三次样条插值实验报告

三次样条插值

实验报告

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一、 实验内容和要求

1、阅读上面的文字和程序，试运行，检验程序和上面叙述的正确性。

2、阅读上面的 MATLAB 程序；查资料，了解各 MATLAB 语句及命令。

3、画程序流程图，理解并描述算法。

4、修改上面的程序，能根据给定数据点，求

（1）自然样条插值，边界 S ′′(a )=0, S ′′(b )=0 （2）第二类边界条件，S ′′(a )和S ′′(b )是确定的。

5、使用上面的程序，根据数据点（0，1），（1，0），（2，0），（3，1），（4，2）， （5，2），和（6，1），求三种不同的三次样条插值，其中S ′(0)=−0.6，S ′(6)=-1.8，S ′′(0)=1，S ′′(6)=−1；S ′′(0)，S ′′(6)=0.在同一坐标系中，画出这 3 个三次样条插值和这些数据点。

6、写实验报告（实验内容+算法描述+程序+写成分段函数的结果描述+截图）。

二、 算法说明

定义：设有N+1个点 ，其中 。如果存在

N 个三次多项式 ，

系数为 ，满足如下性质： （1）

（2）

01n a x x x b =<<<=()k S x 1[,],0,1,

,1

k k x x x k N +∈=-0

[,]N

k k k x y =,0,1,2,3(),(),(),()k k k k S x S x S x S x 2

3

,0,1,2,3()S ()()()()k k k k k k k k S x x s s x x s x x s x x ==+-+-+-()k k S x y =0,1,,k N =

（3）

则称函数 为三次样条函数。

因为

是分段三次多项式，所以 在区间 上是分段线性的。

（1）

用 代入上式，可得

（2）

将（2）式积分两次，会引入两个积分常数，并得到

（3） 将 代入上（3），并使用 ，可

分别得到包含

的方程： （4）

求解这两个方程，求出 ，而且将这些值代入方程（3）中，

可得到三次多项式方程：

（5）

表达式5可以简化成只包含未知系数

的形式。 为求这些值，必须使用（5）式的导数，即

（6） 1

lim ()lim ()k

k

k k x x x x S x S x +--→→=1,2,,1k n =-1lim ()lim ()k

k

k

k x x x x S x S x +--→→''=1,2,,1k n =-1lim ()lim ()k

k

k

k x x x x S x S x +--→→''''=1,2,

,1

k n =-()S x 1111()S (x )S (x )

k k

k

k k k k k k x x x x S x x x x x ++++--''''''=+--()S x ()S x ''[,]a b 1

1

1

(),()k

k

k k k

k k

M S x M S x h x x +++''''===-和11

()M k k

k

k k k k x x x x S x M h h ++--''=+1,0,1,

, 1.

k k x x x k N +≤≤=-33111()()()()()66k k k k k k k k k k

k

M

M S x x x x x p x x q x x h h +++=-+-+-+-1,k k x x +和+1+1()()k k k k k k S x y S x y ==和k k p q 和2211,6

6

k k k k k k k k k k M M y h p h y h q h ++=+=+k k p q 和3311111()()()()()6666k k k k k k k k

k k k k k k k k

k

M M y M h

y M h S x x x x x x x x x h h h h +++++⎛⎫⎛⎫

=-

-+-+--+-- ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

{}k M 221111()()()226k k k k k k k k

k

k k k k k k k M M y M h y m h

S x x x x x h h h h h ++++⎛⎫'=--+---+- ⎪⎝⎭

在

处计算（6），并简化结果可得到 ，其中 （7） 同理，在式（6）中用 并计算在 处的解，可得 （8）

利用节点处一阶导函数连续及方程（6）、（7），可得到包含

的重要关系式

（9）

其中

方程组（9）中的未知数是要求的值 ，其他的项可通过数据

点集 进行简单的计算得到的常量。因此方程（9）是包含

N+1个未知数，具有N-1个线性方程的不定方程组。所以需要另外两个方程组才能求解，即边界条件。

如果已知

，则 100001

11

3(())23(())2

N N N N N M

M d S x h M M S x d h ---'=--'=

--

（10）

（11） 根据（9）（10）求出 后，可利用下面的公式计算 的样条系数 。

k x 1

()36

k k k k k k k M m S x h h d +'=--+1k k k k y y d h +-=11,(),k k k S x -'-代替可得到k x 11111()3

6

k k k k k k k M

m S x h h d -----'=++11

,,k k k M M M -+11112()k k k k k k k k h M h h M h M μ---++++=16(),1,2,, 1.

k k k d d k N μ-=-=-{}0N

k M {}0(,)N

k k k x y =0(),()n S x S x ''{}0N

k M ()

k S x 11

1112222322222111N N N N N N N N N b c M a b c M a b C M a b M μμμμ---------⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣

⎦⎣⎦⎣⎦