微积分课后题答案高等教育出版社

习 题 六 （A ）

1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 （1）0d cos 20=⎰

x x π

（2）

x x x x d )1(2d )1(22

22

2+=+⎰

⎰

-

（3）

0d 3

1

1

=⎰-x x （3）x x dx x d 4

21

1

1

⎰⎰

==

解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确． （2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在) 2 , 2(-范围内对称，所以是正确的．

（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确． （4）原式dx x ⎰

-=1

1

2

等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1) , 1(-范围内关于轴对称，所以等式两边相等．

2．不计算积分，比较下列积分值的大小 （1）x x d 2

10⎰与x x d 3

10⎰ （2）x x d 2

3

1⎰与x x d 3

3

1

⎰

（2）x x d ln 4

3

⎰

与

x x d )(ln 2

4

3

⎰ （4）x x d sin 2

⎰

π

与

x x d 2

⎰

π

解：（1）由定积分的比较性可知在1) , 0(范围内32x x >，所以前者大于后者． （2）由定积分的比较性可知在3) , 1(范围内32x x <，所以前者小于后者． （3）由定积分的比较性可知在4) , 3(范围内2)(ln ln x x <，所以前者小于后者．1=a （4）由定积分的比较性可知在）2

, 0(π

范围x x

3．用定积分性质估计下列积分值 （1）x d e

2

x -1

⎰

（2）x x d )sin 1(24

54

+⎰

ππ

（3）

x x

x d 151

+⎰

（4）

x x

x

d sin 2

⎰

π

解：（1）因为2

x e -在]1 , 0[范围内的最大值为1，最小值为1-e 所以由定积分的估值定理可知：

dx dx e dx e x l 1

2

1

11

⎰⎰

⎰

≤

≤

--

12

1

1≤≤

⇒--⎰

dx e e x

（2）因为x 2sin 1+在2

2

]

4

5

, 4

[π

π的最大值为2，最小值为1。 所以由定积分的估值定理可知：

dx dx x dx 2)sin 1(l 4

54

2

4

54

4

54

⎰

⎰

⎰≤+≤ππ

ππ

ππ

ππππ

2)sin 1(24

54

≤+≤

⇒⎰dx x （3）设x

x x f +=

1)(5

则)

1(12)910(112x 15x

)( ' 4

5

4

x x x x x x x x f +++=++-

+= 令0)( ' =x f

则01 , 0)910(4≠+=+x x x 解得：9

10

x , 0-

==x 所以)(x f 在) , 0(∞+上单调递增

所以)(x f 在1] , 0[的最小值为0，最大值是2

2 所以由定积分的估值定理可知：

dx dx x x dx 2

2

101

51

1

⎰

⎰

⎰

≤

+≤

2

21051

≤

+≤

⇒⎰

dx x

x

（4）由图中易知：AD

AB AB

<∧<

其中x AB sin =，x AD tan =，x AC = 即：x x x tan sin ≤≤ 亦得到：x

x x cos 1sin 1≤≤

2

0π

<

x

x

x

由定积分性质有：

dx dx x

x

xdx ⋅≤≤

⎰

⎰

⎰

1sin cos 2

2

2

π

π

π

2

sin 12

π

π

≤≤

⇒⎰

∂

dx x x

4．利用定积分的几何意义计算下列积分

（1）dx x 2

22

2-⎰- （2）dx x x )21(221--⎰

解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心2为半径的一个圆面积的一半，且在x 轴的

上方．

所以原式22

1R π=

π

=

（2）该定积分的几何意义是以1) , 1(为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x 轴的上方．所以原式22

1R π= π2

1= 5．求下列函数的导数 （1）t te

x f t x d )

(2

1

2

--⎰

（2）dt t x f x

e x )1ln()(2+=

⎰

（3）dt e x f t x x

2

3)(⎰

= （4）dt sin )()(330

t x t x f x

-=

⎰

解：（1）设⎰

=-)(2

t g dt te t

则m x g x g x e g x f =--=-=222

)1()(1

)

()(令 4

34

222x ' )(' g )( ' x x x e x e m m x f --===

（2）设⎰

=+)()1ln(2t g dt t 则m e x g e g x f x x =-=令)()()(

)ln()ln(e )( ' g ' )( ' g )( ' 22x x x e x x m m x f x +-+=-=

（3）设⎰

=)(2

t g dt e t

y x x 0 A B D C 1