第一章事件的运算一个例题巧用对偶和包含关系
学案1：10.1.2 事件的关系和运算
10.1.2事件的关系和运算学习目标核心素养1.了解随机事件的并、交与互斥的含义．(重点)2．能结合实例进行随机事件的并、交运算．(重点、难点)1.通过对随机事件的并、交与互斥的含义的学习，培养学生数学抽象素养．2．通过随机事件的并、交运算，培养学生数学运算素养.【自主预习】事件的关系和运算(1)包含关系定义一般地，若事件A发生，则事件B，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示B A(或A B)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B，则称事件A与事件B，记作(2)并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少一个发生符号表示(或)图形表示(3)交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示(或)图形表示(4)互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示图形表示(5)互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为含义A与B有且仅有一个发生符号表示，图形表示思考1：一粒骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数为2}，事件C＝{出现的点数为偶数}，事件D＝{出现的点数小于3}，则事件A，C，D有什么关系？思考2：命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”什么关系？(指充分性与必要性)【基础自测】1．许洋说：“本周我至少做完3套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为() A．至多做完3套练习题B．至多做完2套练习题C．至多做完4套练习题D．至少做完3套练习题2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是() A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”3．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3【合作探究】【例1】(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③(2)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．【规律方法】判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．【跟踪训练】从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系：(1)至少有1个白球，都是白球；(2)至少有1个白球，至少有1个红球；(3)至少有1个白球，都是红球．[探究问题]1．事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是如何构成的？2．事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是如何构成的？3．“事件B包含事件A”“事件A与事件B的并事件”“事件A与事件B的交事件”分别对应集合中的哪些关系或运算？【例2】在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B ＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C.[思路探究](1)分析事件所包含的样本点→判断事件间的关系(2)样本点表示各事件→进行事件的运算[母题探究]1．在例2的条件下，求A∩C，A∪C，B∩C.2．用事件A i＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件：①B∪D；②C∪D.【课堂小结】1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们之间既有区别，又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能只有一个发生，但不可能两个都发生；而对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；但两个事件对立，它们一定互斥．2．进行事件间关系的判断或运算，可借助于图形．【当堂达标】1．判断正误(1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．()(2)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件．()(3)事件A∪B是必然事件，则事件A和B是对立事件．()2．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述各对事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③3．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则：①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为．4．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？【参考答案】【自主预习】事件的关系和运算(1) 一定发生⊇⊆相等A＝B(2) 至少有一个A∪B A＋B(3) 同时A∩B AB(4) 不能同时发生A∩B A∩B＝∅A∩B＝∅－(5) A∩B＝∅AA∩B＝∅A∪B＝Ω思考1：[提示]A＝C∩D.思考2：[提示]根据互斥事件和对立事件的概念可知，“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件．【基础自测】1．B[至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题．]2．C[A中的两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.]3．C[设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.]【合作探究】【例1】(1)C[③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．故选C.](2)[解]依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件；同理可以判断②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件；③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．【跟踪训练】[解]给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(x，y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，设A＝“至少有1个白球”，(1)设B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B⊆A.