北师大版九年级数学上-第一学期光祖中学期中测试卷
北师大版九年级上册数学期中考试试题含答案解析
北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．方程x（x+6）＝0的解是（）A．1x＝0或2x＝﹣6 B．1x＝0或2x＝6 C．x＝0 D．1x＝2x＝﹣6 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分3．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，则菱形的边长AB 等于（）A．5 B．6 C D．104．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣2＝0 B．x+2y＝1C．3x+1x＝4 D．2x（x﹣1）＝2x2+35．已知等腰三角形的两边是一元二次方程27100x x-+=的两根，则此三角形的周长是A．12 B．9 C．9或12 D．156．现有两个可以自由转动的转盘，每个转盘分成三个相同的扇形，涂色情况如图所示，指针的位置固定，同时转动两个转盘，则转盘停止后指针指向同种颜色区域的概率是（）A．19B．16C．23D．137．兰州某制造厂七月份生产零件20万个，第三季度生产零件2880万个，如果每月的增长率x相同，则可列方程是（）A ．20（1+x ）2＝2880B ．20+20（1+x ）2＝2880C ．20+20（1+x ）+20（1+x ）2＝2880D ．20+20（1+x ）+20（1+2x ）＝2880 8．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45°9．若方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则1211+x x 的值为（ ） A ．5 B ．15 C ．﹣5 D ．15- 10．如图，点P 是矩形ABCD 的边上一动点，矩形两边长AB 、BC 长分别为15和20，那么P 到矩形两条对角线AC 和BD 的距离之和是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．不能确定二、填空题 11．一元二次方程3x 2﹣5x ＝﹣3二次项系数是___，一次项系数是___，常数项是____． 12．已知一正方形的对角线长为4，则正方形的面积为________．13．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．14．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 15．如图，在矩形ABCD 中，对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2.5，则这个矩形对角线的长为_____．16．若一元二次方程220190ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=_________．17．如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则∠FAB 等于______．18．袋子中有8个白球和若干个黑球，小华从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了100次后，共有32次摸出白球，据此估计袋中黑球有________个.三、解答题19．解下列方程：（1）3x 2+8x ﹣3＝0（用配方法）（2）4x 2+1＝4x （用公式法）（3）2（x ﹣3）2＝x 2﹣9（用因式分解法）（4）x 2+5x ﹣6＝0（用适当的方法）20．一个直角三角形的斜边长15cm ，一条直角边比另一条直角边长3cm ．求两条直角边的长度．21．现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2﹣3a +b ．如：3★5＝32﹣3×3+5，若x ★2＝6，试求实数x 的值．22．已知方程2+-=的一根是2，求它的另一根及k的值．560x kx23．已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB OA＝2，OB＝1，求证：□ABCD是菱形．24．在一幅长90cm、宽40cm的风景画的四周外围上有一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？25．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB和CD的中点，连接DE，BF，且AB=2AD=4．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）当四边形DEBF为菱形时，求出该菱形的面积；26．某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元，为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张．摊主要想平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？27．如图，在ABC 中，,,AB AC AD BC =⊥垂足为点,D AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．()1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．参考答案1．A【解析】方程利用因式分解法求解即可．【详解】解：方程x （x +6）＝0，可得x ＝0或x +6＝0，解得：x 1＝0，x 2＝﹣6，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2．C【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．3．D【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝12AC，OB＝12BD，AC⊥BD，∵AC＝16，BD＝12，∴OA＝8，OB＝6，∴AB＝22OA OB＝10，即菱形ABCD的边长是10．故选D．【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．4．A【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A、x2﹣2＝0是一元二次方程，符合题意；B、x+2y＝1是二元一次方程，不符合题意；C、3x+1x＝4不是整式方程，不符合题意；D、方程整理得：2x+3＝0是一元一次方程，不符合题意.故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．5．A【解析】【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是2和5，由三角形的三边关系可知2为底，5为腰，可以求出三角形的周长．【详解】解：27100x x-+=（x−2）（x−5）＝0∴x1＝2，x2＝5．∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，∴腰长是5，底边是2，周长为：5＋5＋2＝12．故选A．【点睛】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根，然后根据三角形三边的关系，确定三角形的周长．6．A【分析】列举出所有情况，看转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：如图共9种情况，转盘停止后指针指向同种颜色区域的情况数是1，所以概率为19．故选A．【点睛】考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的易错点．7．C【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．【详解】解：∵七月份生产零件20万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，∴八月份的产量为20（1+x）万个，九月份的产量为20（1+x）2万个，∴20+20（1+x）+20（1+x）2＝2880，故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确增长率问题中的数量关系，能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．8．B【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和定理得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝12（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 9．C【分析】根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=5、x 1x 2=-1，将其代入1211+x x ＝1212x x x x +中即可求出结论． 【详解】∵方程x 2﹣5x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2＝5，x 1x 2＝﹣1， ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝﹣5． 故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a 、两根之积等于c a 是解题的关键． 10．B【分析】由矩形ABCD 可得：S △AOD =14S 矩形ABCD ，又由AB=15，BC=20，可求得AC 的长，则可求得OA 与OD 的长，又由S △AOD =S △APO +S △DPO =12OA•PE+12OD•PF ，代入数值即可求得结果． 【详解】连接OP ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，∠ABC ＝90°， S △AOD ＝14S 矩形ABCD ， ∴OA ＝OD ＝12AC ，∵AB ＝15，BC ＝20，∴AC 25，S △AOD ＝14S 矩形ABCD ＝14×15×20＝75， ∴OA ＝OD ＝252， ∴S △AOD ＝S △APO +S △DPO ＝12OA •PE +12OD •PF ＝12OA •（PE +PF ）＝12×252（PE +PF ）＝75， ∴PE +PF ＝12．∴点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是12．故选B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．11．3， ﹣5， 3．【分析】一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）的a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【详解】解：一元二次方程3x 2﹣5x +3＝0，其中二次项系数是 3，一次项系数是﹣5，常数项是 3， 故答案为3，﹣5，3．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），注意先将方程化成一般形式．12．8【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】 解：正方形的面积211416822=⨯=⨯= 故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记正方形的面积的求解方法是解题的关键．13．﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa 2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．14．1k ≤且0k ≠【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，∴△=b 2-4ac=4-4k≥0且k≠0，解得：k≤1且k≠0，故答案为k≤1且k≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．15．5．【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=12AC ，根据邻补角的定义求出∠AOB ，然后判断出△AOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB ，然后求解即可．【详解】解：在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，OA ＝OB ＝12AC ， ∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝180°﹣∠AOD ＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA ＝AB ＝2.5，∴BD ＝AC ＝2OA ＝2×2.5＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等，证明三角形是等边三角形是解题的关键．16．2019【分析】直接把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=中即可得到a ＋b 的值．【详解】解：把x ＝−1代入一元二次方程220190ax bx --=得20190a b +-=，所以a ＋b ＝2019．故答案为2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．17．22.5°【解析】试题分析：先根据正方形的对角线平分一组对角求出∠BAC 的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求解.解：∵AC 是正方形的对角线，∴∠BAC=×90°=45°，∵AF 是菱形AEFC 的对角线，∴∠FAB=∠BAC=×45°=22.5°．考点：正方形、菱形的性质点评：特殊四边形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.18．17【解析】【分析】100次中共有32次摸出白球，则可求摸到白球的概率，据此求袋中黑球个数.【详解】设黑球有m个，根据已知可列出8 8m +=32100，m=17，所以黑球有17个.【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，熟练掌握这一点是解题的关键.19．（1）x＝13或x＝﹣3；（2）122x x==；（3）x＝3或x＝9；（4）x＝﹣6或x＝1．