考研高数总复习数学建模
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解:利润函数L(Q) 2000Q C(Q) 100(Q 2)(Q 5)
例7. 一玩具经销商以下列成本和收益函数销售产品 C(x) 2.4x 0.0002x2, 0 x 6000 R(x) 7.2x 0.001x2, 0 x 6000
问何时利润随产量增加?
解:L(x) R(x) C(x),即求利润的单调增区间.
1 x0 4
0x 5 2
lim f (x) lim x(2x2 9x 12) 0 f (0),
x0
x0
即函数f (x)在闭区间[ 1 , 5]连续，故存在最值。 42
例2. 求函数f (x) | 2x3 9x2 12x | 在 区间[ 1 , 5]上的最大值和最小值。
42
f
'( x)
令V ' 0,得h0
R 3
,
且V
''(h0
)
0,
即，h0是体积V的极大值点，V
(h0
)
4
33
R3
且 lim V (h) 0, lim V (h) 0,故，
h0
hR
球内接圆柱体的最大体积为 4 R3
33
例4 设工厂A到铁路的垂直距离为20km,垂足为B,铁路上距离 B为100km处有一原料供应站C，现要在铁路BC间D处修建一 个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路．如果已知 每km的铁路运费与公路运费是3:5，那么D应选在何处，才能 使原料供应站C运货到工厂A所需的运费最省．
Ex
Ex x0 x / x x0 x y
y
需求弹性
设需求函数Q f (P),则该产品在价格为P时的
需求弹性为: (P) lim Q / Q P lim Q P f '(P)
p0 P / P Q p0 P
f (P)
当P很小时, P f '(P) P Q
f (P) f (P) P
意义:价格变动1%,需求量将变化% (灵敏度)
y f (x x) f (x)
y源自文库
f (x)
与自变量的相对改变量: x 的比: y / y
x
x / x
称为函数f (x)在x与x x两点间的弹性(相对变化率)
lim y / y 称为函数f (x)在点x处的弹性(相对变化率) x0 x / x
记为 E f (x) Ey lim y / y lim y x y ' x
设x为批量，则存货成本为：
年度持产成本 + 年度再订购成本
例4.某产品需求函数:P 80 0.1x, 成本函数：C 5000 20x 求边际利润函数L '(x),并求x 150和x 400时的边际利润； 求需求量x为多少时，利润最大？
解：L(x) R(x) C(x) (80 0.1x)x (5000 20x)
大家好
3.5 数学建模—最 优化
函数的最值
最值的求法
闭区间[a,b]上的连续函数一定可以取到最值；
若该最值，记为f (x0),在开区间(a,b)内的某点取得， 即x0 (a,b),则f (x0)一定是函数f (x)的极值；
x0一定是连续函数 f (x)的驻点或者是不可导点，二者必居其一.
