拟合优度检验和方差检验
拟合优度检验方法分析
（三）计算理论次数 依据各理论比例9:3:3:1计算理论次数：
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5； 黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5； 红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对 相对性状分离现象时 ，用黑色无角牛和红 色有角牛杂交 ，子二代出现黑色无角牛192 头，黑色有角牛78头，红色无角牛72头， 红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性 状是否符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的 遗传比例？
检验步骤：
（一）提出无效假设与备择假设 H0：实际观察次数之比符合9:3:3:1的理论比例。 HA：实际观察次数之比不符合9:3:3:1的理论比 例。 （二）选择计算公式 由于本例的属性类别分类数 k=4：自由 度df=k-
数据格式与计算公式
类别或组段 观察频数
理论频数
1
O1
E1
2
O2
E2
…
…
…
k
Ok
Ek
问题:试判断这份样本,是否来自该理论分布?
2 P
k i 1
(Oi
Ei )2 , Ei
a为参数的个数
k 1 a
df = k-1-a
注意：理论频数Ei不宜过小（如不
小于5），否则需要合并组段！
计算步骤
(1)
H
§ 7.1 拟合优度检验
回顾下2分布——p56
❖ 设有一平均数为μ、方差为 2的正态总 体。现从此总体中独立随机抽取n个随机 变量：x1、x2、…、 xn，并求出其样本方 差S2
拟合优度检验
计算上例的χ 值并做推断。先计算各理论数Ti。
2
给药方式 口服
（B ）
有效（ A ）
O1=58 ( 98)(122 ) = 61.95 T1 = 193 O3=64 ( 95)(122 ) = 60.05 T3 = 193
无效（ A ）
总数
T2
( 98)( 71) = 36.5 =
193
O4=31 ( 95)( 71)
列联表中的数据可以用以下符号表示： a c a+c b d b+d a+b c+d N
在行总数和列总数及N都保持不变的情况下，a、b、c、d的各种组合 的概率可以由下式给出：
P=
( a + b )!( c + d )!( a + c )!( d + b )!
N !a !b !c !d !
零假设：不存在处理效应。若P > α 则接受零假设；反之则拒绝。 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，则直接用该概率值作为判断标 准。若无，则应当将这个组合的概率以及从最接近于0的哪个观测值到 0的各种组合的概率都计入。这样才能构成一个尾区的概率。
将以上数据列成下表：
Y_R_ 实际观测数O 理论频率p 理论数T O-T (O-T) 2/ T 315 9/16 312.75 2.25 0.016
Y_rr 101 3/16 104.25 -3.25 0.101
yyR_ 108 3/16 104.25 3.75 0.135
yyrr 32 1/16 34.75 -2.75 0.218
2. 总体参数未知 例 调查到幼儿园接小孩的家长性别，以10人为一组，记录每组女性的人数，共得到
100组，列入下表的第2列中。问女性家长人数是否符合二项分布。 解：人群中男女比率各 占一半，但去接小孩的 家长中是否也是这个比 率就不一定。因此二项 分布的参数ϕ 是未知 的，需从样本数据估 计。
多元线性回归模型拟合优度假设检验
− nY 2 = Y′ − nY 2 Y
将上述结果代入R2的公式，得到：
′ − nY 2 − (Y′ −Y′ β ) Y′ β − nY 2 Xˆ Σe2 YY Y Xˆ 2 = R =1− 2 = 2 Y′ − nY 2 Y Σ(Y −Y ) Y′ − nY Y
这就是决定系数R2 的矩阵形式。
判定系数
1、t统计量 、 统计量
由于
ˆ) Cov(β = σ 2 ( X′X) −1
以cii表示矩阵(X’X)-1 主对角线上的第i个元素， 于是参数估计量的方差为： ˆ Var ( β ) = σ 2 c
i ii
其中σ2为随机误差项的方差，在实际计算 时，用它的估计量代替:
ˆ σ2 =
∑e
2 i
n − k −1
注意：一元线性回归中， 检验与F 注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致 一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 一方面 H0：β1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系： 另一方面
F= ˆ ∑y
2 i 2 i
∑ e ( n − 2)
ei2 ∑
=
ˆ β12 ∑ xi2
∑ e ( n − 2)
1、方程显著性的 检验 、方程显著性的F检验
即检验模型
Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ … +βkXki+µi i=1,2, …,n
中的参数βj是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设： H0： β0=β1=β2= … =βk=0 H1： βj不全为0
F检验的思想来自于总离差平方和的分解式： 检验的思想 TSS=ESS+RSS
t 1 = 7.378, t 2 = 2.201
拟合优度检验-
的 分 离 现 象 符 合 孟 德 尔遗传规律中9∶3∶3∶1 的遗传比例。
例7.1；7.2（P93;94）
• 总体参数未知 例P95，表7-1 不同之处：要由样本估计出总体参数。
7.2.3 对正态分布的检验（P96） 7.2.4 其他类型问题的检验（P97）
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
§7.3、独立性检验
7.3.1 列联表2 检验（P97）
一、独立性检验的意义
对次数资料，除进行拟合优度检验外，有时需 要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。如研究 两类药物对实验动物某种疾病治疗效果的好坏，先 将动物分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组 用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈头数 和未治愈头数。
当自由度大于1时，原公式的2分布与连续型随机
变量2分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要
求各组内的理论次数不小于5。若某组的理论次数小 于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理 论次数大 于5 为止。
• 统计量：
(Oi Ti ) Ti i 1
2 r
2
• 使用条件：
– 各理论值均大于5。 – 若自由度为1，则应作连续性矫正：
比例发生了实质性的变化?
要回答这个问题： ①首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与 理论次数偏离的程度； ②然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行 显著性检验。
卡方-拟合优度检验
7.2.2 对二项分布的检验（P93）
下面结合实例说明适合性检验方法。
（总体参数已知 ）
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离
现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出
现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72 头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否 符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？
1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；
2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
（1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。 实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论 上推导出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。 （ 2 ）根据概率乘法法则，若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件B同时出 现的概率等于它们分别出现的概率乘积。
第7章 拟合优度检验
§7.1拟合优度检验的一般原理 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
拟合优度检验（ 拟合优度检验（goodness of fit test） ） 是用来检验实际观测数与依照某种假设或模型 计算出来的理论数之间的一致性，以便判断该 计算出来的理论数之间的一致性， 假设或模型是否与观测数相配合。拟合优度检 假设或模型是否与观测数相配合。 验也会出现Ⅰ型错误(弃真) 验也会出现Ⅰ型错误(弃真)和Ⅱ型错误(取伪)。 型错误(取伪)
上一张 下一张 主 页 退 出
7.2.2 对二项分布的检验 １．总体参数 ϕ 已知 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ 例7.1 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ１ 代自交，第二代分离数目如下： 代自交，第二代分离数目如下：
