用符号形式写出下列命题
离散数学第一章数理逻辑
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例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
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作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
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b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
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练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
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结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
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二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
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例 （解）
02324离散数学(课后习题解答(详细)
离散数学~习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
简易逻辑命题
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示
（2）p：方程x2－1=0的解是x=1，
q全：称方命程题x2““－对1=pM0中的且所解有是q的x”=x－，1形p；(x)”式可用复符号合简记命为：题的真假可以用下表表示：
“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示： 命题：可以判断真假的语句叫命题； 复合命题有三种形式：p或q； 由简单命题与逻辑联结词构成的命题。 二．全称量词与存在量词
（3）逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结 含有存在量词的命题，叫做特称命题
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 表示
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示
由简单命题与逻辑联结词构成的命题否。 命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p
非p
q：方程x2－1=0的解是x=－1； 二．全称量词与存在量词
真
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 表示
假 复合命题有三种形式：p或q；
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
D. 若 p 正确，则 q 正确
例 3．(2008·广东文)命题“若函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内是减函数，则 loga 2 0 ”的逆否命题是（ ） A、若 loga 2 0 ，则函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内不是减函数 B、若 loga 2 0 ，则函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内不是减函数 C、若 loga 2 0 ，则函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内是减函数 D、若 loga 2 0 ，则函数 f (x) loga x(a 0, a 1) 在其定义域内是减函数
大学离散数学总复习题
《离散数学》期末复习题一．选择题：1.下列句子为真命题的是（） A(a)能整除7 的正整数只有1 和7 本身。
(b) 胡戈由于导演了“无极”而于2005年获得奥斯卡金像奖。
(c) 买两张星期五去“大剧院”音乐会的票。
(d) 地球是宇宙中惟一存在生命的星球。
2．下列语句中是真命题的是（） DA．我正在说谎B．严禁吸烟C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的3．设P：我们划船，Q：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（） B A．⎤ P∧⎤ QB．⎤ P∨⎤ QC．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（） BA．矛盾式B．蕴含式C．重言式D．等价式5．在公式（）F（x，y）→（y）G（x，y）中变元x是（） BA．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元6、下列语句不是命题的是（） AA.∀xP(x,y)B. ∀xP(x)C. （）F（x，y）→（y）G（x，y）D. ∀x (x2 - 1 > 0)7.集合X = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} 是（） DA) 自反的、 B) 传递的、 C) 等价的 D) 对称的8、设R 是X = {1, 2, 3, 4}上的关系，x, y ∈X，如果x ≤ y，则(x, y)∈R。