一般而言，函数在闭区间[a,b]上的最值可能在函数的 驻点取得，可能在不可导点取得，还可能在闭区间端 点取得。
边际利润：L '(x) 0.2x 60
当x 150时，L '(150) 30;当x 400时，L '(400) 20
令L '(x) 0 唯一驻点x 300,因为L ''(300) 0.2 0 故x 300时利润取得极大值，也就是最大值．
函数弹性
定义：设函数y f (x)可导,函数的相对改变量:
6( x
1)(x
2)
6(x 1)(x 2)
1 x0 4
0x 5 2
且f '(0 ) 12, f '(0 ) 12,即
x 0为函数的不可导点，x 1, x 2为函数的驻点，
计算函数在不可导点，驻点，端点处的值：
f (0) 0, f (1) 5, f (2) 4, f ( 1) 115 , f ( 5) 5 4 32 2
求最低平均成本和相应产量的边际成本．
解：C(x) C(x) 1 x 8 4900
x4
x
令C
'(x)
0
1 4
4900 x2
0
x
140
C
''( x)
9800 x3
0
x
140为C ( x)的极小值点，
也是最小值点，即月产量为140吨时，平均成本
最低：C(140) 1 140 8 4900 78 （元）
用需求弹性分析总收益的变化
总收益R P Q P f (P)
边际收益R' f (P) Pf '(P) f (P)(1 f '(P) P ) f (P)
f (P)(1)
((31)若 ||||11,需,需求求变变动动的的幅幅度小 度于等价于格价变格动变的动幅的度幅; 度;
R 'R'0=,0R,递R取增,得即最价格 大上值扬. ,收益增加,价格下跌,收益减少 (2)若 | | 1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度;
B
D
C
x
A
例5 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180 元时，公寓可全部租出去．当租金每月增加10元时，就有 一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整 修维护费，试问房租定为多少时，可获得最大收入．
最值问题在经济学中的应用
一 边际成本
成本函数C C(x) (x是产量) 的导数C '(x)
4
140
例2. 某计算器零售商店每年销售360台计算器， 库存一台计算器一年的费用是8元。为再订购， 需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元。 为最小化库存成本，商店每年应订购计算器几次？ 每次批量是多少？
设x为批量，则存货成本为：
年度持产成本 + 年度再订购成本
例3. 某计算器零售商店每年销售360台计算器， 库存一台计算器一年的费用是9元。为再订购， 需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元。 为最小化库存成本，商店每年应订购计算器几次？ 每次批量是多少？
R ' 0, R递减,即价格上扬,收益减少,价格下跌,收益增加
例5 某商品的需求函数为Q 75 P2; (1) 求P 4时的边际需求,并说明其经济意义; (2) 求P 4时的需求弹性,并说明其经济意义; (3) 求P 4时,若价格P上涨1%,总收益的变化; (4) 求P 6时,若价格P上涨1%,总收益的变化;
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个 就是最小值;
应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值。
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f (x) 0，得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7。
例2. 求函数f (x) | 2x3 9x2 12x | 在 区间[ 1 , 5]上的最大值和最小值。
42
解. f
(
x)
x(2x2
9x
12)
x(2x2 9x 12)
即，函数在x 0处取得最小值0;在x 1, 5 处取得最大值5. 2
例3. 设球的半径为R,求内接于球的圆柱体的最大体积。
解.设圆柱体高为2h,底半径为r,则，体积V r2 2h
由r2 h2 R2得：V 2 (R2 h2 ) h, h (0, R)
V ' 2 (R2 3h2 ), V '' 12 h
称为边际成本函数
y
y C(x)
平均成本函数：C(x) C(x) x
C(x)为下凸函数，由图可知， O
x0
x
存在唯一极小值点：
x0,满足C '( x0 ) 0
y
y C(x)
xC
'(x) C(x) x2
0
C '(x) C(x) x
当边O际成本＝平均成本时，x 平均成本达到最小
例1.设每月产量为x吨时，总成本函数y 1 x2 8x 4900 4
解:Q f (P) 75 P2 说明当价格为4时,上涨一个单位 (1) f '(4) 2P 8 的价格,需求量将减少8个单位;
(2)(4)
f
'(4)
75
P
P2
0.54
说明当价格为4时,价格上涨1%, 需求量将减少0.54%;
例5 某商品的需求函数为Q 75 P2; (1) 求P 4时的边际需求,并说明其经济意义; (2) 求P 4时的需求弹性,并说明其经济意义; (3) 求P 4时,若价格P上涨1%,总收益的变化; (4) 求P 6时,若价格P上涨1%,总收益的变化;
(3)收益弹性 ER R '(P) P ,其中R(P) P Q 75P P3
EP
R(P)
ER EP
P4
(75 3 42)
4 75 4
43
0.46
例6. 糖果厂每周的销售量为Q千袋,每袋的价格为2元, 总成本函数 C(Q) 100Q2 1300Q 1000 求(1)不盈不亏时的销售量; (2)可取得利润的销售量; (3)取得最大利润的销售量和最大利润; (4)平均成本最小时的产量.
