《数学物理方法》复习题

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数学物理方法试题(卷)

数理方法概论试题及参考答案一、简答题（每小题5分，共20分）1. 写出高斯定理⎰⎰⋅∇=⋅SVdV d A S A2. 在斯托克斯定理()⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLd A d S l A中, L 是式中那个量的边界线? 3. 定解问题包含那两部分?在数学上,边界条件和初始条件合称为定解条件,数学物理方程本身(不连带定解条件)叫做泛定方程.定解条件提出具体问题,泛定方程提供解决问题的依据,作为一个整体,叫做定解问题. 4. 边界条件有那几类?1) 直接规定边界上的值.这叫做第一类边界条件.()()t ,z ,y ,x f t ,z ,y ,x u S 000=2) 直接规定梯度在边界上的值.这叫做第二类边界条件.()t ,z ,y ,x f nu S000=∂∂3) 规定了边界上的数值与(外)法向导数在边界上的数值之间的一个线性关系.()t ,z ,y ,x f n u H u S 000=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+4) 除上述的边界条件外,在求解物理问题时,一般还会遇到所谓的自然边界条件.自然边界条件一般由物理问题本身提出,由于真实的物理量应该是有限的,而在无穷远或坐标原点处的数学的解往往会包含无穷大的解在内,这时从物理上考虑应该舍去这些解,这就构成了上述的自然边界条件.除此之外还有周期性自然边界条件.二、证明题（每小题20分，共40分）1. 证明 ϕϕ2∇≡∇⋅∇ 证: 2222222x y z x y z x y z ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇⋅∇=++⋅++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=++≡∇ ⎪∂∂∂⎝⎭xy z x y z e e e e e e 2. 证明不同阶的勒让德多项式在区间()11+-,上正交.()()()l k dx x P x P lk≠=⎰+-011证明：设本征函数k P 和l P 分别满足勒让德方程()()()()01101122=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l l k k P l l dx dP x dx d P k k dx dP x dx d前一式乘以l P ，后一式乘以k P ，然后相减得()()()()[]0111122=+-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-l k l k k lP P l l k k dx dP x dx d P dx dP x dx d P 从1-到1+积分得()()()()11221101111k l l k k l dP dP d d P x P x dx k k l l P Pdx dx dx dx dx ++--⎧⎫⎡⎤⎡⎤=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ()()()()1122111111k l l k k l dP dP d x P x P dx k k l l P Pdx dx dx dx ++--⎧⎫=---++-+⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⎰⎰()()()()()()()()222211111111111111k l k l l k l k x x k l k l dP dP dP dP x P x P x P x P dx dx dx dx k k l l P Pdxk k l l P Pdx==-+-+-⎡⎤⎡⎤=-------⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++-+⎡⎤⎣⎦=+-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰当l k ≠时即有：()110k lP Pdx k l +-=≠⎰三、计算题（每小题20分，共40分）1. 研究矩形波(见图1)1(0,)(2,(21))()1(,0)((21),2)m m f x m m ππππππ++⎧=⎨---⎩于以及于以及的频谱.解:根据()01cos sin k k k k x k x f x a a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑及()1cosln ln n a f d l lπξξξδ-=⎰ ()1sin l n l n b f d l lπξξξ-=⎰这里l π=可以求得:x()()000111(1)10222111cos (cos )cos 0n a f d d d a f n d n d n d ππππππππξξξξπππξξξξξξξπππ----==-+===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()[][]00122sin sin cos 22cos 1(1)1n nb f n d n d n n n n n ππππξξξξξξππππππ-===-⎡⎤=-+=--+⎣⎦⎰⎰当 220k n kb == 当 21421(21)k n k b k π+=+=+因此得到该函数的展开式为:04sin(21)()21k k xf x k π∞=+=+∑ 需要注意的是:由于所给函数是奇函数,所以展开式中只有sin 项而没有cos .如果所给函数是偶函数,那么展开式中就只有cos 项而没有sin 项.2. 求0=+''y y λ (0=+''ΦλΦ)满足自然周期条件()()x y x y =+π2 [()()φΦπφΦ=+2]的解.解：方程的系数()()λ==x q ,x p 0在指定的展开中心00=x ，单值函数(),x p 00=和()λ=0x q 是有限的，它们必然是有限的，它们必然在00=x 为解析的.因此，点00=x 是方程的常点.可设() +++++=k k x a x a x a a x y 2210从而()() ++++++='+k k x a k x a x a a x y 123211321()()() +++++⋅+⋅+⋅=''+k k x a k k x a x a a x y 2243212342312把以上的级数代入微分方程.至于()()λ==x q ,x p 0都是只有常数项的泰勒级数，无需再作展开.现在把各个幂次的项分别集合如下令上表各个幂次合并后的系数分别为零，得一系列方程01202=+⋅a a λ 02313=+⋅a a λ03424=+⋅a a λ 04534=+⋅a a λ............... ...............()()0122=++++kk a a k k λ最后一个式子是一般的.所有这些式子指出从kx 项的系数k a 可以推算出2+k x 项的系数2+k a ，因而叫做系数的递推公式.按照递推公式具体进行系数的递推.()()()()()()20312242053122120021112!3!434!545!11112!2!21!kk kkkkkkk k a a a a a a a a a a a a a a a k k k λλλλλλλλ++=-=-=-=+=-=+⋅⋅-=-=-=-=+这样，我们得到方程的解()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=+ 125312420!1211!51!31!211!41!211k k k kxk x x x a x k x x a x y λλλλλλλλ还需要确定这个级数的收敛半径.其实，上面两个[ ]正是cos θ和sin θ，其收敛半径为无穷大.于是()0y x a =既然1a 是任意常数，λ1a 当然还是任意常数，将λ1a 写成B ，0a 写成A ，则有()y x A B =+这个常微分方程和它的解实际早已知道，这里用级数方法只是为了了解级数解法的步骤.考虑到要满足自然周期条件()()x y x y =+π2则m =λ， 3210,,,m =.所以有解()cos sin y x A mx B mx =+。

