矢量场的通量及散度
矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
第7讲矢量场的通量及散度1
且 ( xi , yi , zi ) 是在 li 内的一点。
2.（弧长）曲线积分（介绍） 如果（1）式的极限存在，则称该极限为数量场
u ( x, y, z ) 在曲线 L 上对弧长的曲线积分，记作
线积分。
L
u ( x, y, z )dl
式中L为积分的曲线路径；通常称其为第Ι型曲
2. 曲线积分
3. 曲面积分
4. 通量和源 5. 散度的定义 以上内容基本上是高等数学的复习！ 教材：第2章，第3节
4.通量和源：通量 定义：设有矢量场
一侧的曲面积分： An dS A dS
S S
A(M )，沿其中有向曲面 S
某
为矢量场 A(M ) 向积分所沿一侧穿过曲面
上式表明，通量是可以叠加的。
4.通量和源：通量 在直角坐标系中： 又： dS ndS
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dS cos(n, x)i dS cos(n, y) j dS cos(n, z)k
z
S i
S
y
x
o
D
( xk , yk , zk )
( k ) x y
一般的曲面方程为：F ( x, y, z ) 0
曲面方程可以改写为：
F F F 法线方程为： n i j k x y z
z f ( x, y) 或 f ( x, y) z 0 z z 法线方程为： n ( )i ( ) j k x y
一个圆锥面 x2 y 2 z 2及平面 z H (H 0)所围成的封闭
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
矢量场散度的定义与计算
1.6 矢量场的散度1. 矢量场的矢线（场线）2. 矢量场的通量3. 散度的定义4.散度的计算5.散度定理1. 矢量场的矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每+-一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。
定义：如果在该矢量场中取一曲面S ，通过该曲面的矢线量称为通量。
表达式：d Sv Sψ=⋅⎰若曲面为闭合曲面：d Sv Sψ=⋅⎰2. 通量：讨论：a.如果闭合曲面上的总通量0>ψ说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。
b.如果闭合曲面上的总通量0<ψ说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c.如果闭合曲面上的总通量=ψ说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
表达式：d div limSV F S F V∆→⋅=∆⎰3. 散度的定义：4.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
123456123456d d d d d d d SS S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
矢量场表示为：ˆˆˆx x y y z z F F aF a F a =++1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 123456123456d d d d d d d SS S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1ˆd d d ()x S y z a=-zy x F x ∆∆-=)(1在x 方向上：计算穿过和面的通量2S 1S 1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 111ˆˆd ()()x x x S F S F x ay z a ⋅=⋅∆∆-⎰2ˆd d d x S y za=1()x F x x y z∆∆∆=+222ˆˆd ()x x x S F S F x ay za ⋅=⋅∆∆⎰21x x x=+∆其中：ˆˆˆx x y y z z F F a F a F a =++11()()xx x F F x x F x xx∂+∆=+∆∂因为：221d ()xx S F F S F x y z x y z x∂⋅=∆∆+∆∆∆∂⎰则：在x 方向上的总通量：1212d d x S S F F S F S x y z x∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 111d ()x SF S F x y z ⋅=-∆∆⎰已知：在z 方向上,穿过和面的总通量：5S 6S 5656d d ZS S F F S F S x y zz ∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰整个封闭曲面的总通量：d y x z S F F F F S x y z xy z ∂⎡⎤∂∂⋅=++∆∆∆⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰3434d d y S S F F S F S x y zy∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰同理：在y 方向上,穿过和面的总通量3S 4S 1S zyx6S 5S 4S 3S 2S该闭合曲面所包围的体积：z y x V ∆∆∆=∆0d div limSV F S F V∆→⋅=∆⎰zF y F x F z y x ∂∂+∂∂+∂∂=通常散度表示为：div F F=∇⋅散度： 5.散度定理：d d SVF S F V⋅=∇⋅⎰⎰物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
2.3 散度
求在单位时间内流向S 正面的流量 .
v
n
n
用元素法 .
ds
在单位时间内流经面积元素 dS 的流量元素 0 d (v n ) d S v dS
0 其中 dS n d S 为有向面积元素 .