即A和B不是互斥事件．(2)设C＝“至少有一个红球”，则C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因为A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，所以A和C不互斥．(3)设D＝“都是红球”，则D＝{(1,2)}，因为A∪D＝Ω，A∩D＝∅，所以A和D为对立事件．[探究问题]1．[提示]事件A与事件B的并事件(或和事件)的样本点是由在事件A中，或者在事件B 中的样本点构成的．2．[提示]事件A与事件B的交事件(或积事件)的样本点是由既在事件A中，也在事件B 中的样本点构成的．3．[提示]“事件B包含事件A”对应于集合A是集合B的子集；“事件A与事件B的并事件”对应集合A和集合B的并集，“事件A与事件B的交事件”对应集合A与集合B的交集．【例2】[解]在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作A i＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，(2)事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1,2,4或6}．B∩D＝A4＝{出现点数4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1,3,4或5}．[母题探究]1．[解]A∩C＝A，A∪C＝C＝{出现点数1,3或5}，B∩C＝A3＝{出现点数3}．2．[解]B∪D＝{出现点数2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{出现点数1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.【当堂达标】1．[提示](1) 错误．对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．(2)正确．因为事件A和B是互斥事件，所以A∩B为空集，所以A∩B是不可能事件．(3) 错误．反例：抛掷一枚骰子，事件A为：向上的点数小于5，事件B为：向上的点数大于2，则事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是对立事件．[答案](1)×(2)√(3)×2．C[从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]3．②[①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件．]4．[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球和2个白球，2个红球和1个白球或3个红球，故C∩A＝A.。
高一数学人必修件事件的关系和运算
如果样本空间是一个区域（可以是线段、平面图形、立体图形等），且每个样本点发生的可能性与该区域的度 量（如长度、面积、体积等）成比例，则称这种概率模型为几何概型。
条件概率与独立性
条件概率
在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。条件 概率的计算公式为P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事 件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
高一数学人必修件事件的 关系和运算
汇报人：XX 20XX-01-24
目录
• 事件与基本事件 • 概率初步知识 • 随机变量及其分布 • 数学期望与方差 • 事件运算规则 • 实际问题中事件关系分析
01
事件与基本事件
事件定义及分类
必然事件
在一定条件下，每次试验都一定 会发生的事件。
随机事件
在一定条件下，每次试验都有可 能出现也有可能不出现的事件。
正态分布
数学期望μ，方差σ² 。
05
事件运算规则
事件交、并、差运算
事件交
两个事件A和B同时发生，记作$A cap B$， 表示A和B的交集。
事件并
两个事件A和B至少有一个发生，记作$A cup B$，表示A和B的并集。
事件差
事件A发生而事件B不发生，记作$A - B$或 $A bar{B}$，表示A和B的差集。
离散程度。
03
常数的方差为0。
04
05
方差越大，随机变量的取 值越离散；方差越小，随 机变量的取值越集中。
常见分布数学期望和方差
泊松分布
数学期望λ，方差λ 。
指数分布
数学期望1/λ，方差 1/λ²。
二项分布
数学期望np，方差 np(1-p)。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
事件的运算与关系解读
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
事件间的关系与事件的运算
第一周随机事件及其概率运算1.3事件间的关系与事件的运算事件关系（包含，相等，互不相容，对立）（1）包含关系：若事件,A B 满足A B⊂，则称事件B 包含事件A ，用示性函数表示为()()ωω≤A B I I .（2）相等关系：若A B ⊂，且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等（或等价），为同一事件。
用示性函数表示为()()A B I I ωω=.（3）互不相容关系，也称互斥关系：对于事件A 、B ，如果不可能同时发生，则A 、B 称为互不相容事件，此时AB =Φ。
用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.（4）对立关系：如果两个事件A 、B 中，=B “A 不发生”，则A 、B 称为具有对立关系（或互逆关系），又称B 为A 的对立事件，记为A B =。
用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .ΩΩ*********************************************************事件运算（和，积，差，交换律，结合律，分配律，结合律，对偶律）（1）事件的和：事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为A B 或A B +，即{}|A B x x A x B =∈∈ 或，如图所示的阴影部分.显然，当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时，事件A B 才发生。
n 个事件n A A A ,,,21 的和事件，即为n 个集合的并集 n k k A 1=。
（2）事件的积（或交）：事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积（或交）事件，事件A 与事件B 同时发生。
记为A B 或AB 。
n 个事件n A A A ,,,21 的积事件，即为n 个集合的交集 nk k A 1=。
（3）事件的差：事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。
{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。
事件的关系和运算
A ,
A A,
A A,
A .