【分析】（1）根据配方法解方程的步骤依次计算可得；（2）根据公式法求解可得；（3）利用因式分解法求解可得；（4）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∵3x2+8x＝3，∴x2+83x＝1，则x2+83x+169＝1+169，即（x+43）2＝259，则x+43＝±53，解得x＝13或x＝﹣3；（2）整理得4x2﹣4x+1＝0，∵a＝4，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，则x＝402±＝2，122x x∴==；（3）∵2（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，则x﹣3＝0或x﹣9＝0，解得x＝3或x＝9；（4）∵x2+5x﹣6＝0，∴（x+6）（x﹣1）＝0，则x+6＝0或x﹣1＝0，解得x＝﹣6或x＝1．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．【分析】设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，再根据勾股定理求出x的值即可．【详解】解：设较短的直角边为xcm，则另一条直角边为（x+3）cm，由题意，得x2+（x+3）2＝152，解得x＝9或x＝﹣12（舍去）则x+3＝9+3＝12（cm）．答：较短的直角边为9cm，则另一条直角边为12cm．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．21．x＝﹣1或4【分析】利用题中的新定义化简，计算求出x 的值即可．【详解】根据题中的新定义得：x 2﹣3x +2＝6，即（x ﹣4）（x +1）＝0，解得：x ＝﹣1或4．【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．22．135x =-，7k =-． 【分析】把x 1=2代入已知方程，列出关于k 的一元一次方程，通过解方程求得k 的值；由根与系数的关系来求方程的另一根．【详解】设它的另一根为1x ，根据题意得125k x +=-，1625x ⨯=-， 解得135x =-，7k =-． 【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根与系数的关系, 熟记公式1212,,b c x x x x a a+=-=是解决本题的关键.23．见解析.【分析】根据利用勾股定理的逆定理可证明∠AOB=90°，得出AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．【详解】证明：在△AOB 中，AB OA ＝2，OB ＝1，∴AO 2+OB 2＝22+1＝5，又∵AB 22＝5，∴AO 2+OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴AC ⊥BD ；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴▱ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及勾股定理逆定理的应用，关键是根据AB 、AO 、BO 的长度证明∠AOB=90°．24．5cm【分析】设金边的宽度为xcm ，则整个挂画的长为（90+2x ）cm ，宽为（40+2x ）cm ．就可以表示出整个挂画的面积，由风景画的面积是整个挂图面积的72%建立方程求出其解即可．【详解】设金边的宽度为xcm ，则整个挂画的长为（90+2x ）cm ，宽为（40+2x ）cm ．由题意得：（90+2x ）（40+2x ）×72%＝90×40 解得：x 1＝﹣70（舍去），x 2＝5．答：金边的宽应该是5cm ．【点睛】本题考查了矩形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据风景画的面积是整个挂图面积的72%来建立方程是关键．25．（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC ，∠A=∠C ，再加上条件AE=CF 可利用SAS 证明△AED ≌△CFB ；（2）作FM ⊥AB 于M ，可以得到△BFC 是等边三角形，得到∠FBM=60°，再求出菱形的高FM ，从而得到菱形的面积．解答：证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，在△ADE 和△CBF 中，∵AD=BC ，∠A=∠C ，AE=CF ，∴△AED ≌△CFB （SAS ）； （2）作FM ⊥AB 于M ，在菱形DEBF 中，BE=BF=12AB=1422⨯=，∵CF=12CD=1422⨯=，BC=AD=12AB=2，∴CF=BC=BF ，∴△BFC 是等边三角形，∴∠BFC=60°，∵ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠MBF=∠BFC=60°，∴∠FBM=30°，∴MB=12BF=1，∴∴菱形DEBF的面积=BE•FM=2=考点：1．全等三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．26．每张贺年卡应降价0.1元【分析】由题意可知：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=180，把相关数值代入求解即可．【详解】解：设每张贺年卡应降价x 元，现在的利润是（0.3﹣x ）元，则商城多售出200x ÷0.05＝4000x 张．（0.3﹣x ）（500+4000x ）＝180，整理得400x 2﹣70x +3＝0，（40x ﹣3）（10x ﹣1）＝0，解得x 1＝340，x 2＝0.1， ∵为了尽快减少库存，∴x ＝0.1．答：每张贺年卡应降价0.1元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到每降价x 元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．27．（1）证明见解析；（2）当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明见解析．【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得BAD CAD ∠=∠，再根据角平分线的定义可得MAE CAE ∠=∠，从而可得90DAE ∠=︒，然后根据垂直的定义可得90ADC AEC ∠=∠=︒，最后根据矩形的判定即可得证；（2）先根据等腰直角三角形的性质可得45ACB B ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质可得45CAD ACD ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的定义可得CD AD =，最后根据正方形的判定即可得．【详解】（1）在ABC 中，,=⊥AB AC AD BC ，12BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一）， AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，12MAE CA CA E M ∴∠∠=∠=， 11118090222DAE CAD CAE BA CA C M ∴∠=∠+∠=∠+=⨯︒=∠︒， 又,AD BC CE AN ⊥⊥，90ADC AEC ∴∠=∠=︒，∴四边形ADCE 为矩形；（2）当ABC 满足90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形，证明如下：,90AB AC BAC ∠==︒，45ACB B ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，45CAD ACD ∴∠=∠=︒，CD AD ∴=，四边形ADCE 为矩形，∴矩形ADCE 是正方形，故当90BAC ∠=︒时，四边形ADCE 是一个正方形．【点睛】本题考查了正方形与矩形的判定、等腰三角形的三线合一、角平分线的定义等知识点，熟练掌握正方形与矩形的判定方法是解题关键．。
北师大版2022～2023学年九年级数学第一学期期中质量检测试卷【含答案】
北师大版2022～2023学年九年级数学第一学期期中质量检测试卷（分值：120分）一．选择题（共12小题）1．下列说法正确的有（ ）个．①菱形的对角线相等；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有两个角是直角的四边形是矩形；④正方形既是菱形又是矩形；⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．A．1B．2C．3D．42．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（ ）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是（ ）A．15B．10C．4D．34．关于x的一元二次方程x2+mx+m=0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）A．不存在B．4C．0D．0或45．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（ ）A．10B．14C．16D．406．已知=，那么下列等式中一定正确的是（ ）A ．=B ．=C ．=D ．=7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若=，则=（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（ ）A ．B ．C ．D ．9．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +kb +1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx +b 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．a ，b ，c 为常数，且（a ﹣c ）2＞a 2+c 2，则关于x 的方程ax 2+bx +c=0根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为011．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）A．2B．4C．4D．812．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．14．下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是 （只填序号）15．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 米．16．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是 ．三．解答题（共6小题）17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．18．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．19．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 ；（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．20．如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD 的垂直平分线，分别交AD 、BC 于E 、F （保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连接BE ，DF ，问四边形BEDF 是什么四边形？请说明理由．21．如图，在△ABC 中，AB=AC=1，BC=，在AC 边上截取AD=BC ，连接BD ．（1）通过计算，判断AD 2与AC•CD 的大小关系；（2）求∠ABD 的度数．22．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x 轴于点C ，点A （3，1）在反比例函数y=x k的图象上.(1)求反比例函数y=x k的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使得S ΔAOP =21S ΔAOB ，若存在求点P 的坐标；若不存在请说明理由.（3）若将ΔBOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到ΔBDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由.备用图答案一．选择题（共12小题）1．A．2．B．3．B．4．D．5．A．6．A．7．C．8．A．9．B．10．B．11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（ ）A．2B．4C．4D．8【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．【专题】计算题；矩形菱形正方形．【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．解：连接OE，与DC交于点F，∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，∵AD=2，DE=2，∴OE=2，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，则S菱形ODEC=OE•DC=×2×2=2．故选A【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．12．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选C．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二．填空题（共4小题）13．如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ．【考点】一元二次方程根的判别式．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．14．下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是 ③④ （只填序号）【考点】相似多边形的判定．【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．