椭圆的简单几何性质(公开课)

关于x轴对称
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从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中 心对称。
即标准方程的椭圆是以坐标轴为对称轴，坐标原点为对 称中心的。
b
oc
a A2(a，0) F2
B1 (0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
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根据前面所学有关知识画出下列图形
（1） x2 y2 1 25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
16x225y2400 x2y21 25 16
a=5 b=4 c=3
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y
o
x
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练习1.已知椭圆方程为6x2+y2=6
它的长轴长是：2 6 。短轴是： 焦距是： 2 5 .离心率等于： 焦点坐标是： (0, 5。) 顶点坐是：
。2
30
。6
(0,。 6) (1,0)
外切矩形的面积等于：
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2 -3
B1
-4
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9的焦距与长轴长的比：e c
叫做椭圆的离心率。
a
[1]离心率的取值范围：
y
因为 a > c > 0，所以0 < e < 1
o
x
[2]离心率对椭圆形状的影响：
（2）当 A2， 0 为短轴端点时，b2, a 4 ，
x2
椭圆的标准方程为：
y2
1；
4 16
综上所述，椭圆的标准方程是 x2 y2 1 或 x2 y2 1
41
4 16
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练习2：
已知椭圆 x2 y2 1的离心率 e 1 ，求k的值
k 8 9
2
x 解：当椭圆的焦点在 轴上时，
(A) x2 4y
(B) x22xyy0
(C) x24y2 5x
(D) 9x2 y2 4
2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 e 2 ，长轴长为6，
3
则椭圆的方程 为（ C ）
(A)
x2 y2 1
36 20
x2 y2
(B) 1
95
(C)
x2 y2 1 或
95
y2 x2 1
95
(D)
y2
x2
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x2 a2
by22
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(ab0)
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
（ a ,0 ）,(0, b)
（ b ,0 ）,(0, a)
(±c,0)
(0, ±c)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，请问：此时椭圆的变化情况？
b就越小，此时椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，请问：此时椭圆又是如何变化的？ b就越大，此时椭圆就越圆
即2020离/9/13心率是反映椭圆扁平程度的一个量。
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标准方程
图象
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 焦距 a,b,c关系 离心率
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2。过程与方法
通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题 和解决问题的能力．
3。情感态度与价值观
培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新
重点：椭圆的几何性质及初步运用．
难点： 2020/9/13
椭圆离心率的概念的理解．
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椭圆
x2 a2
y2 b2
1简单的几何性质
一、范围：
x2 a2
a2=b2+c2
e c a
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例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是 6
3
。 离心率等于： 5 。
焦点坐标是： ( 3, 0 ) 。顶点坐标是：( 5 , 0 ) (0, 4 )。
外切矩形的面积等于：
80
。
分析：椭圆方程转化为标准方程为：
46。
其 标 准 方 x2程 y2是 1 16
a6b 1 则 ca 2 b 25
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例2 椭圆的一个顶点为A2，0 ,其长轴长是短轴长
的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
解：（1）当 A2， 0 为长轴端点时，a 2，b 1，
椭圆的标准方程为：x2 y2 1 ； 41
1,
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
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B1
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二、椭圆的对称性
x2 a2
by22
1(ab0)
Y
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
关于原点对称
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O P3（-x，-y）
X
P1（x，-y）
热烈庆祝嫦娥二号探月卫星发射成功
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1
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复习： 1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离和为常数（大于|F1F2 |）的点
的轨迹叫做椭圆。
2.椭圆的标准方程是：
3.椭圆中a,b,c的关系是:
a2=b2+c2
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学习目标：
1。知识与技能
①熟悉椭圆的几何性质（对称性，范围，顶点，离心率） ②理解离心率的大小对椭圆形状的影响 ③能利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程
1 或
x2
y2
1
36 20
36 20
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小结：
{1}范围： -a≤x≤a, -b≤y≤b
{2}椭圆的对称性:关于x轴、y轴、原点对称 y B1(0,b)
{3}椭圆的顶点
{4}椭圆的离心率:e
c a
(-a，0)
A1
o
(a，0)
A2 x
B2(0,-b)
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欢迎提问！
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三、椭圆的顶点
x2 a2
b y2 2
1(ab0)
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0) F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
a2 k8，b2 9 ，得 c2 k1．
由
e
1 2
，得：k 4
当椭圆的焦点在 y轴上时，
a2 9 ，b2 k8，得c2 1k．
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
∴满足条件的
94
k 4 或 k
5
4
．
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1、在下列方程所表示的曲线中,关于x轴,y轴都对称的是( D )