4. 事件的互不相容 (互斥)
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
实例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . 互斥 “骰子出现1点”
, 推广 称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 和 事 件即
k 1
n
A1 , A2 , , An至 少 发 生 一 个 ;
称 Ak 为 可 列 个 事 件1 , A2 , 的 和 事 件即 A ,
k 1
A1 , A2 , 至 少 发 生 一 个 .
(k 1,2,) 是 的子集 .
1. 包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 ,
则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 格” 所以“产品不合格” 包含“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
A
B
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B.
二、随机试验和随机事件
定义 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1.试验在相同的条件下可以重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确切知道哪一个结果 会出现.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”、或 “测量” 等.
2. 随机现象
事件的运算与关系解读
则 A=B
3
例如
抛两个分币 A ={ 正好一个上 },
B={上，上}, C={至少一个上}, D={无下}.
AC BC BD
如例1中设 A { 取到的球号 2 } B { 取到的球号 4 } C { 取到的球号是偶数 }
D { 取到的球号1} 有 A B A C
事件C ={ t | t 1500} “一等品”
次品 0 1000
1500
BC
一等品
10
4、互不相容事件
B
A
S
定义 事件A 与事件B 不能同时发生 的事件，称为事件A 与事件B 互不相容(互斥).
记为 A B 若 A B 则称A 与 B 相容.
（可同时发生）
注： 基本事件是两两互不相容的(互斥) 。
A B c, d
例如 电路图
A1={开关 K1 合上}
K1
K2
A2={开关 K2 合上}
B
B A1A2
7
类似，由“事件A1, A2, , An ” 中同时发生所构成的 事件，称为 A1, A2, , An 的积，记为 A1A2 An 或 A1 A2 An
例如： 设以 A1, A2, , An 表示毕业班一位学生的
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例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
事件的关系与运算ppt课件
可以发现，事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生，用集
合表示就是：1,22,3 2 ，即E1 E2 C2 ，这时我们称事件C2
为事件E1和事件E2的交事件。
交事件（积事件）
一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件 中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这 个事件为事件A和事件B的交事件（或积事件），记故“甲向南”意味着“ 乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
二、事件的运算
例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1 点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}， 事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大 于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}， 事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝ {出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请 举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断 上述哪些事件是和事件.
三、随机事件的表示及含义
例3 设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C 表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生； (3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至 少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.
解 (1)ABC (2)A∪B∪C (3) A B C (4)AB (5)(A∪B) (6)AB∪AC∪BC
A＝B
知识点二 交事件与并事件
观察事件：D1 1,2,3, E1 1,2, E2 2,3
可以发现，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生，
对偶问题例题
对偶问题例题对偶问题又称为对频问题或对偶配对问题，是指给定两组元素，要求找出其中满足某种条件的元素对。
对偶问题经常出现在数学、计算机科学和逻辑学等领域中，涉及到了集合论、图论、逻辑推理等多种知识。