解：①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误；②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误；③两个等边三角形一定相似；④两个正方形一定相似；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误，故③④．【点评】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要是判断对应的角和对应的边．15．如图，身高为1.6米的小华站在离路灯灯杆8米处测得影长2米，则灯杆的高度为 8 米．【考点】相似三角形的性质．【专题】应用题．【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．解：如图：∵AB∥CD，∴CD：AB=CE：BE，∴1.6：AB=2：10，∴AB=8米，∴灯杆的高度为8米．答：灯杆的高度为8米．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出灯杆的高度，体现了方程的思想．16．正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE=．则四边形ABFE′的面积是 ．【考点】正方形的性质．【分析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．易知△AEB≌△AED≌△ADE′，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，根据S四边形=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB即可解决问题．ABFE′解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，∠DAC=∠CAB=∠DAE′=45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE=DE′，AE=AE′，∴AD垂直平分EE′，∴EN=NE′，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN=EO=1，AO=+1，∴AB=AO=2+，∴S△AEB=S△AED=S△ADE′=×1×（2+）=1+，S△BDE=S△ADB﹣2S△AEB=1+，∵DF=EF，∴S△EFB=，∴S△DEE′=2S△ADE﹣S△AEE′=+1，S△DFE′=S△DEE′=，∴S四边形AEFE′=2S△ADE﹣S△DFE′=，∴S四边形ABFE′=S四边形AEFE′+S△AEB+S△EFB=．故答案为．【点评】本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的性质，角平分线的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用分割法求四边形面积，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共6小题）17．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【考点】一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）直接把x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0求出m的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．18．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．解：∵△OBD∽△OAC，∴==，∴=，解得OA=6，∴AB=OA+OB=4+6=10．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．19．一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回，大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是 2 ；（3）当n=2时，先从袋中任意摸出1个球不放回，再从袋中任意摸出1个球，请用列表或画树状图的方法，求两次都摸到白球的概率．【考点】利用频率估计概率．【分析】（1）当n=1时，利用概率公式可得到摸到红球和摸到白球的概率都为；（2）利用频率估计概率，则摸到绿球的概率为0.25，根据概率公式得到=0.25，然后解方程即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性相同；（2）利用频率估计概率得到摸到绿球的概率为0.25，则=0.25，解得n=2，故答案为2；（3）解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的结白色的结果共有2 种，所以两次摸出的球颜色不同的概率==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【考点】矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．解：（1）如图所示，EF为所求直线；（2）四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A +∠ABC +∠C=180°，∴x +2x +2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD ∽△ABC 是解题的关键．22．∵点A （3，1）在反比例函数y=x k的图象上∴k=3×1=3∴y=x 3-------------------------------------2分（2）∵A （3，1）∴OC=3，AC=1由△OAC ∽△BOC 得OC 2=AC•BC 可得BC=3，∴BA=4---------6分∴S ΔA O B =21×3×4=23∵S ΔA O P =21S ΔA O B∴S ΔA O P =3设P （m ，0）∴21×m ×1=3∴m =23∴m=-23或23∴P （-23，0）或（23，0）----------10分（3）E （-3，-1），点E 在反比例函数y=x 3的图象上，---11分理由如下：当x=-3时，133y -=-=∴点E 在反比例函数y=x 3的图象上.---------- -------------14分注：若说明∵（-3）×（-1）=3=k ，也可.。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷有答案-2022年最新修改
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝10B．（x﹣3）2＝8C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣3）2＝1 2．下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+1=0B．y2+x=1C．x2+1=0D．1x+x2=13．若点C是线段AB的中点，则CA与BA的比值是（）A．1B．2C．12D．234．平行四边形ABCD如图所示，E为AB上的一点，F、G分别为AC与DE、DB的交点．若:3:2AB AE ，则四边形BGFE与ABCD的面积之比为（）A．7:60B．8:70C．5:43D．3:265．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，过点B作BE⊥BC，交AD于点E，点F是线段BE上一点，且∠ADF=45°．则下列结论：①AE=BE；②△BED∽△ABC；③BD2=AD⋅DE；④，其中正确的有（）A．①④B．②③④C．①②③D．①②③④6．如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A ．13B ．14C ．16D ．187．小芳掷一枚硬币10次，有7次正面向上，当她掷第11次时，正面向上的概率为（）A ．711B ．12C ．811D ．18．若0是关于x 的一元二次方程mx 2＋5x ＋m 2－m ＝0的一个根，则m 等于（）A ．1B ．0C ．0或1D ．无法确定9．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，AB BC＝23，DE ＝3，则DF 的长为（）A ．2B ．4.5C ．3D ．7.510．如图，已知ABC 与DEF 位似，位似中心为点O ，ABC 的面积与DEF 面积之比为16：9，则:CO OF 的值为（）A ．3：4B ．4：7C ．4：3D ．7：411．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，点E 在CD 上，AE ＝AB ，则∠ABE 的度数为（）A ．60°B ．70°C ．72°D ．75°12．如图，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，点M 、N 分别在边AD 、BC 上，连接BM 、DN ．若四边形MBND 是菱形，则AMMD等于（）A ．35B ．23C ．38D ．45二、填空题13．若23x y =，则x y y+的值为_____．14．方程x 2＝3x 的解为：_____．15．已知关于x 的一元二次方程（k ＋1）x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是________．16．如图，等边△EFG 的顶点分别在矩形ABCD 的边AD 、AB 、CD 上，若AE ＝1，DE ＝4，则DG 的值为________．三、解答题17．解方程：()()2323x x x -=-18．先化简，再求值：22122()121x x x xx x x x ----÷+++，其中x 满足x 2－2x －2=0.19．在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”4个围棋子，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机地从盒中提出1子，则提出黑子的概率是多少？（2）随机地从盒中提出两子，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求恰好提出“一黑一白”子的概率．20．如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．（1）求证四边形AECF是正方形；（2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积．21．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．650cm，求丝绸花边的宽度；（1）若丝绸花边的面积为2（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元所获利润为22500元．22．已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．(1)求证：四边形AODE是矩形；(2)若△ABC是边长为4的正三角形，求四边形AODE的面积．23．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．(1)求该公司销售A产品每次的增长率；(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套．为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降2万元，公司平均每月可多售出80套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？24．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F.（1）求证：△CDE∽△CBF；（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长.25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是对角线BD上一点．(1)如图1，当CE⊥BD时，求CE的值；(2)如图2，当△BCE为等腰三角形时，直接写出DE的值；(3)如图3，当点F 在AB 边上，且四边形CEFG 为矩形，连接BG ．①EFCE的值是否为定值？如果是，请求出此定值；若不是，请说明理由；②请直接写出BG 的最大值．参考答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．D 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 13．5314．x 1＝0，x 2＝315．k≤0且k≠－116．17．13x =-或23x =18．1219．（1）34；（2）12．20．（1）见解析；（2）25．【分析】（1）连接AC，根据菱形的性质即可证明四边形AECF是正方形；（2）根据菱形ABCD的性质和BD＝4，BE＝3，DF＝BE，可得EF=10，OA=5，进而可得菱形ABCD的面积．【详解】证明：（1）如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∵BE=DF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；∵∠AED＝45°，∴∠OAE=90°-45°=45°=∠AED，∴OA=OE，∴AC=EF，∴四边形AECF是正方形；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝4，BE＝3，DF＝BE，∴EF=BE+BD+DF=2BE+BD=10，∴OE=12EF=5，∵∠AED＝45°，AC⊥EF，∴OA=tan AED∠·OE=tan45︒·5=5，∴AC=10，∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×10×5=25．故答案为：25．21．（1）5cm；（2）75元．【解析】（1）设花边的宽度为x cm，根据题意得：(60－2x)(40－x)＝60×40－650，然后求解即可；（2）设每件工艺品降价x元出售，根据题意直接列方程求解即可．【详解】解：（1）设花边的宽度为x cm，根据题意得：(60－2x)(40－x)＝60×40－650，整理得x2－70x＋325＝0，解得：x＝5或x＝65(舍去)．答：丝绸花边的宽度为5cm．（2）设每件工艺品降价x元出售，由题意得：(100－x－40)(200＋20x)－2000=22500解得：1225x x==；∴售价为100－25＝75(元)．答：当售价定为75元时能达到利润22500元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是根据题意得到一元二次方程，然后进行求解即可．