保险精算 第4章1 人寿保险的精算现值

四、常见的险种
1、定期寿险 2、终身寿险 3、两全保险 4、生存保险（以生存为给付条件） 5、递增型寿险 6、递减型寿险
五、计算原理
原则
保费净均衡原则 趸缴纯保费=未来给付在签单时的期望值
=（死亡给付的精算现值）
解释
所谓净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好 等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质 是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时值
4.1.2 n年定期寿险的精算现值
定义 保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险 责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年 期死亡保险。 假定: (x) 投保n年定期寿险，保险金额1元。
基本函数关系
vt v , t 0
t
1 , t n bt 0 , t n
v t , t n zt bt vt 0 , t n
运用中心极限定理， 根据风险业务量来确定保险公司的最初投资的基金。
例3 假设有100个相互独立的年龄为x岁的被保险人都 投保了保险金额10元的终身寿险，随机变量T的概率密
度是 fT (t ) e t ( 0.04, t 0)
保险金于被保险人死亡时给付，保险金给付是从某项
基金中按利息强度 0.06 计息支付。
被保障人群的大数性
这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平 均赔付并可预测将来的风险。
一、保费缴纳的形式
趸缴保费 一次性缴清的保费。 均衡保费 分期缴纳的保费。 二、纯保费 只考虑死亡给付，不考虑费用的保费。
三、保险金特点
1、支付的数量是确定的，但给付的时间不能 确定； 2、保险金的给付是在将来，签单时在现在； 3、保险金的两种给付：死亡立即给付；死亡 年末给付。
试计算这项基金在最初（t =0）时的数额至少为多少 时，才能保证从这项基金中足以支付每个被保险人的 死亡给付的概率达到95%？
4.1.4 延期寿险的趸缴纯保费
例如， 一个26岁的人考虑用保险金支付他退休之后死亡时 的丧葬费用，于是，他投保了一份延期34年的终身 寿险。如果人在退休前死亡，他工作期间的丰厚收 入会解决其丧葬费用，如果在退休之后死亡，则保 险公司会为他的一个很体面的葬礼支付保险金。这 就是一份终身寿险，但延期了34年。
趸缴纯保费的厘定假定条件:
假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人 的剩余寿命是独立同分布的。 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生 命表进行拟合。 假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即 预定利率）。
第四章 人寿保险的精算现值
4.1 死亡即付的人寿保险
4.2 死亡年末给付的人寿保险
120 60 2
例2答案
(3)满足P(Z 0.9 ) 0.9的0.9 .
解：
P( Z 0.9 ) P(vT 0.9 ) P(T ln v ln 0.9 ) ln 0.9 ln 0.9 P (T ) 令h ln v ln v 60 1 dt 即P(T h) h fT (t )dt h 60 1 (60 h) 0.9 h 6 60 6 6 有 ln 0.9 6 ln v 0.9 v e
（1）趸缴纯保费 A 310: 1 0| 解：
(2) Var(Z )
1 1 100 x 100 x 1 100
s( x t ) f T (t ) s ( x)
1 题中 x 30 f T (t ) 70 又有 ln(1 0.1)
1 10 1 1 t t 10 (1.1) dt (1.1) 0 0 70 70 ln 1.1 0.092 099 10 1 1 2 t 10 2 t 2 1 (1.1) 0 A 3 0:1 0| 0 e f T (t )dt 70 2 ln 1.1 0.063803
m|
A x：n| 表示其趸缴纯保费，
1
m|
A x: n|
1


mn
m
mn
e t t px xt dt
t m 0
( 为常数时)
0
1
e
t px xt dt e t t px xt dt
1
A x：mn | A x：m|
例4
(x)投保延期10年的终身寿险，保险金额1元，保险金 在死亡时立即给付，Z表示签单时死亡给付的现值随机 变量，已知利息强度 0.06, s( x) e0.04 x , x 0 。 试求： (1)1 0| Ax (2)Var ( Z ) (3)中位数0.5 。 解：
t 0