Y_R_ (黄圆) 黄圆) 315 Y_rr (黄皱) 黄皱) 101 yyR_ yyR_ (绿圆) 绿圆) 108 yyrr (绿皱) 绿皱) 32 556
χ2检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。 检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。
引例： 引例： 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 统计某羊场一年所产的876只羔羊中 只羔羊中， 统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有 公羔428只 母羔448只 1:1的性别 公羔428只，母羔448只。按1:1的性别 比例计算， 母羔均应为438只 比例计算，公、母羔均应为438只。以A 表示实际观察次数， 论次数， 表示实际观察次数，T 表 示 理 论次数， 可将上述情况列成表7 可将上述情况列成表7-1。
从上述结果可以看出，矫正后的χ2比矫正前 从上述结果可以看出， 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ０，矫正后的χ2 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ 更低，不会影响结论，可以不加矫正。若未矫正 更低，不会影响结论，可以不加矫正。 时χ2＞ χ2α，一定要计算矫正的χ2。
精选拟合优度检验和假设检验
2、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论
由
可推出：
与
或
R2
R2
R2
R2
在中国居民人均收入-消费一元模型中，
在中国居民人均收入-消费二元模型中，
三、变量的显著性检验（t检验）
方程的总体线性关系显著每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。 这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
二、方程的显著性检验(F检验)
方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。
1、方程显著性的F检验
即检验模型 Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n中的参数j是否显著不为0。
注意：一元线性是对相同的原假设H0：1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系：
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，由应用软件计算出参数的t值：
给定显著性水平=0.05，查得相应临界值： t0.025(28) =2.048。
对于中国居民人均消费支出的例子： 一元模型：F=985.6616（P54） 二元模型：F=560.5650 （P72）
给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界值： 一元例：F(1,30)=4.17 二元例： F(2,28)=3.34
显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量
服从自由度为(k , n-k-1)的F分布
给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。
计量-多元回归统计检验
§3.3 多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验1、可决系数与调整的可决系数在一元线性回归模型中，使用可决系数2R 来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。
在多元线性回归模型中，我们也可用该统计量来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度。
记∑-=2)(Y Y TSS i 为总离差平方和，∑-=2)ˆ(Y Y ESS i 为回归平方和，∑-=2)ˆ(ii Y Y RSS 为剩余平方和，则 2222)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ())ˆ()ˆ(()(Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y TSS ii i i i i ii i i -∑+--∑+-∑=-+-∑=-∑= 由于∑∑-=--)ˆ()ˆ)(ˆ(Y Y e Y Y Y Y iiii∑∑∑∑++++=i ki i k i i i e Y X e X e e βββˆˆˆ110=0 所以有：ESS RSS Y Y Y Y TSS ii i +=-+-=∑∑22)ˆ()ˆ( （3.3.1） 即总离差平方和可分解为回归平方和与剩余平方和两部分。