22．（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出AC BD⊥，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE 是矩形；（2）由ABC ∆是等边三角形，得出122OA AC ==，由勾股定理得出OB =得出OD OB ==AODE 的面积．【详解】（1）证明：//DE AC ，//AE BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，∴平行四边形AODE 是矩形，故四边形AODE 是矩形；（2）解：∵ABC ∆是等边三角形，∴OA=AB=BC=4，在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，OA=OC ，OB=OD.1422OA ∴=⨯=，∴OD=OB ===∴四边形AODE 的面积122OA OD =⨯== ．【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．23．(1)该公司销售A 产品每次的增长率为50%(2)每套A 产品需降价1万元【解析】（1）设该公司销售A 产品每次的增长率为x ，利用增长率表示4约分销售量为20（1＋x ）2根据4月份销量等量关系列方程即可；（2）设每套A 产品需降价y 万元，则平均每月可售出（30＋802y）套，求出每套利润，根据每套利润×销售套数=70万，列方程求解即可．(1)解：设该公司销售A 产品每次的增长率为x ，依题意，得：20（1＋x）2＝45，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5（不合题意，舍去）．答：该公司销售A产品每次的增长率为50%．(2)解：设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售出（30＋802y）套，依题意，得：（2－y）（30＋802y）＝70，整理，得：4y2－5y＋1＝0，解得：y1＝14，y2＝1，∵尽量减少库存，∴y＝1．答：每套A产品需降价1万元．24．（1）证明见解析；（2）【解析】（1）如图，通过证明∠D=∠1，∠2=∠4即可得；（2）由△CDE∽△CBF，可得CD：CB=DE：BF，根据B为AF中点，可得CD=BF，再根据CB=3，DE=1即可求得.【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，∵CF⊥CE，∴∠4+∠3=90°，∴∠2=∠4，∴△CDE∽△CBF；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∵B 为AF 的中点，∴BF=AB ，∴设CD=BF=x ，∵△CDE ∽△CBF ，∴CD DE CB BF =，∴13x x=，∵x>0，∴即：25．(1)CE ＝245(2)DE 的值为5或4或145(3)①是，EF CE 的值为34；②BG 最大值为245【解析】（1）勾股定理求得BD ，进而根据等面积法即可求得CE 的值；（2）当△BCE 为等腰三角形时，分,,BC BE CB CE EC EB ===三种情况分析讨论；（3）①过E 作AB 、CD 的垂线，交CD 于M ，交AB 于N ，则四边形MCBN 是矩形，进而证明MCE NEF ∽，可得EF CE ＝EN CM ，由tan DBA ∠=EN BN ＝AD AB ＝34，CM BN =，即可求得EF CE 为定值；②证明△CDE ∽△CBG ，BG DE ＝BC CD ＝34，BG ＝34DE ，求BG 最大值，即求DE 最大值，又DE 在△CDE 中，当CE 取最小值即CE ⊥BD 时，DE 取最大值为325，则BG 最大值为34DE ．(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BCD ∠=︒在Rt BCD 中，AB ＝8，BC ＝6，∴10BD ==1122BDC S BC DC DB EC =⋅=⋅ △4824105DC BCCE DB ⋅∴===∴CE ＝245；(2)①当BC BE =时，如图，6BC BE == 1064DE BD BE ∴=-=-=②当CB CE =时，如图，过点C 作CH BD ⊥于点H ，由（1）可得245CH =由cos BC BHDBC BD BC∠==则23618105BC BH BD ===,CB CE CH BD=⊥ 3625BE BH ∴==36141055DE BD BE ∴=-=-③当EC EB =时，如图，则ECB EBC∠=∠90EBC BDC ECB ECD ∠+∠=∠+∠=︒ EDC ECD∴∠=∠DE CE∴=152DE EB BD ∴===综上所述，DE 的长为5或4或145；(3)①是，EFCE 的值为34，如图，过E 作AB 、CD 的垂线，交CD 于M ，交AB 于N ，90CME ENF ∴∠=∠=︒，四边形MCBN 是矩形∴90CEM MCE ∠+∠=︒，MC BN= 四边形CEFG 是矩形90CEF ∴∠=︒90CEM NEF ∴∠+∠=︒MCE NEF∴∠=∠MCE NEF∴ ∽∴EF CE ＝ENCMtan DBA ∠= ENBN ＝AD AB ＝34；MC BN=∴EFCE ＝ENCM ＝ENBN ＝ADAB ＝34；②由①知EF ADEC AB=,,EF CG AD BC AB CD=== CGBCCE CD∴=又90DCE ECB BCG∠=︒-∠=∠∴△CDE∽△CBG，∴BGDE＝BCCD＝34，∴BG＝34DE，求BG最大值，即求DE最大值，又DE在△CDE中，当CE取最小值即CE⊥BD时，由（2）可知183255 DE DB=-=∴DE取最大值为32 5．∴BG最大值为34DE＝332=45⨯245．。
北师大版数学九年级上册期中测试卷(含答案)
期中测试卷(满分120分,时间120分钟)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.一元二次方程 x²−3x +2=0的两根为x ₁,x ₂,则. x₁+x₂的值是( )A.2B.-2C.3D.-32.下列说法中正确的是( )A.所有的等腰三角形都相似B.有一对锐角相等的两个三角形相似C.相似三角形都是全等的D.所有的等边三角开都相似3.如果2 是方程 x²−3x +c =0的一个根，那么c 的值是( )A.4B.-4C.2D.-24.如图在平行四边形 ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm,对线AC,BD 相交于点O,则OA 的取值范围是( ) A.2cm <OA<5cm B.2cm <OA<8cm C.1 cm<OA<4 cm D.3cm<OA<8cm5.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为( ) A. 16B. 13C. 12D.236.一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是( )A. 25B. 35C. 34D.157.关于x 的一元二次方程( (m−2)x²+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是( )A. m≤3 B. m<3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠28.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A. 15B. 14C. 13D.3109.如图,正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点 E 、F 分别在BC 、CD 上,则∠B 的度数是( )A.70° B.75° C.80° D.95°10.如图,E,F,G,H 分别是BD,BC,AC,AD 的中点,且AB=CD,下列结论:①EG⊥FH;②四边形 EFGH 是矩形;③HF 平分∠EH HG;④EG =12(BC−AD );⑤四边形EFGH 是菱形，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.一元二次方程 x²+x =0的解是 .12.某班要从甲、乙、丙、丁四位班干部(两男两女)中任意两位参加学校组织的志愿者服务活动，则恰好选中一男一女的概率是 .13.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=.14.如图，把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1，2，3，自由转运转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x，y，5 的三条线段能构成三角形的概率为 .15.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交 DC 于点 E,若点 P,Q分别是AD 和AE 上的动点,则DQ+PQ的最小值是 .16.若方程((m+3)x|m|−1+3mx=0是关于x的一元二次方程，则m=.三、解答题(本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6 分)(1)用配方法解方程:x²−6x−7=0;(2)用因式分解法解方程：2x(x--7)=x--7.18.(6分)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.19.(6分)一只不透明的袋子中装有红球2个和白球2个，这些球除颜色外其余都相同，小明从袋子中任意摸出一球，记下颜色后不放回，若小明再从剩余的球中任取一球，请你用列表法或树状图的方法，求小明两次都摸出红球的概率.20.(8分)如图,在正方形 ABCD 中,点M 是对角线BD 上的一点,过点 M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD 于点F.求证:AM=EF.21.(8分)一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验.实验数据如下表摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”出现的频数210132430375882110150“和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为8”的概率是 .(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取7吗?请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值.22.(8分)(1)如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积；(2)如图②,正方形 ABCD 的边长为3,正方形CEFG 的边长为1,求三角形 DBF 的面积;(3)如图③,正方形 ABCD 的边长为a,正方形CEFG 的边长为b,求三角形DBF 的面积.23.(12分)晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程.x(x+4)=6.解：原方程可变形，得[(x+2)−2][(x+2)+2]=6,(x+2)²−2²=6,(x+2)²=6+2²,(x+2)²=10,直接开平方并整理，得x1=−2+10,x2=−2−10.我们称晓东这种解法为“平均数法”.(1)下面是晓东用“平均数法”解方程((x+2)(x+6)=5时写的解题方程：解：原方程可变形，得[(x+□−◯][(x+□)+◯]=5,(x+□)²−◯²=5,(x+□)²=5+◯²,直接开平方并整理，得x₁=☆,x₂=∇.(1)上述过程中“□”,“◯”,“☆”,“▽”表示的数分别是, , , .(2)请用“平均数法”解方程：(x−3)(x+1)=5.24.(12分)已知:平行四边形ABCD的两边AB,AD 的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根.(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少?期中测试卷1. C2. D3. C4. C5. B6. A7. D8. B9. C 10. C11. x₁=0,x₂=-1 12.2313.5 14.4/9 15.22 16.317.解(1)移项得x²−6x=7,配方得x²−6x+3²=7+9,即(x−3)²=16,开方得x-3=±4,∴原方程的解是x₁=7,x₂=−1;(2)移项得2x(x−7)−(x−7)=0,提公因式得(x--7)(2x-1)=0,∴x-7=0或2x-1=0,∴原方程的解是x1=7,x2=12.18.解设这个增长率为x.依题意得20(1+x)²−20(1+x)=4.8.解得x₁=0.2,x₂=−1.2(不合题意,舍去).0.2=20%.答：这个增长率是20%.19.解设红球分别为 H₁、H₂,白球分别为.B₁、B₂,列表得：第二球第一球H₁H₂B₁B₂H₁(H₁,H₂)(H₁,B₁)(H₁,B₂)H₂(H₂,H₁)(H₂,B₁)(H₂,B₂)B₁(B₁,H₁)(B₁,H₂)(B₁,B₂)B₂(B₂,H₁)(B₂,H₂)(B₂,B₁)总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到红球的结果有两种.故 P(两次都摸到红球)=212=16.20.证明连接MC.∵在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADM=∠CDM,又∵DM=DM,∴△ADM≅△CDM.∴AM=CM.∵ME‖CD,MF‖BC,∴四边形CEMF 是平行四边形.又∵∠ECF=90°,∴BCEMF是矩形.∴EF=MC.又∵AM=CM,∴AM=EF.21.解(1)利用图表得出:实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33.(2)当x=7时,3455378847995891058910则两个小球上数字之和为9的概率是：212=16,故x 的值不可以取7，3455378847995891058910∵出现和为9的概率是三分之一，即有3种可能，∴3+x=9或5+x=9或4+x=9解得x=4,x=5,x=6,当x=6时，出现9的概率为 16,故x=6舍去，故x 的值可以为4，5其中一个.22.解(1)△DBF 的面积 =12×3×3=92;(2)△DBF 的面积 =3×3+3×1−12×3×3=12×(3+1)×1−12(3−1)×1=92;(3)△DBF 的面积 =a ×a +b ×b−12×a ×a−12×(a + b)×b−12(b−a )×b =a 22.23.解(1)4 2 —1 --7(2)原方程可变形，得[(x--1)-2][(x--1)+2]=5,整理，得( (x−1)²−2²=5, (x−)²=5+2², (x−1)²=9,x--1=±3,∴x₁=4,x₂=−2.24.解(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∴Δ=m2−4(m2−14)=m2−2m+1=(m−1)2,当(m−1)²=0时,即m=1时,四边形ABCD是菱形.把m=1代入x2−mx+m2−14=0,得x2−x+14=0.解得x1=x2=12.∴菱形ABCD的边长是1 2 .(2)把AB=2代入x2−mx+m2−14=0,得4−2m+m2−14=0.解得m=52.把m=52代入x2−mx+m2−14=0,得x²−52x+1=0.解得x1=2,x2=12.∴AD=1 2 .∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD的周长是2(2+12)=5.。