方差为
Var(Z )
例2
设 (x)要投保终身寿险，保险金额1元，签单时其未 来寿命 T 的概率密度函数为
1 ， 0 t 60 f T (t ) 60 0， 其他
利息强度为 ( 0) ，在签单时的保险金给付现值随机 变量为 Z ，试计算： (1) A
x
(2)Var ( Z )
d 0.04 ( xt ) [e ] s( x t ) (1) fT (t ) dt 0.04 x s ( x) e
0.04e 0.04 ( xt ) e 0.04 x
0.04 e
0.04 t
例4答案
1 0|
Ax v fT (t )dt e t 0.04e0.04 t dt 10 10
寿险产品介绍
1 2 3 4
传统个人寿险和年金产品
投资类保险产品
附加保险 团体保险
传统寿险和年金产品
意外险 定期寿险
健康保险
人身险
终身寿险
生存年金 两全保险
投资类保险产品
分红产品
万能产品
投连产品
常见附加险产品
主险附加产品
医疗费用 住院津贴
疾病保险
Cycle name
收入补偿
意外险
团体保险概念
第四章 人寿保险的精算现值
(趸缴纯保费厘定)
人寿保险简介
什么是人寿保险
狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡 作为保险标的的一种保险。 广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标 的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡 为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人 生存为标底的生存保险和两全保险。
E (ZT ) ：未来保险金给付在签单时的精算现值。
净均衡原则，即保费收入的期望现值正好等于将 来的保险赔付金的期望现值。它的实质是在统计意义 上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现值等于 支出期望现值 。
主要险种的精算现值（趸缴纯保费）
• n年期定期寿险 • 终身寿险 • 延期寿险 延期m年的终身寿险/延期m年的n年定期寿险 • n年期生存保险 • n年期两全保险
基本函数关系
vt v , t 0
t
bt 1 , t 0
Z bT vT vT t 0
zt bt vt v , t 0
t
A x 表来自百度文库终身寿险的趸缴纯保费。 A x E(Z ) z f (t )dt
0 t T
v t px xt dt 0 e t t px xt dt
延期m年的终身寿险
定义 保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任 范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定: (x)投保延期m年的终身寿险，保险金额1元。
基本函数关系
vt v t , t 0 1 , t m bt 0 , t m
v t , t m zt bt vt 0 , t m
团体：5人以上
用一张保单 对一团体的人提供保障
同一险种
团体保险
团体保险特点
1 精算方法不同
2
费率不同
3
管理方式和费用不同
团险种类
团体寿险
团体意外险 团体年金
团体健康险
人寿保险的性质
保障的长期性
这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽 视的因素。
保险赔付金额和赔付时间的不确定性
人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状 况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保 险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩 余寿命分布。
签单时保险金给付现值随机变量为
v , T n Z bT vT 0, T n
T
设 T 的概率密度函数为 f T (t ) ，则
E (Z )
v fT (t )dt
t 0
n
ve

A
1 x:n
表示n年期死亡保险的精算现值。
方差公式：
2 Var(Z ) E (Z 2 ) [ E (Z )]2 E(Z 2 ) ( A1 ) x: n|
(3)满足P(Z 0.9 ) 0.9的0.9 .
例2答案
解：
(1) Ax E(Z ) zt fT (t )dt 0 60 60 1 1 e t e dt , 0 0 60 60

(2)Var ( Z )
1 e 1 e , 0 120 60
基本符号
( x)
—— 投保年龄。
bt
vt
t
——保险金给付函数。
——贴现函数。 ——从签单到死亡的时间长度。 ——未来给付保险金在保单生效时的现值。
zt
zt bt vt
精算现值计算
考虑到死亡即付的保险金在余命 T ( x) 这一时刻给付， 未来保险金在签单时的现值为 Z T bT vT
t

(2)求Var(Z )

e 10 ( 0.04 ) 0.4e 1 0.04 0.04
10 ( 2 0.04 ) e 2 2 t 1.6 0 . 04 10 | A e f ( t ) dt 0 . 25 e x 10 T 2 0.04
Var(Z ) 1 0| 2Ax (1 0| Ax )2 0.25e 1.6 0.16e 2
例4答案
(3)求中位数0.5 。 即P(Z 0.5 ) 0.5
0, T m 考虑到Z T v , T m
P(Z 0.5 ) P(Z 0) P(0 Z 0.5 )
Var(Z ) 2A310:1 0| ( A310:1 0| ) 2 0.055321
A30:10 | e
1 0
10
t
fT (t )dt
4.1.3 终身寿险的趸缴纯保费
定义 保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责 任范围内的死亡均给付保险金的险种。 假定：(x)投保终身寿险，保险金额1元。
签单时保险金给付现值随机变量为
0, T m Z bT vT T v , T m
m
Ax 表示延期m年的终身寿险的精算现值。
m|
Ax v fT t dt
t m

e
m

t
fT t dt
延期m年的n年定期寿险
若(x)投保延期m年的n年定期寿险，保险金额1元。
4.3 死亡即付与死亡年末付人寿保险的 精算现值的关系
4.4 递增型人寿保险与递减型人寿保险
精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费， 未来保险金给付在签单时的现值，即一次 性缴清的纯保费，它是以预定利率和预定死 亡率为基础计算的。
4.1 死亡即付的人寿保险
死亡即刻赔付的含义
指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内 的死亡 ，保险公司将在死亡事件发生之后，立 刻给予保险赔付。它是在实际应用场合，保险公 司通常采用的理赔方式。 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时 刻，所以死亡即付时刻是一个连续随机变量，它 距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时 的剩余寿命。
E (Z ) zt fT (t )dt
2 2 0
n
v fT (t )dt e 2 t fT (t )dt
2t 0 0
n
n
记为
（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）
所以方差为
Var(Z )
例1
x 设生存函数为 s ( x) 1 (0 x 100 ) ，年利率 100 i 0.1 ，计算（保险金额为1元）