回归平方和反映了总离差平方和中可由样本回归线解释的部分，它越大，剩余平方和越小，表明样本回归线与样本观测值的拟合程度越高。
因此，可用回归平方和占总离差平方和的比重来衡量样本回归线对样本观测值的拟合程度：TSSRSSTSS ESS R -==12 (3.3.2)该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，2R 往往增大。
这是因为残差平方和往往随着解释变量个数的增加而减少，至少不会增加。
这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。
但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的2R 的增大与拟合好坏无关，因此在多元回归模型之间比较拟合优度，2R 就不是一个适合的指标，必须加以调整。
在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响。
f检验表完整版
f检验表完整版一、F检验的概述1.F检验的定义F检验，又称F分布检验，是一种用于比较两个样本均值是否显著不同的统计方法。
它是由英国统计学家威廉·戈塞特（William Gosset）在20世纪初发现的，主要用于方差分析、独立性检验和拟合优度检验等。
2.F检验的应用场景F检验广泛应用于以下场景：（1）方差分析：在实验设计中，比较多个实验组与对照组的均值差异是否显著。
（2）独立性检验：检验两个分类变量之间是否存在显著关联。
（3）拟合优度检验：评估线性回归模型的拟合效果，检验观测值与预测值之间的差异是否显著。
二、F检验的计算过程1.总体方差的计算总体方差（σ）表示所有观测值与总体均值之间的差异平方和的平均值。
计算公式为：σ= Σ（xi - μ）/ n其中，xi为每个观测值，μ为总体均值，n为样本数量。
2.样本方差的计算样本方差（S）表示样本中每个观测值与样本均值之间的差异平方和的平均值。
计算公式为：S = Σ（xi - x）/ (n - 1)其中，xi为每个观测值，x为样本均值，n为样本数量。
3.F值的计算F值是用来比较总体方差与样本方差的比值。
计算公式为：F = (Σ（xi - μ）/ σ) / (Σ（xi - x）/ S)4.F检验的判断标准当F值大于临界值时，认为两个样本的均值存在显著差异。
临界值的确定取决于显著性水平和自由度。
自由度等于样本数量减去1。
三、F检验的优缺点1.优点（1）F检验具有较强的推断能力，可以较为准确地判断均值差异。
（2）适用范围广泛，可以应用于多种统计分析场景。
2.缺点（1）对样本数量有一定要求，当样本数量较小（如n < 30）时，F检验的准确性降低。
（2）对总体分布有一定要求，当总体分布与假设不符时，F检验的结果可能出现偏差。
四、F检验在实际应用中的案例分析1.案例介绍某研究者想要探究不同教学方法对学生数学成绩的影响，随机抽取了两个班级进行实验。
实验结束后，分别计算出两个班级的数学成绩均值，分别为70和80。
验证性因素分析的几个指标
• （1）拟合优度的卡方检验（χ2 goodnessof-fit test）：χ2是最常报告的拟合优度指 标，与自由度一起使用可以说明模型正 确性的概率，χ2/df是直接检验样本协方 差矩阵和估计方差矩阵之间的相似程度 的统计量，其理论期望值为1。χ2/df愈接 近1，表示模型拟合愈好。在实际研究中， χ2/df接近2，认为模型拟合较好，样本较 大时，5左右也可接受。
• （6）均方根残差（root of the mean square residual,RMR）：该指数通过测量 预测相关和实际观察相关的平均残差， 衡量模型的拟合程度。如果RMR＜0.1， 则认为模型拟合较好[57]。
• （2）拟合优度指数（goodness-of-fit index,GFI）和调整拟合优度指数 （adjusted goodness-of-fit index,AGFI）： 这两个指数值在0－1之间，愈接近0表示 拟合愈差，愈接近1表示拟合愈好。目前， 多数学者认为，GFI≥0.90，AGFI≥0.8， 提示模型拟合较好（也有学者认为GFI的 标准为至少﹥0.80，或≥0.85）。
• （5）近似误差均方根（root-mean-square error of approximation,RMSEA）：RMSEA是评价模 型不拟合的指数，如果接近0表示拟合良好， 相反，离0愈远表示拟合愈差。一般认为，如 果RMSEA=0，表示模型完全拟合；RMSEA＜ 0.05，表示模型接近拟合；0.05≤RMSEA≤0.08， 表示模型拟合合理；0.08＜RMSEA＜0.10，表 示模型拟合一般；RMSEA≥0.10，表示模型拟 合较差。
• （3）比较拟合指数（comparative fit index,CFI）：该指数在对假设模型和独 立模型比较时取得，其值在0－1之间， 愈接近0表示拟合愈差，愈接近1表示拟 合愈好。一般认为，CFI≥0.9，认为模型 拟合较好。
生物统计第七章 拟合优度检验
（三）
χ 2统计量的计算 2 K.Pearson根据的 定义，根据 属性性状资料的分布，推导出用 2 于次数资料分析的 公式
2
O E
E
2
上式中O为观察次数，E为理论次 数，自由度为df.
