用待定系数法求解析式
初二函数专题5--用待定系数法求解析式+答案
初二函数专题6--用待定系数法求解析式一、用待定系数法求解析式 1、已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） A.2y x =- B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<2、已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点． 求这个一次函数的解析式．3、已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．4、一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C (a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．二、根据位置关系求解析式5、已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数的解析式．6、如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．三、根据函数定义求解析式7、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．8、已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。
（1）求a b 、的取值范围；（2）a b 、为何值时，此函数的图象过一、三象限。
9、已知y 与1x -成正比例，且当3x =时5y =.求y 与x 之间的函数关系式．y xO3214321A四、根据增减性求解析式10、已知一次函数y kx b =+中自变量x 的取值范围为26x -<<，相应的函数值的范围是119y -<<，求此函数的解析式。
11、已知函数(2)31y a x a =---，当自变量x 的取值范围为35x ≤≤时，y 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a 的取值范围为 ．12、已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.13、一次函数y mx n =+(0m ≠)，当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式.14、⑴已知关于x 的一次函数()372y a x a =-+-的图象与y 轴交点在x 轴的上方，且y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.⑴已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值.参考答案用待定系数法求解析式1、用待定系数法求解析式【例1】 已知函数图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）A.2y x =-B.2(10)y x x =--<<C.12y x =-D. 1(10)2y x x =--<<【解析】 由题意，正比例函数经过点（-1，2），求出函数解析式为2y x =-，同时根据图象看出自变量的取值范围为10x -<<答案：B【例2】 已知一次函数的图象经过(3，2)和(1，-2)两点．求这个一次函数的解析式．【解析】 设这个一次函数的解析式为：y kx b =+，由题意可知322k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩故这个一次函数的解析式为：24y x =-．【点评】这种首先设出函数解析式，然后再根据已知条件求出函数解析式的系数的方法，称为“待定系数法”．【例3】 (09四川泸州)已知一次函数y ax b =+的图象经过点()023A -，，()143B -，，()4C c c +，． ⑴ 求c ；⑴ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【解析】 ⑴根据已知()023A -，，()143B -，，求出一次函数解析式为223y x =+-，再把C 点坐标代入得23c =+．⑴()()()222222192a b c ab ac bc a b b c a c ⎡⎤++---=-+-+-=⎣⎦∵【点评】第二小问老师应该详细分析【例4】 (江苏省初中数学竞赛试题)一条直线l 经过不同的三点A (a ,b )，B (b ,a )，C(a b -，b a -)，那么直线l 经过 象限．【解析】 设直线l 的解析式为y kx t =+，因点A 、B 在直线l 上．⑴b ka ta kb t =+⎧⎨=+⎩，⑴a b =/，解得：1k =-,故直线l 的解析式为y x =-+t ． 又点C 在直线l 上．⑴()b a a b t -=--+，得0t =．即直线l 的解析式为y x =-，可知l 经过二、四象限．2、根据位置关系求解析式【例5】 已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点P (-1，2)，求这个一次函数 的解析式．【解析】 根据题意可设此函数解析式为2y x b =+，过点P (-1，2)，解得4b =，解析式为24y x =+.【例6】 (08年上海市中考题)如图，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．【解析】 根据题意可得OA 的解析式为2y x =，向上平移一个单位以后，可得：12y x -=，即21y x =+3、根据函数定义求解析式【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y 的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．【解析】 根据已知条件，设11y k x =，22k y x = (1k ，2k 均不为零)，于是，得：2221212k y y y k x x=+=+将2x =，3x =代入212y y y =+得：22122121943199k k k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解之：122536k k =⎧⎪⎨=⎪⎩，⑴2365y x x =+【补充】已知函数y (32)(4)a x b =+--为正比例函数。
用待定系数法求函数的解析式教案