下面通过一些例题和相关参考内容来介绍对偶问题的求解方法和常用技巧。
例题1：有一组学生，每个学生都参加了英语和数学两门考试。
已知英语考试的及格率为80%，数学考试的及格率为70%，而两门课都及格的学生占总人数的50%。
问这组学生中至少有一门课及格的学生是多少百分比？解题思路：首先确定两个集合A和B，分别表示英语及格的学生和数学及格的学生。
已知A的概率为0.8，B的概率为0.7，目标是求A和B的交集的概率，即求A∩B的概率。
参考内容：1. 概率论基本概念：概率是指某个事件发生的可能性大小，可以用0到1之间的数值来表示。
事件的概率等于事件发生的次数与总次数的比值。
2. 交集和并集的概率：对于两个事件A和B，其交集的概率可以表示为P(A∩B)，并集的概率可以表示为P(A∪B)。
计算交集和并集的概率需要用到概率的加法规则和乘法规则。
3. 对偶问题的求解方法：对于这个问题，可以利用对偶的思想来求解。
由于已知A的概率为0.8，所以A的对偶事件A'的概率为1-0.8=0.2。
同样，B'的概率为1-0.7=0.3。
根据对偶的乘法规则，可以求得A'∩B'的概率。
然后，通过对偶的加法规则，可以计算出A∪B的概率，即至少有一门课及格的学生的概率。
例题2：有一组学生，每个学生都参加了英语和数学两门考试。
已知英语考试的及格率为80%，数学考试的及格率为70%，而两门课都及格的学生占总人数的50%。
问这组学生中两门课都不及格的学生是多少百分比？解题思路：首先确定两个集合A和B，分别表示英语及格的学生和数学及格的学生。
已知A的概率为0.8，B的概率为0.7，目标是求A'∩B'的概率，即求两门课都不及格的学生的概率。
第一节 随机事件的运算及关系
二、随机事件的关系及运算 它和集合的关系及运算是完全相互类比的， 摆在我们面前的问题是如何把集合论的语 言准确的换成概率论的语言。
下面我们用集合的关系与运算类比的讲述事件的
四种关系
和
三种运算
1、事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含 于集合B，记成 AB。
4、称最大的子集（样本空间本身）为必然事件，
称最小的子集（空集）为不可能事件。
5、 事件可以用子集表示，也可以用准确无误的语言来表示。
也可以用数集来表示
定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量， 用大写字母 X，Y，Z……表示
掷骰子
例 1 .6 任 投 一 枚 骰 子 ， 出 现 的 点 数 是 一 个 随 机 变 量 X。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
6、A与B互斥
事件A与B不能同时发生。
(或互不相容事件),
7、 A和 B对 立
A和 B当 且 仅 当 之 一 发 生 A B= AB=
AB=Ø
请同学思考互斥和对立
的区别与联系？
例 1 .2 一 战 士 连 续 向 以 目 标 射 击 ， 直 到 打 中 为 止 ， 令 i i= 射 击 次 数 ，
则
U 1 ，，， 2 3 ...........
例 1 .3 测 量 某 电 子 元 件 的 寿 命 ， U = x | 0 x <
例 1 .4 在 0 ， 上 任 取 一 数 ， 1
第一章
第一节
随机事件与概率
随机事件及其运算
事件的关系及其运算
第一章
随机事件及其概率主讲教师胡发胜
教授
第二讲事件的关系及其运算
事件的关系与运算与集合的关系与运算是完全事件是样本空间的子集，因此，. 这里需要强调的是，要学会利用概率论的语言来解释这些关系及相似的其运算.
在一般情况下，事件的关系是怎样的呢？
.
—.—本讲小结：
这一讲我们学习了事件的关系及其运算，利用这些关系及其运算，我们可以用简单的事件去表示复杂的事件，这下一讲样便于我们利用简单事件的概率去求复杂事件的概率 我们讲一类简单概率模型古典概型。
〖2021年整理〗《《事件的关系和运算》》优秀教案
《事件的关系和运算》教学设计教学设计教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1随机事件是如何定义的？2如何列举随机试验的样本空间？教师提出问题，引导学生回忆学生回忆、叙述通过复习相关的概念，加深对样本空间的理解，为引入事件的关系和运算做准备概念形成1包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作B A⊇或()A B⊆如图所示：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A⊇且A B⊇，则称事件A与事件B相等，记作A B=2并事件师：现在开始做掷骰子试验，说出试验中的事件，同时我们先定义：iC=“点数为i”，i=1，2，3，4，5，6学生掷一枚骰子，讨论记录：1D=“点数不大于3”；2D=“点数大于3”；1E=“点数为1或2”；2E=“点数为2或3”；通过掷骰子的试验，让学生说出试验中的事件，并讨论它们之间的关系，从而给出事件的一些关系根据教材一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，称这个事件为事件A与事件B 的并事件（或和事件），记作A B⋃（或A B+）如图所示：3交事件一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，称这样的一个事件为事件A与事件B 的交事件（或积事件），记作A B⋂（或AB）如图所示：4互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A B⋂是一个不可能事件，即A B⋂=∅，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）如图所示：5对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A B⋃=Ω，且F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；…师：用集合的形式表示事件1C=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，它们分别是{}11C=和{1,3,5}.G=类比集合与集合的关系与运算，你能发现它们之间的关系与运算吗？