第四章习题解答63286
运筹学习题答案(第四章)
满足P、P2 , 不满足P3 1
page 4 28 December 2013
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第四章习题解答
4.3 用单纯形法解下列目标规划问题：
min P ( d1 d1 ), P2 d 2 , P3 d 3 , P4 (5d 3 3d 2 ) 1 x1 x2 d1 d1 800 d 2 d 2 2500 (1) 5 x1 st. 3 x2 d 3 d 3 1400 x1 , x2 , d i , d i 0, i 1,2,3 解：x1 500 , x2 300 , d 2 10, d 3 200
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第四章习题解答
(1) 用单纯形法求问题的满意解；
解：x1 70, x2 20, d 3 25, d1 10
满足P、P2 , 不满足P3 1
(2)若目标函数变为:
min
P d
1 1
运筹学教程（第二版） 习题解答
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第四章习题解答
4.1 若用以下表达式作为目标规划的目标函数， 其逻辑是否正确？为什么?
(1) max 不正确 (3) min 正确 (5) max
d d d
d d d
(2) max 不正确
d d d
d d d
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第四章习题解答
第四章 习题及参考答案.doc
解⑴G(s)= 第四章线性系统的根轨迹法4-3单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ G3)= s(0.2s + l)(0.5s +1)K 10Ks(0.2s + l)(0.5s +1) = s(s + 5)(s + 2)系统有三个开环极点：0 =0,P2 =-2,，3 =-5 实轴上的根轨迹：[—2,0]炊、己心0-2-5 7 (2k +1)71；■勿①渐近线：——= 一牙仁= -------；-- =±^，石%1分离点：j + £? + £ = °解得：％= 一°・88，d2 - 3.7863 (舍)%1与虚轴的交点：特征方程为D(s)= s 3 + 7s 2 + 10s + 10K = 0 J Re[D(jd))] = -7a)2 + 10K = 0 \(o = V10令[Im[D(ja))] = -a)3 + 10fi? = 0 解得[K = 7与虚轴的交点(0, +710j)o根轨迹如图解4-3 (1)所示。
图4-3 (1)K*(s + 2)⑴ G(s) =⑴(s + i + 〃)(s + l 一以)解:①实轴上的根轨迹：(-00-2]1 1 1②分离点：d + 1 + j2+ d + l-j2 = d + 2解之得：=-4.23③起始角：° PI = 180。
+ 63.435 -90 =153.43°,另一起始角由对称性得：-153.43°。
图4-4 (1)4-5已知单位反馈系统的开环传递函数G(s),要求：(2)确定G(s)= “EK：：、、产生纯虚根为±顶1的z值和K*值S十_LV八S 十)解(2)闭环特征方程：D(s) = $2 (s + 10)(s + 20) + K* (s + z)=s4 + 30s3 + 200s2 + K*s + K*Z = 0有：D(j(o) = 3 一200妒 + K*Z)+ - 30切3)=0刃4 -200妒+矿々=0令实、虚部分别等于零即：如•勿-30妒=0把刃=1 代入得：K*=30, z = 199/30。
概率论与数理统计第四章习题解
7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002
普通化学第四章课后习题解答
第四章化学平衡原理参考答案P 68~69综合思考题：解：①根据θθmf B m r H v H ∆=∆∑（其中B v 对生成物取正值，反应物取负值）有： ),()1(),()1(),(),(2g B H g A H g E H g D H H m f m f m f m f m r θθθθθ∆-+∆-+∆+∆=∆=2×（-4RT 1）+(-2.606RT 1)+3.5RT 1+2.5RT 1 =-4.606RT 1同理：),()1(),()1(),(),(2g B S g A S g E S g D S S m m m m m r θθθθθ-+-++=∆=2×（0.25RT 1）+(0.5RT 1)-0.3RT 1-0.7RT 1 =0.0根据吉“布斯－赫姆霍兹”方程θθθmr m r m r S T H G ∆-∆=∆有： 31100.0298606.4-⨯⨯--=∆RT G m r θ=-4.606RT 1×10-3（kJ.mol -1）<0 ∴反应正向自发。
②根据θθK RT G m r ln -=∆有：606.41010606.4ln 3131=⨯⨯--=∆-=--RT RT RT G K m r θθK θ=100.0③求Q ，根据]/[]/[]/[]/[2θθθθP P P P P P P P Q B A E D ⋅⋅=有： ]3.101/3.1015.0[]3.101/3.1010.1[]3.101/3.1015.0[]3.101/3.1015.0[2kPa kPa kPa kPa kPa kPa kPa kPa Q ⨯⋅⨯⨯⋅⨯==0.25 ∵Q<K θ∴平衡向正反应方向移动④根据)(ln 211212T T TT R H K K m r ⋅-∆=θθθ有：1606.4RT H m r -=∆θ，T 1=298K ，0.1001=θK ，T 2=398K ，?2=θK 将有关数据代入式子中得：)398298298398(298606.40.100ln2⨯-⋅⨯-=R R K θ解得：K θ2=31.4 ⑤∵K θ2< K θ1，∴由T 1升至T 2平衡向逆反应方向移动（即吸热反应方向移动）。
概率论第四章习题解答
1第四章随机变量的数字特征I 教学基本要求1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；3、了解切比雪夫不等式及应用；4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念；5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.II 习题解答A 组1、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.400.300.30求()E X 、(35)E X +、2()E X ？解：()(2)0.4000.3020.300.2E X =-⨯+⨯+⨯=-；(35)3()5 4.4E X E X +=+=；2222()(2)0.4000.3020.30 1.8E X =-⨯+⨯+⨯=.2、某产品表面瑕疵点数服从参数0.8λ=的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元求产品的平均价值？解：设X 为产品价格，则0X =、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为X 0 8 10 p0.00140.80880.1898则()80.1898100.80889.61E X =⨯+⨯≈(元).3、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()E X ？解：由分布函数知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它则4()()24x E X xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰.4、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()E X ？解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p pk p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知 211()[1(1)]E X p p p =⨯=--.5、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，即的泊松分布，即()!kp X k e k λλ-== (0,1,2,)k =求()E X 、2()E X ？解：1()!(1)!kk k k E X k ee ee k k λλλλλλλλλ-+∞+∞---======-∑∑；12201(1)()[]!(1)!!kk kk k k k k E X keee k k k λλλλλλλλ-+∞+∞+∞---===+===-∑∑∑1210[]()(1)!!k kk k e e e e k k λλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--===+=+=+-∑∑. 6、某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)服从下述分布X 10 11 12 13 p0.40.30.20.1(1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；(2) 设该工程队获利50(13)Y X =-(万元).求平均利润？ 解：(1)()100.4110.3120.2130.111E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(月)；(2) ()[50(13)]65050()100E Y E X E X =-=-⨯=(万元). 7、若随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，即1()a x b f x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它求()E X 、2()E X ？解：()()2bax a b E X xf x dx dx b a +∞-∞+===-⎰⎰；22222()()3baxa ab b E X x f x dx dx b a +∞-∞++===-⎰⎰. 