运用待定系数法求函数的解析式(教案) 教学目标：1.了解用待定系数法求函数解析式的一般步骤;2.掌握用待定系数法求函数的解析式的方法;3.通过自主、合作学习，培养学生勇于探索、勤于思考的精神.教学重点：用待定系数法求函数的解析式教学难点:选设适当形式的函数解析式并用待定系数法求出解析式教学设计：一、基础扫描1．已知一次函数y=kx+3的图像经过两点A(2,-1)，则k=__________．2．已知反比例函数kyx=的图象经过（1，－2）．则k=__．3．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.求经过A、B、C三点的抛物线的解析式.4．抛物线的顶点为（-2，-3），且过点（0，-7），求该抛物线的解析式．问题1：结合上述四题，说说何为待定系数法？（板书课题）问题2：谈谈用待定系数法求一次函数、反比例函数、二次函数解析式的一般步骤.二、课内探究活动一：一次函数的解析式的确定1．与直线y=x平行，并且经过点P（1,2）的一次函数解析式为_________.2．如图,在平面直角坐标系中,A、B均在边长为1的正方形网格格点上.(1)求线段AB所在直线的函数解析式,并写出当02y≤≤时,自变量x的取值范围；(2)将线段AB绕点B逆时针旋转90,得到线段BC,请在图中画出线段BC.若直线BC的函数解析式为y kx b=+,则y随x的增大而(填“增大”或“减小”).活动二：反比例函数解析式的确定1．如图，某反比例函数的图象过点（－2，1），则此反比例函数表达式为（）A．2yx=B．2yx=-C．12yx=D．12yx=-2．已知如图,A 是反比例函数xky =的图像上的一点,AB ⊥x 轴于点B ,且△ABO 的面积是3,则k 的值是( )A. 3B. - 3C. 6D. -6活动三：二次函数解析式的确定1．将抛物线y =x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线的解析式为_______________.2．如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（-1，0），（1，-2），该图象与x 轴的另一个交点为C ，求AC 的长．活动四：：“联姻”题组（选用） 1．一次函数与反比例函数的“联姻”如图，一次函数b x y +=的图象经过点B （1-，0），且与反比例函数xky =（k 为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A （1，n ）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当61≤≤x 时，反比例函数y 的取值范围(直接写 出结果)．2．一次函数与二次函数的“联姻” 如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴，OA ＝AB=1个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移1个单位长度后得△AA 1B 1.c+第18题图1（1）求以A 为顶点，且经过点B 1的抛物线；（2）若（1）中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D 、C 的坐标.3．二次函数与反比例函数的“联姻” 已知双曲线xky与抛物线y =ax 2+bx +c 交于A(2,3)、B(m ,2)、C(－3,n )三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积,三、反馈练习1．如图，直线l 过A 、B 两点，A （0，1-），B （1，0），则直线l 的解析式为 _____． 2．如图，反比例函数ky x=的图象经过点A (-1,-2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ）A.y ＞1B.0＜y ＜1C. y ＞2D.0＜ y ＜23．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点（0，－3），请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b 的值是 ．4. 如图，已知A (-4，2)、B (n ，-4)是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围.。
用待定系数法求二次函数的解析式
确定二次函数的表达式一、用待定系数法求二次函数的解析式步骤：（1）设二次函数的解析式；（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。
（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。
二、二次函数解析式的的常见形式：1．一般式：.已知抛物线上三点或三对、的值，通常选择一般式.2．顶点式：.已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3．交点式：。
已知抛物线与轴交点的横坐标、，通常选用交点式。
三、例题选讲例1：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；例2：（一题多解）二次函数的图象经过点（1，0），（2，0），（3，4）求函数的解析式四、变式训练例1：已知二次函数y=(m2－2)x2－4mx+n的图象的对称轴是x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个二次函数的表达式.[变式练习]：将上例中其它条件不变,“最高点”改为“顶点”求二次函数解析式(分a＞0和a＜0两种情).例2：已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.分析∵对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,由抛物线的对称性知,抛物线与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).由抛物线的交点式:y=a(x－x1)(x－x2)求出解析式.[变式练习1] 将经过的点与对称轴方程改为顶点坐标.已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x轴的两个交点间距离是4.求这个二次函数的解析式.[变式练习2] 将与x 轴两交点的距离改为已知一交点坐标.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴分别交于A(3,0),B 两点,与y 轴交于(0,3)点,对称轴是x=1,求二次函数的解析式.五、题组训练，拓展迁移：1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．接近中考1、[2008年无锡市]已知抛物线22y ax x c =-+与它的对称轴相交于点(14)A -，，与y 轴交于C ，与x 轴正半轴交于B ．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线AC 交x 轴于D P ，是线段AD 上一动点（P 点异于A D ，），过P 作PE x ∥轴交直线AB 于E ，过E 作EF x ⊥轴于F ，求当四边形OPEF 的面积等于72时点P 的坐标．2、[2008佛山]. 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？O x y M 3 第2题图 AB C D P。