学生思考、讨论教师提出的问题教师形成事件的包含与相等关系的概念师：请同学们类比集合的并，看一下事件12E E⋃与1D的关系学生思考、讨论并回答：211{1,2,3},{1,2,3},E DE⋃==121E E D⋃=师：非常正确，由此我们可以归纳出并事件的概念师：请同学们类比集合的交，看一下事件12E E⋂与2C的关系学生思考、讨论并回答：212{2},{2},EE C⋂==122E E C⋂=讲解事件的顺序逐步提出问题，让学生思考并回答，达到解决问题的目的通过与集合的运算的类比，形成事件的关系与运算的概念，培养学生数学抽象的数学素养A B ⋂=∅，的对立事件记为A 如图所示：师：非常正确，由此我们归纳出交事件的概念师：下面请同学们继续思考事件3C 与4C 是否可以同时发生？用集合如何表示？学生思考，回答事件3C 与事件4C 不可能同时发生，用集合表示为{3}{4},⋂=∅即34C C ⋂=∅教师归纳出互斥事件的概念师：阅读教材，思考对立事件的概念与表示学生阅读思考，回答 教师及时发现学生回答中存在的问题，并进行指导，归纳对立事件的概念概念深化1事件的关系或运算的含义，以及相应的符号列表如下：2多个事件的和事件及积事件对于三个事件,,,A B C A B C⋃⋃（或A B C++）发生当且仅当,,A B C中至少一个发生，A B C⋂⋂（或ABC）发生当且仅当,,A B C同时发生；对于多个事件的和事件及积事件依次类推教师引导学生阅读教材（表）学生阅读、理解、记忆师：学习了关于两个事件的关系与运算，对于多个事件的和事件以及积事件如何定义呢学生分组讨论通过列表，有利于学生对知识的比较记忆通过小组合作学习，提升学生的团队精神应用举例例1 （1）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A至多有一次中靶教师课件展示例1内容，引导学生思考学生思考、讨论、回答展示问题，让学生解：（1）用12,x x分别表示甲、乙两个灯泡的状态，则可以用()12,x x表示这个并联电路的状态以1表示灯泡亮，0表示灯泡不亮，则样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.Ω=（2）依据题意，可得{(1,0),(1,1)},{(0,1),(1,1)}A B==，{(0,0),(0,1)},{(0,0),(1,0)}.A B==（3）{(0,1),(1,0),(1,1)},A B⋃={(0,0)};A B⋂=A B⋃表示电路工作正常，A B⋂表示电路工作不正常；A B⋃与A B⋂互为对立事件巩固训练教材第233页练习第1，2题习题部分先让学生独立思考、逐个回答，再请其他学生评价，最后教师讲解、点评巩固所学知识归纳小结1事件的包含与相等关系2并事件与交事件的概念与表示3互斥事件与对立事件的区别与联系学生思考回答，其他同学补充培养学生自觉回顾、善于总结的习惯，构建方法体系；关注与培养板书设计教学研讨本案例的特点是紧密结合教材，教师引导学生阅读教材，发现结果，归纳总结事件的关系与运算对于教材中的例题应突出样本空间的地位，通过写出试验的样本空间，再结合事件的运算，判断事件间的关系因为时间的关系，例6作为课后作业的形式出现，如果能在课堂上进行讲解则效果会更好。
《事件的关系和运算》教案、导学案、课后作业
《10.1.2 事件的关系和运算》教案【教材分析】事件的关系与运算是继随机事件的后续部分,本节课提出了事件的关系、事件的运算等两部分.学生将通过新旧知识的对比学习来进行自主学习，同时通过共同探讨来理解和掌握新知识的实际含义.【教学目标与核心素养】课程目标1．理解并掌握时间的关系和运算．2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．数学学科素养1.数学抽象：事件的关系和运算．【教学重点和难点】重点：事件运算关系的实际含义．难点：事件运算关系的应用.【教学过程】一、情景导入在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C 2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}……你还能写出这个实验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本229-232页，思考并完成以下问题1.事件的关系或运算的含义？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1. 事件的关系与运算探究1 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？(2)互斥事件和对立事件的关系是怎样的？答案 (1)并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样．(2)互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.探究2 从运算的含义总结事件的关系或运算？四、典例分析、举一反三题型一事件关系的判断例1 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？【答案】（1）详见解析（2）事件包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件（3）事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事件的交事件.【解析】（1）所有的试验结果如图所示,用数组表示可能的结果,是第一次摸到的球的标号,是第二次摸1R2R1R1R2R1R1R2R()12,x x1x2x到的球的标号,则试验的样本空间事件=“第一次摸到红球”,即或2,于是；事件=“第二次摸到红球”,即或2,于是.