8、若随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即的指数分布，即0()0x ex f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩０求()E X 、2()E X ？解：0()()xxE X xf x dx x edxxdeλλλ+∞+∞+∞---∞===-⎰⎰⎰1xxxeedxλλλ+∞+∞--=-+=⎰；2222202()()2xxxE X x f x dxx edxx exedxλλλλλ+∞+∞+∞+∞----∞-∞===-+=⎰⎰⎰.9、离散型随机变量X 的概率分布为X 0 2 6 p3/12 4/12 5/12求()E X 、[ln(2)]E X +？解：34519()0261212126E X =⨯+⨯+⨯=；34513[ln(2)]ln(02)ln(22)ln(62)ln 21212126E X +=+⨯++⨯++⨯=.10、设2~(,)X N μσ，求(||)E X μ-？解：22()21(||)||2x E X x e dx μσμμπσ--+∞-∞-=-⎰令x t μσ-=，由偶函数性质有222022(||)()2t t E X e d μσσππ+∞--==⎰.11、设某商品需求量(10,30)X U ，销售商进货量n 在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?解：按题意利润Y 与X 、n 的关系为500300()1030500100()1030n X n n X Y X n X X n +-≤<≤⎧=⎨--≤<≤⎩则利润平均值为10101()[[500100()][500300()]20n n E Y X n X dx n X n dx =--++-⎰⎰ 27.53505250n n =-++由题意知27.535052509280n n -++≥解得62263n ≤≤，则最少进货量为21.12、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件A 发生，则赔偿顾客a 元.以往资料表明事件A 发生的概率为p .为使公司收益期望值为0.1a ，则应向顾客收取都少保费?解：设应向顾客收取x 元保费，公司的收益为Y 元则Yx x a - p1p -p按题意()(1)()0.1E Y x p x a p a =-+-= 解得0.1x ap a =+.13、设随机变量X 的密度函数为1cos0()220x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.对X 进行独立重复观测4次，Y 表示观测值大于/3π的次数，求2Y 的数学期望？解：显然~(4,)Y b p ，其中p 是(/3)X π>的概率，故31()cos 0.5322xp p Xdx πππ=>==⎰所以44()0.50.5kkkp Y k C -==⨯ (0,1,2,3,4)k =则有42244()0.50.55k kkk E Y k C -==⨯=∑.14、设随机变量X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布求22Z X Y =+的数学期望？解：由题意知X 、Y 的联合密度函数为2221(,)2x y f x y eπ+-=于是22222221()(,)2x y E Z x y f x y dxdy x y edxdy π++∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞=+=+⎰⎰⎰⎰令cos x r θ=、sin y r θ=得222222201()22r r E Z r e drd r e drππθπ+∞+∞--===⎰⎰⎰.15、已知(,)X Y 的分布如下，令max{,}Z X Y =，求()E Z ？YX0 5 10 15 0 0.02 0.06 0.02 0.10 5 0.04 0.15 0.20 0.10 100.010.150.140.01解：由题设可得Z 的分布为Z 0 510 15 p 0.020.25 0.52 0.21()00.0250.25100.52150.219.6E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.16、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X 、()E Y 、()E XY 、22()E X Y +？解：12004()(,)125xE X xf x y dxdydx xy dy+∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 1303()(,)125x E Y yf x y dxdy dx y dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰；；131()(,)122xE XY xyf x y dxdy dx xy dy +∞+∞-∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰； 122222220016()()(,)()15xE XY xy f x y dxdydx xy y dy+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=⎰⎰⎰⎰. 17、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)8x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ？解：22007()(,)()88xE X xf x y dxdyxy dxdy+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰. 18、甲乙二人相约在12:00~13:00之间会面，设X 、Y 分别表示甲乙到达时间，且相互独立已知X 、Y 的密度函数为2301()0x x f x ⎧<<=⎨⎩其它、201()0y y f y <<⎧=⎨⎩其它求先到达者需要等待时间的数学期望？解：等待时间可以表示为||X Y -，由于X 、Y 的联合密度函数为2601,01(,)0x y x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它11200(||)||6E X Y x y x ydxdy ⇒-=-⎰⎰112200001()6()|64xyx y x ydydx y xx ydxdy =-+-=⎰⎰⎰⎰.19、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求数学期望()E X 、()E Y ？解：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)(,)0(,)c x y G f x y x y G∈⎧=⎨∉⎩，由密度函数性质解出9/2c =下面分别求出边沿密度函数当12x -≤≤时，有22222()(2)99x X xf x dy x x +==+-⎰，故此 22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 当01y ≤≤时，有24()99y Y y f y dx y--==⎰当14y <≤时，有222()(2)99y Y y f y dx y y --==+-⎰，所以 40192()(2)1490Y y y f y y y y ⎧≤≤⎪⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它从而22121()()(2)92XE X xfx dx x x x dx +∞-∞--==+-=⎰⎰； 1401428()()(2)995Y E Y yf y dy y yd y y y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰. 20、离散型随机变量X 的概率分布为X -2 0 2 p0.40 0.30 0.30求()D X ？解：由题意易知()0.2E X =-、2() 1.8E X =，所以22()()[()] 1.80.04 1.76D X E X E X =-=-=.21、设随机变量X 的分布函数为00()/40414x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩.求()D X解：由题意易知X 的密度函数为1/404()0x f x <≤⎧=⎨⎩其它，且()2E X=，则242(2)4()(())()43x D X x E X f x dx dx +∞-∞-=-==⎰⎰. 22、若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求()D X ？ 解：由题意易知()E X λ=、22()E X λλ=+，故22()()[()]D X E X E X λ=-=.23、设随机变量(,)X Y 的密度函数为1()02,02(,)80x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()D X ？解：由题意易知7()8E X =，故2222001711()[()](,)()()8636D X x E X f x y dxdy x x y dxdy +∞+∞-∞-∞-∞=-=-+=⎰⎰⎰⎰. 24、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求方差()D X 、()D Y ？解：由题意易知22(2)12()90X x x x f x ⎧+--≤≤⎪=⎨⎪⎩其它、40192()(2)1490Y yy f y y y y ⎧≤≤⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪⎪⎩其它1()2E X =、8()5E Y =22222127()()(2)910X E X x f x dx x x x dx+∞-∞--==+-=⎰⎰14222214247()()(2)9914Y E Yy f y dyy ydyy y dy +∞-∞-∞==++-=⎰⎰⎰229()()[()]20D X E X E X =-=；22279()()[()]350D YE Y E Y =-=.25、设10只同种元件中由2只是坏的，装配仪器时，从中任取1只，如果是不合格品，则扔掉后重取1只，求取出合格品前取出次品数的方差？只，求取出合格品前取出次品数的方差？