v dS
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
Flux and Divergence of Vector Field
主要内容
1. 通量 2. 散度 教材：第2章 第3节
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
1
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
一、通量
不可压缩流体流速为 v (不变) ,
平面 上有洞面积为 s ,
> 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系, 用来描 述空间某一范围内场的发散或会聚具有局域性质，不 能反映空间一点的情况.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
7
《场论初步》
例1 已知矢量场 r xi yj zk ，求由内向外穿过
单位法向量为 n (指向正侧 ) .
n
v
s
在单位时间内从 s 中流过的流体的体积 (流量)
s v cos v n s
(1)
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
2
《场论初步》
§2.3
矢量场散度的定义与计算
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
第8讲矢量场的通量及散度2
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
1.6 矢量场散度的定义与计算
z
S6
S1
S3
FdS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
在 x方向上：计算穿过 S 1和 S 2 面的通量
z
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz dS1 dydz(aˆx)
F
1 R2
(R2 FR ) R
1
Rsin
(Fsin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中：F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
)
(Fu3
h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
常用坐标系中，坐标变量和拉梅系数
说明穿入的通量大于穿出的通量那么必然有一些矢线在曲面内终止了意味着闭合面内存在负源或称沟
1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3. 散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
量，那么必然有一些矢线在曲面内 终止了，意味着闭合面内存 在负源或称沟。
c. 如果闭合曲面上的总通量 0
说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
3. 散度的定义：
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
F dS
表达式： divF lim S V0 V
4.散度的计算：
矢量场的通量及散度.
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
2.3矢量场的通量与散度
出的通量.
解法1
记
r1
r
2
,
1r表示r平面部r 分r，
表示锥面部分，
2
则通量 Ò A dS A dS A dS,
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 , rr
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
曲面
2的外法1 向量nr
4
1 r2
rr0 nr0dS
q
4 R2
Ò dS
q
4 R2
4
R2
q.
2.散度
设
v A
v A(
x,
y,
z)
C
(1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
对于场中任一点M，在点M的某邻域作一张包围M的光
滑封闭曲面 ，取外侧，记 所围的区域为 ，这时，
,
A dS
表示单位时间从
经
流向外侧的流量，
而
()
x,
D2
q
4 r3
y,
D3
q
4 r3
z,
D1 x
q
4
r3
x 3r2 r6
x r
q
4
r2
3x2 r5 ,L
,
r divD
D1
D2
D3
0.
x y z
r
r
r
r
r
例7 设 A 2xyz2 i (x2z2 cos y) j 2x2 yz k，求divA.
利用Hamilton的算子 ，散度及其性质可表述为
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑ n
∑－
n
1.3 工程电磁场 矢量场的通量和散度
的积分只剩下 此，当体积 τ 由N
i个小、体积j 外元表组面成上时的，通穿量出，体因积
τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
Si
证毕
即 ( A)d A dS
divA ＝0： 该点无源。
散度是标量。
2019/5/30
7
2 、散度在直角坐标系中的表示式：
divA
Ax
Ay
Az
x y z
矢量微分算子 ： “ ” 读作 nabla 或 del
ex
x
ey
y
ez
z
当作矢量看待
即
divA
(ex
A dS
divA
lim S
0
散度是标量
散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对 体积的变化率。也称为 “通量源密度”。
2019/5/30
6
讨论：
divA
lim
A dS
S
0
divA ＞0：该点有发出通量线的正源；
divA ＜0： 该点有吸收通量线的负源；
S
2019/5/30
11
例A ： e设xx球面eySy上 e任z z意, 点求的位SA置 d矢S量. 为
R
解：根据散度定理
Ad A dS
S
而 A的散度为
高数之高斯公式通量与散度
高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。
它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。
首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。
