第七章 量纲分析与动力相似

CA
Am Vp Vm
2 lm
CV

l3 p
3 lm
Cl3
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第七章 量纲分析与动力相似
二 、运动相似
运动相似是指流体运动的速度场相似。也就是指两个流 动各对应点(包括边界上各点)的速度u方向相同，其大小成一 固定的比尺Cu。即 u
Cu
tp
p
um
注意到流速是位移对时间t的微商dl/dt，则时间比尺为
b c b c b c 2 v1a v2 v3 v5 ，…， n 3 v1a v2 v3 vn 。 1 v1a v2 v3 v4，
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第七章 量纲分析与动力相似
令等式两侧的幂指数相等，即可求出使每一个Π成为 量纲为一的组合量的a、b和c。这样确定的Π是相互独立 的，因为只有Π1包含v4，只有Π2包含v5，等等。通常称上 述确定Π的方法为重复变量法。 采用重复变量法确定Π的步骤如下： （1）列出所研究流动问题涉及的n个变量。正确地选择 相关变量在很大程度上依赖于研究人员的流体力学知识和 对所研究问题物理本质的理解，如果遗漏了重要的变量， 便不能得到正确反映流动过程的量纲为一的关系式。 （2）写出每个相关变量的基本量纲，流体力学常用变量 的量纲可参阅表 1.2。
量纲分析和相似理论不仅在流体力学中有广泛的应用， 而且也广泛地应用于其它力学、传热传质、燃烧等许多物理 化学过程的研究中。故掌握量纲分析和相似理论，对于一个 自然科学工作者来说是十分必要的。
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第七章 量纲分析与动力相似
§7-1 量纲分析
一、量纲 量纲是物理量的类别和本质属性。同一物理量，可以 用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲，例如长度可以用 米、厘米、英尺、英寸等不同单位度量，但作为物理量的种 类，它属于长度量纲。其它物理量，如时间、速度、密度、 力等也各属一种量纲。这里约定在物理量的代表符号前面加 “dim”表示量纲，例如速度量纲表示为dim v。 由于许多物理量的量纲之间有一定的联系，在量纲分析 中常需选定少数几个物理量的量纲作为基本量纲，其它的物 理量的量纲就都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。 基本量纲应当是互相独立的，即不能互相表达，在流体力学 中常用长度—时间—质量(L-T-M)为基本量纲。
dim F MLT 2
dim p ML1T 2
对于任何物理量(如以A表示)的量纲可写作
dim A L M T
(7-1)
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第七章 量纲分析与动力相似
二、无量纲量 在量纲分析中，把一个物理过程当中那些彼此互相独 立的物理量称为基本量，其它物理量可由这些基本量导出， 称为导出量，基本量与导出量之间可以组合成无量纲量，无 量纲量具有如下的特点:①量纲表示式中的指数均为零；② 没有单位；数值与所采用的单位制无关，故无量纲量也称为 无量纲数。 设A、B、C为三个基本量，它们成立的条件是Ax、By、 Cz的幂乘积不是无量纲量，即不能找到不全为0的x、y、z来 满足下式
设一个流动过程涉及n个变量，v1、v2、v3、· · · 、vn，其 中v2、v3、· · · 、vn是相互独立的自变量，它们是实验中可以 控制的量，实验的目的是依次改变其中的一个而保持其他变 量不变，从而确定它们各自对变量v1的影响；v1是实验中待 确定或测量的量，它是自变量的函数，称为因变量。如在上 节提到的圆球在粘性流体内运动的例子中，阻力FD是实验中 要确定的因变量，α、µ 和U则是相互独立的自变量。这里说 α、 µ 和U相互独立，是指它们之间不能用任意一个或两个来 表示另外一个。不是所有的变量都相互独立，比如ρ、µ 和ν 三个量中只有2个独立，因为ν=µ / ρ 。实验的最终目的是寻 求关系式 (7.5) v1 f v2 , v3 , , vn
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第七章 量纲分析与动力相似