下列关于关系R的说法错误的是：（） AA)关系R是等价关系，B) 关系R 是自反的C) 关系R 是传递的 D) 以上都不是。
9、集合X = {a, b, c}上的关系 R = {(a, a), (b, b), (c, c)}是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的；D) 自反的、对称的和传递的10、令X={1,2,…,10}。
定义xRy的意义是3整除x-y。
则关系R是（） DA) 自反的、非对称的；B) 自反的、非传递的C) 对称的、非传递的D) 自反的、对称的和传递的11、下列S不是集合X＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}的一个划分的是（） DA)S＝{{1, 4, 5}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}B)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3,5}, {7, 8}}C)S＝{{1, 4, 5}, {2,3, 6}, {7, 8}}D)S＝{{1, 4}, {2, 6}, {3}, {7, 8}}12、从X = {1, 2, 3}到Y = {a, b, c, d}的函数 f = {(1, b), (3, a), (2,c)} 是( ) AA) 一对一的B) 映上的C) 双射D) 都不是13、设R是X＝{1, 2, 3, 4}上的关系，x, y∈X，如果x≤y，则(x,y)∈R。
命题逻辑习题
命题命题逻辑逻辑逻辑习题习题班级: 学号： 姓名：一．选择题1.由n 个命题变元组成不等值的命题公式的个数为（ ）A.2nB.2nC.n 2D.2n22.设P ：我将去镇上，Q ：我有时间。
命题“我将去镇上，仅当我有时间的”符号化为（ ）A.P →QB.Q →PC.P ↔QD.¬Q ∨¬P3.设P ：我们划船，Q ：我们跑步。
命题“我们不能即划船又跑步”符号化为（ ）A. ¬p ∧¬QB. ¬P ∨¬QC. ¬(P ↔Q)D.P ↔¬Q4.下面哪一个命题是命题“2是偶数或-3是负数”的否定？（ ）A. 2是偶数或-3不是负数 C. 2是奇数或-3不是负数 C ．2不是偶数且-3不是负数D. 2是奇数且-3不是负数5.设P ：张三可以作这件事，Q ：李四可以作这件事。
命题“张三或李四可以做这件事”符号化为（ ）A.P ∨QB.P ∨¬QC.P ↔QD. ¬(¬P ∨¬Q)6.下列语句中哪个是真命题？（ ）A.我正在说谎。
B.严禁吸烟。
C.如果1+2=3，那么雪是黑的。
D.如果1+2=5，那么雪是黑的。
7.命题公式(P ∧ (P →Q)) →Q 是（ ）。
A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.可满足式8.下面哪个命题公式是重言式？（ ）A.(P →Q)∧(Q → P)B.(P ∧Q)→PC.(¬P ∨Q)∧¬(¬P ∧¬Q)D.¬(P ∨Q)9.下列哪一组命题公式是等值的？（ ）A. ¬P ∧¬Q,P ∨QB.A →(B →A),¬A →(A →¬B)C.Q →(P ∨Q),¬Q ∧ (P ∨Q)D.¬A ∨ (A ∧B),B10.P →Q 的逆否式是（ ）A.Q →¬PB. P →¬ QC. ¬Q →PD. ¬Q →¬P11.¬P →Q 的逆否式是（ ）A.Q →¬PB. P →¬ QC. Q →¬PD.P →¬ Q12.已知A 是B 的充分条件，B 是C 的必要条件，D 是B 的必要条件，则A 是D 的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.A 、B 、C 都不对13.下面哪一个命题公式是重言式？（ ）A.P →(Q ∨R)B.(P ∨R)∧(P →Q)C.(P ∨Q) ↔ (Q ∨R)D.(P →(Q →R)) →((P →Q) →(P →R))14.下列哪个命题公式不是重言式？（）A.Q→(P∨Q)B.(P∧Q)→PC.¬(P∧¬Q) ∧(¬P∨Q)D.(P→Q)↔(¬P∨Q)15.重言式的否定式是（）A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.蕴含式16.下面哪一个命题是假命题？（）A.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式惟一B.如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不惟一C.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式惟一D.如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不惟一17.下面哪一组命题公式不是等值的？（）A.¬(A→B),A∧¬BB.¬(A↔B),(A∧¬B)∨(¬A∧B)C.A→(B∨C),¬A∧(B∨C)D. A→(B∨C),(A∧¬B)→C18.P↔¬Q⇔（）A.¬P→ (P→¬Q)B.(¬P∨Q)∨ (¬Q∨P)C.(¬P∨¬Q)∧(¬Q∨P)D.(¬P∨¬Q)∧(Q∨P)19.命题公式¬(P∧Q)→R的主析取范式中含极小项的个数为（）A.8B.3C.5D.020.命题公式¬(P∧Q)→R的主析取范式中含极大项的个数为（）A.0B.3C.5D.821.命题公式¬(P∧Q)→R的成真赋值为（）A.000,001,110B.001,011,101,110,111C.全体赋值D.无22.如果A⇒B成立，则以下各种蕴含关系哪一个成立？（）A.B⇒AB.¬A⇒¬BC.¬B⇒¬AD.¬A⇒B 二．填空题1.下列句子中，是命题的有(1).我是教师。
《离散数学》 习题解答
离散数学习题解 ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ⇔ ∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r).