解：设X 表示取出合格品前已取出次品的数目，则X0 1 2 p8/10 16/90 2/90故2()9E X =、24()15E X =所以2288()()[()]405D XE X E X =-=.26、设随机变量X 的密度函数为||1()2x f x e -=.求()E X 、()D X ？解：||1()()02x E X xf x dx x e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰； 222||2011()(())()222x xD XE X E X x f x dx x e dx x e dx +∞+∞+∞---∞-∞=-====⎰⎰⎰.27、设X 为随机变量，证明:对任意常数C ，有2()()D X E X C ≤-，当()C E X =时等号成立.证明：22222()(2)()2()E X C E X CX C E X CE X C -=-+=-+22222()[()]{[()]2())}()[()]E X E X E X CE X C D X E X C =-+-+=+-由于2[()]E X C -非负，从而有2()()D X E X C ≤-，且当()C E X =时2()()D X E X C =-.28、设U 服从(-2，2)上的均匀分布，定义X 、Y 如下1111U X U -<-⎧=⎨>-⎩、1111U Y U -<⎧=⎨>⎩求()D X Y +？解：先求X Y +的分布(2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=-==-=-=<-<=<-= (2)(1,1)(1,1)(1)1/4p X Y p X Y p U U p U +=====≥-≥=≥= (0)1(2)(2)1/2p X Y p X Y p X Y +==-+=-+=-=所以()0E X Y +=，从而2()()2D X Y E X Y +=+=.29、已知()750E X =、2()15D X =.请估计概率(700800)p X <<？ 解：由切比雪夫不等式有2215(700800)(|750|50)10.9150p X p X <<=-<≥-≈.30、设()2E X =-、()1D X =、()2E Y =、()4D Y =、0.5XY ρ=-，利用由切比雪夫不等式估计概率(||6)p X Y +≥的上限？解：因为()0E X Y +=、()()()2(,)3D X Y D X D Y Cov X Y +=++=，所以，所以2()1(||6)(|()()|6)612D X Y p X Y p X YE X Y ++≥=+-+≥≤=. 31、设()4D X =、()9D Y =、0.5XY ρ=，求(23)D X Y -？ 解：(,)()()3XY Cov X Y D X D Y ρ==(23)4()9()2(2,3)16813661D X Y D X D Y Cov X Y -=++-=+-=.32、设(,)X Y 的联合密度函数为21201(,)0yy x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求(,)Cov X Y ？解：由题意易知4()5E X =、3()5E Y =、1()2E XY =，故 1431(,)()()()25550Cov X Y E XY E X E Y ⨯=-=-=⨯. 33、设二维随机变量(,)X Y 在曲线2y x =、2y x =+所围区域G 内服从均匀分布，内服从均匀分布，求求协方差(,)Cov X Y 与相关系数XY ρ？解：由题意易知1()2E X =、8()5E Y =、9()20D X =、279()350D Y =2221225()994x x G E XY xy dxdy xdx ydy +-===⎰⎰⎰⎰所以9(,)()()()20Cov X Y E XY E X E Y =-=； (,)0.751()()XYCov X Y D X D Y ρ=≈.34、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布为YX-1 0 1 00.07 0.18 0.15 100.080.320.20求22(,)Cov X Y解：先求2X 、2Y 、22X Y 的分布2(0)0.4p X ==、2(1)0.6p X == 2(0)0.5p Y ==、2(1)0.5p Y == 22(0)0.72p X Y ==、22(1)0.28p X Y ==所以2()0.6E X =、2()0.5E Y =、22()0.28E X Y =，由此得222222(,)()()()0.02Cov X Y E X Y E X E Y =-=-.35、随机变量(,)X Y 的密度函数为201,11(,)0x x y f x y ≤≤-≤≤⎧=⎨⎩其它求()D X Y +？解：当01x <<时，有11()22X x f x d y x -==⎰；当01y <<时，有11()22Y y f y d x y -==⎰，故2()()3E X E Y ==、1()()18D X D Y == 由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，即X 与Y 不独立.所以11015()212xE XY xydxdy -==⎰⎰541(,)()()()12936Cov X Y E XY E X E Y =-=-=- 1()()()2ov(,)18D X Y D X D Y C X Y +=++=.36、将1枚硬币抛n 次，以X 、Y 分别表示正面向上与反面向上的次数，求(,)Cov X Y 、XY ρ解：由于X Y n+=，即Y n X=-，于是1XYρ=-；又因~(,0.5)X b n 、~(,,0.5)Y b n ，所以()()/4D X D Y n ==，故(,)(,)(,)()/4Cov X Y Cov X n X Cov X X D X n =-=-==.37、设X 与Y 独立，且都服从参数为λ的泊松分布，令2U X Y =+、2V X Y =-求U 与V 的相关系数？解：由于()(2)4()()5D U D X Y D X D Y λ=+=+= ()(2)4()()5D V D X Y D X D Y λ=-=+=所以(,)(2,2)Cov U V Cov X Y X Y =+-4()(,2)(2,)()3D X Cov Y X Cov X Y D Y λ=+--=由此得(,)35(),()XYCov X Y D X D Y ρ==. 38、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1||0,01(,)0y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它判断X 与Y 之间的相关性与独立性.解：由于12()3x xE X xdydx -==⎰⎰、、10()0x xE Y ydydx -==⎰⎰、10()0xxE XY xydydx -==⎰⎰，则(,)()()()0Cov X Y E X E Y E XY =-=故X 与Y 之间不相关；又因当01x <<时，有()2xXxf x dy x-==⎰，即201()0X x x f x <<⎧=⎨⎩其它同理可以求出110()1010X y y f x y y +-<<⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 与Y 之间不独立.39、设a 为区间(0,1)上一定点，随机变量(0,1)X U ，Y 是X 到a 的距离.问a 为何值时X 与Y 是不相关？解：由题设知()0.5E X =、||Y X a =-，所以11201()||()()2aaE Y x a dx a x dx x a dx a a =-=-+-=-+⎰⎰⎰3101()()()323a a a a E XY x a x dx x x a dx =-+-=-+⎰⎰31(,)3212a aCov X Y =-+令31(,)03212a a Cov X Y =-+=，可得方程2(21)(221)0a a a ---=在(0,1)内解得0.5a =，即0.5a =时，X 与Y 不相关. 40、设计算器进行加法计算时，所有舍入误差相互独立且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布.(1) 将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少；(2) 最多可以有几个数相加，其误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90? 解：设第i 个数的舍入误差为i X (1,,)i n = ，故()0i E X =、()1/12i D X = (1,,)i n =记1ni i X X ==∑(1) 由林德伯格－列维中心极限定理有15001150001515000(||15)(||)15001/1215001/12i i x p X p =-⨯-⨯>=>∑151[2()1]0.180215001/12≈-Φ-=；(2) 由林德伯格－列维中心极限定理有1100100.90(||10)(||)2()11/121/121/12ni i x n n p X p n n n =-⨯-⨯≤<=≤≈Φ-∑即10()0.951/12n Φ≥，由于(1.645)0.95Φ=，则101.6451/12n ≥因此443.45n £，再由n 为整数得满足题意的个数为443.41、一批木材中有80%的长度不小于3m ，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m 的概率？解：以X 表示100根木材中长度短于3m 的数目，则~(100,0.2)X b ，于是()20E X =，()16D X =.由于100n =较大，则由中心极限定理，近似有2~(20,4)X N ，由此有20302010(30)1(30)1()1()0.0062444X p X p X p --≥=-<=-<≈-Φ-=. 42、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，种蛋糕，每种蛋糕被购买的概每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？解：(1) 设第i 只蛋糕价格为iX (1,,300)i = .