指数函数、对数函数及幂函数

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幂函数、指数函数与对数函数(解析版))

幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。

指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的观点（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 一定使n a 存心义）。

2．有理数指数幂（1）幂的相关观点 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没存心义.注：分数指数幂与根式能够互化，往常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.n 为奇数 n 为偶数3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10<a<1图象定义域 R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如下图，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，怎样确立底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即不论在轴的左边仍是右边，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的观点（1）对数的定义假如(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做认为a 底，N 的对数，记作log N a x =，此中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

幂函数指数函数对数函数总结

幂函数指数函数对数函数总结
幂函数、指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们的性质和图像特点有所不同，但也有一些共性。

幂函数的形式为$y=x^a$，其中$a$为常数。

当$a$为正整数时，幂函数的图像经过原点和函数的图像都在第一象限内，且函数值随$x$的增大而增大；当$a$为负整数时，幂函数的图像也经过原点，但它的图像在第二象限内，且函数值随$x$的增大而减小。

当$a$为分数时，幂函数的图像不过原点且不与坐标轴相交。

指数函数的形式为$y=a^x$，其中$a$为常数且$a＞0$。

指数函数的图像经过点$(1,a)$，且函数值随$x$的增大而增大。

指数函数的图像与坐标轴没有交点，且当$a＞1$时，图像向左平移，当$0＜a＜1$时，图像向右平移。

对数函数的形式为$y=log_ax$，其中$a$为常数且$a＞0$，$a\neq1$。

对数函数的图像经过点$(1,0)$，且函数值随$x$的增大而减小。

对数函数的图像与坐标轴没有交点，且当$a ＞1$时，图像向右平移，当$0＜a＜1$时，图像向左平移。

在学习幂函数、指数函数和对数函数时，需要注意它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，以及它们的图像和应用。

这些函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

(完整)指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一)指数与指数函数1．根式 (1）根式的概念(2)．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa n n ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义)。

2．有理数指数幂（1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且。

②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算. （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0，r 、s ∈Q). ②（a r )s=a rs(a>0，r 、s ∈Q)。

③（ab ）r=a r b s（a 〉0，b>0,r ∈Q ）。

. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数n 为偶y=a xa 〉1 0〈a<1图象定义域 R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x 〉0时，y>1。

x 〈0时,0<y<1（2) 当x>0时，0<y 〈1。

x<0时, y>1（3)在（—∞，+∞)上是增函数（3）在（—∞,+∞)上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,(2）y=b x,（3），y=c x（4），y=d x的图象，如何确定底数a,b ，c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1〉d 1>1〉a 1>b 1，∴c>d 〉1>a 〉b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念（1)对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

指数函数对数函数幂函数公式整理

指数函数对数函数幂函数公式整理指数函数、对数函数和幂函数是高中数学中的重要概念，它们的表达式与性质在数学中有着广泛的应用。

在本文中，我将对这三种函数进行公式整理，以便更好地理解它们的特点和相互关系。

首先，我们先来了解指数函数的相关公式。

指数函数的一般形式为f(x)=a^x，其中a为常数，a>0且a≠1、指数函数具有以下常见的性质：性质1：指数函数的定义域为所有实数，即(-∞,+∞)。

性质2：当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。

性质3：当x趋向于正无穷时，指数函数趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，指数函数趋向于0；当x=0时，指数函数的值为1性质4：指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即a^logₐ(x) = x，logₐ(a^x) = x。

性质5：指数函数的平移变换公式为：f(x)=a^(x-h)+k，其中(h,k)为平移的向量。

接下来，我们来整理对数函数的公式。

对数函数的一般形式为f(x)= logₐ(x)，其中a为常数，a>0且a≠1、对数函数具有以下常见的性质：性质1：对数函数的定义域为x>0，值域为所有实数，即(−∞,+∞)。

性质2：当0<x<1时，对数函数是负数；当x>1时，对数函数是正数。

性质3：对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即logₐ(a^x) = x，a^logₐ(x) = x。