例7. 一玩具经销商以下列成本和收益函数销售产品 C(x) 2.4x 0.0002x2, 0 x 6000 R(x) 7.2x 0.001x2, 0 x 6000
问何时利润随产量增加?
解:L(x) R(x) C(x),即求利润的单调增区间.
1 x0 4
0x 5 2
lim f (x) lim x(2x2 9x 12) 0 f (0),
x0
x0
即函数f (x)在闭区间[ 1 , 5]连续，故存在最值。 42
例2. 求函数f (x) | 2x3 9x2 12x | 在 区间[ 1 , 5]上的最大值和最小值。
42
f
'( x)
令V ' 0,得h0
R 3
,
且V
''(h0
)
0,
即，h0是体积V的极大值点，V
(h0
)
4
33
R3
且 lim V (h) 0, lim V (h) 0,故，
h0
hR
球内接圆柱体的最大体积为 4 R3
33
例4 设工厂A到铁路的垂直距离为20km,垂足为B,铁路上距离 B为100km处有一原料供应站C，现要在铁路BC间D处修建一 个原料中转车站，再由车站D向工厂修一条公路．如果已知 每km的铁路运费与公路运费是3:5，那么D应选在何处，才能 使原料供应站C运货到工厂A所需的运费最省．
Ex
Ex x0 x / x x0 x y
y
需求弹性
设需求函数Q f (P),则该产品在价格为P时的
需求弹性为: (P) lim Q / Q P lim Q P f '(P)
p0 P / P Q p0 P
f (P)
当P很小时, P f '(P) P Q
f (P) f (P) P
意义:价格变动1%,需求量将变化% (灵敏度)
y f (x x) f (x)
y源自文库
f (x)
与自变量的相对改变量: x 的比: y / y
x
x / x
称为函数f (x)在x与x x两点间的弹性(相对变化率)
lim y / y 称为函数f (x)在点x处的弹性(相对变化率) x0 x / x
记为 E f (x) Ey lim y / y lim y x y ' x
设x为批量，则存货成本为：
年度持产成本 + 年度再订购成本
例4.某产品需求函数:P 80 0.1x, 成本函数：C 5000 20x 求边际利润函数L '(x),并求x 150和x 400时的边际利润； 求需求量x为多少时，利润最大？
解：L(x) R(x) C(x) (80 0.1x)x (5000 20x)
大家好
3.5 数学建模—最 优化
函数的最值
最值的求法
闭区间[a,b]上的连续函数一定可以取到最值；
若该最值，记为f (x0),在开区间(a,b)内的某点取得， 即x0 (a,b),则f (x0)一定是函数f (x)的极值；
x0一定是连续函数 f (x)的驻点或者是不可导点，二者必居其一.
一般而言，函数在闭区间[a,b]上的最值可能在函数的 驻点取得，可能在不可导点取得，还可能在闭区间端 点取得。
边际利润：L '(x) 0.2x 60
当x 150时，L '(150) 30;当x 400时，L '(400) 20
令L '(x) 0 唯一驻点x 300,因为L ''(300) 0.2 0 故x 300时利润取得极大值，也就是最大值．
函数弹性
定义：设函数y f (x)可导,函数的相对改变量:
6( x
1)(x
2)
6(x 1)(x 2)
1 x0 4
0x 5 2
且f '(0 ) 12, f '(0 ) 12,即
x 0为函数的不可导点，x 1, x 2为函数的驻点，
计算函数在不可导点，驻点，端点处的值：
f (0) 0, f (1) 5, f (2) 4, f ( 1) 115 , f ( 5) 5 4 32 2
求最低平均成本和相应产量的边际成本．
解：C(x) C(x) 1 x 8 4900
x4
x
令C
'(x)
0
1 4
4900 x2
0
x
140
C
''( x)
9800 x3
0
x
140为C ( x)的极小值点，
也是最小值点，即月产量为140吨时，平均成本
最低：C(140) 1 140 8 4900 78 （元）
用需求弹性分析总收益的变化
总收益R P Q P f (P)
边际收益R' f (P) Pf '(P) f (P)(1 f '(P) P ) f (P)
f (P)(1)
((31)若 ||||11,需,需求求变变动动的的幅幅度小 度于等价于格价变格动变的动幅的度幅; 度;