则i X的分布为i X1 1.2 1.5 p0.30.20.5于是可得() 1.29i E X =、2() 1.713iE X =、()0.0489i D X =令3001i i X X ==∑表示总收入，则由林德伯格－列维中心极限定理有300 1.29400300 1.29(400)()1(3.39)0.00033000.04893000.0489X p X p -⨯-⨯≥=>≈-Φ=⨯⨯；(2) 记Y 为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则~(300,0.2)Y b ，于是()60E Y =、()48D Y =，由中心极限定理，近似有~(60,48)X N ，由此有606060(60)1()1(0)0.54848Y p Y p --≥=-<≈-Φ=.43、进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少?此时A 发生的次数在什么范围内?解：设X 为1000次试验中事件A 发生的次数，则~(1000,0.25)X b ，由二项分布的性质知()250E X =、()187.5D X =，而事件A 发生的频率为/1000X .根据题意，可得如下不等式(|0.25|)0.951000X p ε-≤≥即(|250|1000)0.95p X ε-≤≥，由棣莫弗―拉普拉斯定理有25010001000(||)2()10.95187.5187.5187.5X p εε-≤≈Φ-≥即1000()0.975(1.96)187.5εΦ≥=Φ解得0.026ε³，这表明1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件A 发生的次数在224到276之间.44、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能性保证此车间正常工作？解：以X 表示同时工作的车床数，则~(150,0.6)X b ，于是()90E X =、()36D X =，由题意知x 应使得下式成立(0)0.995p X x ≤≤≥由中心极限定理，近似有~(90,36)X N ，故有090909090(0)()()(15)0.9956666X x x p X x p ----≤≤=<<≈Φ-Φ-≥ 查标准正态分布表得90 2.586x -≥，即105.28x ≥，取整得106x =.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能151061590⨯=()kw .B 组1、将n 只球(1n 号)随机的装入n 只盒子(1n 号)，一只盒子装一只球.若一只球装入的盒子与球同号，称为一个配对.记X 为配对数，求()D X ？解：引入随机变量i X (1,)i n = ，1i X =表示第i 号配对，0i X =表示第i 号不配对，则1n X X X =++ ，且1(1)i p X n ==(1,)i n = 即1()i E X n = (1,)i n =于是1()()1n E X E X X =++=因为i X 之间不独立，所以11111()()2(,)nn ni i i i j ii ij D X D X Cov X X -=====+∑∑∑∑下面考虑i j X X 的分布，由于i j X X 的取值只能是0、1，且1(1)(1,1)(1)i j i j p X X p X X n n =====- 所以1()(1)i j E X X n n =-，因此 21()()()()(1)i j i j i j Cov X X E X X E X E X n n =-=- 2211()21(1)nn D X Cnn n -⇒=+=-.2、设随机变量X 的分布函数为()F x ，其数学期望存在，证明()[1()]()E X F x dx F x dx +∞-∞=--⎰⎰.证明：00()()()()E X xf x dxxf x dxxf x dx +∞+∞-∞-∞==-⎰⎰⎰由于00()()()xxf x dxxdy f x dx +∞-∞=-⎰⎰⎰改变积分次序有00()(())()yxf x dxf x dx dyF y dy +∞-∞-∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰同理有()[1()]xf x dx F y dy +∞+∞=-⎰⎰ 0()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞⇒=--⎰⎰.3、设随机变量X 的分布函数为0111()arcsin 11211x F x x x x π⎧<-⎪⎪=+-≤<⎨≥⎪⎩求()E X ？解：由上一题结论有()[1()]()E X F x dxF x dx +∞-∞=--⎰⎰111111[1arcsin ](arcsin )022x dx x dx ππ--=---+=⎰⎰.4、设连续随机变量X 的密度函数为()f x 若对任意常数c 有()()f c x f c x +=- (0)x >且()E X 存在.证明()E X c =.证明：令x t c =-则有()()()()()()E X xf x dxc t f c t dtcf c t dttf c t dt +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==++=+++⎰⎰⎰⎰由密度函数性质有()()cf c t dt cf c t dt c +∞+∞-∞-∞+=+=⎰⎰令u t =-，有()()()()tf c t dttf c t dtuf c u duuf c u du +∞+∞-∞-∞+=-=+=-+⎰⎰⎰⎰故()0tf c t dt +∞-∞+=⎰所以()E X c =.5、证明事件A 在一次试验中发生次数的方差不超过0.25.证明：设X 表示事件A 在一次试验中发生的次数，则(1,)X b p ，其中p 是事件A 发生的概率，则()(1)0D X p p =-≥由均值不等式得，当0.5p =时，()D X 有最大值0.25. 6、设随机变量X 服从几何分布，即1()(1)k p X k p p -==-(1,2,)k = ，其中01p <<是常数.求()D X解：1111()(1)(1)k k k k E X kp p p k p +∞+∞--===-=-∑∑由级数2121123(1)k x x kx x -=+++++- (||1)x <，知211()[1(1)]E X p p p =⨯=--又111[(1)](1)()(1)(1)k k k E X Xk k p Xk pk k p +∞+∞-==+=+==+-∑∑将21(1)x -的展开式两端求导得 1321223(1)(1)k x k kx x -=⋅+⋅++-+- 3222[(1)][1(1)]E X X pp p ⇒+==--222()()[()][(1)][()]D X E X E X E X X X E X ⇒=-=+-- 221[(1)]()[()]p E X X E X E X p-=+--=. 7、一只昆虫所生虫卵X 服从参数为λ的泊松分布，而每个虫卵发育成幼虫的概率为p ，且每个虫卵是否发育成幼虫相互独立，求一只昆虫所生幼虫数Y 的期望与方差？解：由题意知()!np X n en λλ-==(0,1,2,)λ= ，而n 个虫卵发育成k ()k n ≤个幼虫的概率为(|)(1)k kn knp Y k X n C p p -===- (0,1,,)k n =由全概率公式，对任意0,1,,k n = 有()()(|)(1)!nkkn kn n k n k p Y k p X n p Y k X n e C p p n λλ+∞+∞--========-∑∑(1)()[(1)]()()!()!!!k n kk kp pn k p p p p e e e e k n k k k λλλλλλλλ-+∞----=-===-∑即Y服从参数为pλ的泊松分布所以()()E Y D Y p λ==.8、设随机变量X 的密度函数()f x 是偶函数，且2(||)E X <+∞，证明X 与2X 不相关，但不独立.证明：因()f x 是偶函数，所以()xf x 、3()x f x 是奇函数，故此3()()0E X E X ==222(,)()()()0Cov X X E X X E X E X ⇒=⋅-=因而，X 与2X 不相关；选取0a >使得()1p X a ≤<，考察如下特定事件概率22(,)()()()p X a X a p a X a p X a p a X a ≤≤=-≤≤>≤-≤≤ 22()()p X a p X a =≤≤即2222(,)()()p X a X a p X a p X a ≤≤≠≤≤ 故X 与2X 不独立.9、设1X 、…、n X 中任意两个的相关系数都是ρ，试证:11n ρ≥--. 证明：因为111110()()2(,)nnni iiiji i i j D X D X Cov X X-====≤=+∑∑∑∑1111()2()()nni i i j i ij D X D X D X ρ-====+∑∑∑11111()[()()]()[1(1)]n ni ni i j i i i j i D X D X D X D X n ρρ-====≤++=+-∑∑∑∑11n ρ⇒≥--.。
第4章习题解答
码长 1 , 3 , 3 ,3 , 5 , 5 , 5 , 5
平均码长 = 0.533 码符号/信源符号
N=4时， =
对信源 进行霍夫曼编码，其紧致码为
码字 0 , 100 , 101 , 110 , 1110 , 111110 , 1111000 ,1111001,
设信源 = ， =1对此信源编码将r元唯一可译变长码（即码符号集X={1，2， r}），其对应的码长为（ ， ， ）=（1，1，2，3，2，3）求r值的最好下限。
解：要将此信源编码成为r元唯一可译变长码，其码字对应的码长
（l1,l2,l3,l4,l5,l6）=(1,1,2,3,2,3) 必须满足克拉夫特不等式，即
M= =1+100+4950+
对M个信源序列进行无失真的二元等长编码，必须
=166750
所以码字所需的最小长度 ＝18
（2）对于这二元信源，其H(S) 比特/符号
现根据所编码的N（＝100）长的信源序列来计算 。在这N长的信源序列中全零序列其 最大，则其 最小；而其中含3个“1”的序列其 最小则 最大。所以，全零序列
= 码符号/信源符号
(4) 编码效率 (r=2)
码剩余度 1－ (r=2)
所以
N=1 编码效率 0.469 码剩余度 =%
N=2 =%
N=3 =12%
N=4 =%
从本题讨论可知，对于变长紧致码，当N不很大时，就可以达到高效的无失真信源编码。
信源空间为 =
码符号为x={0,1,2},试构造一种三元紧致码.
