矢量场的通量及散度

S1上的F 写成
F= azsinex+ azcos ey+ a2zsincos ez
yy
S1S1 SS4 4
dz oo ad
/2 a
d
SS22
en ds xx
bb
因
ds1=addz en
zz
SS33
SS5 5
则 F‧ds1=[ a2zsin（ex‧en）+a2zcos（ey‧en）
§1.3 矢量场的通量及散度
1、矢量场定义及图示 对于空间区域V内的任意一点r，若有一个矢量F(r)与之对
应，我们就称这个矢量函数F(r)是定义于V 的矢量场。
恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。 矢量场图 -- 矢量线
其方程为
F dl 0
F线
F dl
矢量线的示意图
Fdl 0

Fz
V 0 V
x y z
Fz(x,y,z+z) c y x
或写成
F Fx Fy Fz x y z
Fz(x,y,z)
z z (x,y,z) Fy(x,y,z)
a Fx(x,y,z)
b Fy(x,y+y,z)
Fx(x+x,y,z)
o
y
x
直角坐标的微分体积
f ) z

f
( Fx x

Fy y

Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y

Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
c y
记作
x
Fd s
div F lim s V 0 V
Fz(பைடு நூலகம்,y,z)
z z (x,y,z) Fy(x,y,z)
b
求边长分别为x、y、z 的小平行六面
a Fx(x,y,z)
Fy(x,y+y,z)
体的通量，其体积V=xyz 。 根据泰勒极数可知
o x
Fx
(x

Δx,y,z
Fx dy Fy dx = 0
得直角坐标的矢量线方程
dx dy dz
Fx Fy Fz
矢量线
2、通量 矢量 F 在面元dS 的面积分为
d = Fnds =Fcos dS = F‧dS
矢量 F沿有向曲面S 的面积分
Ψ S Fd S
en F
dS
矢量场的通量
若S 为闭合曲面 Ψ F d s ，可以根据净通量的大小判 s
则
(
f
F)

( x
ex

y
ey

z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey

fFz
ez )



x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )

(
f
Fx x

Fx
f ) ( x
f
Fy y

Fy
f ) ( f y
Fz z
Fz
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
R3
R3

3 R3

R
1 R3
R

3 R3

R
3 R4

R R

0
例3 已知 F( x,y,z ) =yzex+xz ey+xyz ez ，式求它穿过闭合
面的部分圆柱面S1的通量。
解 在S1面上有圆的参数方程： x = acos ， y = asin
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
量
R 3
• 标量场 f (r) 和矢量场 F(r) 之积 f F
( f F) f F f F
• R 及其模R
R 0 R3
R0
( f F) f F f F
证明： 设 f (r) =f (x,y,z) ，
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z ) ex+ Fy ( x,y,z ) ey+ Fz ( x,y,z ) ez
断闭合面中源的性质:
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
矢量场的闭合面通量
在直角坐标系中，设
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez ds = dydz ex+ dxdz ey+ dxdy ez 则通量可写成
[(Fx

Fx x
x)yz

Fxyz)] [(Fy

Fy y
y)xz

Fy xz )]
[(Fz

Fz z
z)xy

Fz xy)]
( Fx Fy Fz )V x y z
即得
div F lim
Fd s
s

Fx

Fy
矢量场的直角坐标式为
F(x,y,z) = Fx (x,y,z) ex + Fy (x,y,z) ey + Fz (x,y,z) ez
(Fy dz Fz dy) ex + (Fz dx Fx d ) ey + (Fx dy Fy dx) ez = 0
或
Fy dz Fz dy = 0
Fz dx Fx dz = 0
)

[Fx
( x,y,z
)

Fx
(x,y,z x
)
x]e
x
Fx(x+x,y,z) y
直角坐标的微分体积
Fy
(
x,y

y,z
)

[Fy
(
x,y,z
)

Fy
(x,y,z y
)
y]
e
y
Fz
( x,y,z

z)

[Fz
(x,y,z
)

Fz
(x,y,z z
)
z ] e z
Fds s
4、散度的物理意义
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性
• F= 0 (无源）
• F= 0 (正源)
• F= 0 (负源)
5、散度运算的几个基本关系式
• 相对坐标矢量函数 F(r r)
F F
• 相对位置矢 R(r r)