数学物理方法试卷

数学物理方法试卷数学物理方法是一门重要的学科，它将数学和物理学相结合，以求解物理问题为目标。

本文档旨在提供一份针对数学物理方法的试卷，帮助学生加深对该学科的理解和应用能力。

一、选择题（共10题，每题2分）1. 下列哪个是四位数？A. 123B. 12345C. 123456D. 12342. 如何计算三角形的面积？A. 底乘高除以2B. 长乘宽C. 半径的平方乘以πD. 无法计算3. 下列哪个是速度的单位？A. 米/秒B. 千克C. 焦耳D. 牛顿4. 什么是牛顿第三定律？A. 物体的加速度和作用力成正比B. 物体的质量和加速度成正比C. 在力的作用下，物体会产生加速度D. 任何作用力都有一个相等且方向相反的反作用力5. 单位矩阵是什么？A. 所有元素都为1的矩阵B. 所有元素都为0的矩阵C. 对角线上元素都为1，其他元素为0的矩阵D. 所有元素都相等的矩阵6. 下列哪个是圆的面积公式？A. πr^2B. 2πrC. πd^2D. 0.5πr^27. 加速度的单位是什么？A. 米/秒^2B. 米/秒C. 十米/秒^2D. 千米/小时8. 下列哪个公式用于计算动能？A. F = maB. W = FdC. E = mc^2D. KE = 1/2mv^29. 如何计算两个向量的点积？A. 向量相乘再求和B. 向量相除C. 向量相减D. 无法计算10. 下列哪个没被广义相对论所解释？A. 引力B. 黑洞C. 宇宙膨胀D. 电磁力二、解答题（共3题，每题10分）1. 请用泰勒级数展开sin(x)，并计算在x=π/6时的近似值。

2. 请用微分方程求解y'' + 4y = 0，并给出其特解。

3. 请解释质心是什么，并说明为什么在某些问题中质心坐标系非常有用。

本试卷针对数学物理方法的知识进行了全面的考察。

选择题部分测试了学生的基础知识和概念理解能力，而解答题则要求学生能够运用所学的数学物理方法进行实际问题的求解和解释。

数学物理方法复习资料及参考答案（一）

数学物理方法复习资料及参考答案（一）数学物理方法复习资料及参考答案（一）一、填空题： 1. 复数ii -+11用三角式可表示为（主辐角[)π2,0）。

2. 已知幂级数∑∞=0k kk z a 和∑∞=0k kk z b 的收敛半径分别是1R 和2R ，则幂级数()∑∞=±0k k k k z b a 的收敛半径为：。

3. 勒让德多项式()l P x 的模l N = ()0,1,2,l = 。

4. 在00=z 的邻域上，z e z f 1)(=展开的洛朗级数为：。

5. 函数2)2)(1()(--=z z z z f 的留数)1(resf ＝。

6. 求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为)(x ?，初始速度为)(/x a ?-，=),(t x u 。

7. 在00=z 的邻域上，z z f sin )(=的泰勒级数为：。

8. 幂级数()∑∞=-11k k i z k的收敛圆：。

9. 数理方程中的定解条件包括三大类初始条件、和衔接条件。

10. 在本征值问题()()()'''12012--+=-1<<±1??x y xy y x y λ有限中，方程()'''1202--+=x y xy y λ称为__ _ _ __微分方程，该本征值问题的本征值λn =___ _ ，相应本征函数是y x n ()=__________，其中n=___ _ ____，该本征函数称为______ __ _，写出它的表达式(至少一种)：___________ _____。

