概率论与数理统计(练习参考答案)

一、填空题 (每小题2分，共10分)
1、一射手对同一个目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为
81
80
，则该射手的命中率为 .
2、 设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布，则=)(2
X E ____13_____ .
3、 设X 服从参数为10=θ的指数分布，Y )2,3(~2
N ，且X 与Y 相互独立，Y X Z 23-=，
则=)(Z D ___916_____.
4、已知5.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D 19_ .
5、设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21Λ为来自X 的简单随机样本,则
~1
1
∑==
n
i i
X n X ),(2
n N σμ. 二、单项选择题 (每小题2分，共10分)
（1）对于任意两事件A 和B ，=-)(B A P C .
（A ）)()(B P A P - （B ）)()()(AB P B P A P +- （C ） )()(AB P A P - （D ）)()()(B A P A P A P -+ 2、.对于任意两个随机变量，若)()()(Y E X E XY E =则____B _____.
(A))()()(Y D X D XY D = (B))()()(Y D X D Y X D +=+ (C) X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 相互不独立 3、设Y X ,相互独立，X 和Y 的分布律分别为
，则必有 D .
（A ）Y X = （B ）{}0==Y X P
（C ）{}1==Y X P （D ）{}58.0==Y X P
4、 在假设检验中,原假设0H ,备择假设1H ,则称_____D _____ 为犯第二类错误 (A)10H H 为真，接受 (B) 00H H 不真，拒绝 (C) 10H H 为真，拒绝 (D) 00H H 不真，接受
5、 已知341.1)15(90.0-=t 。

设随机变量X 服从自由度为15的t 分布，若90.0)(=<a X P ，则
=a _____B _____.
(A) -1.341 (B) 1.341 (C) 15 (D) -15
三、计算题 (共52分)
1、 有四位同学报考硕士研究生，他们被录取的概率分别为0.
2、0.
3、0.45、0.6，
试求至少有一位同学被录取的概率. (5分) 解: 设}{个同学被录取第i A i =),4,3,2,1(=i ;}{至少有一位同学被录取=B
则有 4321A A A A B +++= ;∑=-
=-=4
1
)(1)(1)(i i
A P
B P B P
8768.04.055.07.08.01=⨯⨯⨯-=
2、 某年级有甲，乙，丙三个班级，其中各班的人数分别占年级总人数的1/ 4, 1/3, 5/12,已知甲,乙,丙三个班级中是独生子女的人数分别占各班人数的1/ 2, 1/ 4, 1/5, 求:： (1) 从该年级中随机的选一人,该人是独生子女的概率为多少?
(2) 从该年级中随机的选一人,发现其为独生子女,则此人是甲班的概率为多少? （8分） 解: 设}{为独生子女从该年级中随机选一人=B }{1选到的是甲班的人=A
}{2选到的是乙班的人=A ;}{3选到的是丙班的人=A ;则321,,A A A 为一个分割,
41)(1=A P ,1)(2=A P ,125)(3=A P ;21)(1=A B P ,41)(2=A B P ,
5
1)(3=A B P . (1) ∑==3
1
)
()()(i i i A P A B P B P =
32
=
⨯+⨯+⨯511254*********
7
; (2) )(1B A P =
)()()(11B P A P A B P =7
3
.
3、设有5件产品,其中有两件次品,今从中连取二次,每次任取一件不放回,以X 表示所取得的次品数,试求: : (1)X 的分布律和分布函数)(x F ; (2)122+=X Y 的分布律. (9分) 解: (1)
(2)
4、 某商品的日销量X (公斤)～)300,10000(2
N , 求:日销量在9700到10300公斤之间的概率. （8413.0)1(=Φ 97725.0)2(=Φ备用） (8分)
解: 300,10000==σμ
)9700()10300(}103009700{F F X P -=≤≤
=)3001000010300(
-Φ-)300
10000
9700(-Φ=)1()1(--ΦΦ=1)1(2-Φ
=6826.018413.02=-⨯
5、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨
⎧≥=-其它
0)(2x Ce x f x
，
求： (1) 常数C ； (2) 概率}2/11{<<-X P ； (3) )(X E ；
（4）设X Y 2=,则Y 的密度函数)(y f Y 。