性质4：对数函数的平移变换公式为：f(x) = logₐ(x-h) + k，其中(h, k)为平移的向量。

最后，我们整理一下幂函数的公式。

幂函数的一般形式为f(x)=x^a，其中a为常数。

幂函数具有以下常见的性质：性质1：幂函数的定义域为所有实数，即(-∞,+∞)。

性质2：当a>1时，幂函数是增函数；当0<a<1时，幂函数是减函数。

性质3：当x趋向于正无穷时，幂函数的值趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，a为正数的幂函数的值趋向于0，a为负数的幂函数的值趋向于正负无穷；当x=0且a>0时，幂函数的值为1性质4：幂函数的平移变换公式为：f(x)=(x-h)^a+k，其中(h,k)为平移的向量。

(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ；．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==．（3），（4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称．指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。

幂函数、指数函数和对数函数知识点梳理

幂函数、指数函数和对数函数知识点梳理
1．幂函数
(1)定义形如y=xα的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形
2．指数函数和对数函数
(1)定义
指数函数，y=a x(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别．
对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)．
指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数．
(2)指数函数y=a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y=log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2．
(3)指数方程和对数方程
指数方程和对数方程属于超越方程，在中学阶段只要求会解一些简单的特殊类型指数方程和对数方程，基本思想是将它们化成代数方程来解．其基本类型和解法见表1-3．。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂（1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。

指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质.doc

指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质指数函数、对数函数和幂函数的图像和性质(1)指数函数和指数函数1。

公式(1)的根的根的根的根的概念符号表示备注。

如果被叫的次根是奇数，正数的次根是正数，负数的次根是负数。

如果负数的次根是零并且是偶数，则正数有两个次根。

他们彼此相对。

负数不是偶数。

N是奇数，N是偶数(2)。

两个重要的公式①；(2)(注意必须有意义)。

2.与有理数的指数幂有关的概念(1) ①正数的正分数指数幂:(2)正数的负分数指数幂: (3)正分数指数幂0等于负分数指数幂0。

注意: 分数指数幂和根公式可以互换，根公式通常用分数指数幂运算。

(2)有理数的指数幂的性质①aras=ar s(a0，r，s∈Q)。

②(ar)s=ar(A0，r，s∈Q).③(ab)r=ARB(A0，b0，r∈Q).3.指数函数y=axa101的图像和性质。

X0小时，01。

X1(3)在(-2)中(请注意，它必须有意义)。

2.与有理数的指数幂有关的概念(1) ①正数的正分数指数幂:(2)正数的负分数指数幂: (3)正分数指数幂0等于负分数指数幂0。

注意: 分数指数幂和根公式可以互换，根公式通常用分数指数幂计算。

(2)有理数的指数幂的性质①aras=ar s(a0，r，s∈Q)。

②(ar)s=ar(A0，r，s∈Q).③(ab)r=ARB(A0，b0，r∈Q).3.指数函数y=axa101的图像和性质。

X0小时，01。

X1(3)在(:如图所示，它是指数函数的图像(1) y=ax，(2)y=bx，(3)，y=CX (4)，y=dx。

如何确定碱基a，b，c，d和1之间的大小关系？提示:在图中画一条x=1的直线，交点与图像的纵坐标是它们各自基点的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab.也就是说，无论是在轴的左侧还是右侧，基数都是逆时针增加的。

(2)对数和对数函数1.对数的概念(1)对数的定义如果数字被称为底，对数被记录为，其中对数的底被称为真数。

指数函数对数函数与幂函数

指数函数、对数函数与幂函数语录天下：I know someone in the world is waiting for me, although I've no idea of who he is. But I feel happy every day for this.我知道这世上有人在等我，尽管我不知道谁在等我。

但是因为这样，我每天都非常快乐。

一、知识回顾（一）指数与指数函数 1．根式:（1）根式的概念（2）两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa n n ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

二、题型归纳例1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）32a- =例2、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）34y x = （2）)0(2>=m mm过手训练： 1、求下列各式的值（1）2325= （2）32254-⎛⎫⎪⎝⎭=n 为奇数 n 为偶数2、解下列方程（1）1318x - = （2）151243=-x2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q)；②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q)；③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q)。

3．指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

指数函数,幂函数,对数函数知识点

指数函数，幂函数，对数函数知识点一、定义及其相关性质： A 、定义：幂函数：形如a x y = (a 为常数）的函数，（即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