R 'R'0=,0R,递R取增,得即最价格 大上值扬. ,收益增加,价格下跌,收益减少 (2)若 | | 1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度;
B
D
C
x
A
例5 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180 元时，公寓可全部租出去．当租金每月增加10元时，就有 一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整 修维护费，试问房租定为多少时，可获得最大收入．
最值问题在经济学中的应用
一 边际成本
成本函数C C(x) (x是产量) 的导数C '(x)
4
140
例2. 某计算器零售商店每年销售360台计算器， 库存一台计算器一年的费用是8元。为再订购， 需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元。 为最小化库存成本，商店每年应订购计算器几次？ 每次批量是多少？
设x为批量，则存货成本为：
年度持产成本 + 年度再订购成本
例3. 某计算器零售商店每年销售360台计算器， 库存一台计算器一年的费用是9元。为再订购， 需付10元的固定成本，以及每台计算器另加8元。 为最小化库存成本，商店每年应订购计算器几次？ 每次批量是多少？
R ' 0, R递减,即价格上扬,收益减少,价格下跌,收益增加
例5 某商品的需求函数为Q 75 P2; (1) 求P 4时的边际需求,并说明其经济意义; (2) 求P 4时的需求弹性,并说明其经济意义; (3) 求P 4时,若价格P上涨1%,总收益的变化; (4) 求P 6时,若价格P上涨1%,总收益的变化;
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个 就是最小值;
应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值。
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f (x) 0，得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7。
例2. 求函数f (x) | 2x3 9x2 12x | 在 区间[ 1 , 5]上的最大值和最小值。
42
解. f
(
x)
x(2x2
9x
12)
x(2x2 9x 12)
即，函数在x 0处取得最小值0;在x 1, 5 处取得最大值5. 2
例3. 设球的半径为R,求内接于球的圆柱体的最大体积。
解.设圆柱体高为2h,底半径为r,则，体积V r2 2h
由r2 h2 R2得：V 2 (R2 h2 ) h, h (0, R)
V ' 2 (R2 3h2 ), V '' 12 h
称为边际成本函数
y
y C(x)
平均成本函数：C(x) C(x) x
C(x)为下凸函数，由图可知， O
x0
x
存在唯一极小值点：
x0,满足C '( x0 ) 0
y
y C(x)
xC
'(x) C(x) x2
0
C '(x) C(x) x
当边O际成本＝平均成本时，x 平均成本达到最小
例1.设每月产量为x吨时，总成本函数y 1 x2 8x 4900 4
解:Q f (P) 75 P2 说明当价格为4时,上涨一个单位 (1) f '(4) 2P 8 的价格,需求量将减少8个单位;
(2)(4)
f
'(4)
75
P
P2
0.54
说明当价格为4时,价格上涨1%, 需求量将减少0.54%;
例5 某商品的需求函数为Q 75 P2; (1) 求P 4时的边际需求,并说明其经济意义; (2) 求P 4时的需求弹性,并说明其经济意义; (3) 求P 4时,若价格P上涨1%,总收益的变化; (4) 求P 6时,若价格P上涨1%,总收益的变化;
(3)收益弹性 ER R '(P) P ,其中R(P) P Q 75P P3
EP
R(P)
ER EP
P4
(75 3 42)
4 75 4
43
0.46
例6. 糖果厂每周的销售量为Q千袋,每袋的价格为2元, 总成本函数 C(Q) 100Q2 1300Q 1000 求(1)不盈不亏时的销售量; (2)可取得利润的销售量; (3)取得最大利润的销售量和最大利润; (4)平均成本最小时的产量.