• 卡方分布
( n 1) S 2
2
～
2
( n 1)
图7-1
几个自由度的概率分布密度曲线
表 7—9
结核菌数 x（1） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总计
结核菌数服从波松分布适合性检验计算表
理论概率（3） 0.0506 0.1511 0.2253 0.2240 0.1671 0.0997 0.0496 5.9708 17.8298 26.5854 26.4320 19.7178 5.8528 2.4898 0.9322 0.3068 117.8820 0.7288 9.5818 0.1297 0.2611 0.1578 0.1768 0.0129 0.0071 0.0834 理论格子数(T)(4)
1.016 1.704 3.720 6.920 12.060 18.120 23.180 27.700 28.400 24.960 20.480 14.040 8.980 4.880 2.288 1.552 200.00 8.7308 8.72 0.3393 0.6252 0.3519 1.4467 1.6476 0.1043 1.5338 0.3703 0.0132 0.2736 0.1069 6.44 1.9680
• 1、先将资料（原始数据略）整理成次数分布 表，组限、组中值、各组的次数列于表7-7的 （1）、（2）、（3）栏，再将各组上限列于 第（4）栏中。 • 2、计算各组组上限与均数（ x =65.6kg）之差， 列于第（5）栏。 • 3、计算校正标准差Sc。由于由分组资料求得 的标准差较不分组时所得标准差为大，故需作 校正。
计量经济学-期末考试-名词解释
第一章导论1、截面数据：截面数据是许多不同的观察对象在同一时间点上的取值的统计数据集合，可理解为对一个随机变量重复抽样获得的数据。
2、时间序列数据:时间序列数据是同一观察对象在不同时间点上的取值的统计序列，可理解为随时间变化而生成的数据。
3、虚变量数据:虚拟变量数据是人为设定的虚拟变量的取值。
是表征政策、条件等影响研究对象的定性因素的人工变量，其取值一般只取“0”或“1”。
4、内生变量与外生变量:。
内生变量是由模型系统决定同时可能也对模型系统产生影响的变量，是具有某种概率分布的随机变量,外生变量是不由模型系统决定但对模型系统产生影响的变量，是确定性的变量。
第二章一元线性回归模型1、总体回归函数：是指在给定X i下Y分布的总体均值与X i所形成的函数关系（或者说将总体被解释变量的条件期望表示为解释变量的某种函数）2、最大似然估计法（ML): 又叫最大或然法,指用产生该样本概率最大的原则去确定样本回归函数的方法。
3、OLS估计法：指根据使估计的剩余平方和最小的原则来确定样本回归函数的方法。
4、残差平方和：用RSS表示,用以度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量之外的其他因素引起的被解释变量变化的部分。
5、拟合优度检验：指检验模型对样本观测值的拟合程度，用表示,该值越接近1表示拟合程度越好。
第三章多元线性回归模型1、多元线性回归模型:在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量,这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了随解释变量的增加而增大的缺陷，与的关系为。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组:采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导,并令偏导数为0后得到的方程组,其矩阵形式为。
拟合优度检验
52 .479
df=(3-1)×(2-1)=2，查表得χ22,0.05=5.991， χ2> χ20.05，结论是拒绝H0:O-T=0，3种处理方式引 起的染色体畸变数是不同的。
作业
习题7.1，7.2
7.2.2 对二项分布的检验
1、总体参数已知
例1 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，第二代律
解：当性状间相互独立时，根据孟德尔独立 分配定律，两对独立基因自由组合，表现型出现 的概率p=3/4，F2代各表现型出现的概率为 (3/4+1/4)2=9/16+3/16+3/16+1/16， 即黄圆，黄皱，绿圆，绿皱出现的概率分别 为9/16、3/16、3/16及1/16。
2
i 1
4
Oi Ti 2
Ti
1.391