同理,有,,,.（2）因为,所以事件包含事件R ；因为,所以事件R 与事件G 互斥；因为,,所以事件M 与事件N 互为对立事件.（3）因为,所以事件M 是事件R 与事件G 的并事件；因为,所以事件R 是事件与事件的交事件.解题技巧（事件关系的判断方法）(1)两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生．(2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件．跟踪训练一1. 判断下列各事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=1R 11x =()()()()()(){}11,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4R =2R 21x =()()()()()(){}22,1,3,1,4,1,1,2,3,2,4,2R =()(){}1,2,2,1R =()(){}3,4,4,3G =()()()(){}1,2,2,1,3,4,4,3M =()()()()()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2N =1R R ⊆1R R G =∅M N =ΩM N ⋂=∅R G M =12R R R =1R 2R(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．(4)是互斥事件，也是对立事件．理由见解析【解析】 (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件，也是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生．其并事件是必然事件，所以是对立事件．题型二事件的运算例2如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效．设事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”．(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系．【答案】(1)样本空间为Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．(2)A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}，A＝{(0,0)，(0,1)}，B＝{(0,0)，(1,0)}．(3)A∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}，A∩B＝{(0,0)}；A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常；A∪B和A∩B互为对立事件．【解析】(1)用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．(2)根据题意，可得A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}，A＝{(0,0)，(0,1)}，B＝{(0,0)，(1,0)}．(3)A∪B＝{(0,1)，(1,0)，(1,1)}，A∩B＝{(0,0)}；A∪B表示电路工作正常，A∩B表示电路工作不正常；A∪B和A∩B互为对立事件．解题技巧： (事件运算的规律)(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算．跟踪训练二1. 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？【答案】(1) D＝A∪B．(2)C∩A＝A．【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B．(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，所以A⊆C，故C∩A＝A．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本233页练习，243页习题10.1的15题.【教学反思】由于事件的抽象性，所以教学时将大量采用“韦恩图”帮助学生理解事件的关系，同时强调区分事件关系、运算与集合的关系、运算的区别与联系.《10.1.2 事件的关系和运算》导学案【学习目标】知识目标1．理解并掌握时间的关系和运算．2．能够将事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中．核心素养1.数学抽象：事件的关系和运算．【学习重点】：事件运算关系的实际含义．【学习难点】：事件运算关系的应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本229-232页，填写。
事件的关系和运算(人教A版2019必修第二册)
(3)⋃ = {(1,0), (1,1), (0,1)}，ҧ ∩ ത = {(0,0)};
ത
⋃表示电路工作不正常；⋃和ҧ ∩ 互为对立事件.
例析
例6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2
个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件1 =
件有什么关系？
例析
例6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2
个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
解：(1)所有的试验结果如图所示.用数组(1 , 2 )表示可能的结果，1 是第一次摸到
条件都是一样的.