北师大版九年级上册数学期中考试试题含答案-2022年
北师大版九年级上册数学期中考试试卷2022年7月一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．22312x x -=-B ．()2231x x x -=-C ．2110x x +-=D ．20ax bx c ++=2．方程294230x x -+=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A ．两组对边分别平行且相等B ．两组对角分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等4．用配方法解方程22103x x --=，正确的是（）A ．2181,3933x x ⎛⎫-==±⎪⎝⎭B ．2252,3933x x ⎛⎫-==±⎪⎝⎭C ．22132,393x x ⎛⎫-==±⎪⎝⎭D ．21101,393x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭5．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，若∠BAO=55°，则∠AOD 等于（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°6．根据下列表格的对应值：x… 5.17 5.18 5.19 5.2…2ax bx c++…－0.03－0.010.010.04…判断方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c 为常数）一个解x 的取值范围是（）A ．5 5.17x <<B ．5.17 5.18x <<C ．5.18 5.19x <<D ．5.19 5.20x <<7．如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根，则a 满足的条件是（）A ．1a <B ．1a <且0a ≠C ．1a ≥且0a ≠D ．1a ≤8．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长BC 至点D ，使12CD BC =，连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，则DN =（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题9．方程()224x +=的解是______．10．把方程()22331x x +-=化成一般形式______．11．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是______．12．若关于x 的一元二次方程20x mx n -+=有一个根是1，则m n -=______．13．如图在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，2CD =，则点D 到AB 的距离是______．14．某种水果的原价为30元/箱，经过连续两次降价后的售价为15元/箱．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意列方程是______．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG ＝，则△CEF 的周长为____．16．已知方程2560x mx +-=的两根为a 和b ，且1a b +=-，则m =______．三、解答题17．解方程：（用适当的方法解方程）（1）2420x x -+=．（2）()()352350x x x +-+=（3）2312x x=18．新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元，市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？19．小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1，2，3，4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．(1)用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．20．如图1，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，求作菱形DEFG ，使点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在BC 上．小明的作法：①如图2，在边AC 上取一点D ，过点D 作//DG AB 交BC 于点G ．②以点D 为圆心，DG 长为半径画弧，交AB 于点E ．③在EB 上截取EF ED =，连接FG ，则四边形DEFG 为所求作的菱形．证明：小明所作的四边形DEFG 是菱形21．.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ；（1）如图1，求证：AE CF =；（2）如图2，当30ADB ∠=︒时，连接AF .CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.22．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F 、H 在菱形ABCD 的对角线BD 上.（1）求证：BG DE =；（2）若E 为AD 中点，2FH =，求菱形ABCD 的周长．23．如图1，正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 边上，点M 是AE 与BF 的交点，且AE BF =；（1）求证：BE CF =；（2）如图2，以CF 为边作正方形CFGH ，H 在BC 的延长线上，连接DH ，判断BF 与DH的数量关系和位置关系并证明；（3）如图3，连接AG ，交DH 于点P ，求APD ∠的度数．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程的定义解答．【详解】解：A 、22312x x -=-变形为2510x -=，是一元二次方程；B 、()2231x x x -=-变形为10x +=，不是一元二次方程；C 、2110x x +-=分母中含有未知数，不是一元二次方程；D 、当a=0时，20ax bx c ++=不是一元二次方程；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断．2．C 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断方程根的情况．【详解】解：∵△=()29342904--⨯⨯=-<，∴方程没有实数根．故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．3．D【解析】根据正方形的性质以及菱形的性质，即可判断．【详解】解：A、两组对边分别平行且相等，正方形和菱形都具有，故不符合；B、两组对角分别相等，正方形和菱形都具有，故不符合；C、相邻两角互补，正方形和菱形都具有，故不符合；D、对角线相等，正方形具有，菱形不具有，故符合；故选：D．【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键．4．D【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．【详解】解：2210 3x x--=，∴221 3x x-=，∴22111 399x x-+=+，∴211039x⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴133x=±，故选：D．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．B【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠BAO=∠ABO=55°，再依据三角形外角性质可知∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB．∴∠BAO=∠ABO=55°．∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°．故选B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，矩形中对角线互相平分且分成的四条线段都相等．6．C【解析】【分析】根据在5.18和5.19之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，于是可判断方程ax2+bx+c=0一个解x的范围．【详解】解：由y=ax2+bx+c，得x＞5.17时y随x的增大而增大，得x=5.18时，y=-0.01，x=5.19时，y=0.01，∴ax2+bx+c=0的近似根是5.18＜x＜5.19，故选：C．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用函数的增减性是解题关键．7．B【解析】【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，∴202410a a ≠⎧⎨=-⨯>⎩△，解得：a ＜1且a≠0，故选B ．8．A 【解析】连接CM ，根据直角三角形的性质求出CM ，证明四边形DCMN 是平行四边形，根据平行四边形的性质解答．【详解】解：连接CM ，∵∠ACB=90°，M 是AB 的中点，∴CM=12AB=3，∵M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴MN=12BC ，MN ∥BC ，∵BC=2CD ，∴MN=CD ，又MN ∥BC ，∴四边形DCMN 是平行四边形，∴DN=CM=3，故选A ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．9．x 1=0，x 2=-4【解析】【分析】利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【详解】解：（x+2）2=4，开方得：x+2=2或x+2=-2，解得：x 1=0，x 2=-4．故答案为：x 1=0，x 2=-4．【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用此方法解方程时，方程左边整理为完全平方式，右边合并为一个常数，利用平方根定义开方即可求出解．10．24980x x ++=【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式的定义变形即可．【详解】解：()22331x x +-=，∴2491231x x x ++-=，∴24980x x ++=，故答案为：24980x x ++=．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．11．310【解析】【分析】由一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，∴从口袋中随机摸出一个球，这个球是红球的概率是：333710=+，故答案为：310．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．1【解析】【分析】将x=1代入方程，变形可得m-n 的值．【详解】解：∵方程20x mx n -+=有一个根是1，则10m n -+=，∴1m n -=，故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解的含义．13．2【解析】【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到AB 的距离=点D 到AC 的距离=CD=2．【详解】解：由角平分线的性质，得点D 到AB 的距离=CD=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D 到AB 的距离即为CD 长是解决的关键．14．30（1-x ）2=15【解析】【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1-降低的百分率）=15，把相应数值代入即可求解．【详解】解：第一次降价后的价格为30×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，则：30×（1-x）×（1-x），则列出的方程是30（1-x）2=15．故答案为：30（1-x）2=15．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．15．8【解析】【详解】试题解析：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，∴∠BAF=∠F，∴∠F=∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD=DF=9；∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE．∴EC=FC=9-6=3，∴AB=BE．∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，可得：AG=2，又∵BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD，∴△CEF ∽△BEA ，相似比为1：2，∴△CEF 的周长为816．5【解析】【分析】根据根与系数的关系得到5m -=-1，然后解关于m 的方程即可得到满足条件的m 的值．【详解】解：根据题意得：a+b=5m -=-1，解得：m=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a．17．（1）x1=2x 2=2（2）x 1=12，x 2=53-；（3）x 1=6，x 2=6【解析】【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解；（3）先化为一般式，然后利用公式法求解．