接用均值不等式是错误的，则A 选项错误；若x ，y ∈R ，⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |，没有条件xy >0，不成立，所以B 选项错误；C 选项中，在x <0时，4x <0，故不能直接用均值不等式，正确书写为：x ＋4x＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4，故C 选项错误；故选D. [答案] D在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式.[变式训练1] 已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 解析：利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2＋b 2≥2ab 的使用条件是a ，b ∈R .对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误； 对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0.所以b a ＋ab≥2b a ·a b ，即b a ＋ab≥2成立． 类型二 用均值不等式证明不等式 [例2] 已知a 、b 、c 是正实数， 求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[证明] ∵a 、b 、c 是正实数， ∴bc a ＋ac b ≥2bc a ·ac b ＝2c (当且仅当bc a ＝acb ，即a ＝b 时，取等号)； ac b ＋ab c ≥2ac b ·ab c ＝2a (当且仅当ac b ＝abc ，即b ＝c 时，取等号)； ab c ＋bc a≥2ab c ·bc a ＝2b (当且仅当bc a ＝abc，即a ＝c 时，取等号)； 上面3个不等式相加得2·bc a ＋2·ac b ＋2·abc ≥2a ＋2b ＋2c (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)．∴bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论.[变式训练2] 已知a >0，b >0，c >0，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .证明：因为a >0，b >0，c >0， 故a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 2·b 2c 2＝2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2b 2c 2·c 2a 2＝2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2c 2a 2·a 2b 2＝2a 2bc . 将上述三式相加，得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2abc (a ＋b ＋c )， 又a ＋b ＋c >0，故a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .[例3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.[证明] 方法一：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.即1a ＋1b ＋1c≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 方法二：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c ) ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c ＋1＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.∴1a ＋1b ＋1c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a ＋b ＋c ＝1”下，1的代换一般有两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.[变式训练3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0， 同理1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8 (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)．类型三 利用均值不等式求最值 [例4] (1)已知0<x <13，则x (1－3x )的最大值为( )A.112 B ．1 C.19D ．12(2)已知x >0，y >0，且满足2x ＋8y＝1，则x ＋y 的最小值为________．[解析] (1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(1－3x )22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立，所以x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112. (2)∵x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ，x >0，y >0，∴2y x >0，8x y>0，x ＋y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又2x ＋8y ＝1，∴x ＝6，y ＝12，∴当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18.[答案] (1)A (2)18求和式的最小值时应使积为定值，求积式的最大值时应使和为定值(适当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)，不要忽略等号成立的条件.[变式训练4] (1)已知x >－3，则x ＋1x ＋3的最小值为－1.解析：因为x >－3，所以x ＋3>0，则x ＋1x ＋3＝x ＋3＋1x ＋3－3≥2(x ＋3)·1x ＋3－3＝－1，当且仅当x ＋3＝1x ＋3，即x ＝－2时等号成立，所以x ＋1x ＋3有最小值，最小值为－1.(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为2.解析：因为a ＋b ＝2，所以12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ，因为a >0，b >0，故b a >0，a b >0，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ·a b ＝2⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时等号成立，所以1a ＋1b的最小值为2.1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( B ) A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1D ．a ＝0解析：a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a ＝1时，等号成立． 2．已知x <0，则x ＋1x －2有( C )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4解析：因为x <0，所以x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．故选C.3．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．4．已知a >0，b >0，c >0，求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc ＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．。
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2.2.4 均值不等式及其应用素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会运用均值不等式解决最值、范围、不等式证明等相关问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab (a ，b >0)求最值的常用方法及需注意的问题.1．注意从数与形的角度来审视均值不等式，体会数形结合思想的应用．2．通过“积定”与“和定”来把握均值不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解．3．注重均值不等式的变形，体会其特征，强化记忆.必备知识·探新知基础知识1．均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值.前提 给定两个正数a ，b 结论数a ＋b2称为a ，b 的__算术平均值__ 数ab 称为a ，b 的几何平均值(2)前提 __a ，b __都是正数结论 a ＋b2≥ab 等号成立的条件 当且仅当a ＝b 时，等号成立几何意义所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 提示：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b >0.(2)两者都带有等号，等号成立的等件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．2．均值不等式与最值两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 思考2：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．基础自测1．下列不等式中正确的是( D ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3解析：a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．不等式(x －2y )＋1x －2y ≥2成立的条件为( B )A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B ．3．