通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。
通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。
散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。
散度可以用于描述场的源和汇。
高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。
从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。
也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。
这个公式的物理意义非常重要。
比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。
这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。
在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。
总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。
通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
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f ) z
f
( Fx x
Fy y
Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y
Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
则
(
பைடு நூலகம்
f
F)
( x
ex
y
ey
z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey
fFz
ez )
x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )
(
f
Fx x
Fx
f ) ( x
f
Fy y
Fy
f ) ( f y
Fz z
Fz
4、散度的物理意义
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性
• F= 0 (无源）
• F= 0 (正源)
• F= 0 (负源)
5、散度运算的几个基本关系式
• 相对坐标矢量函数 F(r r)
F F
• 相对位置矢 R(r r)
Fx dy Fy dx = 0
得直角坐标的矢量线方程
dx dy dz
Fx Fy Fz
矢量线
2、通量 矢量 F 在面元dS 的面积分为
d = Fnds =Fcos dS = F‧dS
矢量 F沿有向曲面S 的面积分
Ψ S Fd S
en F
dS
矢量场的通量
若S 为闭合曲面 Ψ F d s ，可以根据净通量的大小判 s
矢量场的直角坐标式为
F(x,y,z) = Fx (x,y,z) ex + Fy (x,y,z) ey + Fz (x,y,z) ez
(Fy dz Fz dy) ex + (Fz dx Fx d ) ey + (Fx dy Fy dx) ez = 0
或
Fy dz Fz dy = 0
Fz dx Fx dz = 0
[(Fx
Fx x
x)yz
Fxyz)] [(Fy
Fy y
y)xz
Fy xz )]
[(Fz
Fz z
z)xy
Fz xy)]
( Fx Fy Fz )V x y z
即得
div F lim
Fd s
s
Fx
Fy
)
[Fx
( x,y,z
)
Fx
(x,y,z x
)
x]e
x
Fx(x+x,y,z) y
直角坐标的微分体积
Fy
(
x,y
y,z
)
[Fy
(
x,y,z
)
Fy
(x,y,z y
)
y]
e
y
Fz
( x,y,z
z)
[Fz
(x,y,z
)
Fz
(x,y,z z
)
z ] e z
Fds s
量
R 3
• 标量场 f (r) 和矢量场 F(r) 之积 f F
( f F) f F f F
• R 及其模R
R 0 R3
R0
( f F) f F f F
证明： 设 f (r) =f (x,y,z) ，
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z ) ex+ Fy ( x,y,z ) ey+ Fz ( x,y,z ) ez
§1.3 矢量场的通量及散度
1、矢量场定义及图示 对于空间区域V内的任意一点r，若有一个矢量F(r)与之对
应，我们就称这个矢量函数F(r)是定义于V 的矢量场。
恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。 矢量场图 -- 矢量线
其方程为
F dl 0
F线
F dl
矢量线的示意图
Fdl 0
c y
记作
x
Fd s
div F lim s V 0 V
Fz(x,y,z)
z z (x,y,z) Fy(x,y,z)
b
求边长分别为x、y、z 的小平行六面
a Fx(x,y,z)
Fy(x,y+y,z)
体的通量，其体积V=xyz 。 根据泰勒极数可知
o x
Fx
(x
Δx,y,z
S1上的F 写成
F= azsinex+ azcos ey+ a2zsincos ez
yy
S1S1 SS4 4
dz oo ad
/2 a
d
SS22
en ds xx
bb
因
ds1=addz en
zz
SS33
SS5 5
则 F‧ds1=[ a2zsin（ex‧en）+a2zcos（ey‧en）
R3
R3
3 R3
R
1 R3
R
3 R3
R
3 R4
R R
0
例3 已知 F( x,y,z ) =yzex+xz ey+xyz ez ，式求它穿过闭合
面的部分圆柱面S1的通量。
解 在S1面上有圆的参数方程： x = acos ， y = asin
断闭合面中源的性质:
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
矢量场的闭合面通量
在直角坐标系中，设
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez ds = dydz ex+ dxdz ey+ dxdy ez 则通量可写成
Fz
V 0 V
x y z
Fz(x,y,z+z) c y x
或写成
F Fx Fy Fz x y z
Fz(x,y,z)
z z (x,y,z) Fy(x,y,z)
a Fx(x,y,z)
b Fy(x,y+y,z)
Fx(x+x,y,z)
o
y
x
直角坐标的微分体积