【详解】解：（1）2420x x -+=，∵a=1，b=-4，c=2，∴△=()24412--⨯⨯=8，∴x=42±，∴x 1=2x 2=2（2）()()352350x x x +-+=，∴()()12350x x -+=，∴1-2x=0，3x+5=0，∴x 1=12，x 2=53-；（3）231x =，变形可得：2310x -=，∵a=3，c=-1，∴△=()2431-⨯⨯-=14，∴x=23⨯，∴x 1x 2【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．18．2750元【解析】【分析】设每台冰箱降价x 元，根据题目中的等量关系“每台冰箱的利润×销售的数量=总利润”可列方程2900250084500050x x --+⨯=（）（），解得x 即可．【详解】解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得2900250084500050x x --+⨯=（）（）解这个方程，得12 150x x ==，定价=2900-150=2750（元）因此，每台冰箱的定价应为2750元．19．(1)见解析，23；(2)不公平，见解析【解析】【分析】（1）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率即可；（2）求出小明、小亮获胜的概率即可．(1)解：根据题意可列表或树状图如下：第一次第二次12341(1，2)(1，3)(1，4)2(2，1)(2，3)(2，4)3(3，1)(3，2)(3，4)4(4，1)(4，2)(4，3)从表可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P（和为奇数）2 3 =；(2)解：不公平．∵小明先挑选的概率是P（和为奇数）2 3=，小亮先挑选的概率是P（和为偶数）1 3=，21 33≠，∴不公平．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键．20．见解析【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】证明：由作图可知：DE=DG，EF=DE，∴DG=EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定，作图-复杂作图等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理．21．（1）详见解析；（2）ABE △的面积CDF =△的面积BCE =△的面积ADF =△的面积=矩形ABCD 面积的18．【解析】【分析】（1）结合矩形的性质和已知条件可证ABE CDF △≌△，根据全等三角形对应边相等即知AE CF =，此题得证；（2）可利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半确定三角形的面积与矩形的面积之间的等量关系..【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AB CD ∥，AD BC ∥，∴ABE CDF ∠=∠，∵AE BD ⊥于点E ，CF BD ⊥于点F ，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，在ABE △和CDF 中，ABE CDF AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE CDF AAS △≌△，∴AE CF =；（2）解：ABE △的面积CDF =△的面积BCE =△的面积ADF =△的面积=矩形ABCD 面积的18．理由如下：∵AD BC ∥，∴30CBD ADB ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴60ABE ∠=︒，∴30BAE ∠=︒，∴12BE AB =，12AE AD =，∴ABE △的面积111111222288BE AE AB AD AB AD =⨯=⨯⨯=⨯=矩形ABCD 的面积，∵ABE CDF △≌△，∴CDF 的面积18=矩形ABCD 的面积；作EG BC ⊥于G ，如图所示：∵30CBD ∠=︒，∴11112224EG BE AB AB ==⨯=，∴BCE 的面积1111122488BC EG BC AB BC AB =⨯=⨯=⨯=矩形ABCD 的面积，同理：ADF 的面积18=矩形ABCD 的面积．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形30°角的性质是解题的关键.22．（1）证明见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到EH=FG ，EH ∥FG ，得到∠GFH=∠EHF ，求得∠BFG=∠DHE ，根据菱形的性质得到AD ∥BC ，得到∠GBF=∠EDH ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG ，根据菱形的性质得到AD=BC ，AD ∥BC ，求得AE=BG ，AE ∥BG ，得到四边形ABGE 是平行四边形，得到AB=EG ，于是得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF，∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，∴∠BFG=∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG=DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE=ED，∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG，∵EG=FH=2，∴AB=2，∴菱形ABCD的周长=8．【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．23．（1）见解析；（2）BF=DH ，BF ⊥DH ，理由见解析；（3）45°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形知AB=BC ，∠ABE=∠C=90°，利用“HL”证Rt △ABE ≌Rt △BCF 即可得；（2）延长BF 交DH 于点K ，先证△BCF ≌△DCH 得BF=DH ，∠CBF=∠CDH ，由∠CDH+∠CHD=90°知∠CBF+∠CHD=90°，即∠BKH=90°，从而得证；（3）连接EG ，先证四边形BEGF 是平行四边形得GE ∥BF ，GE=BF ，由△ABE ≌△BCF 知∠CBF=∠BAE ，BF=AE=GE ，再证∠AEG=∠BME=90°可得∠EAG=45°，证四边形ADHE 是平行四边形得DH ∥AE ，从而得∠APD=∠GAE=45°．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABE=∠C=90°，在Rt △ABE 和Rt △BCF 中，AE BF AB BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △BCF （HL ），∴BE=CF ；（2）BF=DH ，且BF ⊥DH ，延长BF 交DH 于点K ，∵四边形ABCD 和四边形CFGH 是正方形，∴BC=DC ，CF=CH ，∠BCF=∠DCH=90°，∴△BCF≌△DCH（SAS），∴BF=DH，∠CBF=∠CDH，∵∠CDH+∠CHD=90°，∴∠CBF+∠CHD=90°，∴∠BKH=90°，∴BK⊥DH，即BF⊥DH，综上，BF=DH，且BF⊥DH；（3）如图②，连接EG，∵FG=CH=CF=BE，且FG∥CH，即FG∥BE，∴四边形BEGF是平行四边形，∴GE∥BF，GE=BF，∵△ABE≌△BCF，∴∠CBF=∠BAE，BF=AE，∴GE=AE，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠AEG=∠BME=90°，∵AE=GE，∴∠EAG=45°，∵BE=CH，∴AD=BC=BE+CE=CH+CE=EH，又AD∥EH，∴四边形ADHE是平行四边形，∴DH∥AE，∴∠APD=∠GAE=45°．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．用配方法将x 2﹣8x ＋5＝0化成（x ＋a ）2＝b 的形式，则变形正确的是（）A ．（x ﹣4）2＝11B ．（x ﹣4）2＝21C ．（x ﹣8）2＝11D ．（x ＋4）2＝112．如图，直线123l l l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ，直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F ，若23=AB BC ，则DE DF 的值为（）A ．23B ．35C ．25D ．523．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2，-1，0，1．卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取一张卡片，不放回，再另外抽取一张，抽取的两张卡片上数字之积为0的概率是（）A ．14B ．716C ．12D ．344．已知关于x 的一元二次方程ax 2﹣4x ﹣2＝0有实数根，则a 的取值范围是（）A ．a≥﹣2B ．a ＞﹣2C ．a≥﹣2且a≠0D ．a ＞﹣2且a≠05．已知平行四边形ABCD 中，添加下列条件，其中能说明平行四边形ABCD 是矩形的是（）A ．AB BC=B ．AC BD⊥C ．AC BD=D ．AC 平分BAD∠6．九年级（5）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了132本图书，如果设全组共有x 名同学，依题意，可列出的方程是（）A ．(1)132x x +=B ．(1)132x x -=C ．2(1)132x x +=D ．1(1)1322x x +=7．如图，四边形ABCD 为菱形，对角线AC ＝6，BD ＝8，且AE 垂直于CD ，垂足为点E ，则AE 的长度为（）A ．485B ．245C ．185D ．1258．如图，在矩形ABCD 中,,E F 分别是,BC AE 的中点，若 23,4CD AD ==，则DF 的长是（）A ．23B ．3C ．22D 69．若1x ，2x 是一元二次方程210x x +-=的两根，则211220202021x x x --的值为（）A ．2023B ．2022C ．2021D ．202010．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，EF AC ⊥交AB 于E ，点G 是AE 中点且∠AOG ＝30°，下列结论：（1）DC ＝3OG ；（2）OG ＝12BC ；（3） OGE 等边三角形；（4）S △AOE ＝16S 矩形ABCD ，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在一个不透明的口袋中有若干个白球和3个黑球，小颖进行如下试验：随机摸出1个球，记录下颜色后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25，则原来口袋中有白球___个．12．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ∥BD ，DE ∥AC ．若5AC =，则四边形AODE 的周长为_______．13．AOB 的三个顶点坐标()5,0A ，()0,0O ，()3,6B ，以原点O 为位似中心，将AOB 缩小为'''AO B △，相似比为23，则点B 的对应点'B 的坐标是_______．14．如图，平面直角坐标系中，矩形AOCB 中，AB =A 的坐标为()1,2-，则点C 的坐标为________．15．如图，将直角三角形ABC 沿着AB 方向平移得到三角形DEF ，若6cm AB =，4cm BC =，1cm CH =，图中阴影部分的面积为221cm 4，则三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为__________cm ．16．如图，AD 是ABC 的中线，点E 是线段AD 上的一点，且13AE AD =，CE 交AB 于点F ．若6AF =cm ，则AB =_____cm ．17．方程26x x =的根是________．三、解答题18．解方程：()2362x x -=-．19．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．20．如图，某测量人员的眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m ，标杆FC=2.2m ，且BC=1m ，CD=5m ，标杆FC 、ED 垂直于地面．求电视塔的高ED ．21．有四张正面分别标有数字-1，0，1，2的不透明卡片，它们除了数字之外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机抽取一张不放回，将卡片上的数字记为m ，再随机地抽取一张，将卡片上的数字记为n ．（1）请用画树状图或列表法写出(),m n 所有的可能情况；（2）求所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率．22．苏州某工厂生产一批小家电，2019年的出厂价是144元，2020年、2021年连续两年改进技术降低成本，2021年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率（精确到0.01%）．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多少元？23．如图，矩形ABCD 中，16AB =，12BC =，P 为AD 上一点，将ABP △沿BP 翻折至EBP △，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，BE 与CD 交于点G ．（1）求证：AP DG =；（2）求线段AP 的长．24．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ∥AC ，AE ∥BD ，EO 与AB 交于点F ．(1)求证：四边形AEBO 是矩形；(2)若CD ＝3，求EO 的长．25．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，动点M ，N 分别从O ，B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP ⊥OA ，交AC 于P ，连接NP ，设M 、N 运动的时间为t 秒()04t <<．