如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是__4__.解析：因为a >0，所以a ＋1a ＋2≥2a ·1a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1a，即a ＝1(－1舍)时取等号．4．已知0<x <1，则x (1－x )的最大值为__14__，此时x ＝__12__.解析：因为0<x <1，所以1－x >0，所以x (1－x )≤[x ＋(1－x )2]2＝(12)2＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时“＝”成立，即当x ＝12时，x (1－x )取得最大值14.5．若x 2＋y 2＝4，则xy 的最大值是__2__.解析：xy ≤x 2＋y 22＝2，当且仅当x ＝y 时取“＝”．关键能力·攻重难类型 对均值不等式的理解 ┃┃典例剖析__■典例1 (1)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2(2)不等式a ＋1≥2a (a >0)中等号成立的条件是( C ) A ．a ＝0 B ．a ＝12C ．a ＝1D ．a ＝2思路探究：(1)使用均值不等式的前提条件是a >0，b >0；(2)均值不等式中，等号成立的条件是a ＝b .解析：(1)对于A 项，当a ＝b 时，应有a 2＋b 2＝2ab ，所以A 项错；对于B ，C ，条件ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D 项，因为ab >0，所以b a ，a b >0，所以b a ＋a b≥2b a ·ab＝2. (2)因为a >0，根据均值不等式ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2a 中等号成立当且仅当a ＝1.归纳提升：在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等” 一正，a ，b 均为正数； 二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a ＝b 有解． ┃┃对点训练__■1．若a ，b ∈R ，则下列不等式恒成立的是( C ) A ．|a ＋b |2≥|ab |B ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2D ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4解析：令a ＝－2，b ＝2，则A 错误，B 也错误，D 也错误．对于C ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2a 2＋2b 2≥a 2＋b 2＋2ab ， ∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，故C 正确．类型 利用均值不等式求最值 ┃┃典例剖析__■ 1．和为定值求积的最值典例2 已知0<x <13，求代数式x (1－3x )的最大值．思路探究：由题可知1－3x >0，配凑x 的系数，易知3x ＋(1－3x )为定值1，则可以利用均值不等式求解．解析：∵0<x <13，∴1－3x >0.∴x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112.归纳提升：求两数积的最值时，一般需要已知这两数的和为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和为定值，再利用均值不等式求最值，变形后仍要求满足“一正、二定、三相等”．2．积为定值求和的最值典例3 (1)已知x >54，求代数式4x －2＋14x －5的最小值；(2)已知x <54，求代数式4x －2＋14x －5的最大值．思路探究：(1)由x >54，得4x －5>0，且(4x －5)·14x －5为定值1，故把4x －2＋14x －5改写成4x －5＋14x －5＋3即可．(2)由于x <54，得4x －5<0，故求的不是最小值，而是最大值，故要做两方面的转化，一是将负数转化为正数，另一方面需要将两式变形，使两数积为定值，再利用均值不等式解答．解析：(1)∵x >54，∴4x －5>0，∴4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥2(4x －5)·14x －5＋3＝5，当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号．∴当x ＝32时，4x －2＋14x －5取得最小值5.(2)∵x <54，∴4x －5<0，∴5－4x >0，∴4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝－[(5－4x )＋15－4x ]＋3≤－2(5－4x )·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时取等号．故当x ＝1时，4x －2＋14x －5取得最大值1.归纳提升：在利用均值不等式求两数和的最值时，若“一正、二定、三相等”中的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式．转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等．3．变换技巧“1”的代换典例4 已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．思路探究：要求x ＋y 的最小值，根据均值不等式，应构建某个积为定值．这需要对条件进行必要的变形，可进行“1”的代换，也可以“消元”等．解析：方法一：(“1”的代换)： ∵1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·(1x ＋9y )＝10＋y x ＋9xy .∵x >0，y >0，∴y x ＋9xy ≥2y x ·9xy＝6， 则x ＋y ≥16，当且仅当y x ＝9xy，即y ＝3x 时，取等号．又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12， ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 方法二：(消元法)： 由1x ＋9y ＝1，得x ＝y y －9. ∵x >0，y >0，∴y －9>0.∴x ＋y ＝y y －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝(y －9)＋9y －9＋10.∵y －9>0，∴y －9＋9y －9≥2(y －9)·9y －9＝6，则x ＋y ≥16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号，此时x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 归纳提升：常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用均值不等式求最值． ┃┃对点训练__■2．(1)已知x >0，y >0且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为( B )A ．8B ．9C ．10D ．11(2)当x >1时，x 2＋8x －1的最小值为__8__；(3)已知0<x <12，求12x (1－2x )的最大值．解析：(1)因为x >0，y >0且x ＋4y ＝1， 所以1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(x ＋4y )＝1＋4y x ＋xy ＋4≥24y x ·x y ＋5＝9，当且仅当x ＝13，y ＝16时取等号．(2)令t ＝x 2＋8x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋2，因为x －1>0，所以t ≥2(x －1)·9x －1＋2＝8，当且仅当x －1＝9x －1，即x ＝4时，t 的最小值为8.(3)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以12x (1－2x )＝14×2x (1－2x )≤14(2x ＋1－2x 2)2＝116，所以当且仅当2x ＝1－2x (0<x <12)，即x ＝14时，12x (1－2x )的最大值为116.课堂检测·固双基1．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( C ) A ．a －b <0 B ．0<a b <1C ．ab <a ＋b 2D ．ab >a ＋b解析：因为a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．2．已知当x ＝a 时，代数式x －4＋9x ＋1(x >－1)取得最小值b ，则a ＋b ＝( C ) A ．－3 B ．2 C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，由x >－1，得x ＋1>0，9x ＋1>0，所以由均值不等式得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2(x ＋1)×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，所以x ＋1＝3，即x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.3．已知x >0，y >0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为__3__，取得最大值时y 的值为__2__.解析：因为x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，所以xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号．4．已知x >0，y >0，且xy ＝100，则x ＋y 的最小值为__20__. 解析：x ＋y ≥2xy ＝20，当且仅当x ＝y ＝10时取“＝”． 5．求t ＝x ＋1x 的取值范围.解析：当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1x 即x ＝1时，“＝”成立，所以x ＋1x≥2.当x <0时，x ＋1x ＝－(－x ＋1－x )≤－2－x ·1－x＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时“＝”成立．所以x ＋1x ≤－2故t ＝x ＋1x 的取值范围为{t |t ≤－2或t ≥2}．。