待定系数法求解析式
待定系数法求函数解析式【要点梳理】一．已知三点求抛物线解析式例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式．例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式．三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式．四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．五．求平移后新抛物线解析式例6把抛物线2xy-=向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式．六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式例7 在一张纸上作出函数322+-=xxy的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数322+-=xxy的图象关于x轴对称的抛物线，并写出新抛物线解析式．【课堂操练】1．求下列条件下的二次函数解析式：（1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）．（2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）．2．已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，求它关于y轴对称的抛物线解析式．3．已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，求它关于x轴对称的抛物线解析式．4．已知二次函数cbxxy++=221的图象过点A（c，－2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程；若不能，请说明理由．（2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添加一个适当的条件，把原题补充完整．【课后巩固】1．将抛物线2y x=的图像向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________．2．二次函数342++=xxy的图象可以由二次函数2xy=的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度3．已知2y ax bx c=++的图象过（－2，－6）、（2，10）和（3，24）三点，求函数解析式．4．已知函数2y ax bx c=++，当x＝1时，有最大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的解析式．5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解析式．6．已知抛物线22(2)4y m x mx n =--+的对称轴是x ＝2，且它的最高点在直线112y x =+上，求此抛物线的解析式．7．已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过 （0，1）和（2，－3）两点． （1）如果抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围．（2）若对称轴为x ＝－1，求抛物线的解析式．8． 二次函数图象过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB =OC ． （1）求C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．9．在平面直角坐标系中，△AOB 的位置如图所示．已知∠AOB ＝90°，AO =BO ，点A 的坐标为 (－3，1)．(1)求点B 的坐标，（2）求过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式， （3）设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为B l ，求△AB l B 的面积．10．已知点A （－2，－c ）向右平移8个单位得到 点A '，A 与A '两点均在抛物线2y ax bx c =++上， 且这条抛物线与y 轴的交点的纵坐标为－6，求这 条抛物线的顶点坐标．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0）． （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．12．一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y ＝x －3的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．13．在平面直角坐标系中，已知二次函数k x a y +-=2)1(的图像与x 轴相交于点A 、B ，顶点为C ，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．14．关于x 的函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； （3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．。
待定系数法求函数的解析式
一次函数的解析式1、把y=kx+b （k ≠0，b 为常数）叫做一次函数的标准解析式，简称标准式。
直线过()11,y x ， ()22,y x =>2121x x y y k --=,或1212x x y y k --=b:与y 轴交点的刻度（ 纵坐标）1：若点A （2，4）在直线y=kx-2上，则k=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．02：一条直线通过A （2,6），B （-1,3）两点，求此直线的解析式。
3：一条直线通过A （1,6），B （0,3）两点，求此直线的解析式。