（1）P 点的坐标为（），PC =（用含t 的代数式表示）；（2）求当t 为何值时，以C 、P 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似；（3）在平面内是否存在一个点E ，使以C 、P 、N 、E 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．A 【详解】x 2﹣8x ＋5＝02816516x x -+=-+即()2411x -=故选A 2．C【分析】利用平行线分线段成比例可得答案．【详解】解：因为：123l l l ，所以：23AB DE BC EF ==，所以：25DE DF =．故选C ．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的实际含义是解题的关键．3．C 【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【详解】解：画树状图如下：由图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为0的有6种结果，∴抽取的两张卡片上数字之积为0的概率为61122=，故选：C ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．4．C【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0a ≠且()()24420a ∆=--⨯-≥，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得0a ≠且()()24420a ∆=--⨯-≥，解得2a ≥-且0a ≠．故答案为：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．5．C 【解析】【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC=∠ACB ，∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC=∠DAC ，∴∠ACB=∠BAC ，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．6．B【解析】【分析】如果设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送（x﹣1）本，有x名学生，那么总互共送x （x﹣1）本，根据全组共互赠了132本图书即可得出方程．【详解】x-本；解：设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是(1)x x-；则总共送出的图书为(1)又知实际互赠了132本图书，x-=．则x(1)132故选：B．【点睛】考查的是列一元二次方程，本题要读清题意，弄清每名同学送出的图书是（x﹣1）本是解决本题的关键．7．B【解析】【分析】根据菱形的性质得出CO、DO的长，在Rt△COD中求出CD，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于CD×AE，可得出AE的长度．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是菱形，114,3,,22DO BD CO AC AC BD ∴====⊥5CD ∴==116824.22ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=ABCD S CD AE=⨯ ∴CD×AE=24，∴AE=245．故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．8．A 【解析】【分析】结合矩形的性质，勾股定理，利用SAS 证明DAF AEB ∆≅∆，进而可求解．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，CD =，4=AD ，//AD BC ，90B ∴∠=︒，4BC AD ==，AB CD ==，DAF AEB ∠=∠，E 为BC 的中点，2BE ∴=，4AE ∴=，AD AE ∴=，F 点为AE 的中点，2AF ∴=，AF BE ∴=，()DAF AEB SAS ∴∆≅∆，DF AB ∴==．故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明DAF AEB ∆≅∆是解题的关键．9．B【解析】【分析】利用一元二次方程根的定义以及根与系数的关系计算即可求出值．【详解】解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-1=0的两根，∴x 1+x 2=-1，且x 12+x 1-1=0，即x 12+x 1=1，则原式=x 12+x 1-2021（x 1+x 2）=1+2021=2022．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，以及方程的根，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．10．C【解析】【分析】根据矩形的性质、等边三角形的判定、勾股定理逐一判断即可；【详解】∵点G 是AE 中点，EF AC ⊥，∴12OG AG GE AE ===，∵∠AOG ＝30°，∴30OAG AOG ∠=∠=︒，90903060GOE AOG ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴ OGE 等边三角形，故（3）正确；设2AE a =，则OE OG a ==，由勾股定理得，AO ===，∵O 为AC 中点，∴2AC AO ==，在Rt ABC 中，30CAB ∠=︒，∴12BC AC ==，由勾股定理得，3AB a =，∵四边形ABCD 是矩形，∴3CD AB a ==，∴DC ＝3OG ，故（1）正确；∵OG a =，12BC =，∴12OG BC ≠，故（2）错误；∵2122AOE S a a ==△，2=3ABCD S a =矩形，∴16AOE ABCD S S = 矩形，故（4）正确；综上所述，正确的结论有（1）（3）（4）；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．11．9．【解析】【分析】设口袋中白球的个数为x ，根据摸到黑球的频率稳定在0.25及摸到黑球的概率为0.25，据此列出关于x 的方程，解之可得答案．【详解】解：设口袋中白球的个数为x ，根据题意，得：33x+＝0.25，解得x＝9，检验：当x＝9时，3+x＝12≠0，∴x＝9是分式方程的解，且符合题意，∴原来口袋中有白球9个，故答案为：9．12．10【分析】根据AE∥BD，DE∥AC，可得到四边形AODE是平行四边形，再由四边形ABCD是矩形，可证得四边形AODE是菱形，即可求解．【详解】解：∵AE∥BD，DE∥AC，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=CO，BO=DO，∴AO=DO，∴四边形AODE是菱形，∴AO=DO=DE=AE，∵5AC=，∴52 AO=，∴四边形AODE的周长为54102⨯=．故答案为：1013．（2，4）或（-2，-4）【解析】【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，∴点B 的对应点B′的坐标为22(3,6)33⨯⨯或22(3(),6())33⨯-⨯-，即（2，4）或（-2，-4），故答案为：（2，4）或（-2，-4）．14．(4,2)【分析】过点A 作AD x ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴于E ，这样易得AOD OCE ∽△△，再根据已知条件求得线段OE ，CE 的长，即可求得点C 坐标．【详解】解：过点A 作AD x ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴于E ，在矩形AOCB 中，OC AB ==90AOC ∠=︒，∵点A 的坐标为()1,2-，∴1OD =，2AD =，∴在Rt AOD 中，AO ===易知DAO AOD AOD COE ∠+∠=∠+∠,∴DAO COE ∠=∠，又∵90ADO OEC ∠=∠=︒，∴AOD OCE ∽△△，∴AD OD AO OE CE OC ==，∵12AO OC =，∴12AD OD OE CE ==，∴24OE AD ==，22CE OD ==，∴点C 的坐标为(4,2)，故答案为：(4,2)．15．32【分析】根据题意，计算得HB ；再根据阴影部分的面积ABC DBH S S =-△△，通过求解一元一次方程得DB ，从而得AD ，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得413HB BC CH cm =-=-=，∵90ABC ∠=︒，∴三角形DBH 为直角三角形，∴21122ABC S AB BC cm =⨯= ，1322DBH S DB HB DB =⨯=△，根据题意得：阴影部分的面积ABC DBH S S =-△△，且阴影部分的面积为221cm 4，∴3211224DB -=，∴92DB cm =，∴93622AD AB DB cm =-=-=，即三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为32cm ，故答案为：32．16．30【解析】过A 作AG ∥BC ，交CF 的延长线于G ，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到12AG AE DC DE ==，进而得出BF=4AF=24cm ，可得AB 的长度．【详解】解：如图所示，过A 作AG ∥BC ，交CF 的延长线于G ，∵AE=13AD ，AG ∥BC ，∴△AEG ∽△DEC ，∴12AG AE DC DE ==，又∵AD 是△ABC 的中线，∴BC=2CD ，∴14AGBC =，∵AG ∥BC ，∴△AFG ∽△BFC ，∴14AFAGBF BC ==，∴BF=4AF=24(cm)，∴AB=AF+BF=30(cm)，故答案为：30．17．0x =或6x =【解析】用因式分解法解方程即可.【详解】移项，得260,x x -=提公因式，得x(x−6)=0，∴x=0或x−6=0，解得x=0或x=6.故答案为0x =或6x =.18．x1=3，x2=1．【解析】先移项整理，再根据因式分解法即可求解．【详解】解：移项，得(x−3)2+2(x−3)=0，因式分解得(x−3)(x−3+2)=0，∴x-3=0或x-1=0，∴x1=3，x2=1．19．见解析【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．20．5.2米【详解】试题分析：作AH⊥ED交FC于点G，根据题意得出AH=BD，AG=BC，然后根据平行线截线段成比例得出答案.试题解析：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，∴FG∥EH，∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，∴AH=BD，AG=BC，∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，∵FG∥EH，∴，解得：EH=3.6，∴ED=3.6+1.6=5.2（m）答：电视塔的高ED 是5.2米．考点：平行线截线段成比例21．（1）（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）；（2）16【解析】（1）根据题意画出树状图，即可求出（m ，n ）所有的可能情况；（2）求出所选的m ，n 能在一次函数y x =-的图像上的情况数，再根据概率公式列式计算即可．【详解】解：（1）画树状图如下：则（m ，n ）所有的可能情况是（-1，0），（-1，1），（-1，2），（0，-1），（0，1）（0，2），（1，-1），（1，0），（1，2），（2，-1），（2，0），（2，1）．（2）所选的（m ，n ）能在一次函数y x =-的图像上的情况有：（-1，1），（1，-1）共2种所以，所选的(),m n 能在一次函数y x =-的图像上的概率：21126=22．（1）16.67%；（2）125元【分析】（1）设平均下降的百分率为x ，根据2021年的出厂价=2019年的出厂价×（1-下降率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论；（2）设销售单价应为y 元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为（300-2y ）台，根据每天盈利=每台的利润×每天的销售量，即可得出关于y 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设平均下降的百分率为x ，依题意得：144（1-x ）2=100，解得：x 1=16≈16.67%，x 2=116（不合题意，舍去）．答：平均下降的百分率约为16.67%．（2）设销售单价应为y 元，则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为20+()101405y -=（300-2y ）台，依题意得：（y-100）（300-2y ）=1250，整理得：y 2-250y+15625=0，解得：y 1=y 2=125．答：销售单价应为125元．23．（1）见解析；（2）9.6【分析】（1）由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由ASA 证明ODP OEG ∆≅∆，得出OP OG =，PD GE =，即可得出结论；（2）由折叠的性质得出EP AP =，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由（1）得出AP EP DG ==，设AP EP x ==，则12PD GE x ==-，DG x =，求出CG 、BG ，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】证明：（1） 四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，12AD BC ==，16CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，在ODP ∆和OEG ∆中，D E OD OE DOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，OP OG ∴=，PD GE =，DG EP ∴=，AP DG ∴=；（2）如图所示， 四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，12AD BC ==，16CD AB ==，根据题意得：ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，16BE AB ==，由（1）知AP DG =，又AP EP = ，AP EP DG ∴==，设AP EP x ==，则12PD GE x ==-，DG x =，16CG x ∴=-，16(12)4BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即222(16)(412)x x +-=+，解得：9.6x =，9.6AP ∴=．