解：当 时用霍夫曼编码方法进行最佳编码，由于每个符号是等概率分布的，所以每个符号码长应相等，这样平均码长最短，而且信源符号个数正好等于 ，则满足：
物理化学第四章习题解答
思考题3. 注：题目为反应对该反应物分别是一级、二级2A ——>P+...、三级3A ——>P+...。
而A+B ——>P+...这个反应若为如书P141所示的二级反应，则对反应物A 和B 都分别是一级的。
所以本题应该套用简单n 级反应的公式进行计算。
设反应物A 的初始浓度为a ，t 时刻生成物P 的浓度为x ，则对于简单的n 级反应我们有：n=1时1lnak t a x =-n>1时()111111()n n kt n n a a nx --⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦代入n=2得22xk ta(a -x)=代入n=3得()32211163k t a a x ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭将x=0.5a 和x=0.75a 分别代入n=1对应的反应速率方程，可得1234123411ln 2ln 4:1:2t t t t k k ===将x=0.25a 和x=0.375a 分别代入n=1对应的反应速率方程，可得123412342213:1:322t t t t ak ak === 将x=1/6a 和x=1/4a 分别代入n=1对应的反应速率方程，可得12341234223315:1:522t t t t a k a k ===.4. 根据阿伦尼乌斯公式的微分形式，我们有()()12a a1a22212a1a22d ln ln d ln d d dln d k k E E E kT RT T RT k k E E T RT --=⇒=-⇒=根据平行反应反应速率与生成物浓度之间的关系，我们有()12a1a22dln 0d x x E E T RT -=>即随着温度增加()12ln x x 增大，所以温度升高时更利于反应1的进行。
习题解答1、解： （1）dt A d ][= ―k 1[A]―k 4[A] dt B d ][= k 1[A]―k 2[B] + k 3[C]dt C d ][= k 2[B]―k 3[C]dt D d ][= k 4[A]（2）dt A d ][= ―k 1[A] + k 2[B]dt B d ][= k 1[A]―k 2[B]―k 3[B][C]dt C d ][=―k 3[B][C]dt D d ][= k 3[B][C]（3）dt A d ][= ―k 1[A] + k 2[B]2dt B d ][= 2(k 1[A]―k 2[B])2（4）dt A d ][= ―2k 1[A]2 +2k 2[B]dt B d ][= k 1[A]2―k 2[B]―k 3[B]dtC d ][= k 3[B]2、解 （1）以lnc 对t 作图得一直线，说明该反应是一级反应。
有机化学第四章习题答案
p941.解释下列名词。
共轭效应互变异构1,4-加成亲核加成乙烯基化反应氢化热离域能(共轭能)超共轭效应双烯合成亲双烯体红外活性键的伸缩振动键的弯曲振动解：共轭效应：由于结构的原因，双键π电子云不再只定域在双键上，也有部分离域到分子的其它部分，即发生了键的离域。
这种离域效应叫共轭效应。
互变异构：在一般条件下，两个构造异构体可以迅速地相互转变的异构现象。
1,4-加成：一分子试剂加在共轭双键两端的加成反应。
亲核加成：由亲核试剂进攻而引起的加成反应。
乙烯基化反应：反应物分子中的氢原子被乙烯基取代的反应。
氢化热：每一摩尔烯烃催化加氢时放出的能量叫氢化热。
离域能(共轭能)：共轭分子中由于键的离域而导致分子的额外的稳定能，称为离域能。
超共轭效应：σ轨道与π轨道相互作用而引起的离域效应。
双烯合成：共轭二烯和某些具有碳碳双键的化合物发生1,4-加成，生成环状化合物的反应。
亲双烯体：在双烯合成中能和共轭二烯反应的重键化合物叫做亲双烯体。
红外活性：能吸收红外辐射的性质。
键的伸缩振动：只改变键长，而不改变键角的振动。
键的弯曲振动：只改变键角，而不改变键长的振动。
2．用系统命名法命名下列化合物：(1) (CH3)3CC≡CCH2CH3(2) HC≡CCH2Br (3) CH2=CHC≡CH (4)CH2=CHCH2CH2C≡CH (5) CH3CHClC≡CCH2CH3(6) CH3C≡CC(CH=CH2)=CHCH2CH3(7)解：(1) 2,2-二甲基-3-己炔(2) 3-溴丙炔(3) 1-丁烯-3-炔(4) 1-己烯-5-炔(5) 2-氯-3-己炔(6) 4 –乙烯基-4 –庚烯-2-炔(7) 1,3,5-己三烯3．写出下列化合物的构造式。
(1) 4 –甲基-1-戊炔(2) 3 –甲基-3-戊烯-1-炔(3) 二异丙基乙炔(4) 1,5 –己二炔(5) 异戊二烯(6) 丁苯橡胶(7) 乙基叔丁基乙炔解：(1) CH≡CCH2CH(CH3)CH3(2) CH≡CC(CH3)=CHCH3(3) (CH3)2CHC≡CCH(CH3)2(4) CH≡CCH2CH2C≡CH (5) CH2=C(CH3)CH=CH2(6) -[-CH2CH=CHCH2CH(C6H5)CH2-〕n- （7）CH3CH2C≡CC(CH3)34．写出1-丁炔与下列试剂作用的反应式。
高等代数第四章及其习题答案
α b11
A1 0
= B1 0
β a11b11 a11β + α B1
A1 B1
，
为上三角形矩阵， 由归纳法假设知 A1 B1 为上三角形矩阵，故 AB 为上三 角形矩阵。 角形矩阵。
2）设 A = ( aij ) 为一可逆的上三角形矩阵，则 ） 为一可逆的上三角形矩阵， nn
= ε iT A j L 0 L L L 0 L a jn i 行 . L 0 L L L 0
0 M 0 a1i AEij = ( B1 , L , Bn ) ε j = Bi ε j = M ( 0, L , 0,1, 0, L , 0 ) a 0 ni M 0 0 0 = L 0 L L L 0 0 0 a1i a2 i L ani 0 L L 0 . L L L 0 L 0 0 L
T
y1 n T T 2 ( Ax) Ax = y y = ( y1 ,L, yn ) M = ∑ yi = 0, y i =1 n
从而 yi = 0, i = 1, L, n , 即 y = Ax = 0 ，由
x 的任意性知 Aε j = 0, j = 1,L , n ，其中
为数量矩阵. 为数量矩阵 级矩阵可交换， 注：因 A 与所有 n 级矩阵可交换，故 A 一定与 可交换， E i j ( i , j = 1, L , n ) 可交换，于是 AEij = Eij A.