(2)判断事件间的结果是否有交事件，可考虑利用图分析，对较难判断关
系的，也可列出全部结果,再进行分析.
练习
变1.从装有3个红球和2个白球的口袋中随即取出3个球，则事件“取出1个红球和2个
设 =“至少有1个白球”,则 = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}.
(1)设 =“都是白球”,则 = {(3,4)}，所以 ⊆ .即和不是互斥事件.
练习
(2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”；
(3)“至少有1个白球”与“都是红球”.
解：给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取两个球，用(, )
“第一次摸到红球”，2 = “第二次摸到红球”， = “两次都摸到红球”， =
“两次都摸到绿球”， = “两次球颜色相同”， = “两次球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
事件的关系和运算 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
特别地，如果事件B包含事件A，
事件A也包含事件B，即B ⊇ A且
关系
A ⊇ B，则称事件A与事件B相等
_______
A＝B
图示
例1
在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出
现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小
＝{10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54}，故事件A∩B用样本
点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}.
球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
求：(1)事件D与A，B是怎样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(1)事件D包含的样本点为{1个红球、2个白球}，{2个红球、1个白球}，故D＝
A∪B.
(2)事件C包含的样本点为{1个红球、2个白球}，{2个红球、1个白球}，{3个红
球}，故C∩A＝A.
2 同时发生，相当于事件 C 发生，记作1 ꓴ2 ＝C.
请自行阅读教材P232相关内容，填写下列表格：
定义
并事件
(或和
符号
一般地，事件A与事件B 至少 有一个发
生，这样的一个事件中的样本点或者在
A∪B
事件A中，或者在事件B中，则称这个事 (或A＋B)
事件)
件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
一般地，事件A与事件B 同时 发生，这
交事件(
A∩B
样的一个事件中的样本点既在事件A中， _______
或积
(或AB)
也在事件B中，则称这样的一个事件为事 _______
事件的关系与运算(推荐下载)
Ｃ、Ａ＋Ｂ表示向上的点数是１或２或３ D、AB表示向上的点数是1或2或3
4、 从装有5只白球和5只红球的袋中任意取出3只球，判断下列
每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件。 （1）“取出2只红球和1只白球”与 “取出1只红球和2只白球”
（2） “取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”
（3）“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球” 解：（1）互斥事件 （2）对立事件
概率的几个性质 3、不可能事件的概率：P(A)=0
4、概率的加法公式：如果事件A与事
件B互斥，则 P(A∪B)=Ｐ(A)+P(B) 5、对立事件的概率：若事件 A、B互 为对立事件， 则P(A)=1－ P(B)
例1、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张， 那么取到红心(事件A)的概率是1／4，取到方片(事件B)
从中任取一球，得到红球的概率是1／3，得到黑球或黄 球的概率是5／12，得到黄球或绿球的概率也是5／12，
试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、 “摸到黑球”、“摸到黄球”、 “摸到绿球” 分别为A、B、C、D.则 P(A)= 1／3，P(B∪C)=P(B)+P(C)= 5／12
成立吗?
问题(四) 对立事件的概率应怎样计算? P(A)=1－ P(B) 注：1、公式使用的前提必须是对立事件，否则不 能使用此公式。
2、当一事件的概率不易直接求，但其对立事件
的概率易求时，可运用此公式，即使用间接 法求概率。
1、范围：任何事件的概率P(A) ∈[0,1]
2、必然事件的概率：P(A)=1
a与c互斥不可能同时发生b与c互斥c与d互斥c与d是对立事件至少有一个发生1抛掷一枚骰子事件a向上的点数是1事件b向上的点数是2事件c向上的点数是1或2则有2事件mn当n发生时下列必发生的是cab表示向上的点数是1或2或3dab表示向上的点数是1或2或3从装有5只白球和5只红球的袋中任意取出3只球判断下列每对事件是否为互斥事件是否为对立事件