离散数学习题解 ⇔¬ ((p→q) ∧ (q→p)) ⇔¬ ((¬p∨q) ∧ (¬q∨p)) ⇔ (p∧¬q) ∨ (q∧¬p) ⇔ (p∨q) ∧ (p∨¬p) ∧ (¬q∨q) ∧ (¬p∨¬q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) (4) (p∧¬q) ∨ (¬p∧q) ⇔ (p∨¬p) ∧ (p∨q) ∧ (¬q∨¬p) ∧ (¬q∨q) ⇔ (p∨q) ∧¬ (p∧q) 2.5. 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值: (1)( ¬p→q) → (¬q∨p) (2) ¬ (p→q) ∧q∧r (3)(p∨ (q∧r)) → (p∨q∨r) (1)(¬p→q) → (¬q∨p) ⇔ ¬(p∨q) ∨ (¬q∨p) ⇔ ¬p∧¬q ∨ ¬q ∨ p⇔ ¬p∧¬q ∨ ¬q ∨ p(吸收律)⇔ (p¬∨p)¬∧q ∨ p∧(q¬∨q) ⇔ p¬∧q ¬∨p¬∧q ∨ p∧q ∨ p¬∧q ⇔ m10 ∨ m00 ∨ m11 ∨ m10 ⇔ m0 ∨ m2 ∨ m3 ⇔ ∑(0, 2, 3). 成真赋值为 00, 10, 11. (2)主析取范式为 0, 无成真赋值, 为矛盾式. (3)m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式. 2.6. 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值: (1) ¬ (q→¬p) ∧¬p (2)(p∧q) ∨ (¬p∨r) (3)(p→ (p∨q)) ∨r (1) ¬ (q¬→p) ∧ ¬p ⇔ ¬(¬q¬∨p) ∧ ¬p ⇔ q∧p ∧ ¬p ⇔ q∧0 ⇔0 ⇔ M0∧M1∧M2∧M3 这是矛盾式. 成假赋值为 00, 01, 10, 11. (2)M4, 成假赋值为 100. (3)主合取范式为 1, 为重言式.
离散数学 第1章 习题解答
习题1.11.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。
⑴中国有四大发明。
⑵计算机有空吗?⑶不存在最大素数。
⑷21+3＜5。
⑸老王是山东人或河北人。
⑹2与3都是偶数。
⑺小李在宿舍里。
⑻这朵玫瑰花多美丽呀!⑼请勿随地吐痰!⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。
⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。
⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。
解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。
2. 将下列复合命题分成若干原子命题。
⑴李辛与李末是兄弟。
⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。
⑶天正在下雨或湿度很高。
⑷刘英与李进上山。
⑸王强与刘威都学过法语。
⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。
⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。
⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。
解：⑴本命题为原子命题；⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服；⑶p：天在下雨；q：湿度很高；⑷p：刘英上山；q：李进上山；⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语；⑹p：你看电影；q：我看电影；⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉；⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。
3. 将下列命题符号化。
⑴他一面吃饭，一面听音乐。
⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。
⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。
⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。
⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。
解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：⌝p→⌝q⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p↔q⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p↔q。
命题逻辑1
3. 命题公式
命题公式是由0、1、命题常元、命题变元以及命题 联结词、括号等组成的符号串。 定义 （命题公式的递归定义）
（1） 0，1，命题常元是命题公式； （2） 命题变元是命题公式； （3） 如果A是命题公式，则¬ A是命题公式； （4） 如果A和B是命题公式，则（A∨B）， （A∧B）,(A→B）,(A↔ B）也是命题公式； 有限次地利用上述（1）—（4）而产生的符号串是命题公式， 又称为合式公式，简称公式。
命题逻辑
命题符号化 命题公式的赋值 公式的等值
命题逻辑推理理论
公式的标准形式
1.1 命题符号化
命题相关概念 联结词 命题符号化
1.1 命题符号化
一、 命题(statement)的概念
命题：是能判断真假的陈述句。 命题的真值：作为命题的陈述句所表达的判断结果。 真值只取两个值：真(1)或假(0) 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 判断给定句子是否为命题分两步： 1、判定它是否为陈述句 2、判断它是否有唯一的真值