10、已知 A为实对称矩阵 且 A2 = 0 , 不妨设 A = aij 、 为实对称矩阵, 阶矩阵， 为 n 阶矩阵， = x
T
( )
nn
高等代数第4章习题解
第四章习题解答习题4.11、计算（1）120313012410152(,,,)(,,,)(,,,)-+（2）15012101112(,,)(,,)(,,)+- 解：（1）15517203130124101532222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)-+=--- （2）195012101110922(,,)(,,)(,,)(,,)+-= 2、验证向量加法满足交换律、结合律。
证明：设121212(,,,),(,,,),(,,,),n n n a a a b b b c c c αβγ=== 则 12121122(,,,)(,,,)(,,,)n nnn a a a b b b a b a b a b αβ+=+=+++ 11221212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n b a b a b a b b b a a a βα=+++=+=+ 121212()((,,,)(,,,))(,,,)n n n aa ab b bc c c αβγ++=++ 112212((,,,))(,,,)n n n a b a b a b c c c =++++111222(,,,)n n n a b c a b c a b c =++++++111222((),(),,())n n n a b c a b c a b c =++++++121122(,,,)((,,,))n n n a a a b c b c b c =++++121212(,,,)((,,,)(,,,))n n n a a a b b b c c c =++()αβγ=++3、证明性质4.1.5。
性质4.1.5的内容是：对任意n 维向量,αβ及数k ，有()()k k k ααα-=-=-，()k k k αβαβ-=-证明：设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==那么1212()()(,,,)((),(),,())n n k k a a a k a k a k a α-=-=---1212(,,,)((),(),,())n n ka ka ka k a k a k a =---=---1212((),(),,())((,,,))()n n k a a a k a a a k α=---=-=-其次1212()((,,,))(,,,)n n k k a a a k a a a k αα-=-=-=-最后：12121122112212121212()((,,,)(,,,))(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n n n n n k k a a a b b b k a b a b a b ka kb ka kb ka kb ka ka ka kb kb kb k a a a k b b b k k αβαβ-=-=---=---=-=-=-4、设123101010001(,,),(,,),(,,)εεε===，求证：对任意的3F α∈，在F 中都有唯一的一组数123,,a a a 使112233a a a αεεε=++ 解：设α的坐标为123(,,)a a a ，那么123123123000000(,,)(,,)(,,)(,,)a a a a a a a a a α==+++=+123123000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)a a a a a a =++++=++ 123112233100010001(,,)(,,)(,,)a a a a a a εεε=++=++由于给定向量的坐标是唯一的，所以上面等式中的数123,,a a a 是唯一的。
概率论第四章习题解答(全)
P{Y 3}
1 5C3 15 1 30 30 2
当 Y 4 时，包含的 4 个字母的单词只有 1 个，故
1 C4 4 2 P{Y 4} 30 30 15
当 Y 9 时，包含的 9 个字母的单词只有 1 个，故
P{Y 9}
9 9 3 30 30 10 Y p
X p
0 0.2936
1 0.4211
2 0.2263
3 0.054
4 0.0049
（4）求数学期望
E ( X ) 0 0.2936 1 0.4211 2 0.2263 3 0.0542 4 0.0049
1.0556 。
3 有 3 只球 4 个盒子的编号为 1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入 4 个盒子中去， 以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如 X＝3，表示第 1 号、第 2 号盒子是空 的，第 3 个盒子至少有一只球。 ）试求 E ( X ) 。 解 （1）求 X 的分布律
X 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12
p
1 6 E( X )
1 6
1 6
1 6
1 6
1 36
1 36
1 36
1 36
1 36
1 36
1 6 1 12 21 57 59 i i 6 i 1 36 i 7 6 36 12
2
某产品的次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次，每次随机地取 10 件产品进行检验，
P (Ck ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
数字信号处理第4章习题解答教材
DFT [x2 (n)]
DFT {Im[ w(n )]}
1 j Wop (k )
1 2j
[W
((k )) N
W
* (( N
k )) N
]RN
(k)
解：由题意 X k DFT xn，Y k DFT y n 构造序列 Z k X k jY k 对Z k 作一次N点IFFT可得序列z n z(n) IDFT Z k
Re[w(n)] j Im[w(n)]
Wep (k) Wop (k)
由x1(n) Re[w(n)]得
X1(k) DFT[x1(n)] DFT{Re[w(n)]} Wep (k)
1 2
[W
((k
))
N
W *((N
k ))N
]RN
(k)
由x2 (n) Im[w(n)]得
X 2 (k )
(2) 按频率抽取的基-2FFT流图
同样共有L = 4级蝶形运算，每级N / 2 = 8个蝶形运算
基本蝶形是DIT 蝶形的转置
X m1(k )
X m1( j)
WNr
-1
X m (k ) Xm( j)
每个蝶形的两节点距离为2Lm ，即从第一级到 第四级两节点距离分别为8，4，2，1。
系数WNr的确定：r (k )2 2m1 即k的二进制左移m 1位补零
3. N=16 时，画出基 -2 按时间抽取法及按频率抽取法 的 FFT 流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数 顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。
解： 自然序
倒位序
0 0000 0000 0 1 0001 1000 8 2 0010 0100 4 3 0011 1100 12 4 0100 0010 2 5 0101 1010 10 6 0110 0110 6 7 0111 1110 14
第四章习题答案
5 / 6 1 / 6 解 : 传递矩阵为 PY | X = , 输入信源符号的概率 3 / 4 1 / 4 分布可以写成行向量形 式, 即PX = [0.6 0.4] 由信道传递矩阵和输入 信源符号概率向量 , 求得输出符号 5 / 6 1 / 6 概率分布为 PY = PX PY | X = [0.6 0.4] = [0.8 0.2] 3 / 4 1 / 4 输入符号和输出符号的 联合概率分布为 PXY 0.6 0 5 / 6 1 / 6 0.5 0.1 = 3 / 4 1 / 4 = 0.3 0.1 0 0.4