（10分）
解: (1) 由
12
)(0
2==
=⎰
⎰
∞+-∞+∞
-C
dx e C dx x f x , 得2=C (2) e dx e dx x f X P x 1
12)(}2/11{5.00
25.01
-===
<<-⎰
⎰
--
(3) 2
12)()(0
2=
==
⎰
⎰
∞+-∞+∞
-dx xe dx x xf X E x ; (4) dx e y X P y X P y Y P y F y
x
Y ⎰-=≤=≤=≤=2022)2
(}2{}{)(
故 ⎩⎨
⎧<≥='=-0
)()(y y e y F y f y
Y Y 6、设二维随机变量),(Y X 的分布律为:
求：（1）关于Y X 、的边缘分布律； （2）问Y X 、是否相互独立，并说明理由； （3）)()()()(Y D X D Y E X E 、、、 （4）XY Y X ρ和，)cov( （12分）
(2) 由
016
1
161≠⨯ 得 X 和Y 不独立.. (3) 25)()(=
=Y E X E ; ; 16
106)()(2
2==Y E X E ; 8
3
4256106)()()()(22=-=
-==X E X E Y D X D ; (4) =
)(XY E 8
49
49231632321163=+++++ ; 8
12525849)()()(),cov(-=⨯-=
-=Y E X E XY E Y X . ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥<≤<≤<=2
1
211091
010300)(x x x x x F
3
1
8381)
()(),cov(-=-=
=
Y D X D Y X XY ρ 四、解答题（共28分）
1
10<<θ，θ为未知参数，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的样本,求θ的矩估计量 (9分)
解: 2
2
)1(3)1(221)(θθθθ-⨯+-⨯+⨯=X E =θ23-
由)(1X E X A == 得 θ23-=X ,故得 2
3ˆX -=θ
. 2、 从某商店一年来的发票存根中抽取25张，算得平均金额为78.5元，样本标准差为20元，假定发
票金额服从正态分布，试求该商店一年来发票金额的均值和方差的置信水平为α-1的置信区间 （取05.0=α）。

（10分）
解: 知5.78=x ,20=s ,25=n ,05.0=α
所求均值的置信区间为 ))
1(,)
1((2
2
n
S n t X n
S n t X -+--αα,
而 064.2)24()1(025..02
==-t n t α, 所以均值的置信区间为
)756.86,244.70()25
20064.25.78,25
20064.25.78(=⨯
+⨯
-
所求的方差置信区间为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-----)1()1(,)1()1(2
212
22
2n S n n S n αα
χχ, 而 364.39)24(2025.0=χ,401.12)24(2
975.0=χ
所以方差的置信区间为:)131.774,878.243()401
.12400
24,364.3940024(
=⨯⨯.
3、某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量（单位：千克）服从正分布)5.2,(2
μN ．今随机地抽取9袋，并称出它们的重量921,,,x x x Λ，由此算得5.48=x ．检验50:0=μH .（取显著性水平
05.0=α） （9分）
解: 假设50:0=μH
由9=n 5.2=σ 取统计量 )1,0(~5
.2)
50(3N X u -=
对给定的显著水平05.0=α 得96.1025.02
==u u α
所以拒绝域为
96.15
.2)
50(3≥-X ,因为5.48=x 得96.18.15.2)505.48(3||0<=-=
u 所以接受0H
附：查表数据
064.2)24(025.0=t 96.1025.0=u 64.105.0=u 401.12)24(2
0975
=χ 7.2)9(2975.0=χ 364.39)24(2025.0=χ 023.19)9(2025.0=χ。