）对数函数：一般地，如果a （a 大于0，且a 不等于1）的b 次幂等于N ，那么数b叫做以a 为底N 的对数，记作b N a=log,读作以a 为底N 的对数，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数。

Na log 函数叫对数函数（N>0）指数函数：指数函数的一般形式为x a y = (a>0且≠1) (x ∈R).B 、重要性质：对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：（1）N aM aMN alogloglog +=; （2）M aN aMN a logloglog -=;（3）M aM aN Nlog log=（n ∈R ）（4）换底公式：A bM bM Alogloglog ÷= (b>0且b≠1）（5）b abaaaa NM MNloglog,1log,01log ===（6）特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作N 10log ,简记为lgN ；以无理数e (e =2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作N elog ，简记为lnN.对数与指数之间的关系：当a>0且a≠1时,M a x= M ax log=⇔(对数恒等式）例题讲题：（1）0log5log 2=x(2)已知有意义，则的取值范围是________．（3）已知z 2,643,,,q py x R z y x z y x ====+∈则求p 和q (4)下列各式中正确的个数是 ( )． ①②③④（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4二、思考题：221..(1)1122aba b a a ba >>⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b 为实数，且(2)，b 为实数，且2．x y >（1）若x 和y 都是正整数，且2x y < （2）若x 和yy <3．log 1a x > （1）[]2,4x ∈，112a <<（2）[]4,6x ∈，12a <<。

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①)0()0(||aa a a a aann；②a a nn)(（注意a 必须使na 有意义）。

2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:(0,,1)mnmn a a a m n N n 、且;②正数的负分数指数幂:11(0,,1)mnmnmnaam nN n aa、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质①a r a s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s=a rs(a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质y=ax a>1 0<a<1n 为奇数n 为偶数图象定义域R 值域（0，+）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1 (3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xaN a a 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log Na x，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a 0,1a a 且log Na 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为 eln N2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1aa 且）：①1log 0a ，②lo g 1a a，③lo g N aa N ，④lo g N a aN 。

指数函数,对数函数,幂函数

《指数函数、对数函数、幂函数》知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的nn 为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1mna a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数. (2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞.2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当q pα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是( )()y x R αα=∈A ．2x y = B ．xx y 2=C ．)10(log ≠>=a a ay xa 且 D ．x a a y log =2．函数y x=3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( )A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y x =D ．原点中心对称3．设函数f (x )＝则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ． [)0,+∞4．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上( ) A ．递增且无最大值 B ．递减且无最小值 C ．递增且有最大值 D ．递减且有最小值 5.为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度； C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度； 6．函数)65(log2)21(+-=-x x y x 的定义域为（）； A ．()1,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U B ．()()1,11,23,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U U C ．()3,23,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U D ．()133,,23,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U U 7．当0<x≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是 A ．(0，2) B ．(2，1) C ．(1) D ．2) 8．函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（） A ． 211(0)x y ex +=-> B ．211(0)x y e x -=+>⎩⎨⎧>-≤-1,log 11,221x x x xC ． 211()x y ex R +=-∈ D ．211()x y e x R -=+∈9．不等式31122x x-+≤的解集为 . 10．已知函数2()f x x bx c =++，对任意x R ∈都有(1)()f x f x +=-,则(2)f -、(0)f 、(2)f 的大小顺序是．11．函数1218x y -=的定义域是；值域是 .12．判断函数2lg(y x x =的奇偶性 .13．已知函数211()log 1xf x x x+=--,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性. 14. 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．15．已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的值域.1．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．|f (x )|－g (x )是奇函数 B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 C ．f (x )－|g (x )|是奇函数 D ．f (x )＋|g (x )|是偶函数2．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2＋x )＝f (2－x )，则f (4)＝( ) A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( )A. 12B.23 C. 34D ．14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．95．设f (x )＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 6．已知f (x )＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f (x －1x )＝x 2＋21x，则函数f (3)＝________. 8．设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝12(x ＋|x |)，则函数f [f (x )]的值域为________．10．已知函数f (x )＝a 1- (a ≠1)，若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )>2x ＋5.12．函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝x (x ＋2y ＋1)成立，且f (1)＝0， (1)求f (0)的值；(2)试确定函数f (x )的解析式．13．已知函数f (x )＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)． 15．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 16．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．。