4：若A （0，2），B （-2，1），C （6，a ）三点在同一条直线上，则a 的值为（ ）A ．-2B ．-5C ．2D ．55.已知点M （4，3）和N （1，-2），点P 在y 轴上，且PM+PN 最短，则点P 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（0，-1）D ．（-1，0）6.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象经过A （0，1）和B （2，0），当x ＞0时，y 的取值范围是（ ）A ．y ＜1B ．y ＜0C ．y ＞1D ．y ＜27.已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示（1）当x ＜0时，y 的取值范围是______。
（2）求k ，b 的值．用待定系数法求二次函数解析式二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)。
C:与y轴交点刻度（纵坐标）2、顶点式：y=a(x－h)2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
1.已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？2.已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．3. 已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？4.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；求抛物线的解析式？5.. 已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5），对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？6.如图，已知两点A（－8，0），（2，0），与y轴正半轴交于点C（0、4）。
待定系数法求函数解析式10题
待定系数法求函数解析式10题1. 题目：已知一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，求这个一次函数的解析式。
- 解答：- 因为一次函数y = kx + b的图象经过点(1,3)和( - 1, - 1)，所以把这两个点分别代入函数解析式中。
- 当x = 1，y = 3时，得到3=k×1 + b，也就是k + b=3；当x=-1，y = - 1时，得到-1=k×(-1)+b，也就是-k + b=-1。
- 现在有了一个方程组k + b = 3 -k + b=-1。
- 把这两个方程相加，(k + b)+(-k + b)=3+(-1)，得到2b = 2，解得b = 1。
- 把b = 1代入k + b = 3，得到k+1 = 3，解得k = 2。
- 所以这个一次函数的解析式是y = 2x+1。
2. 题目：二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)，求这个二次函数的解析式。
- 解答：- 因为二次函数y = ax^2+bx + c的图象经过点(0,1)，(1,2)，( - 1,4)。
- 当x = 0，y = 1时，代入解析式得1=a×0^2+b×0 + c，也就是c = 1。
- 当x = 1，y = 2时，得到2=a×1^2+b×1 + c，也就是a + b + c=2；当x=-1，y = 4时，得到4=a×(-1)^2+b×(-1)+c，也就是a - b + c = 4。
- 因为c = 1，所以把c = 1代入a + b + c = 2和a - b + c = 4中，得到a + b+1 = 2 a - b+1 = 4。
- 化简这两个方程得a + b = 1 a - b = 3。
- 把这两个方程相加，(a + b)+(a - b)=1 + 3，得到2a = 4，解得a = 2。
12.2待定系数法求解析式
把点_(_4_，__5_)_ , _(5_，___2_)_ 代入所设解析式得
4 k+b＝ 5
5 k+b＝ 2
解得,
k＝_-_3___ b＝_1__7__
把k= -3，b= 17 代入y=kx+b中， y ＝-3x+17
已知一次函数的图象经过点(4,5)与（5，2）.
_y_＝__k_x_+_b________
把点__(_5_，__2_) , _(_4_，__5_)_ 代入所 设解析式得
5__k+b＝2
4__k+b＝5
1.设一次函数的一般形式 y=kx+b(k≠0) ;
2.根据已知条件列出关 于k , b 的二元一次方程 组
解得, k＝__-_3__ b＝__1_7__
真棒！
想一想 说一说 要确定正比例函数的表达式需要几个条
件? 一个
确定一次函数的表达式需要几个条件?
两个
已知正比例函数的图象经过点(2，3） 求这个正比例函数的解析式． y
解：设这个一次函数的解析式为y=kx.
把点（2，3）代入所设解析式得, 2 k=3
解之得:k=1.5
8
7
6 5
4 3
(2，3)
若两个变量x,y间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b为常数,k不为零）的形式, 称y
是x的 一次函数
一次函数函数的图象是经过点 （ 0，b）和点（ - b ,0）的一条 直线 。
k
我们在画函数y=3x,y=x+3 时，至少应选取几个点？
两点
为什么呢？
用待定系数法求一次函数解析式
y＝3x－30
60 元上网费用； (2)若小李 4 月份上网 20 小时，他应付________
(3)若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间 是__________．
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点拨：(1)当 x≥30 时，设函数解析式为 y＝kx＋b，
30k b 60 k 3 则 ，解得 .所以 y＝3x－30. b 30 40k b 90
k=2 ∴ y=2 x +2 ∴ x=-1 时 y=度y（厘米）在一定限度内 所挂重物质量x（千克）的一次函数，现已测得 不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量 的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次 函数的解析式。
解:设这个一次函数的解析式为:y=kx+b 根据题意,把x=0,y=6和x=4,y=7.2代入,得： b=6 k=0.3 4k+b=7.2 解得 b=6
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变式3：已知一次函数y=2x+b 的 图象过点(2,-1).求这个一次函数 的解析式．
解： ∵ y=2x+b 的图象过点（2，-1）.