二、简答题：1、孤立奇点分为几类？如何判别？2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。

三、基础题：1、计算实变函数定积分()()222294x dxI xx ∞=++?2、已知解析函数()f z 的实部233),(xy x y x u -=，0)0(=f ，求虚部和这个解析函数。

XXX《数学物理方法》复习思考题及答案

XXX《数学物理方法》复习思考题及答案数学物理方法》复思考题一、单项选择题1、函数f(z)以b为中心的罗朗（Laurent）展开的系数公式为C．k=0的情况为f(b)，k>0的情况为f(k)(b)/k。

k<0的情况为f(k)(b)(z-b)^k2、本征值问题X''(x)+λX(x)=0,X(0)=0,X(l)=0的本征函数是B．sin(nπx/l)3、点z=∞是函数cot z的B．孤立奇点4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是A．泛定方程和初始条件为齐次5、设函数f(z)在单连通区域D内解析，C为D内的分段光滑曲线，端点为A和B，则积分∫Cf(z)dzC．与积分路径及端点坐标无关6、条件z<1所确定的是一个A．单连通开区域7、条件|z-1|<2所确定的是一个B．复连通开区域8、积分∫|z|=1 zcosz^2 dz=B．-19、函数f(z)=1/(1-z)在z+1>2内展成z+1的级数为D．∑(n+1)z^n10、点z=-1是函数f(z)=sinz的B．孤立奇点二、填空1、复数(1-i√3)/2的三角形式为1，其指数形式为e^(-iπ/3)。

2、复数sin(π/5)+icos(π/5)的三角形式为cos(2π/5)+isin(2π/5)，其指数形式为e^(i2π/5)。

3、复数(1+i√3)/2的实部u=1/2，幅角θ=π/3，虚部v=√3/2，模r=1.4、复数-2+i2的实部u=-2，虚部v=2，模r=2√2，幅角θ=3π/4.5、z^4+1=0的解为±1±i。

6、z^4+a^4=0的解为±a±ai。

1.z4-1-i的解为，ez=1+i的解为，ii=（删除明显有问题的段落）2.对于积分∫cosz dz，z=1，积分∫z3cosz dz，对于积分∫zcosz2 dz，z=1，积分∫zsinz dz=1，需要进行小幅度的改写。

数学物理方法

《数学物理方法》试题（A 卷）说明：本试题共3页四大题，30小题。

1．z 为复数，则（）。

A ln z 没有意义；B ln z 为周期函数；C Ln z 为周期函数；D ln()ln z z -=-。

2．下列积分不为零的是（）。

A 0.51z dz z π=+⎰； B 20.51z dz z π=-⎰； C10.5z dzz π=+⎰； D211z dz z π=-⎰。

3．下列方程是波动方程的是（）。

A 2tt xx u a u f =+； B 2t xx u a u f =+；C 2t xx u a u =； D2tt x u a u =。

4．泛定方程2tt x u a u =要构成定解问题，则应有的初始条件个数为（）。

A 1个；B 2个；C 3个；D 4个。

5．二维拉普拉斯方程的定解问题是（）。

A 哥西问题； B 狄拉克问题； C 混合问题； D 狄里克雷问题。

6．一函数序列的序参量n趋于某值a时有()(,)()()n ax f n x dx x f x dx ϕϕ→−−−→⎰⎰则我们称（）。

A (,)f n x 收敛于()f x ；B (,)f n x 绝对收敛于()f x ；C (,)f n x 弱收敛于()f x ；D (,)f n x 条件收敛于()f x 。

7．傅里叶变换在物理学和信息学中能实现（）。

A 脉冲信号的高斯展宽；B 高斯信号压缩成脉冲信号；C 实空间信号的频谱分析；D 复频信号的单频滤波。

8．用分离变量法求解偏微分方程定解问题的一般步骤是（）。

A 分离变量解单变量本征值问题得单变量解得分离变量解； B 分离变量得单变量解解单变量本征值问题得分离变量解； C 解单变量本征值问题得单变量解分离变量得分离变量解； D 解单变量本征值问题分离变量得单变量解得分离变量解。

9．下列表述中不正确的是（）。

A 3sin zz 在0z =处是二阶极点；B 某复变函数在开复平面内有有限个奇点，所有这些奇点的残数之和为零；C 残数定理表明，解析函数的围线积分为复数；D 某复变函数在某处为m 阶极点，则其倒函数在该奇点处为m 阶零点。

数学物理方法复习题[1]