df=(2-1)×(2-1)=1，查表得χ20.05=3.841， χ2< χ20.05 ，即口服给药与注射给药的效果没有显 著不同。因为已经接受H0，不必再矫正。
例题2 行数与列数大于2的r×c列连表χ2检验
各行列对应的理论数的计算方法：
5．相应于2的自由度为k-1，相应于3的自由度为 k-1-a； 6．零假设：因为拟合优度χ2 检验不是针对总体 参数做检验的，因而零假设不需提出具体参数 值，只需要判断观测数是否符合理论数或者某 一理论分布。它的零假设是观测数与理论数相 符合。可以记为H0：O-T＝0； 7．按上述公式计算出χ2值，并与χ2临界值做比较， 当χ2>χ2α时拒绝H0；当χ2<χ2α时接受H0。
生物统计学
第七章 拟合优度检验
7.1 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 拟合优度检验的概念 拟合优度检验是用来检验实际观测数与依照 某种假设或模型计算出来的理论数之间的一致 性，以便判断该假设或模型是否与观测数相配 合。 该检验包括两种类型：第一种类型是检验观 测数与理论数之间的一致性；第二种类型是通 过检验观测数与理论数之间的一致性来判断事 件之间的独立性。这两种类型的问题都使用χ2检 验，但这个χ2 检验与假设检验中所讲的χ2检验是 不同的，假设检验中的χ2检验是对一个正态总体 的方差差异显著性进行检验的方法。
回归分析中的线性模型选择与评估
回归分析中的线性模型选择与评估回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，用于探索自变量与因变量之间的关系。
在回归分析中，线性模型的选择与评估是非常关键的环节。
本文将介绍回归分析中的线性模型选择与评估的方法和步骤。
一、线性模型选择在线性回归分析中，线性模型的选择是基于变量之间的关系和模型的拟合程度。
常见的线性模型选择方法有以下几种：1. 前向选择法（Forward Selection）：从一个空模型开始，逐步添加自变量，每次添加一个最相关的自变量，直到满足一定的准则为止。
2. 后向消元法（Backward Elimination）：从一个包含所有自变量的完全模型开始，逐步剔除最不相关的自变量，直到满足一定的准则为止。
3. 逐步回归法（Stepwise Regression）：结合前向选择法和后向消元法，既可以添加自变量，也可以剔除不相关的自变量。
4. 最优子集选择（Best Subset Selection）：遍历所有可能的子集模型，通过比较其拟合优度和准则选择最优的子集模型。
在选择线性模型时，需要考虑以下几个因素：1. 自变量与因变量之间的相关性：选择与因变量相关性较高、影响较大的自变量。
2. 自变量之间的共线性：避免选择存在共线性问题的自变量，以免降低模型的稳定性和可靠性。
3. 模型的解释力：选择能够提供较好解释因变量变化的自变量。
二、线性模型评估在选择线性模型后，需要对模型进行评估，判断其拟合程度和可靠性。
常用的线性模型评估方法有以下几种：1. 残差分析：通过分析模型的残差（观测值与模型预测值之间的差异）来评估模型的拟合程度和误差。
2. 拟合优度检验：利用F检验或多重判定系数R^2来判断模型是否能够解释因变量的变异。
3. 参数估计与显著性检验：对模型的系数进行估计，并进行显著性检验，判断模型中的自变量是否对因变量有统计显著影响。
4. 多重共线性检验：通过计算VIF（方差膨胀因子）来评估模型中自变量之间的共线性程度。
北理工_数据分析_实验5_数据拟合
北理工_数据分析_实验5_数据拟合引言概述：数据拟合是数据分析中常用的一种方法，通过将实际观测数据与数学模型进行拟合，可以得到模型的参数估计值，从而对未观测数据进行预测和判断。
本文将介绍北理工数据分析实验5中的数据拟合方法及其应用。
一、线性回归拟合1.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用的线性回归拟合方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定最佳拟合直线。
具体步骤包括：计算样本均值、计算样本方差、计算相关系数、计算回归系数、计算拟合直线方程。
1.2 判定系数判定系数是评估线性回归拟合效果的指标，它表示回归模型能够解释因变量变异程度的比例。
判定系数的取值范围为0到1，越接近1表示拟合效果越好。
计算判定系数的公式为：R^2 = 1 - (残差平方和 / 总平方和)。
1.3 拟合诊断拟合诊断是判断线性回归拟合效果的重要步骤，它通过分析残差图、QQ图和杠杆值等指标来评估拟合模型的合理性和可靠性。
合理的拟合模型应该满足残差呈正态分布、残差与拟合值无明显相关、杠杆值在合理范围内等条件。