∴ -1=2×2 + b
解得
b=-5
∴这个一次函数的解析式为y=2x-5
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变式4：已知一次函数y=kx+b 的图象 与y=2x平行且过点(2,-1).求这个一 次函数的解析式． ∵ y=kx+b 的图象与y=2x平行. 解：
当B点的坐标为（0,4）时，则 y=kx+4
4 ∴ 0=3k+4， ∴k= - ∴ 3 4 ∴ 0=3k+4， ∴k= 3
y= -
4 x+4 3
当B点的坐标为（0,-4）时，则 y=kx-4
用待定系数法求解析式
例3．
练习3： 已知一元二次函数f(x)的图象经过点（３，８）,
且与x轴交于两点（－１,０）,（5,０）,求函数f(x)的
已解析解知：式由一。题元意可二设次函数函的数解析f式(x为)的f (图x) 象a(x经1)(过x 点5) （0，因3为）图且象经与过（X３轴，交８）于两点（1，0） ,（3，代入0）得 ,8求 a函(3数1)(3f5()x)的解析式。
所以 a 1
因此,函数的解析式为 f (x) (x 1)(x 5)
三、小结：
已知条件
已知一次函数经过两点 A(x0,y0)，B(x1,y1)
可设函数解析式为
f (x) kx b(k 0)
已知二次函数经过不重
合的三点A(x0,y0),B(x1,y1),
C(x2,y2)
f (x) ax2 bx c(a 0)
这种通过求待定系数来确定变量之间关系（函
数解析式）的方法叫做待定系数法。
二、典例讲解与练习：
例1、已知一元二次函数f(x)在x=-1,0,1处的函 数值分别为7，-1，-3，求这个函数 f(x)的解析 式。
练习1：
已知一元二次函数f(x),且x=0,-1,1 处的函数值分别为3, 6, 2,求这个函数 f(x)的解析式。
思考：
问题1： 一元二次函数 f(x)的图象的对称轴是直线x=2, 并且图象经过点P(2,0),Q(0,4)，求函数f(x)的解 析式。
问题2： 一元二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x) , 且函数 有最大值2，与 y 轴交于点（0，-6），求函数 f(x)的解析式。
一、复习引入
１．已学的函数及其解析式：
①正比例函数： y k x
②反比例函数： ③一 ຫໍສະໝຸດ 函 数：y k xy kxb
用待定系数法求函数解析式用
经过点P（1,2）的一次函数的解析式，则这个一次
函数解析式为 y x 1 。
2、（2007年郴州）已知正比例函数y=kx经过点 P(1，2），求这个正比例函数的解析式为 y 2x 。
3、（2010年郴州）已知双曲线 （1，2）则双曲线的解析式为
y
k x
y
的图象经过A
2 。
x
展现 自我
1、（2013年郴州）已知：如图，一次函数的图
象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y= 2 的图象在第一象限内交于A，B两点，其中 x
A（1，a），求这个一次函数的解析式．1
这个一次函数的解析式y=-x+3
．
2、（2012年郴州）已知反比例函数的图象与 直线y=2x相交于A（1，a），求这个反比例 函数的解析式． 这个反比例函数的解析式为y= 2
（1）求抛物线的表达式； （2）、（3）待续
y 2 x2 11 x 4 33
方法点拔 看图找点 见形想式 建模求解
畅谈所得
感悟提升
通过本节课的复习你对用待 定系数法求函数解析式又有什么 新的认识？
轻松 应对
任选以下三个条件中的一个，求二次函数
y=ax2＋bx＋c的解析式； ① 0）已知直线上两个点的坐标
反比例函数
yy kk(k 0) xx
二次函数一般式 y=ax2+bx+c
已知双曲线上一个点的坐标 已知抛物线上三个点的坐标
二次函数顶点式 y＝a(x-h)2+k 已知抛物线顶点坐标（h, k）
二次函数交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
已知抛物线与x 轴的两个交 点(x1,0)、 (x2,0),
人教版九年级数学上册(教案)：22.1用待定系数法求解析式
举例：已知二次函数图像开口向上，且过点(1,0)和(3,0)，求解该二次函数的解析式。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《用待定系数法求解析式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要根据已知信息来确定一个函数关系的情况？”（例如：根据已知的价格和数量来计算总价）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索待定系数法的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对待定系数法的理解程度参差不齐。有的同学能够迅速掌握基本原理，而有的同学在建立方程组和进行符号运算时遇到了困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对性地进行辅导。
在讲授新课的过程中，我尝试通过生动的案例和实际问题引入待定系数法的概念，大多数同学都能够积极参与，表现出较高的兴趣。但在实践活动和小组讨论环节，我发现部分同学在将理论应用到具体问题时还是显得有些吃力。这说明我在教学中需要更多地结合实际例子，让学生在实践中掌握待定系数法的应用。
（2）求解过程中的符号运算：在求解过程中，学生可能会在符号运算上出错，如正负号、乘除运算等。教师需提醒学生注意运算符号，并培养他们的细心和耐心。
（3）应用待定系数法解决实际问题：将待定系数法应用于解决实际问题，如求直线、抛物线的方程等，需要学生具备较强的抽象思维能力和逻辑推理能力。
