数论教学大纲

《数论》课程教学大纲

一课程说明

1.课程基本情况

课程名称：初等数论

英文名称：Elementary Number Theory

课程编号：2411218

开课专业：数学与应用数学

开课学期：第5学期

学分/周学时：3/3

课程类型：专业方向选修课

2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）

初等数论是我院数学与应用数学专业的一门重要的基础课，是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科。初等数论与中学数学教育有着密切的联系，并给现代数学提供理论基础。

3．本课程的教学目的和任务

本课程开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。

4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求

本课程的先修课程是《高等代数》，初等数论的理论和方法在计算机科学、代数编码、密码学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为数学、计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础。同时由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。本课程主要使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从

事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。

5．教学时数及课时分配

二教材及主要参考书

1、闵嗣鹤，严士健，初等数论（第三版）.北京.高等教育出版社，2003

2、郑克明，数论基础（第一版），重庆.西南师范大学出版社，1991

3、潘承洞，潘承彪，初等数论（第二版）.北京.北京大学出版社， 2004

三教学方法和教学手段说明

教学方法：讲授法

四成绩考核办法

本课程以教务处相关文件规定考核。

第一部分整数的可除性（14学时）

一、教学目的

1、掌握整除的概念及有关性质，熟悉带余数除法定理。

2、掌握最大公因数和最小公倍数的概念及性质及整数互素的有关性质。

3、熟悉高斯函数[x]和{x}，掌握其性质。

二、教学重点

最大公因数，互素的概念及性质，算数基本定理的应用及带余除法。

三、教学难点

最大公因数，互素的概念及性质，算数基本定理的应用；n(2

)个整数的最大公因数及将最大公因数表为原n个整数的倍数和的求法。

四、讲授要求

主要根据教学目的及教学重、难点组织课堂教学以及进行必要的课后辅导，完成本部分的教学目的。

五、讲授要点

1、整除的概念、带余数除法

2、最大公因数与辗转相除法

3、整除的进一步性质及最小公倍数

4、质数、算术基本定理

5、高斯函数[x], {x}及其在数论中的一个应用

六、实验及实践要求

无

第二部分不定方程（9学时）

一、教学目的

1、能够熟练地判断二元一次不定方程是否有整数解。

2、掌握商高不定方程的通解表达式，弄清方程的解满足的条件以及通解表达式中参数应满足的条件。理解通解表达式的证明过程中的几个关键步骤。

3、了解勾股数的简单性质。

二、教学重点

二元一次不定方程有整数解的判定，以及在有解的情况下它的一切整数解(或通解)的求法。

三、教学难点

商高方程的理论及应用。

四、讲授要求

主要根据教学目的及教学重、难点组织课堂教学以及进行必要的课后辅导，完成本部分的教学目的。

五、讲授要点

1、二元一次不定方程

2、多元一次不定方程

3、勾股数

六、实验及实践要求

无

第三部分同余（12学时）

一、教学目的

1、牢固掌握同余的概念与整除概念的联系及剩余类和完全剩余系的概念。

2、熟悉欧拉函数的概念及计算公式及简单性质。

3、透彻理解和掌握欧拉定理和费尔马定理，并能熟练地用它们解决各种计算问题和证明题。

二、教学重点

同余与整数的联系，同余的基本性质，完全剩余系的性质，欧拉定理及费尔马定理的应用。

三、教学难点

简化剩余系的判定与应用。

四、讲授要求

主要根据教学目的及教学重、难点组织课堂教学以及进行必要的课后辅导，完成本部分的教学目的。

五、讲授要点

1、同余的概念及其基本性质

2、剩余类及完全剩余系

3、简化剩余系与欧拉函数

4、欧拉定理.费尔马定理

六、实验及实践要求

无

第四部分同余式（9学时）

一、教学目的

1、掌握一次同余式的判别定理，熟悉一次同余式的各种解法。

2、透彻理解孙子定理，熟悉应用此定理解题的具体过程和步骤。

3、了解合数模的高次同余式的基本性质以及求解的一般过程。

4、了解质数模的高次同余式的性质。熟悉和掌握威尔逊定理。

二、教学重点

一次同余式及一次同余式组的解法，威尔逊定理及其应用。

三、教学难点

高次同余式的解法。

四、讲授要求

主要根据教学目的及教学重、难点组织课堂教学以及进行必要的课后辅导，完成本部分的教学目的。

五、讲授要点

1、基本概念及一次同余式

2、孙子定理

3、高次同余式的解数及解法

4、质数模的同余式

六、实验及实践要求

无

第五部分二次同余式与平方剩余（10学时）