二、非线性回归拟合2.1 指数拟合指数拟合是一种常见的非线性回归拟合方法，它适合于自变量与因变量之间呈指数关系的情况。
通过对数据进行对数变换，可以将指数拟合问题转化为线性回归问题，然后应用最小二乘法进行拟合。
2.2 对数拟合对数拟合是一种常用的非线性回归拟合方法，它适合于自变量与因变量之间呈对数关系的情况。
通过对数据进行对数变换，可以将对数拟合问题转化为线性回归问题，然后应用最小二乘法进行拟合。
2.3 多项式拟合多项式拟合是一种常见的非线性回归拟合方法，它通过将自变量的高次幂作为新的自变量，将拟合问题转化为线性回归问题。
多项式拟合可以拟合出更为复杂的曲线，但需要注意过拟合的问题。
三、曲线拟合评估3.1 残差分析残差分析是评估曲线拟合效果的重要方法，它通过分析残差的分布、残差的自相关性、残差的异方差性等指标来判断拟合模型的合理性。
卡方拟合优度检验spss
卡方拟合优度检验spss卡方拟合优度检验（Chi-Squaregoodnessoffittest）是统计学上一种用于检验变量之间某特定关系是否正确的统计检验方法，或者检验一组数据是否符合某特定分布的检验。
在数据分析当中，SPSS 软件提供了大量的统计分析工具，它可以方便的实现卡方拟合优度检验的操作，使得研究人员可以更加高效的对数据进行分析检验。
本文主要介绍了卡方拟合优度检验及SPSS软件如何实现其过程。
1、方拟合优度检验介绍卡方拟合优度检验，又称卡方`拟合试验，是统计学当中一种检验变量之间某特定关系是否正确的统计检验方法。
卡方拟合优度检验也可以用来检验一组数据是否符合某特定分布。
它可以用来比较实际观察到的结果与理论分布的差异。
一般来说，在卡方拟合优度检验中，首先事先假设，某一组数据服从某特定的分布，在某一置信水平下，然后计算出实际观测到的结果与理论分布之间的差异，如果这个差异太大，则说明这个假设不符合实际，即该分布不是这个组数据数据的真实分布。
2、 SPSS中卡方拟合优度检验SPSS软件提供了大量的统计分析工具，也可以用来实现卡方拟合优度检验的操作，下面就结合一个例子，介绍一下SPSS如何实现这一过程。
首先，打开SPSS软件，建立档案，并输入数据，例如有10个人，分别有不同的性别，男为1，女为2：编号别1 12 23 24 25 16 27 18 19 210 1然后，点击“分析-非参数检验-自由度卡方拟合优度检验”，在出现的窗口中，将“性别”作为处理变量，选择“描述性统计”和“拟合优度检验”，并点击“确定”按钮，如图1所示：图1 SPSS中的卡方拟合优度检验窗口最后，点击“OK”按钮，结果如下：表1 SPSS卡方拟合优度检验结果拟合优度检验方差由度方值性别 1 3.2 0.48 0.50由表1可得，P=0.48< 0.05，说明拟合优度不太好，可以拒绝原假设，即性别为1、2分别代表男性、女性，从而说明拟合优度检验可以检验变量之间某特定关系是否正确。
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单样本均值的检验：大样本、小样本； 单样本比率的检验：大样本； 双样本均值的检验：大样本、小样本； 双样本比率的检验：大样本； 问题： 大样本和小样本下对总体的先验认识可 以有哪些区别？
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
1
奇志
第四讲复习（续）
问题： 在构造拒绝域时，为什么统计量的抽样 分布是重要的？ 问题： 对第7章中的概念你是否有了更新的认 识呢？
怎样用模型来刻画我们的问题？
我们的总体是什么？ 对总体假定是服从正态分布的，可以吗？
X1
~
N
(1,
2 1
);
X2
~
N(2,
2 2
)
检验假设：
H0
:
2 1
2 2
,
H1
:
2 1
2 2
拒绝域的形状是什么？
c s12
s22
1
或
c , s12
s22
2
如何确定c1, c2 ?
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
：H0: 20.25, H1: 2>0.25; 拒绝域的形状： s2>c, c=?
根据抽样分布确定拒绝域为
(n 1)s2 0.25
2 (n 1)
此时犯第一类错误的概率不会超过， 为什么？
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
2000年12月
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
4
奇志
关于方差…
方差刻画了什么？
一种零件的尺寸的方差；
一种股票收益率的方差；...