泊金汉Π定理的第二部分告诉我们如何确定这k个量纲 为一的组合量：首先确定j，然后选取j个相互不能组成Π 的变量，每一个Π都可用这j个变量与另外一个变量的幂次 乘积组成，如此得出的每一个Π都是独立的。 以式(7.5)为例，假设基本量纲数为3，即M、L和T， 经过观察，n个变量中相互不能形成Π的最大变量数也是3， j = 3，依据Π定理，n个变量可以组成而且只能组成(n - j) 个Π 。选取3个不能形成Π的变量，如v1、v2和v3，于是可 以用这3个变量与另外一个变量的幂次乘积组成一个. Π ， (n- 3)个Π可分别表示为
x x , l
y z y , z l l
2
可以验证各项也都是无量纲量。 量纲一致性原理，或量纲齐次性原理、量纲和谐原理。量纲 一致性原理要求凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项 的量纲必须是一致的。从量纲一致性原理可以得到一个重要 推论：一个正确反映客观规律的物理方程必然可以写成量纲 为一的形式。
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第七章 量纲分析与动力相似
§7-2 泊金汉Π定理
(7-4)
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第七章 量纲分析与动力相似
1 x 2 y 3 z b1 1 x 2 y 3 z b2 1 x 2 y 3 z b3
方程组(7-4)和(7-5) 的系数行列式
1
D 1
(7-5)
2 2 2
3 3 0 3
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一、几何相似
如果两个流动的线性变量间存在着固定的比例关系，即 原型和模型对应的线性长度的比值相等，则这两个流动称为 几何相似的。 如以l表示某一线性尺度，则有长度比尺
Cl
lp lm
Cl2
由此可推得其它有关几何量的比尺，例如面积和体积， 2 比尺分别为 Ap l p
依据量纲一致性原理，上式一定可以表示成量纲为一的形式， 量纲为一的关系式中量纲为一的组合量数将少于原式中的变 9 量数。
第七章 量纲分析与动力相似
泊金汉Π定理 将式(7.5)改变为量纲为一的形式的方法有多种，这里 首先介绍1914年由泊金汉(E. Buckingham)提出的方法， 称为泊金汉Π定理。在数学上，大写希腊文字母Π表示变 量相乘，由于量纲为一的组合量总是以物理量的幂次乘积 形式出现，于是习惯上将量纲为一的组合量表示为Π 1、 Π 2、 Π 3、…。 泊金汉Π定理可表述如下：如果一个量纲一致的方程 中包含n个变量，则这一方程可以表示成k个量纲为一的组 合量或Π之间的关系式，变量减少数j=n-k是相互不能组成 量纲为一的组合量或Π的最多变量数，j总是等于或小于描 述这些变量所需的最少基本量纲数。
1 E mv 2 2
可改写为
E 1 2 mv 2
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理想流体伯努利方程
2 p1 a1v12 p 2 a 2 v2 z1 z2 g 2 g g 2 g
a1=a2= 1，也可改写为
z1 z 2 p1 p2 v2 1 2 2 v1 2 g v1 2 v1
2
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长度—时间—质量(L-T-M)作为基本量纲时有如下的导出量纲: 速度
加速度 密度 力 压强
dl u dt du a dt dm dV
d 2l F ma m 2 dt dP p dA
dim u LT 1 dim a LT 2
dim ML3
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第七章 量纲分析与动力相似
（3）确定j，则Π的个数为k=n-j。 （4）选择j个变量，这j个变量应包括所有的基本量纲， 同时它们相互之间又不能组成一个量纲为一的量，如可选 取密度、速度或长度等。由于选取的这j个变量将出现在 每一个Π中，称它们为重复变量。若我们希望因变量v1只 出现在一个Π中，注意不要选取v1作为重复变量。
Cl Ct t m Cu
同理，在运动相似的条件下，流场中对应点处流体质点的加 速度比尺为 2
Cu Cu Ca am Ct Cl
ap
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三、动力相似