1数学物理方法复习题1. 利用Laplace 变换方法求解下述常微分方程()()()24,01,02,0 2.y y y y y y ì¢¢¢¢¢¢-+=ïïí¢¢¢ï===-ïî 2. 利用Laplace 变换方法求解下述常微分方程组()()()320,20,00,01,00.x x x y y x x y y x x y ìï¢¢¢¢-++-=ïïï¢¢-++=íïï¢===ïïî 3. 应用积分变换求解下面的热传导方程()()20,,,0,|,.t xx t u a u f x t x t u x x j =ìï-=-¥<<¥>ïíï=-¥<<¥ïî 4. 利用积分变换求解半无界弦上的微小横振动问题 ()()20000,0,0,0,0,,lim ,.tt xx t t t x x u a u x t u u u f t u x t === +¥ìï-=>>ïïï==íïï=<+¥ïïïî 5. 求解硅片的恒定表面浓度扩散问题 2000,(0),0.t xx x t u a u x u N u ==ìï=>ïïï=íïï=ïïî 6. 求解初值问题2002350,5,0.xx xy yy y y y u u u u x u ==ì--=ïïíï==ïïî 7. 求圆锥杆的纵振动问题。

数学物理方法题库

z 4 dz ，其中积分路径 C 为： 9, 计算 C z2 1 1 1 ， z 1 ；（3）， z 2。（1）， z 1 ；（2） 2 2
10, 设 f z

C
3 7 1 d ，其中积分路径 C 为圆周 x 2 y 2 3 ，求 f '(1 i ) 。 z
xn (n 1, 2,) 及 yn (n 1, 2,) 分别以 x0 及y 0 为极限。
17，证明：三角形三内角和等于。
3
第二章
习题 1, 证明下列函数在 z 平面上处处不可导。 (1) z 。 2, 试证 (1) f ( z ) x iy 仅在原点有导数。
3 3
解析函数
2 2 2
(2) cos z cos xchy i sin xshy 。 (4) cos z cos x sh y 。
2 2 2
15, 证明 sin z 与 cos z 是以 2 为周期的函数，而 e ， shz ， chz 是以 2i 为周期的函数。
x
16, 证明 w 3 z 的三个单值分支在割破的 z 平面上的任一区域上都是解析的。 17, 设 w 3 z 确定在沿负实轴割破了的 z 平面上，并且 w(i ) i ，求 w(i ) 。 18, 试解方程 (1) e 1 i 3 。
2 2
11, 证明 f ( z ) 与 f ( z ) 必同时为解析函数或不是解析函数。 12, 设 w 是 z 的解析函数，证明 13, 定义 shz
x y x y ，， ( w u iv, z x iy ) 。 u v v u
e z e z e z e z 和 chz 分别为双曲正弦函数及双曲余弦函数，试证 2 2

物理数学方法试题及答案

物理数学方法试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪项不是傅里叶变换的性质？A. 线性B. 可逆性C. 尺度变换D. 能量守恒答案：D2. 拉普拉斯变换的收敛区域是：A. 左半平面B. 右半平面C. 全平面D. 虚轴答案：B3. 以下哪项是线性微分方程的特征？A. 可解性B. 唯一性C. 线性叠加原理D. 非线性答案：C4. 在复数域中，以下哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. z*zD. z/|z|答案：A5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 傅里叶级数展开中，周期函数的系数可以通过______计算得到。

答案：傅里叶系数2. 拉普拉斯变换中，s = σ + jω代表的是______。

答案：复频域3. 线性微分方程的解可以表示为______的线性组合。

答案：特解4. 复数z = a + bi的共轭复数是______。

答案：a - bi5. 波动方程的一般解可以表示为______和______的函数。

答案：空间变量；时间变量三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述傅里叶变换和拉普拉斯变换的区别。

答案：傅里叶变换主要用于处理周期信号，将时间域信号转换到频域；而拉普拉斯变换适用于非周期信号，将时间域信号转换到复频域。

2. 什么是波动方程？请给出其一般形式。

答案：波动方程是描述波动现象的偏微分方程，一般形式为∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u是波函数，c是波速。

3. 请解释什么是特征值和特征向量，并给出一个例子。

答案：特征值是线性变换中，使得变换后的向量与原向量方向相同（或相反）的标量。

特征向量则是对应的非零向量。

例如，对于矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则λ是A的特征值，v是对应的特征向量。

数学物理方法试题汇总

12届真题1．求下列各小题（2*5=10分）：（1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-<；（2）给出序列(1/)sin 6n n z i n π=+的聚点；（3）在复数域中求解方程cos 4z =的解；（4）给出二阶偏微分方程的基本类型；（5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。

2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）：（1）320Re izdz +⎰，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线；（2）11,==⎰积分路径由z=1出发的。

3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）：（1）241x dx x +∞-∞+⎰；（2）3||1zz e dz z =⎰。

4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。

5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y∂∂-=-∂∂（15分）。

6．利用分离变量法求解：（20分）2222000(),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====⎧∂∂-=-⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==∂⎪⎩7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分）220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0.x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞⎧∂∂-=>>⎪∂∂⎪⎪=>⎨⎪=>⎪⎪⎩有界，2005级一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1. 三维泊松方程是______________________________2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。