要学好这门课程，首先必须充分认识到这门课程的 上述特点，需要做到以下几点： 1、注重课堂效率，熟读教材。准确理解各个概念和定理 的含义（结合多个例子来理解），必要的推理过程要看懂、 理解（它可以帮助你熟悉和深刻理解定理的含义）。 2、独立思考，做好习题。仅靠熟读教材并不能将书上的 知识变成你自己的知识，在熟读教材的基础上，必须通 过大量练习，独立思考来真正获取知识。 3、注重抽象思维能力的训练。数学与其他学科相比较具 有较高的抽象性，而离散数学的抽象性特点更为显著，它 有着大量抽象的概念和抽象的推理，要学好这门课程必须 具有较好的抽象思维能力，才能深入地掌握课程内容。
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1
离散数学命题逻辑 第一章(1)
我现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如我早在 数理逻辑上好好下点功夫的话，我就不会犯这么 多错误。不少东西逻辑学家早就说过了，可是我 不知道。要是我能年轻20岁的话，我就会回去学 逻辑。
E.W.Dijkstra
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人 前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把两个人带进一间 漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是 红色的，三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置 弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后， 请你们尽快说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人 将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下 的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商 人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽 子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
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2、命题满足的条件
命题的语句形式：陈述句 非命题语句：疑问句、命令句、感叹句、非命题陈述句 (悖论语句) 命题所表述的内容可决定是真还是假，不能不真又不假， 也不能又真又假。
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3、举例
• • • • • • • • • 北京是中国的首都。 土星上有生物。 ３＋２≥9。 1+101=110 请关门！ 你要出去吗？ 如果天气好，那么我去散步。 x＝ 2。 我正在撒谎。
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第一章 命题逻辑
研究以命题为基本单位构成的前提和结论之间的 可推导关系。
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第一章 命题逻辑
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命题及其表示方法 联结词
离散数学课后习题答案
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案1.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.2.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.4.因为p与q不能同时为真.5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.返回第二章命题逻辑等值演算本章自测答案5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；(2)：0，矛盾式，无成真赋值；(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；7.(1)：∨∨∨∨⇔∧∧；(2)：∨∨∨⇔∧∧∧；8.(1)：1⇔∨∨∨,重言式；(2)：∨⇔∨∨∨∨∨∨；(3)：∧∧∧∧∧∧∧⇔0，矛盾式.11.(1)：∨∨⇔∧∧∧∧；(2)：∨∨∨∨∨∨∨⇔1；(3)：0⇔∧∧∧.12.A⇔∧∧∧∧⇔∨∨.第三章命题逻辑的推理理论本章自测答案6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*1)在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ⇒ q(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为(p→q)∧p→q(记作*2)可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等(p→q)∧q→p⇔(┐p∨q) ∧q →p⇔q →p⇔┐p∨┐q⇔⇔∨∨从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数推理的形式结构为(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)⇔(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)⇔(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r⇔(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)⇔┐p∨(q∨┐q)∧┐r⇔110.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.