指数函数,幂函数,对数函数知识点

指数函数，幂函数，对数函数知识点一、定义及其相关性质：A 、定义：幂函数：形如a x y = (a 为常数）的函数，（即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

）对数函数：一般地，如果a （a 大于0，且a 不等于1）的b 次幂等于N ，那么数b叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,读作以a 为底N 的对数，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数。

N a log 函数叫对数函数（N>0）指数函数：指数函数的一般形式为xa y = (a>0且≠1) (x ∈R). B 、重要性质：对数的运算性质：当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：（1）N a M a MN alog log log +=; （2）M a N a M N alog log log -=; （3）M a M a N N log log =（n ∈R ）（4）换底公式：A b M b M Alog log log ÷= (b>0且b≠1）（5）b a b a a a a NM M N log log ,1log ,01log === （6）特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作N 10log ,简记为lgN ；以无理数e (e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作N e log ，简记为lnN.对数与指数之间的关系：当a>0且a≠1时,M a x = Ma x log =⇔(对数恒等式）二、例题讲题：（1）0log 5log 2=x(2)已知有意义，则的取值范围是________．（3）已知z 2,643,,,q py x R z y x z y x ====+∈则求p 和q(4)下列各式中正确的个数是 ( )．①②③④（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3 （E ）4 三、思考题：221..(1)1122a ba b a a b a >>⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b 为实数，且(2)，b 为实数，且2．x y >（1）若x 和y 都是正整数，且2x y <（2）若x 和y x y< 3．log 1a x >（1）[]2,4x ∈，112a <<（2）[]4,6x ∈，12a <<。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数.对数函数.幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个主要公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a nn; ②a a n n =)(（留意a 必须使n a 有意义）. 2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mn m naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化,平日运用分数指数幂进行根式的运算.（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r.s ∈Q); ②(a r )s=a rs(a>0,r.s ∈Q);n 为奇数n 为偶数③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3．指数函数的图象与性质y=a x a>1 0<a<1 图象界说域R值域（0,+∞）性质（1）过定点（0,1）（2）当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时,0<y<1; x<0时, y>1(3)在（-∞,+∞）上是增函数（3）在（-∞,+∞）上是减函数注：如图所示,是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x的图象,若何肯定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提醒：在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b.即无论在轴的左侧照样右侧,底数按逆时针偏向变大.（二）对数与对数函数1.对数的概念（1）对数的界说假如(01)xa N a a=>≠且,那么数x叫做认为a底,N的对数,记作log Nax=,个中a叫做对数的底数,N叫做真数.（2）几种罕有对数对数情势特色记法一般对数底数为a0,1a a>≠且log Na经常运用对数底数为10 lg N天然对数底数为e ln N2.对数的性质与运算轨则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =,②log 1a a =,③log Na a N =,④log Na a N =.（2）对数的主要公式：①换底公式：log log (,1,0)log N Na b baa b N =>均为大于零且不等于; ②1log log b a ab=. （3）对数的运算轨则：假如0,1a a >≠且,0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=; ②N M NMa a alog log log -=; ③)(log log R n M n M a n a ∈=; ④b mnb a n a mlog log =. 3.对数函数的图象与性质图象1a >01a <<性质（1）界说域：（0,+∞）（2）值域：R（3）当x=1时,y=0即过定点（1,0）（4）当01x <<时,(,0)y ∈-∞; 当1x >时,(0,)y ∈+∞ （4）当1x >时,(,0)y ∈-∞; 当01x <<时,(0,)y ∈+∞ （5）在（0,+∞）上为增函数（5）在（0,+∞）上为减函数注：肯定图中各函数的底数a,b,c,d 与1的大小关系提醒：作一向线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们响应的底数. ∴0<c<d<1<a<b. 4.反函数指数函数y=a x与对数函数y=log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称. （三）幂函数 1.幂函数的界说形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数,个中x 是自变量,α为常数注：幂函数与指数函数有本质差别在于自变量的地位不合,幂函数的自变量在底数地位,而指数函数的自变量在指数地位. 