3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。

4. 定解问题2002||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩，，的解__________________________。

数学物理方法复习题.docx

第一部分:填空题1复变函数/(z) = w(x, y) + zv(x, y)在点z = x + iy 可导的必要条件是 2柯西黎曼方程在极坐标系屮的表达式为 _____3复变函数/(z) = |z|2 z 在乙= ______ 处可导 4复变函数f{z) = xy + iy^£z = __ 处可导指数函数f(z) = e z的周期为fCOSTTZ r-------- ^dz 审d在Z 。

= 1的邻域上将函数.f ⑵=严展开成洛朗级数为cos z17 z°=0为函数一^的 ________ 阶极点Z■ 18 z°=0为函数畔的 _________ 阶极点Z12 13 1415 将J"在z° =0的邻域上展开成洛朗级数为— 将sin — 在z° = l 的邻域上展开成洛朗级数为 z-1Z 。

= 0为函数晋的 _________________ Z ()= 0为函数sin-的 _______________Zsin 16 I z°=l 为函数幺匚的 1011]_严函数/(z)=——在z o=O 的留数Re”*(O) = ___________Z函数/(Z)=亠一z在％=1的留数Re眇(1) = _________ 在无限远点的留数Re 5/(oo)= _______函数 /(z)-^IZ在z°=0 的留数Re 5/(0) = ______________cos z函数/(z) = 在z° = 0 的留数Re5/(0) = ____________zsin z函数/(z)=——厂在z° = 0的留数Re“(O) =_________Z'积分J： /(C力仏 Y)必= ______ a e (d,b))两端固定的弦在线密度为= 兀)sin//的横向力作用下振动，泛定方程为______________ •两端固定的弦在点*0受变力°/(X，0 = pfo sin血的横向力的作用，其泛定方程为____________________ .弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F = -R Ul (R为阻力系数), 弦在阻尼介质中的振动方程为_____________________ o长为/的均匀杆，两端有恒定的热流％进入，其边界条件为______________ ・长为/的均匀杆，一端x = 0固定，另一端兀二/受拉力花的作用而作纵振动，其边界条件为__________________长为/的均匀杆，一端x = 0固定，另一端兀受拉力忆的作用而伸长，杆在放手后振动,其边界条件为__________________________初始条件为________________________________ .长为/的两端固定的弦，在兀。

数学物理方法复习题

第一部分:填空题1复变函数f(z) u(x,y) i v(x,y)在点z x i y可导的必要条件是____ 2 柯西黎曼方程在极坐标系中的表达式为_______ 3 复变函数f(z) zz在z ____处可导4复变函数f(z) xy i y在z ____处可导5 ln( 1) _____6 指数函数f(z) ez的周期为______ 21dz _____ 7 1z 2(z )2zezdz _____ 8 z 3z 3 19 dz _____ 2 z 4z 2 1cos zd z _________ 5(z 1)z 111 z10 11 在z0 1的邻域上将函数f(z) e展开成洛朗级数为__________12 将e1/z在z0 0的邻域上展开成洛朗级数为_____________1在z0 1的邻域上展开成洛朗级数为________________ z 1sinz14 z0 0为函数的________________ 2z115 z0 0为函数sin的________________ z13 将sin16 z0 1为函数e17 z0 0为函数11 z的____________________ cosz的______阶极点4zsinz18 z0 0为函数4的______阶极点z1 e2z19 函数f(z) 在z0 0的留数Resf(0) ________ z320 函数f(z) e11 z在z0 1的留数Resf(1) ________,在无限远点的留数Resf( ) ________21 函数f(z) e1/z2在z0 0的留数Resf(0) ________22 函数f(z) cosz在z0 0的留数Resf(0) ________ 3zsinz23 函数f(z) 3在z0 0的留数Resf(0) ________ z24 积分 f( ) (t0 )d ______ (t (a,b) )ab25 两端固定的弦在线密度为 f(x,t) (x)sin t的横向力作用下振动,泛定方程为_______________.26 两端固定的弦在点x0受变力 f(x,t) f0sin t的横向力的作用,其泛定方程为_________________.27 弦在阻尼介质中振动，单位长度的弦所受的阻力F R ut（R为阻力系数），弦在阻尼介质中的振动方程为_______________。

数学物理方法复习资料及参考答案(二)

数学物理方法复习资料及参考答案(二)一、选择题:1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ )A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()(20 B !)(0)(k z f C k k =C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)()(2 2。

⎰=-l dz a z )(（）（其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。

A i ⋅πB iC i ⋅-πD 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ )A )()(tB x t A + B x t A )(C )(t BD x t B x t A )()(2+ 4。