推理的形式结构为(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)⇔(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)⇔┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)⇔p∨(┐q∧┐r)⇔∨∨∨由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.11.略14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明① p→(q→r)前提引入② P前提引入③ q→r①②假言推理④ q前提引入⑤ r③④假言推理⑥ r∨s前提引入（2）证明：① ┐(p∧r)前提引入② ┐q∨┐r①置换③ r前提引入④ ┐q ②③析取三段论⑤ p→q前提引入⑥ ┐p④⑤拒取式（3）证明：① p→q前提引入② ┐q∨q①置换③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换④ ┐p∨(q∧p③置换⑤ p→(p∨q) ④置换15.(1)证明：① S结论否定引入② S→P前提引入③ P①②假言推理④ P→(q→r)前提引入⑤ q→r③④假言推论⑥ q前提引入⑦ r⑤⑥假言推理（2）证明：① p附加前提引入② p∨q①附加③ (p∨q)→(r∧s)前提引入④ r∧s②③假言推理⑤ s④化简⑥ s∨t⑤附加⑦ (s∨t)→u前提引入⑧ u⑥⑦拒取式16.(1)证明：① p结论否定引入② p→ ┐q前提引入③ ┐q ①②假言推理④ ┐r∨q前提引入⑤ ┐r③④析取三段论⑥ r∧┐s前提引入⑦ r⑥化简⑧ ┐r∧r⑤⑦合取（2）证明：① ┐(r∨s)结论否定引入② ┐r∨┐s①置换③ ┐r②化简④ ┐s②化简⑤ p→r前提引入⑥ ┐p③⑤拒取式⑦ q→s前提引入⑧ ┐q④⑦拒取式⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取⑩ ┐(p∨q)⑨置换口p∨q前提引入⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。
离散数学1命题逻辑
第1章
例7
例7、将下列命题符号化，并讨论他们的真值。 (1)如果3＋3＝6，则雪是黑色的； (2)只有a(正整数)能被2整除，a才能被4整除； (1)设：p：3＋3＝6，q：雪是黑色的 原语句符号化为：p→q 真值为0 (2)设p：a(正整数)能被2整除，q：a能被4整除 原语句符号化为：q →p 真值为1
离散数学 第一篇数理逻辑
蔡广军
第1章
数理逻辑简介(1)
数理逻辑(Mathematical Logic) 用数学方法(主要是建立符号体系的方法)来 研究推理形式结构和推理规律的数学学科 。 通过引入一套符号体系来研究推理规律的 学科，故又称之为符号逻辑(Symbolic Logic)
第1章
例题5
例5、p：2＋2＝4 q：3是奇数 (1) 2+2=4当且仅当3是奇数。p↔q (2) 2+2=4当且仅当3不是奇数。p↔┐q (3) 2+2≠4当且仅当3是奇数。┐p↔q (4) 2+2≠4当且仅当3不是奇数。┐p↔┐q
第1章
数理逻辑联结词与自然语言联结词
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系 否定——不是、没有、非、不 合取——并且、同时、和、既…又…,不但… 而且…，虽然…但是… 析取——或者、或许、可能 蕴含——若…则…，假如…那么…，既然…那就 倘若…就… 等价——当且仅当、充分必要、相同、一样
要回答这样的问题，实际上就是看由一些 诸如“商人戴的是红帽子”这样的前提能否推 出“猜出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的 结论来。这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4)怎么进行推理？
第1章
第一章命题逻辑
(大学试卷)2011.7《离散数学》考试卷A答案
离散数学课程考试试卷A专业:信计考试日期： 所需时间：120分钟总分：100分 闭卷 一、选择题（每小题2分，总共20分）1、设P ：我们划船，Q ：我们跑步。
命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（ B ）A 、Q P ⌝∧⌝B 、Q P ⌝∨⌝C 、)(Q P ↔⌝D 、)(Q P ⌝↔2、下列语句中哪个是真命题？（ D ）A 、我正在说谎。
B 、严禁吸烟C 、如果1+2=3，那么雪是黑的。
D 、如果1+2=5，那么雪是黑的。
3、命题公式Q Q P P →→∧))((是（ C ） A 、矛盾式 B 、蕴含式 C 、重言式 D 、等值式4、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中变元x 是（ D ） A 、自由变量 B 、约束变量 C 、既不是自由变量也不是约束变量 D 、既是自由变量也是约束变量5、若个体域为整数域，下列公式中哪个值为真？（ A ） A 、)0(=+∃∀y x y x B 、)0(=+∀∃y x x y C 、)0(=+∀∀y x y x D 、)0(=+∃⌝∃y x y x6、设个体域A={a,b},公式)()(x xS x xP ∃∧∀在A 中消去量词应为（ B ） A 、)()(x S x P ∧ B 、))()(()()(b S a S b P a P ∨∧∧ C 、)()(b S a P ∧ D 、)()()()(b S a S b P a P ∨∧∧8、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列正确的是（ C ） A 、1∈A B 、{1，2，3}⊆A C 、{{4，5}}⊂A D 、Φ∈A 9、幂集P （P （P （Φ）））为（ C ）A 、{{Φ}，{Φ，{Φ}}}B 、{Φ，{Φ}，{Φ，{Φ}}}C 、{Φ，{Φ}，{Φ，{Φ}}，{{Φ}}}D 、{Φ，{Φ，{Φ}}} 10、任意一个具有多个等幂元的半群，它（ A ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、不能构成交换群 二、填空题（每小题3分，总共24分）1、设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式2、设q p q p →⌝为命题变项，,的成真赋值为10,11,013、设集合A={x|x <3,x ∈Z},B={x|x=2k,k ∈Z} C={1,2,3,4,5},则A ⊕（C-B ）={0,2,4,6,7,8}4、某校有足球队员38人，篮球队员15人，排球队员20人，三队队员总数为58人，其中只有3人同时参加3种球队，则仅仅参加两种球队的队员为9人 。