2.幂函数的图象注：在上图第一象限中若何肯定y=x 3,y=x 2,y=x,12y x =,y=x -1办法：可画出x=x 0;当x 0>1时,按交点的高下,从高到低依次为y=x 3,y=x 2, y=x,12y x =, y=x -1;当0<x 0<1时,按交点的高下,从高到低依次为y=x -1,12y x =,y=x, y=x 2,y=x 3. 3.幂函数的性质y=x y=x 2y=x 312y x =y=x -1界说域 R R R [0,+∞） {}|0x x R x ∈≠且值域 R [0,+∞） R [0,+∞） {}|0y y R y ∈≠且奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0,+∞）时,增; x ∈(,0]-∞时,减增增x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减定点（1,1）三：例题诠释,触类旁通常识点1：指数幂的化简与求值例1.(2007育才A)（1）盘算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---;（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b ba a ⋅⋅⨯-÷++--变式：（2007执信A ）化简下列各式（个中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a(3)1200.2563433721.5()82(23)()63-⨯-+⨯+⨯- 常识点2：指数函数的图象及运用例 2.(2009广附A)已知实数 a.b 知足等式b a )31()21(=,下列五个关系式：①0＜b ＜a;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b.个中不成能成立的关系式有（） A.1个B.2个C.3个变式：（2010华附A ）若直线a y 2=与函数 0(|1|>-=a a y x 且)1≠a 的图象有两个公共点,则a 的取值规模是_______.常识点3：指数函数的性质例 3.（2010省实B ）已知界说域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数.（Ⅰ）求b 的值;（Ⅱ）断定函数()f x 的单调性;（Ⅲ）若对随意率性的t R ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立,求k 的取值规模．变式：（2010东莞B ）设a ＞0,f(x)=xx a ae e +是R 上的偶函数.（1）求a 的值;（2）求证：f(x)在（0,+∞）上是增函数.常识点4：对数式的化简与求值例4.（2010云浮A ）盘算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg2)2+lg2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.变式：（2010惠州A ）化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).常识点5：对数函数的性质例5.（2011深圳A ）对于01a <<,给出下列四个不等式： ①1log (1)log ();a a a a a+<+②1log (1)log (1)a a a a+>+;③111;aaaa++<④111;aaaa++>个中成立的是（）（A ）①与③（B ）①与④（C ）②与③（D ）②与④变式：（2011韶关A ）已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1,则log a bb b ba1log ,log,1的大小关系是（） a bb b ba 1log log 1<< B.b b b b a a 1log 1log log << C.bb b ab a 1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log << 例6.（2010广州B ）已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1),假如对于随意率性x ∈［3,+∞）都有|f(x)|≥1成立,试求a 的取值规模.变式：（2010广雅B ）已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞,1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值规模.常识点6：幂函数的图象及运用例7.(2009佛山B)已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上,点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，,在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f xg x >;（２）()()f x g x =;（３）()()f x g x <．变式：（2009揭阳B ）已知幂函数f(x)=x 322--m m （m ∈Z ）为偶函数,且在区间（0,+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）评论辩论F （x ）=a）（）（x xf bx f -的奇偶性.四：偏向猜测.成功在望 1．（A ）函数41lg)(--=x xx f 的界说域为（） A ．(1,4)B ．[1,4)C ．(－∞,1)∪(4,＋∞) D ．(－∞,1]∪(4,＋∞)2.（A ）以下四个数中的最大者是（）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23（B ）设a>1,函数f(x)=log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a=( )(A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）44.（A ）已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（）（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<5.（B ）设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（）(A)（1,2）⋃（3,+∞） (B)（10,+∞） (C)（1,2）⋃（10,+∞）(D)（1,2）6．（A ）设2log 3P =,3log 2Q =,23log (log 2)R =,则（）Ａ．R Q P <<Ｂ．P R Q <<Ｃ．Q R P <<Ｄ．R P Q << 7．(A)已知c a b 212121log log log <<,则( )A ．