)(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨⎧<<<=)(0)0()(t T T t ht f在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（） Aw h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D wwTh cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00====l x x xu u 的本征值和本征函数：（） A ),3,2,1,0(cos )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλB ),3,2,1(sin )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλC ),3,2,1,0()21(cos )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X ln n n n ππλD ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X l n nn n ππλ6. 若集合是（）,则该集合是区域。

A 开集B 连通开集C 连通闭集D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（）Alim ()Z af Z →存在且有限 Blim ()Z af Z →不存在C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项8。

数学物理方法试卷与答案

《数学物理方法》试卷一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（）A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（）A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.3．牛曼内问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∇Γf n u u ,02 有解的必要条件是（）A ．0=f .B ．0=Γu .C ．0=⎰ΓdS f . D ．0=⎰ΓdS u .4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题⎩⎨⎧==<<=+0)()0(0 ,0)()(''l X X lx x X x X λ的解是（）A ．) cos , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛. B ．) sin , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-. D ．) 2)12(sin,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u .C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x .D ．023=+-yy xy xx u u u .二、填空题（每题4分，共20分）1．求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==>-==><<=∂∂-∂∂====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x ut u t t t x x 的解是_____________________________________.2．对于如下的二阶线性偏微分方程0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx其特征方程为________________________________________________________. 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++x y xx y x x y 的任一特解=y __________ _______________________________________________.4．二维拉普拉斯方程的基本解为________________________________________，三维拉普拉斯方程的基本解为__________________________________________. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2121ππ==-，利用Bessel 函数递推公式求=)(23x J _______________________________________.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22222000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x lt t t u ua x l t t x uu x x u x ul ====⎧∂∂-=<<>⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪⎪==≤≤⎪⎩四、（10分）用行波法求解下列问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞-=∂∂=+∞<<∞->=∂∂-∂∂∂+∂∂==.,0 ,3 , ,0 ,03202022222x y u x u x y y uy x u xu y y五、（10分）用Laplace 变换法求解定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<=>==><<∂∂=∂∂===.20 ,sin ,0 ,0,0 ,20 ,02022x x u t u u t x x ut u t x x π六、（15分）用格林函数法求解下定解问题222200, y 0,() , .y u ux y u f x x =⎧∂∂+=<⎪∂∂⎨⎪=-∞<<+∞⎩七、（10分）将函数()f x x =在区间[0，1]上展成Bessel 函数系(1)11{()}m m J x μ∞=的级数，其中(1)m μ为Bessel 函数1()J x 的正零点，1,2,m = .2008—2009学年第二学期《数学物理方法》试卷B 答案一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ）A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ）A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.3．牛曼内问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∇Γf n u u ,02 有解的必要条件是（ C ）A ．0=f .B ．0=Γu .C ．0=⎰ΓdS f . D ．0=⎰ΓdS u .4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题⎩⎨⎧==<<=+0)()0(0 ,0)()(''l X X lx x X x X λ的解是（ B ）A ．) cos , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛. B ．) sin , (2x l n l n ππ⎪⎭⎫⎝⎛. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-. D ．) 2)12(sin,2)12( (2x l n l n ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u .C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x .D ．023=+-yy xy xx u u u .二、填空题（每题4分，共20分）1．求定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==>-==><<=∂∂-∂∂====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x ut u t t t x x 的解是(x t cos sin 2).2．对于如下的二阶线性偏微分方程0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++x y xx y x x y 的任一特解=y （ )21(23x J 或0).4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r1ln），三维拉普拉斯方程的基本解为（ r1）.5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2121ππ==-，利用Bessel 函数递推公式求=)(23x J （)s i n )(1(2)cos sin 1(223xxdx d x x x x x x ππ-=- ）.三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题22222000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u ua x l t t x uu x x u x ul ====⎧∂∂-=<<>⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪⎪==≤≤⎪⎩解：第一步：分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得)()()()()()()()(2''''''2''x T a x T x X x X t T x X a t T x X =⇒=此式中，左端是关于x 的函数，右端是关于t 的函数。

数学物理方法考试试题1

课程试卷库测试试题（编号：1 ）一、判断题（对的打“√”，错的打“×”，共5题，每题4分）1、在复数领域，i z e 的周期是2i π。

（ × ）2、柯西一黎曼方程是复变函数可导的充分条件。

（ × ）3、设()f x 的傅里叶变换的像函数是()F ω，则'()f x 的傅里叶变换的像函数是()i F ωω。

（ √ ） 4、在推导均匀弦的微小横振动方程时，如果我们假定弦是柔软的，那么弦中张力必沿弦的切线方向。

（ √ ）5、在波动方程的定解条件中，初始条件只有一个。

（ × ）二、填空题（共5题，每题4分）1、s ()in a ib +的模为22221()s ()c 2b b b b e e in a e e os a --++- 2、在00Z =的领域，函数1z e 的洛朗展开式为：23101111111111!2!3!!kz k e z z z k z ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 3、s t e in t λω-的拉普拉斯变换函数为()22ωρλω++ 4、若()f x 的傅里叶变换为()F ω，则()f x α的傅里叶变换为1F ωαα⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5、均匀弦的微小横振动的波动方程可写为20tt xx u a u -=三、选择题（共5题，每题4分） 1、关于1()1n f z z =-函数的极点和留数问题，正确的说法是（ 4 ） ⑴ n 阶极点00z =，留数为1。

