《管理统计学》第四章

nm2
nm
X -Y za 2Sw
1 n

1 m

1

2

X -Y
za 2Sw
1 1 nm
★未知总体方差,但

2 1
≠

2 2
，均值差推断
需要的定理
(1)当一个总体的变量的取值都相同时,该随机 变量就服从均匀分布。
(2)对于有限总体而言,相同个体重复的比率,就 是个体出现的概率。因此有限总体的不同个体的 比率分布(频率分布),就是有限总体的概率分布。
例如,一个总体包括：红色球4枚、蓝色球5枚、
黄色球7枚,共16枚。红色球出现的比率是 4 ,蓝
x 1 1455 1502 1370 1610 1430 1473.4
5
某工业企业有职工10000人，其中工人8000 人，干部2000人，为了了解职工家庭生活状况， 在工人和干部两个组均以5%的比例抽选职工进行 调查，结果如下表：
按家庭 人均月收入（元）
职工人数（人）
工人
干部
200以下 200——300 300——400 400——600
600以上
20
5
60
13
200
60
80
17
40
5
合计
400
100
一个总体方差未知时均值的置信区间 需要的定理
若随机变量 X ～ N(, 2 ) 则有如下定理成立：
T X ～ t(n 1)
Sn
P（
X S2

n
﹥ta(n-1)）﹦a
x za

n
x za

n
双侧置信区间：
x za 2

n
x za 2

n
均值的标准误差(抽样平均误差)
即任何一个分布函数的标准差,
X
n
是原来分布函数标准差的 n 分之一,或者说 X
分布的方差,就是 X 分布方差的 n 分之一。
均值的标准误差又称为抽样平均误差或均值 标准误、标准误。
16
色球是 5,黄色球是 7。这也是表示颜色的随机
16
16
变量X的概率分布。
大致判断出总体分布的类型后，用样本参数
推断总体分布的相应参数。
均值 方差
1.点估计
不同样本算得的 的估计值不同，因此 还
希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其 包含参数真值的概率达到指定的要求。
重复抽样
2.区间估计 不重复抽样
(n
1)

两个总体均值的置信区间
★已知总体方差, 均值差的推算；
需要的定理
X
～
N
(1
,

2 1
)
Y
～
N
(2
,

2 2
)
则：
若随机变量
Z (x1 x2 ) (1 2 ) ~ N (0,1)

2 1


2 2
n1 n2
x1 - x2 za 2

2 1


第4章 抽样与参数估计
一、样本平均数的抽样分布
身份
X
母亲
1
父亲
1
女儿
3
儿子
5
（1）总体分布 （2）样本分布
样本
样本 母亲，父亲 母亲，女儿 母亲，儿子 父亲，女儿 父亲，儿子 女儿，儿子
样本均值 1 2 3 2 3 4
样本均值的均值是： 1+2+3+2+3+4 6
样本均值的概率分布分布是：
X
概率分布
标准误、标准误。
一个总体方差的区间估计
需要的定理 若随机变量 X ～ N(, 2 ) 则有如下定理成立：

2

(n
1)S 2
2
～ 2 (n 1)
P（ (n 1)S2 ﹥2(n-1)）﹦a
2

(n 1)S 2
,

2 a
2
(n
1)
(n 1)S 2

2 1a
2
① s
1 n 1
n i 1
( xi

x)2
②
s

1 f 1
n i 1
( xi

x)2
f
均值的标准误差(抽样平均误差)
X
S n
即任何一个分布函数的标准差,
是原来分布函数标准差的 n 分之一,或者说 X
分布的方差,就是 X 分布方差的 n 分之一。
均值的标准误差又称为抽样平均误差或均值
样本均值（Sample Mean）
样本均值 x 又称样本平均数仅适用于刻度
级的数据。
①未分组数列
1n x n i1 xi
简单平均数
②分组数列
x

xf f
加权平均数
x ：组中值
f ：频次或次数
例题 设某厂生产的灯泡寿命X～N（，1002），
现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502， 1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命 的估计值为多少？
1
1/6
2
2/6
3
2/6
4
1/6
(1)如果原来的总体呈正态分布，则无论样本
容量为多大，样本均值的抽样分布都呈正态
分布。
(2)如果原来的总体不呈正态分布，且样本容
量不小于30，则样本均值的抽样分布近似于
正态分布。
例如,表示“生产线上生产出来的零件的直径” 的随机变量X,通常服从正态分布。
总体分布的特例 均匀分布 比率(频率)分布
区间估计的种类
重复抽样 方差已知
均值
方差未知
一个总体
不重复抽样 方差已知
方差未知
区间 估计
方差 方差已知
均值差 方差未知且相等
两个总体
方差未知且任意
方差比
重复抽样区间估计的理论基础
一个总体方差已知时均值的置信区间
若 X 服从标准正态分布，那么：
a
za
P（ X ﹥za）﹦a
za
za
2
2
P（ X ﹥za/2）﹦a
需要的定理 若随机变量 X ～ N(, 2 ) 则有如下定理成立：
Z X n
～
N (0，1)
Z X ～ N(0，1) n Nn
N 1
因为 X 服从标准正态分布，所以：
2 n
P（
X 2 n
﹥za）﹦a
P（
X 2 n
﹥za/2）﹦a
单侧置信区间
P（
X
S2 n
﹥ta/2(n-1)）﹦a
X ta (n 1) S , X ta (n 1) S

2
n
2
n
方差和标准差
样本方差 s 2 的计算公式如下：
①
s2

1 n 1
n
( xi
i 1
x)2
②
s2


1 f 1
n i 1
( xi

x)2
f
样本标准差(Standard Deviation)s的定义是：
2 2
n1 n2
1 2
x1 - x2
za 2

2 1


பைடு நூலகம்
2 2
n1 n2
★未知总体方差,但

2 1
=

2 2
，均值差推断
需要的定理
若随机变量 X
～N
(
1
,

2 1
)
Y
～
N
(
2
,

2 2
)
则：
t
( X Y ) (1 2 )
~ t(m n 2)
(n 1)S12 (m 1)S22 1 1