离散数学--数理逻辑测验答案
数理逻辑测验一、 符号化下列命题1. 如果张三和李四都不去，他就去。
（命题符号）解： 设P ：张三去；Q ：李四去；R ：他去。
R Q P →⌝∧⌝)(。
2. 我将去上街，仅当我有时间。
（命题符号）解：设P ：我将去上街；Q ：我有时间。
)Q P (→。
3. 有些人喜欢所有的花。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是人； Q(y)：y 是花； R(x ，y)：x 喜欢y 。
))),()()(()()((y x R y Q y x P x →∀∧∃。
4. 所有运动员都敬佩某些教练。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是运动员；Q(y)：y 是教练；R(x ，y)：x 敬佩y 。
))),()()(()()((y x R y Q y x P x ∧∃→∀。
5. 每个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。
（谓词符号）解：设P(x)：x 是人；Q(x)：x 喜欢乘汽车；R(x)：x 喜欢骑自行车；)))()(()()((x R x Q x P x ∨→∀；二、简答题1、写出R Q P →→)(的析取范式，合取范式。
合取范式））析取范式--(()()()(R Q R P R Q P RQ P RQ P ∨⌝∧∨=--∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→2、设P ：今天下雨。
Q ：我去上街。
R ：我有空。
用自然语言写出以下命题：)(P R Q ⌝∧↔，)(Q R ∨⌝。
解：)(P R Q ⌝∧↔：我去上街当且仅当我有空并且今天不下雨； )(Q R ∨⌝：我没空，并且我不去上街。
3、设Q P ,的真值为0，S R ,的真值为1，求以下命题的真值： )()(S R Q P ∨⌝∧↔，)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝。
解：)()(S R Q P ∨⌝∧↔的真值：1))()((.1)(,1)(,1)(,1)(.0,0,1,1,1,1,0,0=∨⌝∧↔∴=⌝∨=⌝∧=∨⌝=↔∴=⌝=⌝=⌝=⌝∴====S R Q P S R P R S R Q P S R Q P S R Q P)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值：.1))()))((((1))()((.1))()))((((;0))))((((,1))((真值为；真值为即：S R P R Q P S R Q P S R P R Q P P R Q P P R Q ⌝∨→⌝∧→∨⌝∨⌝∧↔=⌝∨→⌝∧→∨⌝∴=⌝∧→∨⌝=⌝∧→∴4、写出谓词公式)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀的前束范式。
逻辑学的命题
逻辑学的命题引言逻辑学是研究正确推理和推论过程的学科，而命题是逻辑学中的重要概念之一。
本文将围绕着逻辑学的命题展开讨论。
首先我们将介绍命题的定义和基本性质，然后探讨命题的逻辑连接词和组合方式，最后讨论一些常见的命题逻辑谬误。
什么是命题命题是指具有真值的陈述句，即可以判断为真或假的陈述句。
命题可以是简单的陈述句，比如”太阳是圆的”，也可以是复合的陈述句，比如”如果今天下雨，那么我就带雨伞”。
在逻辑学中，命题用于进行推理和推论的基础。
命题的定义和符号表示命题可以用字母或字母组合来表示，比如用P表示”太阳是圆的”，用Q表示”今天下雨”。
命题可以用真（T）或假（F）来判断，比如对于P命题来说，如果太阳确实是圆的，则判断为真；如果太阳不是圆的，则判断为假。
命题的基本性质命题有一些基本的性质，包括唯一性、排中律、矛盾律和排否律。
唯一性每个命题只有两个可能的真值，即真或假。
对于P命题来说，它要么是真的，要么是假的，不存在其他情况。
排中律命题要么是真的，要么是假的，不存在两者同时不成立的情况。
这意味着对于任何命题P，它要么是真的，要么是非P（即不是P的命题）是真的。
矛盾律矛盾律说明了命题的否定和原命题的真值是相反的。
即对于一个命题P来说，如果P是真的，则非P是假的；如果P是假的，则非P是真的。
排否律排否律说明了对于一个命题P来说，如果非P是真的，则P是假的；如果非P是假的，则P是真的。
排否律可以用来进行推理和推论的过程。
命题的逻辑连接词和组合方式在逻辑学中，命题可以通过逻辑连接词进行组合和连接，形成复合命题。
常见的逻辑连接词有”与”、“或”、“非”和”如果…那么…“。
与（and）“与”是一个二元逻辑连接词，表示两个命题同时为真时，整个命题才为真。
用符号”∧“表示。
例如，命题P∧Q表示P和Q同时为真。
或（or）“或”也是一个二元逻辑连接词，表示两个命题中至少有一个为真时，整个命题就为真。
用符号”∨“表示。
例如，命题P∨Q表示P或Q为真。
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5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（⌝p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：⌝q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)解：⑸((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)的真值表如表1.28所示。