（2）n 阶极点00z =，留数为1n。

（3）单极点00z =，留数为1n 。

（4）单极点01z =，留数为1n 。

2、回路积分212z z e dz =⎰ 的值为（ 4 ）⑴ π， ⑵ 2i π， ⑶ 2π， ⑷ 0。

3、函数n t 的拉普拉斯变换像函数为（ 4 ）⑴ 11n p +， ⑵ !n p ， ⑶ !n n p ， ⑷ 1!n n p +。

4、拉普拉斯像函数为46(1)p +，则原函数为（ 1 ） ⑴ 3t t e -， ⑵ 3t ， ⑶ t e - ⑷ 3t t e 。

数学物理方法复习题

数学物理方法复习题数学物理方法复习题数学物理方法是一门综合性的学科，它涵盖了数学和物理两个领域的知识和方法。

在学习数学物理方法时，我们需要掌握各种数学工具和物理定律，并能够灵活运用它们解决实际问题。

为了加深对数学物理方法的理解和掌握，下面我将给大家提供一些复习题，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 矢量分析(1) 给定两个矢量A = 3i + 4j + 5k和B = 2i - j + 3k，求A和B的数量积和向量积。

(2) 已知矢量C = 2i + 3j - 4k，求C的模长和方向角。

2. 微积分(1) 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的导函数和不定积分。

(2) 计算定积分∫[0, π] sin^2(x) dx。

3. 偏微分方程考虑二维热传导方程∂u/∂t = k(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)，其中k为常数。

(1) 求解该偏微分方程的齐次解。

(2) 若边界条件为u(0, y, t) = u(π, y, t) = 0和u(x, 0, t) = sin(t)，求解该偏微分方程的非齐次解。

4. 线性代数考虑线性方程组Ax = b，其中A为3×3矩阵，x和b为列向量。

(1) 当A为可逆矩阵时，求解该线性方程组。

(2) 当A为奇异矩阵时，讨论该线性方程组是否有解，并给出解的形式。

5. 牛顿力学(1) 一个质点在势能函数V(x) = kx^2/2中运动，其中k为常数。

求质点的运动方程和运动轨迹。

(2) 一个质点在势能函数V(x) = kx^3/3中运动，其中k为常数。

求质点的运动方程和运动轨迹。

通过解答上述复习题，我们可以巩固对数学物理方法的理解和应用能力。

在解题过程中，我们需要熟练运用矢量分析、微积分、偏微分方程、线性代数和牛顿力学等数学物理方法。

同时，我们还需要注意问题的分析和求解思路，合理运用数学物理知识解决实际问题。

在学习数学物理方法时，我们还可以通过阅读相关的教材和参考书籍，做更多的习题来提高自己的理解和应用能力。

数学物理方法期末考试大题

2
2、求解热传导问题
ut a 2u xx A sin t u x |x 0 0, u |x l 0 u | x t 0
3、两端固定弦在点 x0 受谐变力 f t f0 sin t 作用而振动，求解振动情况。[提示：外加力的线密度可表示为 f x, t f 0 sin t x x0 ]
4、均匀的薄板占据区域 0 x a ， 0 y b 。边界上的温度

u |x 0 0 ， u |x a 0 ， u | y 0 u0 ， lim u 0
y
求解板的稳定温度分布。
三、非齐次方程的分离变数法（15 分） 1、长为 l 的均匀细杆两端固定，杆上单位长度受有纵向外力 f 0 sin 2 x l cos t ，初始位移为 sin x l ，初始速度为零，求解杆的纵振动。
4、求解细杆导热问题。杆长 l ，初始温度均匀为 u0 ，两端分别保持温度 u1 和 u2 。
四、球函数（12 分） 1、一空心圆球区域，内半径为 r1 ，外半径为 r2 ，内球面上有恒定电势 u0 ，外球面上电势保持为 u1 cos 2 ， u0 、 u1 均为常数，试求内外球面之间空心圆球区域的电势分布。
数学物理方法期末考试大题数学物理方法判断题数学物理方法数学物理方法复习数学物理方法教材数学物理方法试卷数学物理方法课件数学物理方法pdf数学物理方法试题数学物理方法答案
一、拉普拉斯变换（8 分） 1、求积分 I t