举例：已知直线l过点A(2,3)和B(-1,1)，求解直线l的解析式。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。
首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。
一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。
其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。
一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。
对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。
再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。
比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。
根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。
总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。
用待定系数法求一次函数解析式精品课件ppt
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2、已知直线y=kx+b经过点 （2.5，0），且与坐标轴所围 成的三角形的面积为6.25，求 该直线的解析式。 3、判断点A(3，2)、B(-3，1)、 C(1，1)是否在一直线上？
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例1：已知正比例函数 y= kx,(k≠0) 的图象经过点（-2，4）.
求这个正比例函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx.
变式3：已知一次函数y=2x+b 的 图象过点(2,-1).求这个一次函数 的解析式．
解：
∵ y=2x+b 的图象过点（2，-1）.
∴ -1=2×2 + b 解得 b=-5 ∴这个一次函数的解析式为y=2x-5
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
变式7：一次函数y=kx+b(k≠0)的自 变量的取值范围是-3≤x≤6，相应函 数值的范围是-5≤y≤-2,求这个函数的 解析式.
2．分段函数 从使用情况来看，闭胸式的使用比较广泛。敞开式盾构之中有挤压式盾构、全部敞开式盾构，但在近些年的城市地下工程施工中已很少使用，在此不再说明。 在一个变化过程中，函数 y 随自变量 x 变化的函数解析式
用待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法求二次函数解析式1、二次函数解析式常见形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）；（2）顶点式：y=a(x−h)2+k（a,h,k为常数，a≠0）；（3）交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）2、用待定系数法求二次函数解析式的步骤：第一步，设：先设出二次函数的解析式，如：y=ax2+bx+c或y=a(x−h)2+k或y=a(x−x1)(x−x2)，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入设的二次函数的解析式中，得到关于待定系数的方程（或方程组）；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中。
3、解题思路：根据题中所给的条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为y=ax2+bx+c；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大（小）值时，可设函数解析式为y=a(x−h)2+k；③当已知抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0）时，可设函数解析式为y=a(x−x1)(x−x2)二次函数与一元二次方程1、二次函数与一元二次方程的转化：当二次函数y=ax2+bx+c的y为定值时，二次函数y=ax2+bx+c化为一元二次方程。
例如，当y=0时，化为方程ax2+bx+c=0。
2、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数可由方程ax2+bx+c=0根的情况来判断：①当?>0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；②当?＝0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点；③当?<0时，方程无实数根，抛物线与x轴没有交点。
特别地，以上说法反之也成立。
3、二次函数y=ax2+bx+c的y>0，y=0，y<0时，图像的特征：①当y>0时，观察抛物线位于x轴上方的部分；②当y=0时，观察抛物线与X轴的交点；③当y<0时，观察抛物线位于X轴下方的部分。
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情感与态 度目标 教学重点 教学难点 课时 教 具
教学环节 课题的引入 活
教师活动 复习相关知识点引入新课 典型例题 例 1、已知：抛物线过点（-1， 10） 、 （1，4） 、 （2，7） ，求抛物线解析式.