若两流动对应点处流体质点所受同名力F的方向相同， 其大小之比均成一固定的比尺CF，则这两个流动是动力相似。 所谓同名力是指具有同一物理性质的力。例如，重力FG、粘 性力Fμ、压力FP、弹性力FE、表面张力FT等。
（5）用选择的j个变量依次和剩余的(n - j)个变量中的每 一个组合成幂次乘积形式，求解其幂指数，使每个组合量 纲为一化。
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第七章 量纲分析与动力相似
（6）写出最终的量纲为一的组合量关系式
1 F 2 , 3 , , n j
(7.6)
式中，F表示与f不同的函数形式。注意到只有Π1包含因 变量v1，式(7.6)对于待确定或测量的量叫来说为显式。
(dim A) x (dim B) y (dim C ) z L0 M 0T 0 1
(7-2)
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第七章 量纲分析与动力相似
而满足下式，且b1、b2、b3不全为0。
(dim A) x (dim B) y (dΒιβλιοθήκη Baidum C ) z Lb1 M b2 T b3
采用式(7-1)来表示物理量A、B、C的量纲 dim A L1 M 1 T 1
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§7-3 动力相似
工程上经常遇到的流体力学问题，比如飞机的升力、 地面车辆和船舶的运动阻力、大坝泻洪道的设计等，现在还 不能单纯依赖理论分析或数值计算来解决。为了寻求具体流 动的规律，给设备设计积累数据，或者为了验证理论和数值 计算结果，往往先需要使用缩小的模型，即使用几何相似但 尺寸较小的模型在实验室进行测试，比如用缩小的飞机模型 在风洞内吹风以测量升力和阻力。如果模型流动与实物流动 不同，比如模型流动是层流，而实物流动是湍流，或者两者 都是层流，但流线形状完全不同，则模型实验的结果是无用 的。只有当模型实验的流动与实物流动动力相似时，在模型 实验中获得的升力数据才可以推广应用于实际飞行器。
(7-6)
1
是使方程组(7-4)为全零解的充分必要条件，也是方程组 (7-5)存在一组非零解的充分必要条件。 因此变量A、B、C是互相独立的，它们可以作为基本变量。
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第七章 量纲分析与动力相似
三、物理方程的量纲一致性 在自然现象当中，互相联系的物理量可构成物理方程。物 理方程可以是单项式或多项式，同一方程中各项又可以由不同 量组成，但是各项的单位必定相同，量纲也必然一致；另一方 面，由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除等 式两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量 纲方程，但所表达的物理现象与原方程相同，这一点极为重要， 这也是量纲分析的理论依据。例如，动能方程
为了确定船只运动时受到的阻力，常常利用缩小的模型在 水池中进行模型实验(图7.3)。
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第七章 量纲分析与动力相似
实物流动与模型流动的动力相似首先要求两个流动的边 界几何相似，即要求所有的对应几何特征长度成比例，如在 图示的两个流动中d/l = d1/l1。动力相似还要求运动相似，即 两个流动的流线几何相似，这意味着在相应的空间位臵上的 速度成比例，如在图7.3a中的P点速度为U/2，那么在图7.3b 中的对应点P1速度应为U1/2。如选取沿吃水线的船长l作为特 征长度，上游的来流速度U为特征速度，分别将空间坐标和 速度矢量量纲为一化，运动相似意味着当两个流动的量纲为 一的空间位臵 相同时，量纲为一的速度
第七章 量纲分析与动力相似
第七章 量纲分析与动力相似
对于一个复杂的流动现象进行实验研究，实验中的可 变因素很多，另外受实验条件的限制，多数不可能在实物上 进行。因此，在进行一项实验时，就会碰到诸如：如何更有 效地设计和组织实验，如何正确处理实验数据，以及如何把 模型实验结果推广到原型等一系列问题。本章的量纲分析和 相似理论为这些问题的解决提供了理论依据。
dim B L 2 M 2 T 2 dim C L 3 M 3 T 3
(7-3)
代入式(7-2)和(7-3) ，对照两边的指数，可写出如下方程
1 x 2 y 3 z 0 1 x 2 y 3 z 0 1x 2 y 3 z 0