(1) I ( x 1 ) = − log p( x1 ) = − log 2 0.6 = 0.737(bit ) I ( x 2 ) = − log p( x 2 ) = − log 2 0.4 = 1.322(bit ) p( y1 | x1 ) 5/6 ( 2) I ( x1 ; y1 ) = log = log 2 = 0.059(bit ) p( y1 ) 0.8 p( y 2 | x1 ) 1/ 6 I ( x 1 ; y 2 ) = log = log 2 = 0.269(bit ) p( y 2 ) 0.2 p( y1 | x 2 ) 3/4 I ( x 2 ; y1 ) = log = log 2 = 0.09(bit ) p( y1 ) 0.8 p( y 2 | x 2 ) 1/ 4 I ( x 2 ; y 2 ) = log = log 2 = 0.322(bit ) p( y 2 ) 0.2
解：每个字母占用2× 5ms=10ms ，每秒内发出 1000/10=100个字母的代码组（单位：字母/s）。 (1) 各个字母以等概率出现时，每个字母的代码组 含 2bit信息量，传输的平均信息速率R为： R=2×100=200(bit/s) (2) 各字母的出现概率不相等，
第4章习题答案
第4章形状与位置公差习题答案一、1．＿A B＿。
2．＿A C D 。
3．＿A B＿。
4．＿B D 。
5．＿B D 。
6．＿C D E 。
7．＿A C E 。
8. B C E 。
9． B D 。
10．＿A D E 。
11．＿A D 。
二、1．公差带的形状相同（为半径差等于公差值t的两同轴圆柱面所限定的区域），圆柱度不涉及基准，其方向和位置可随实际要素不同而浮动，只能控制被测要素形状误差的大小，跳动公差涉及基准，跳动公差带的位置是固定的。
2．距离等于公差值t的两平行平面。
直径等于公差值φt的圆柱面所限定的。
3．半径差等于公差值t的两同心圆所限定的区域，半径差等于公差值t的两同轴圆柱面所限定的区域。
4．距离等于公差值t，对称于基准中心平面（或基准轴线）的两平行平面所限定的区域。
5．直径等于公差值φt 、轴线垂直于基准平面的圆柱面所限定的区域。
6．径向圆跳动误差，径向圆跳动误差。
7．同轴度公差不小于跳动公差。
8．是相同的，浮动的，固定的。
9．直径等于公差值φt的圆柱面所限定的区域。
该圆柱面的轴线按给定的角度倾斜于基准平面，直径等于公差值φt的圆柱面所限定的区域。
10． mm。
11．Φ，Φ ，Φ。
12．Φ，Φ，Φ。
13．Φ，Φ。
14．Φ，Φ。
15．最大实体边界，Φ20 ， 0 。
五、1、图4-36图4-373、a) b)20H7（c ） （d ）图4-384、。
第四章课后题答案
第四章课后题答案1AB2 错，应该是“练习本需求增加提高了练习本的需求量，但没有增加练习本的供给”因为只是某种因素影响了练习本的需求，使需求曲线向右移动。
没有什么因素改变练习本的供给，即练习本的供给曲线不会发生移动。
但是一般说来，在其他因素不变时，需求量的增大会引起供给量的增大。
房价房间的数量橘子汁的价格橘子的数量P 2P 1Q 2 Q 13a决定供给的预期因素受到影响。
从供给角度来看，由于人口会增加，对家用旅行车的消费量也会增加，于是生产商会增加供给，供给曲线向右移动。
B决定供给的投入价格因素受到影响，钢材价格的提高使家用旅行车的投入价格上升，供给减少。
C决定供给的技术因素受影响，生产技术提高，会使家用旅行车的供给增加。
D决定需求的相关物品价格因素受到影响，由于运动型多功能车是家用旅行车的替代品，所以家用旅行车的需求会增加。
E决定需求的收入因素受到影响，股市的崩溃使人们的收入减少，家用旅行车的需求会减少。
4 a互补品、替代品、替代品5a技术突破降低成本，使电脑投入价格降低，电脑供给曲线向右下方移动，电脑的需求曲线并未改变。
于是电脑市场的均衡价格下降，均衡数量增加。
b电脑与电脑软件是互补品。
电脑市场均衡数量上升，软件的需求也会上升，需求曲线向右上方移动，而供给曲线没有改变。
于是，软件市场的均衡价格上升，均衡数量增加c由于打字机也可以用来打字，它和电脑是替代品。
电脑芯片成本降低使电脑价格降低，销售量上升，人们对打字机的需求会下降。
打字机的价格下降，销售量下降。
6a是使供给曲线移动，b沿着供给曲线移动，非价格因素导致供给曲线移动。
7a南卡罗莱纳的飓风减少了棉花的产量，使运动衫的投入价格上升，运动衫的供给曲线向左上方移动，运动衫的价格上升，均衡数量减少。
b皮夹克和运动衫是替代品，皮夹克价格下降，需求量增加，使运动衫需求也减少，运动衫的需求曲线向左移动，运动衫的价格下降，均衡数量减少c早晨的自由体操穿运动衫，使运动衫的需求曲线向右移动，运动衫的价格上升，均衡数量增加。
概率论第四章部分习题解答
2
2
x2
=
2 2π σ
∫
E (Y ) =
).
m 1 np Φ npq
6
m 2 np p (m 1 ≤ Y n ≤ m 2 ) ≈ Φ npq
五,练习题
1. 设 ~ N(0,1),求下列概率: X 求下列概率:
(1) P( X ≤ 1.5);
(2) P( X > 2.5);
(3) P(| X |< 1.68); (4) P(0.36 ≤ X ≤ 0.64)
E (Y 2 ) =
2
2
∫ 2π
+∞
0
x e dx = (2n - 1)!!
2
x 2n - 2
2
( 2 n 1 )! ! , n 为奇数 ∴ DY = E (Y ) - [ E (Y )] = ( 2 n 1 )! ! [( n 1 )! ! ] 2 , n 为偶数
∴ E (XY ) = E ( X
(4) P ( 0.36 ≤ X ≤ 0.64) = Φ(0.64) Φ( 0.36)
= Φ(0.64) + Φ(0.36) 1 = 0.7389 + 0.6406 1= 0.3795
7
2. 设 ~ N(1,22 ),求下列概率: X 求下列概率:
(1) P( X < 2.2); (3) P(| X |< 3.5);
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第四章 网络层4-01网络层向上提供的服务有哪两种？试比较其优缺点。
4-02网络互连有何实际意义？进行网络互连时，有哪些共同的问题需要解决？答：网络互联可扩大用户共享资源范围和更大的通信区域。
进行网络互连时，需要解决共同的问题有：不同的寻址方案、不同的最大分组长度、不同的网络接入机制、不同的超时控制、不同的差错恢复方法、不同的状态报告方法、不同的路由选择技术、不同的用户接入控制、不同的服务（面向连接服务和无连接服务）、不同的管理与控制方式。
4-03作为中间设备，转发器、网桥、路由器和网关有何区别？4-04试简单说明下列协议的作用：IP、ARP、RARP和ICMP。
答：IP协议：实现网络互连。
使参与互连的性能各异的网络从用户看起来好像是一个统一的网络。
网际协议IP是TCP/IP体系中两个最主要的协议之一，与IP协议配套使用的还有四个协议。
ARP协议：是解决同一个局域网上的主机或路由器的IP地址和硬件地址的映射问题。
RARP：是解决同一个局域网上的主机或路由器的硬件地址和IP地址的映射问题。
ICMP：提供差错报告和询问报文，以提高IP数据交付成功的机会。
因特网组管理协议IGMP：用于探寻、转发本局域网内的组成员关系。
4-05 IP地址分为几类？各如何表示？IP地址的主要特点是什么？答：分为A、B、C、D、E 5类，商业应用中只用到A、B、C三类。
每一类地址都由两个固定长度的字段组成，其中一个字段是网络号 net-id，它标志主机（或路由器）所连接到的网络，而另一个字段则是主机号 host-id，它标志该主机（或路由器）。
特点：（1）IP 地址是一种分等级的地址结构。
分两个等级的好处是：第一，IP 地址管理机构在分配 IP 地址时只分配网络号，而剩下的主机号则由得到该网络号的单位自行分配。
这样就方便了 IP 地址的管理。
第二，路由器仅根据目的主机所连接的网络号来转发分组（而不考虑目的主机号），这样就可以使路由表中的项目数大幅度减少，从而减小了路由表所占的存储空间。
（2）实际上 IP 地址是标志一个主机（或路由器）和一条链路的接口。
当一个主机同时连接到两个网络上时，该主机就必须同时具有两个相应的 IP 地址，其网络号 net-id 必须是不同的。