表1.28使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式：⑸p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)证明：证明p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表如表1.33所示。
表1.33由上表可见：p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q →p)⇔⌝p→(p→⌝q)。
⑹⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表如表1.34所示。
表1.34由上表可见：⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p ∧q)⑺⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表如表1.35所示。
表1.35由上表可见：⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)。
⑻p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r证明：证明p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表如表1.36所示。
表1.36由上表可见：p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑸p→(q→p)⇔⌝p∨(⌝q∨p) (条件等价式)⇔T⌝p→(p→⌝q)⇔p∨(⌝p∨⌝q) (条件等价式)⇔T所以p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)⑹⌝(p↔q)⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q)) (例1.17)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q) (德·摩根律)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q) (德·摩根律)所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)⑺⌝(p↔q)⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式)⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q) (德·摩根律)⑻p→(q∨r)⇔⌝p∨(q∨r) (条件等价式)⇔(⌝p∨q)∨r (结合律)⇔⌝(p∧⌝q)∨r (德·摩根律)⇔(p∧⌝q)→r (条件等价式)1.求下列命题公式的析取范式。
⑴(p∧⌝q)→r⇔⌝(p∧⌝q)∨r⇔⌝p∨q∨r⑵⌝(p→q)→r⇔⌝⌝(⌝p∨q)∨r⇔(⌝p∨q)∨r⇔⌝p∨q∨r⑶p∧(p→q)⇔ p∧(⌝p∨q)⇔(p∧⌝p)∨(p∧q)⇔ p∧q⑷(p→q)∧(q∨r)⇔(⌝p∨q)∧(q∨r)⇔ q∨(⌝p∧r)⑸⌝(p∨⌝q)∧(r→t)⇔(⌝p∧q)∧(⌝r∨t)⇔(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧t)2. 求下列命题公式的合取范式。
⑴⌝(p→q)⇔⌝(⌝p∨q)⇔p∧⌝q⑵⌝q∨(p∧q∧r)⇔(⌝q∨p)∧(⌝q∨q)∧(⌝q∨r)⇔(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)⑶(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)⇔((⌝p∧q)∨p)∧((⌝p∧q)∨⌝q))⇔(⌝p∨p)∧(q∨p)∧(⌝p∨⌝q)∧(q∨⌝q)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q)⑷⌝(p↔q)⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))⇔(⌝p∨⌝q)∧(p∨q)⑸⌝(p→q)→r⇔⌝⌝(⌝p∨q)∨r⇔(⌝p∨q)∨r⇔⌝p∨q∨r3.求下列命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。
⑵⌝(p∨q)→(⌝p∧r)⇔⌝⌝(p∨q)∨(⌝p∧r)⇔(p∨q)∨(⌝p∧r)⇔(p∨q∨⌝p)∧(p∨q∨r)⇔p∨q∨r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)⇔∑1,2,3,4,5,6,7使得命题公式⌝(p∨q)→(⌝p∧r)成真的赋值是：001，010、011，100，101，110，111。
⑷(⌝p→q)→(p∨⌝q)⇔⌝(⌝⌝p∨q)∨(p∨⌝q)⇔⌝(p∨q)∨(p∨⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q∨⌝p)∧(p∨⌝q∨⌝q)⇔p∨⌝q⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)(主析取范式)⇔∑0,2,34.求下列命题公式的主合取范式，并求命题公式的成假赋值。
⑴(p→q)∧r⇔(⌝p∨q)∧r⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨r)∧(p∨r)⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔∏0,2,4,5,6使得命题公式(p→q)∧r成假的赋值是：000,010,100,101,110。
5.求下列命题公式的主析取范式，再用主析取范式求出主合取范式。
⑴(p→q)∧(q→r)⇔(⌝p∨q)∧(⌝q∨r)⇔((⌝p∨q)∧⌝q)∨((⌝p∨q)∧r)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧r)∨(q∧r)⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)⇔∑0,1,3,7⇔∏2,4,5,6⇔(p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)(主合取范式)6. 求下列命题公式的主合取范式，再用主合取范式求出主析取范式。