c a b 222>>B ．c b a 222>>C ．a b c 222>>D ．b a c 222>>8．（B ）下列函数中既是奇函数,又是区间[]1,1-上单调递减的是（）（A ）()sin f x x = (B) ()1f x x =-+(C) 1()()2x x f x a a -=+ (D)2()2xf x lnx-=+ 9.（A ）函数y =A [1,)+∞B 23(,)+∞C 23[,1]D 23(,1]10.(A)已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A,且点A 的横坐标为2,则k （）A ．41- B ．41 C ．21- D ．2111．（B ）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x .三.四象限,则必定有（）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且12．(B)若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a=（）A.42B.22C. 41D.21 13.(A)已知0＜x ＜y ＜a ＜1,则有（）（A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a14.（A ）已知x x f 26log )(=,那么)8(f 等于（）（A ）34（B ）8（C ）18（D ）21 15．（B ）函数y ＝lg|x| （）A ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增B ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减C ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减 16.（A ）函数3)4lg(--=x x y 的界说域是____________________________.17．（B ）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ,若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上,则11m n+的最小值为． 18．（A ）设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩ 则1(())2g g =__________19．（B ）若函数f(x) = 1222--+a ax x 的界说域为R,则a 的取值规模为___________.20．(B)若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数,则a =． 21.(B)已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2,求函数)(x f 的界说域,并评论辩论它的奇偶性和单调性. 参考答案：三：例题诠释,触类旁通例1. 解：（1）92,（2）2a变式：解：（1）1, （2）.4514545)(45)·232321233136123ab ab abb a b a b a -=⋅-=⋅-=÷-=------(3)110 例2. 解：B变式：解：)21,0(;例3. 解：（Ⅰ）1=b （Ⅱ）减函数. （Ⅲ）31-<k 变式：解：（1）a=1.（2）略例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）21.变式：解：(1).232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）2.（3）45例5. 解：选D. 变式：解： C例6. 解：(1,3］∪［31,1）变式：解：{a|2-23≤a ＜2}例7. 解：（1）当1x >或1x <-时,()()f x g x >; （2）当1x =±时,()()f x g x =;（3）当11x -<<且0x ≠时,()()f x g x <．变式：解：（1）f(x)=x -4. （2）F （x ）=32bx x a -, ∴F （-x ）=2x a +bx 3.①当a ≠0,且b ≠0时,F （x ）为非奇非偶函数;②当a=0,b ≠0时,F （x ）为奇函数; ③当a ≠0,b=0时,F （x ）为偶函数;④当a=0,b=0时,F （x ）既是奇函数,又是偶函数. 四：偏向猜测.成功在望1—5 ADDDC; 6—10 AADDA; 11—15 CADDB. 16. (-, 3)(3,4) 17. 4 18.21 19.[-1,0] 20.2221．[解]x 须知足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x x x x 得由所以函数)(x f 的界说域为（－1,0）∪（0,1）. 因为函数)(x f 的界说域关于原点对称,且对界说域内的随意率性x ,有)()11log 1(11log 1)(22x f x x x x x x x f -=-+--=+---=-,所所以)(x f 奇函数. 研讨)(x f 在（0,1）内的单调性,任取x 1.x 2∈（0,1）,且设x 1<x 2 ,则得)()(21x f x f ->0,即)(x f 在（0,1）内单调递减, 因为)(x f 是奇函数,所以)(x f 在（－1,0）内单调递减.。

指数函数,对数函数与幂函数

指数函数,对数函数与幂函数
1.指数函数：指数函数的形式为f(x)=a^x，其中a为一个正实数，x为自变量，f(x)为因变量。

指数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。

指数函数的特点是在x轴上的一个点处，曲线的斜率等于函数值。

指数函数在数学、科学、经济等领域中有着广泛的应用。

2. 对数函数：对数函数的形式为f(x)=loga(x)，其中a为一个正实数且不等于1，x为自变量，f(x)为因变量。

对数函数是指数函数的反函数，也就是说f(x)表示a的x次方等于某个数时，x的值。

对数函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。

对数函数在数学、物理、计算机等领域中有着广泛的应用。

3. 幂函数：幂函数的形式为f(x)=x^a，其中a为一个实数，x 为自变量，f(x)为因变量。

幂函数的图像呈现出上升或下降的曲线，具有单调性和连续性。

幂函数在数学、物理、经济等领域中有着广泛的应用，如面积、体积、电阻、功率等的计算。

指数函数、对数函数和幂函数是数学中的重要函数类型，它们在许多领域中都有着广泛的应用。

熟练掌握这些函数的性质和应用，对于学习数学、物理、计算机等学科都有着重要的意义。

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