这种主机称为多归属主机(multihomed host)。
由于一个路由器至少应当连接到两个网络（这样它才能将 IP 数据报从一个网络转发到另一个网络），因此一个路由器至少应当有两个不同的 IP 地址。
(3) 用转发器或网桥连接起来的若干个局域网仍为一个网络，因此这些局域网都具有同样的网络号 net-id。
(4) 所有分配到网络号 net-id 的网络，范围很小的局域网，还是可能覆盖很大地理范围的广域网，都是平等的。
4-06 试根据IP地址的规定，计算出表4-2中的各项数据。
4-07试说明IP地址与硬件地址的区别，为什么要使用这两种不同的地址？答：4-08 IP地址方案与我国的电话号码体制的主要不同点是什么？4-09（1）子网掩码为255.255.255.0代表什么意思？答：有三种含义其一是一个A类网的子网掩码，对于A类网络的IP地址，前8位表示网络号，后24位表示主机号，使用子网掩码255.255.255.0表示前8位为网络号，中间16位用于子网段的划分，最后8位为主机号。
第二种情况为一个B类网，对于B类网络的IP地址，前16位表示网络号，后16位表示主机号，使用子网掩码255.255.255.0表示前16位为网络号，中间8位用于子网段的划分，最后8位为主机号。
第三种情况为一个C类网，这个子网掩码为C类网的默认子网掩码。
（2）一网络的现在掩码为255.255.255.248，问该网络能够连接多少个主机？答：255.255.255.248即11111111.11111111.11111111.11111000.主机位为3位，该网络上的主机为(23-2)=6 台（3）一A类网络和一B网络的子网号subnet-id分别为16个1和8个1，问这两个子网掩码有何不同？答：A类网络：11111111 11111111 11111111 00000000给定子网号（16位“1”）则子网掩码为255.255.255.0B类网络 11111111 11111111 11111111 00000000给定子网号（8位“1”）则子网掩码为255.255.255.0，虽然两者子网掩码的形式一样，但子网数目不同，前者为216-2=65534，后者为28-2=254。
（4）一个B类地址的子网掩码是255.255.240.0。
试问在其中每一个子网上的主机数最多是多少？答：（240）10=（128+64+32+16）10=（11110000）2Host-id的位数为4+8=12，因此，最大主机数为：212-2=4096-2=409411111111.11111111.11110000.00000000 主机数212-2(5)一A类网络的子网掩码为255.255.0.255；它是否为一个有效的子网掩码？答：是 10111111 11111111 00000000 11111111，但使用不方便。
(6)某个IP地址的十六进制表示C2.2F.14.81，试将其转化为点分十进制的形式。
这个地址是哪一类IP地址？答：C2 2F 14 81----(12×16+2).(2×16+15).(16+4).(8×16+1)----194.47.20.129，C类地址。
(7)C类网络使用子网掩码有无实际意义？为什么？答：有实际意义.C类子网IP地址的32位中,前24位用于确定网络号,后8位用于确定主机号.如果划分子网,可以选择后8位中的高位,这样做可以进一步划分网络,并且不增加路由表的内容.4-10 试辨认以下IP地址的网络类别。
（1）128.36.199.3 （2）21.12.240.17 （3）183.194.76.253（4）192.12.69.248 （5）89.3.0.1 （6）200.3.6.2答：(2)和(5)是A类,(1)和(3)是B类,(4)和(6)是C类.4-11 IP数据报中的首部检验和并不检验数据报中的数据。
这样做的最大好处是什么？坏处是什么？答：在首部中的错误比在数据中的错误更严重，例如，一个坏的地址可能导致分组被投寄到错误的主机。
许多主机并不检查投递给他们的分组是否确实是要投递给它们，它们假定网络从来不会把本来是要前往另一主机的分组投递给它们。
数据不参与检验和的计算，因为这样做代价大，上层协议通常也做这种检验工作，从而引起重复和多余。
因此，这样做可以加快分组的转发，但是数据部分出现差错时不能及早发现。
4-12当某个路由器发现一IP数据报的检验和有差错时，为什么采取丢弃的办法而不是要求源站重传此数据报？计算首部检验和为什么不采用CRC检验码？4-13设IP数据报使用固定首部，其各字段的具体数值如图所示（除IP地址外，均为十进制表示）。
试用二进制运算方法计算应当写入到首部检验和字段中的数值（用二进制表示）。
4 5 0 281 0 04 17 首部校验和（待计算后写入）10.12.14.512.6.7.94-14重新计算上题，但使用十六进制运算方法（每16位二进制数字转换为4个十六进制数字，再按十六进制加法规则计算）。
比较这两种方法。
4-15什么是最大传送单元MTU？它和IP数据报的首部中的哪个字段有关系？答：IP层下面数据链里层所限定的帧格式中数据字段的最大长度，与IP数据报首部中的总长度字段有关系。
4-16在因特网中将IP数据报分片传送的数据报在最后的目的主机进行组装。
还可以有另一种做法，即数据报片通过一个网络就进行一次组装。
试比较这两种方法的优劣。
答：在目的站而不是在中间的路由器进行组装是由于：（1）路由器处理数据报更简单些；效率高，延迟小。
（2）数据报的各分片可能经过各自的路径。
因此在每一个中间的路由器进行组装可能总会缺少几个数据报片；（3）也许分组后面还要经过一个网络，它还要给这些数据报片划分成更小的片。
如果在中间的路由器进行组装就可能会组装多次。
4-17 一个3200位长的TCP报文传到IP层，加上160位的首部后成为数据报。
下面的互联网由两个局域网通过路由器连接起来。
但第二个局域网所能传送的最长数据帧中的数据部分只有1200位。
因此数据报在路由器必须进行分片。
试问第二个局域网向其上层要传送多少比特的数据（这里的“数据”当然指的是局域网看见的数据）?答：第二个局域网所能传送的最长数据帧中的数据部分只有1200bit，即每个IP数据片的数据部分<1200-160(bit)，由于片偏移是以8字节即64bit为单位的，所以IP数据片的数据部分最大不超过1024bit，这样3200bit的报文要分4个数据片，所以第二个局域网向上传送的比特数等于（3200+4×160），共3840bit。
4-18（1）有人认为：“ARP协议向网络层提供了转换地址的服务，因此ARP应当属于数据链路层。
”这种说法为什么是错误的？答：ARP不是向网络层提供服务，它本身就是网络层的一部分，帮助向传输层提供服务。
在数据链路层不存在IP地址的问题。
数据链路层协议就是象HDLC和PPP一样的协议，主要功能是把比特串从线路的一端传送到另一端。
（2）试解释为什么ARP高速缓存每存入一个项目就要设置10~20分钟的超时计时器。
这个时间设置的太大或太小会出现什么问题？答：考虑到IP地址和Mac地址均有可能是变化的（更换网卡，或动态主机配置） 10－20分钟更换一块网卡是合理的。
超时时间太短会使ARP请求和响应分组的通信量太频繁，而超时时间太长会使更换网卡后的主机迟迟无法和网络上的其他主机通信。
（3）至少举出两种不需要发送ARP请求分组的情况（即不需要请求将某个目的IP地址解析为相应的硬件地址）。
答：在源主机的ARP高速缓存中已经有了该目的IP地址的项目；源主机发送的是广播分组；源主机和目的主机使用点对点链路。
4-19主机A发送IP数据报给主机B，途中经过了5个路由器。
试问在IP数据报的发送过程中总共使用了几次ARP？答： 6次，源主机发送时使用1次，每经过1个路由器各使用一次。
4-20设某路由器建立了如下路由表：目的网络 子网掩码 下一跳128.96.39.0 255.255.255.128 接口m0128.96.39.128 255.255.255.128 接口m1128.96.40.0 255.255.255.128 R2192.4.153.0 255.255.255.192 R3*（默认） —— R4 现共收到5个分组，其目的地址分别为：（1）128.96.39.10 （2）128.96.40.12 （3）128.96.40.151（4）192.153.17 （5）192.4.153.90试分别计算下一跳。