⑵(p∧q)→q⇔⌝(p∧q)∨q⇔⌝p∨⌝q∨q⇔T(无主合取范式)⇔∑0,1,2,3⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)1.将下列命题公式用只含⌝，∧，∨的等价式表示。
⑷(p↔q)↔r⇔((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))↔r⇔(((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))∧r)∨(⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))∧⌝r)⇔((p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r))∨(((⌝p∨⌝q)∧(p∨q))∧⌝r)⇔(p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨((⌝p∨⌝q)∧(p∨q)∧⌝r)3.将下列命题公式用只含⌝，∧的等价式表示。
⑷(⌝p→q)→(p∨⌝q)⇔⌝(p∨q)∨⌝(p↔⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨⌝((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔⌝(⌝(⌝p∧⌝q)∧⌝(⌝(p∧⌝q)∧⌝(⌝p∧q)))7.将下列命题公式仅用“↑”表示。
⑴⌝p⇔⌝(p∧p)⇔p↑p3.推理证明下列各题的有效结论。
⑴p→(q∨r)，(t∨s)→p，(t∨s)⇒q∨r证明：⑴t∨s P⑵(t∨s)→p P⑶p T⑴⑵假言推理⑷p→(q∨r) P⑸q∨r T⑶⑷假言推理⑵p∧q，(p↔q)→(t∨s)⇒(t∨s)证明:⑴p∧q P⑵p T⑴化简律⑶q T⑴化简律⑷p→q T⑶例1.30(2)⑸q→p T⑵例1.30(2)⑹(p→q)∧(q→p) T⑷⑸合取引入⑺p↔q T⑹双条件等价式⑻(p↔q)→(t∨s) P⑼t∨s T⑺⑻假言推理⑹⌝p∨⌝s，p→q，r→s⇒⌝p∨⌝r证明:⑴⌝(⌝p∨⌝r) P(附加前提)⑵p∧r T⑴条件等价式⑶p T⑵化简律⑷r T⑵化简律⑸r→s P⑹s T⑷⑸假言推理⑺⌝p∨⌝s P⑻⌝p T⑹⑺析取三段论⑼⌝p∧p(矛盾)T⑶⑻合取引入4.用CP规则推证下列各题的有效结论。
⑴⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r证明:⑴p P(附加前提)⑵⌝p∨q P⑶q T⑴⑵析取三段论⑷r→⌝q P⑸⌝r T⑶⑷拒取式⑹p→⌝r CP规则⑵p∨q→r∧s，s∨t→u⇒p→u证明:⑴p P(附加前提)⑵p∨q T⑴附加律⑶p∨q→r∧s P⑷r∧s T⑵⑶假言推理⑸s T⑷化简律⑹s∨t T⑸附加律⑺s∨t→u P⑻u T⑹⑺假言推理⑼p→u CP规则5.用归谬法推证下列各题的有效结论。
⑴p∧q，(p↔q)→(t∨s)⇒t∨s证明:⑴⌝(t∨s) P(附加前提)⑵(p↔q)→(t∨s) P⑶⌝(p↔q)T⑴⑵拒取式⑷⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))T⑶例1.17⑸⌝(p∧q)∧⌝ (⌝p∧⌝q)T⑷德·摩根律⑹⌝(p∧q) T⑸化简律⑺p∧q P⑻(p∧q)∧⌝(p∧q)(矛盾)T⑹⑺合取引入6.证明下面各命题推得的结论是有效的：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验。
如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验。
今天是星期三且离散数学老师有事。
所以，我有一次数字逻辑测验。
证明：设p：今天是星期三。
q：我有一次离散数学测验。
r：我有一次数字逻辑测验。
s：离散数学课老师有事。
该推理就是要证明：p→(q∨r)，s→⌝q，p∧s⇒r⑴p∧s P⑵p T⑴化简律⑶s T⑴化简律⑷s→⌝q P⑸⌝q T⑶⑷假言推理⑹p→(q∨r) P⑺q∨r T⑵⑹假言推理⑻r T⑸⑺析取三段论2．将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。
Q(x)：x是有理数。
“有些实数是有理数。
”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))它的真值为：真。
(2) 凡是人都要休息。
解：设R(x)：x是人。
S(x)：x要休息。
“凡是人都要休息。
”符号化为：(∀x)(R(x)→S(x))它的真值为：真。
4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。
(1) 对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∃y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧B(x,y)))(2) 存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∃x)(∀y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∀y)(R(y)→B(x,y)))1. 设个体域为D=⎨1,2,3⎬，试消去下列各式的量词。
(1) (∀x)P(x)解：(∀x)P(x)⇔P(1)∧P(2)∧P(3)(2) (∀x)P(x)→(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)→(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))→(Q(1)∨Q(2)∨Q(3)) (3) (∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))∨(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))2. 求下列各式的真值。