方差的点估计：
样本方差
n
s2
1 n1
(xi x)2
i 1
方差的区间估计呢？
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
自动饮料机的例子
某种自动饮料机的饮料灌装量的方差是一个重要的技 术指标，方差太大，意味着可能经常出现过度灌装或 者灌装不足，这会引起饮料机的拥有者或者顾客的不 满。在对某一特定的机器灌装量的测试中，由18杯饮 料组成的随机样本得到样本方差是0.40。
问题：
1）该机器灌装量的方差的点估计是多少？
2）该方差的置信水平为90%的置信区间是什么？
3）如果一个可以接受的方案是方差不超过0.25，根据 测试的结果你是否认为该机器不合格？
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
如何得到方差的置信区间？
为了求置信区间，我们需要什么？
为此，我们需要对总体的分布做哪些要求？对 于饮料的灌装量，这种要求是否合理？
如何得到自由度为17的卡方分布的上下0.05分 位数？(查表得到分别为8.67176, 27.5871) 灌装量方差的置信水平是90%置信区间是
(0.246492,0.784155) 问题：
1）怎么解释以上区间的含义？ 2）给定显著水平0.10, 能否拒绝原假设H0: 2=0.30, 为什么？拒绝域是什么？
司服务质量的指标。学校需要了解这两家公司
的服务质量是否相同，如果相同，他们就会选 择价格较低的一家。他们调查了M公司的25个 到达时间以及G公司的16个到达时间，分别得 到样本的方差是48和20。他们是否有充分的理 由认为两家公司的服务质量不同？
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
15
奇志
下一步，我们需要知道...
在H0成立时，s12 / s22 的抽样分布是什么？ 已有的结果：
当样本容量为n1和n2的独立简单随机 样本分别取自两个方差相等的正态总体
时，
s12 s22
~
F (n1 1,
n2 1)
即自由度为n1-1和n2-1的F分布。
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
关于样本方差的抽样分布的一个结果
(n 1)s2
2
~
2 (n 1)
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
再看卡方分布...
自由度为n-1的卡方分布 以及其上下分位数
21-(n-1)
2(n-1)
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
方差的区间估计
P{
2 1
/
2
(n
1)
(n 1)s2
2
2 / 2 (n 1) } 1
(n 1)s2
P{
2 /2
(n
1)
2
(n 1)s2
2 1
/
2
(n
1)
} 1
所以 2的一个置信区间是
(n 1)s2 2 (n 1)s2
2 / 2 (n 1)
2 1
/
2
(
n
1)
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
灌装量方差的90%置信区间
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
第四讲复习（续）
置信区间和假设检验的关系； 置信系数是1-的置信区间和显著水平是 的双边检验的拒绝域有什么关系？ 匹配样本（双样本）的均值检验问题；
检验的P值。
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
第五讲
方差检验和拟合优度检验
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1, n2
1) 1/F (n2 2
1, n1
1)
对选择校车问题，使用显著水平0.10，
则
s12 s22
F0.05 (24,15)
2.29或者
s12 s22
F0.95 (24,15)
1/ F0.05 (15,24)
1/ 2.11
0.4739
（见P.680-681)
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
关于F分布...
自由度为n和m的F分布。 如何找到分位数？
F1-
F
一个重要的性质：
F (n, m) 1/ F1 (m, n)
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
确定我们的拒绝域
拒绝域应为
s12 s22
F (n1 1, n2 1) 2
或者
s12 s22
F1
2
( n1
11
奇志
取显著水平=0.05时
拒绝域为
s2
0.25 ( n 1)
2 (n
1)
0.25 17
27.5871
0.405693
可以认为该机器不合格吗？
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
小结：单样本方差的检验
H0 :
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
;
H0 :
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
;
H0 :
2
2 0
,
H1
:
2
2 0
;
它们的拒绝域的形状分别是什么？怎样 确定拒绝域？
此时对总体和样本有什么要求？
2000年12月
北京大学光华管理学院 王明进 陈
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奇志
选择哪个公司的校车服务？
Dullus县学校要更新明年的校车服务合同，需 要从Milbank和Gulf Park两家公司中选择一个。 选择校车运送或者到达时间的方差作为衡量公