动 一
学生做练习 例 2、抛物线的顶点坐标为（-1，-3） ， ——看谁又 且过（0，-5） ，求抛物线解析式. 快又好 例 3、已知抛物线与 X 轴交于 A（－1， 0） ，B（1,0）并经过点 M（0,1） ，求抛 物线的解析式.
例 4、有一个抛物线形的立交桥拱，这 活 个 桥 拱 的 最 大 高 度 为 16m ， 跨 度 为 动 二 40m．现把它的图形放在坐标系里(如图 所示)，求抛物线的解析式． 学生思考并 解答
通过本例一题多 解题的练习,开 阔学生的思维， 灵活运用二次函 数解析式的三种 形式求解析式
课堂练习 1.根据下列已知条件，求二次函数的解 析式： (1) 抛物线过点 (0,2),(1,1),(3,5). 求 二次函数的解析式？ (2) 抛 物 线 顶 点 为 M( － 1,2) 且 过 点 N(2,1).求二次函数的解析式？ (3)已知二次函数的图象经过点 （ 1， 0） ， (3，0),(0，6) .求二次函数的解析式？
用待定系数法求二次函数的解析式
嘉祥外国语学校 知识与技 能目标 过程与方 法目标 聂利华
教案
教 学 目 标
1、 熟练掌握二次函数解析式的三种形式：一般式、顶点式、交点式。 2、会用待定系数法求二次函数的解析式。 3、能建立二次函数模型来解决生产实际中的问题。 1、让学生对二次函数及其图象性质相关知识的再现，从而熟练掌握二 次函数解析式的求法。 2、通过一题多解，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力， 拓展学生的思维，渗透数形结合的思想。 3、通过解决实际问题体现数学建模思想 通过对二次函数有关知识的进一步理解与掌握，以及利用二次函数解 决生产实际问题，感受二次函数及其图象的对称美、语言美；领悟数 学来源于生活而又服务于生活的真谛 用待定系数法求二次函数的解析式 建立二次函数模型解决实际问题 1 课时 多媒体、三角板、常用画图工具 教 学 过 程 学生活动 回答提问 设计意图 通过学生熟知的 知识激发学生的 学习兴趣 学生通过练习进 一步理解：根据 已知条件选择适 当的二次函数形 式是求解析式的 关键.
学 生 动 手练习
巩固用待定系数 法求解二次函数 解析式
(4)已知二次函数的图象的顶点坐标是 （1，-3） ，且经过点 P(2,0),求这个二 次函数的表达式？ (5)一位运动员在距篮下 4 米处跳起投 篮，球运行的路线是抛物线，当球运行 的水平距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈， 已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米。 建立如图所示的直角坐标系， 师 生 共 同 分 析 作答 建立二次函数模 型解决实际问 题。体现数学在 生活中的应用， 生活中处处有数 学，生活离不开 数学。
o
小结
1、 用待定系数法求二次函数解析式的 方法。 2、学会用二次函数模型解决实际问题。
学生总结
数学来源于生活 而又服务于生 活，因为它的产 生与发展让我们 的生活变得更加 多姿多彩。
备注
教学流程 图
开
始
复习引入
学生练习
电脑演示
师生共同探讨 学生动手 解析式的求法 电脑演示
二次函数的应用
小
结
活
动
三
2、如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x
轴相交于 A,B 两点,对称轴为直线 x=-1, 点 A 的坐标为(-3,0). （1）求点 B 的坐标； （2）已知 a=1,C 为抛物线与 y 轴的交 点. ①若点 P 在抛物线上,且 S△POC=4S△ BOC,求点 P 的坐标； ②设点 Q 是线段 AC 上的动点 , 作 QD⊥x 轴交抛物线于点 D,求线段 QD 长 度的最大值.