0
cos tx dx x2 a2
二、齐次方程的分离变数法（15 分） 1、求解细杆导热问题，杆长 l ，b 为常数，两端保持为零度，初始温度分布

数学物理方法考试试题

数学物理方法考试试题一、选择题1. 在坐标系中，以下哪个曲线表示了函数 y = e^x 的图像？A. y = x^2B. y = eC. y = e^(-x)D. y = ln(x)2. 一个小球从地面上方以速度 v0 抛下，忽略空气阻力。

以下哪个公式正确地描述了小球的下降高度 h(t) 随时间变化的关系？A. h(t) = v0 * t - 0.5 * g * t^2B. h(t) = v0 * t + 0.5 * g * t^2C. h(t) = v0 * t + g * t^2D. h(t) = v0 * t - g * t^23. 空间中有一个电场 E = 2x i + 3y j + 4z k。

一个电子从点 (1, 2, 3) 处开始沿电场方向运动，电子的加速度大小是多少？A. 7B. 5C. 6D. 44. 一个质点在平面上做匀速圆周运动，其角速度大小为 2 rad/s。

质点的速度大小和圆周半径分别是多少？A. v = 2rB. v = 4rC. v = 6rD. v = 8r5. 一辆汽车以匀加速度 a 行驶，在时刻 t1 时起动，时刻 t2 时速度为 v2。

以下哪个公式可以用于计算汽车在时间区间 [t1, t2] 内行驶的距离？A. s = v2 - v1B. s = a * (t2 - t1)C. s = v1 * (t2 - t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2D. s = v1 * (t2 + t1) + 0.5 * a * (t2 - t1)^2二、计算题1. 计算下列函数的导数：(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4(2) g(x) = e^x * sin(x)2. 一个弹簧的劲度系数为 k，质量为 m 的物体悬挂在弹簧上。

当物体受到外力 F(t) = 2cos(t) 作用时，确定物体的运动方程并解释物体的运动特性。

3. 一个半径为 R 的圆形铁环在匀强磁场 B 的作用下，磁通量在时间区间 [0, t] 内以恒定速率增大。

数学物理方法考题汇总

第一章一维波动方程的付氏解一．简述偏微分方程，阶，线性非线性，齐次非齐次的概念答：（1）含有未知函数关于自变量的偏导数的等式称为偏微分方程，简称PDE(Partial Differential Equation)（2）偏微分方程的阶：出现在偏微分方程中未知函数偏导数的最大阶数。

（3）方程中各项关于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，称为线性；否则称为非线性方程。

（4）不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项，自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。

二．P24(8) 指出下列微分方程的阶、线性、齐次性：①(Tricomi 方程): 0xx yy yu u += （2阶线性齐次）②(Klein-Gordon 方程): 220tt u y u c u -∆+=（2阶线性齐次）③(激波方程): 0t x u uu += （1阶非线性齐次） ④(KdV 方程 ): 60t x xxx u uu u -+= （3阶非线性齐次）⑤(多空介质方程): mt u k u =∆ （2阶非线性齐次）三．简述二阶线性偏微分方程的分类方法，P24(9) 对方程111222122+++++=xxxy yy x y a u a u a u b u b u cu f21211220 ()=0 ()<(Laplace,Poisson)a a a >⎧⎪∆≡-⎨⎪⎩双曲型弦振动抛物型热传导0 椭圆型（1）43260+-++=xx xy yy x y u u u u u ：双曲线型（2）22(1)(1)0+++++=xx yy x y x u y u xu yu ：椭圆型四．何谓发展方程？何谓位势方程？何谓叠加原理？(1) 发展方程: 所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等；(2) 位势方程：所描述的自然现象是稳恒的，即与时间无关，如：静电场、引力场等。

(3) 几种不同原因综合产生的效果等于这些原因单独产生效果的累加.叠加原理适用于线性方程所描述的物理现象.五．试推导一维波动方程。

数学物理方法复习题答案

数学物理方法复习题答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下关于复数的表述中，错误的是：A. 复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位B. 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等C. 复数的模是实部和虚部平方和的平方根D. 复数的共轭是将虚部的符号改变答案：D2. 傅里叶级数展开中，函数f(x)在区间[-L, L]上的傅里叶系数an的计算公式为：A. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)B. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)C. \(\frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)D. \(\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pix}{L}\right) dx\)答案：C3. 以下哪个函数是偶函数：A. \(e^x\)B. \(\sin(x)\)C. \(x^2\)D. \(\cos(x)\)答案：C4. 拉普拉斯变换的定义是：A. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)B. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t) dt\)C. \(F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)D. \(F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{st} f(t) dt\)答案：A5. 以下哪个积分是不定积分：A. \(\int e^x dx\)B. \(\int \frac{1}{x} dx\)C. \(\int \sin(x) dx\)D. \(\int \cos(x) dx\)答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 复数 \(3 + 4i\) 的模是 ________。