24．(1)见解析；(2)3【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO 是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直和矩形的判定证明即可；（2）利用矩形的性质求解即可．(1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AEBO 是平行四边形．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠AOB ＝90°．∴四边形AEBO 是矩形．(2)解：∵四边形AEBO 是矩形，∴EO ＝AB ，在菱形ABCD 中，AB ＝CD ，∴EO ＝CD ＝3．25．（1）3,64t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭；54t ；（2）t=12841；（3）329t =或83．【解析】（1）根据题意表示出OM 的长度，即求出P 点的横坐标，然后根据△APM ∽△ACO 即可表示出PM 和AP 的长度，即求出点P 的纵坐标和PC 的长度；（2）当CNP CBA △∽△时，PN BA ∥，可得点P 和点N 的横坐标相等，然后列方程求解即可，当CPN CBA △∽△时，分别表示出CN ，CP 的长度，根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可；（3）当四边形CPEN 是菱形时，可得CP=CN ，分别表示出CP 和CN 的长度列方程求解即可；当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，列方程求解即可；当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质得到CN=PN ，列方程求解即可．【详解】解：（1）∵点A ，B 的坐标分别为()8,0，()8,6，∴CO=6，AO=8，∴10AC ===，∵点M 以每秒1个单位的速度运动，运动的时间为t 秒，∴OM=t ，AM=AO-OM=8-t ，∴P 点的横坐标为t ，∵MP ⊥OA ，∴CO PM ∥，∴COA PMA ∠=∠，又∵CAO PAM ∠=∠，∴APM ACO △∽△，∴=PM AM AP CO AO AC =，即86810PM t AP -==，解得：364tPM =-，5104tAP =-，∴点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∴55101044t tPC AC AP ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可知点P 的坐标为364t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，由题意可知，BN=t ，∴CN=8-t ，∴点N 的坐标为()86t -，，当CNP CBA △∽△时，由题意可得PN BA ∥，∴点P 和点N 的横坐标相等，∴8t t -=，解得：t=4，∵04t <<，∴应舍去．当CPN CBA △∽△时，∴CP CNBC AC =，即584810tt-=，解得：12841t =．（3）如图所示，当四边形CPEN是菱形时，∴CP=CN ，∵CP=54t，CN=8-t ，∴584t t =-，解得：329t =；如图所示，当四边形CPNE 是菱形时，根据菱形的性质可得，PE 垂直平分CN ，∴N 点的横坐标是P 点横坐标的两倍，∴8-t=2t ，解得：83t =；如图所示，当四边形CEPN 是菱形时，根据菱形的性质可得CN=PN ，∴8t -=，整理得：2572560t t -=，解得：10t =(舍去)，2256457t =>，应舍去；综上所述，329t =或83．【点睛】此题考查了矩形的性质和动点问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意表示出点P和点N的坐标．。
北师大版九年级(上)期中数学试卷(含解析)
北师大版九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根 0 ，则a 值为( ) A ． 1 B ．1- C ．1± D ． 02．（3分）已知13a b =，那么aa b +的值为( ) A ．13 B ．23 C ．14D ．343．（3分）矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．邻边相等 4．（3分）用配方法解一元一次方程2840x x --=，经配方后得到的方程是( ) A ．2(4)20x -= B ．2(4)16x -= C ．2(4)12x -=D ．2(4)4x -= 5．（3分） 4 与 9 的比例中项是( )A ． 36B ． 6C ．6-D ．6±6．（3分）下列条件不能判定ADB ABC ∆∆∽的是( )A ．ABD ACB ∠=∠B ．ADB ABC ∠=∠ C ．2AB AD AC = D ．AD DBAC BC= 7．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，//DF AG ，若12AD DB =，则下列结论正确的是( )A ．12DE BC = B ．12DE DF = C ．14ADE ABC S S ∆∆= D ．14ADE DECF S S ∆=四边形 8．（3分）如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA PB >，若1S 表示以PA 为边的正方形的面积，2S 表示以PD ，PB 为边的矩形的面积，且PD AB =，则1S 与2S 的关系是( )A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．无法确定9．（3分）20172018-赛季中国男子篮球职业联赛， 采用双循环制 （每 两队之间都进行两场比赛） ，比赛总场数为 380 场， 若设参赛队伍有x 支， 则可列方程为( )A ．1(1)3802x x -= B ．(1)380x x -= C ．1(1)3802x x += D ．(1)380x x += 10．（3分）如图， 在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，7AB =，3AD =，4BC =． 点P 为AB 边上一动点， 若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形， 则满足条件的点P 的个数是( )A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 11．（3分）在 0 、 1 、 2 三个数字中， 任取两个， 组成两位数， 则在组成的两位数中， 是奇数的概率是 ． 12．（3分）如图， 在正方形ABCD 外侧， 作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则BFC ∠为 度 ．13．（3分）如图， 已知ABC DEF ∆∆∽，且相似比为k ，则k 的值为 ．14．（3分）如图，在矩形ABCD 中，10AB =，5BC =，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM MN +的最小值为 ．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程） 15．（9分）解方程： （1）24(1)36x +=； （2）2560y y --=；（3）22410m m --=． 16．（7分）如图，O 是菱形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，5CD cm =，3OD cm =；过点C 作//CE DB ，过点B 作//BE AC ，CE 与BE 相交于点E ． （1）求OC 的长；（2）求四边形OBEC 的面积．17．（5分）如图， 已知ABC ∆，在AB 边上找一点M ，在AC 边上找一点N ，使MB MN =，且AMN ABC ∆∆∽，请利用没有刻度的直尺和圆规， 作出符合条件的线段MN （注 ：不写作法， 保留作图痕迹， 对图中涉及到的点用字母进行标注） ．18．（5分）已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=的两实数根1x ，2x 满足12120x x x x ++>，求a 的取值范围 ． 19．（6分）党的十八大提出， 倡导富强、 民主、 文明、 和谐， 倡导自由、 平等、 公正、 法治， 倡导爱国、 敬业、 诚信、 友善， 积极培育和践行社会主义核心价值观， 这 24 个字是社会主义核心价值观的基本内容 ．其中： “富强、 民主、 文明、 和谐”是国家层面的价值目标； “自由、 平等、 公正、 法治”是社会层面的价值取向；“爱国、 敬业、 诚信、 友善”是公民个人层面的价值准则 ．小明同学将其中的“文明”、 “和谐”、 “自由“平等”的文字分别贴在 4 张硬纸板上， 制成如图所示的卡片 ． 将这 4 张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上， 从中随机抽取一张卡片， 不放回， 再随机抽取一张卡片 ． 请你用列表法或画树状图法， 帮助小明求出两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、 一次是社会层面价值取向的概率 ． （卡 片名称可用字母表示） ． 20．（6分）在图的方格纸中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O 、(2,1)A --、(1,3)B --，△111O A B 与OAB ∆是以点P 为位似中心的位似图形（1） 在图中标出位似中心P 的位置， 并写出点P 及点B 的对应点1B 的坐标；（2） 以原点O 为位似中心， 画出OAB ∆的位似图形△22OA B ，使它与OAB ∆都在位似中心的同侧且它与OAB ∆的位似比为2:1，并写出点B 的对应点2B 的坐标；（3）OAB ∆内部一点M 的坐标为(,)a b ，写出M 在△22OA B 中的对应点2M 的坐标；（4） 判断△22OA B 能否看作是由△111O A B 经过某种变换得到的图形 ． 若能， 请指出是怎样变换得到的 （直 接写答案） ．21．（6分）如图， 已知：AD DE AEAB BC AC==，求证：CAE BAD ∠=∠．22．（8分）在水果销售旺季， 某水果店购进一优质水果， 进价为 20 元/千克， 售价不低于 20 元/千克， 且不超过 32 元/千克， 根据销售情况， 发现该水果一天的销售量y （千 克） 与该天的售价x （元/千克） 满销售量y （千 克） ⋯34.8 32 29.6 28 ⋯ 售价x （元/千克） ⋯22.62425.226⋯（1） /（2） 如果某天销售这种水果获利 150 元， 那么该天水果的售价为多少元？ 23．（8分）李爱数同学发现操场中有一个不规则的封闭图形ABC 如图所示， 为了知道它的面积， 他在封闭图形内画出了一个半径为 1 米的圆， 在不远处向圆内掷石子， 结果记录如下：石子落在圆内 （含 圆上） 的次数 14 43 93 150 石子落在阴影内的次数2391186300请根据以上信息， 回答问题： （1） 求石子落在圆内的频率；（2） 估计封闭图形ABC 的面积 ．24．（8分）如图， 在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，M 是边CD 上一点， 将ADM ∆沿直线AM 对折， 得到AMM ∆．（1） 当AN 平分MAB ∠时， 求DM 的长； （2） 连接BN ，当1DM =时， 求BN 的长 ．25．（10分）在四边形ABCD 中， 对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的两条直线分别交边AB 、CD 、AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．【感知】如图①， 若四边形ABCD 是正方形， 且AG BE CH DF ===，则AEOG S =四边形 ABCD S 正方形； 【拓展】如图②， 若四边形ABCD 是矩形， 且14ABCD AEOG S S =矩形四边形，设AB a =，AD b =，BE m =，求AG 的长 （用 含a 、b 、m 的代数式表示） ；【探究】如图③， 若四边形ABCD 是平行四边形， 且3AB =，5AD =，1BE =，试确定F 、G 、H 的位置， 使直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分 ．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题目要求的） 【解答】解： 把0x =代入方程得：210a -=， 解得：1a =±，22(1)10a x x a -++-=是关于x 的一元二次方程， 10a ∴-≠， 即1a ≠，a ∴的值是1-．故选：B ．【解答】解：13a b =， ∴设a k =，3(0)b k k =≠，则134a k a b k k ==++． 故选：C ．【解答】解：矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：B ．【解答】解：284x x -=，2816164x x ∴-+=+，即2(4)20x -=， 故选：A ．【解答】解： 设它们的比例中项是x ，则249x =⨯， 6x =±． 故选：D ．【解答】解：A 、ABD ACB ∠=∠，A A ∠=∠，ABC ADB ∴∆∆∽，故此选项不合题意； B 、ADB ABC ∠=∠，A A ∠=∠，ABC ADB ∴∆∆∽，故此选项不合题意；C 、2AB AD AC =，∴AC ABAB AD=，A A ∠=∠，ABC ADB ∆∆∽，故此选项不合题意； D 、AD DBAC BC =不能判定ADB ABC ∆∆∽，故此选项符合题意 ． 故选：D ．【解答】解：//DE BC ，//DF AG ， ADE ABC ∴∆∆∽，BDF BAC ∆∆∽． 12AD DB =， 11123DE BC ∴==+，22213BD BA ==+， 21()9ADE ABC S DE S BC ∆∆∴==，24()9BDF BAC S BD S BA ∆∆==， 19ADE ABC S S ∆∆∴=，49BDF ABC S S ∆∆=，49ABC DECF S S ∆∴=四边形，14ADE DECF S S ∆∴=四边形． 故选：D ．【解答】解：P 是线段AB 的黄金分割点，且PA PB >，2PA PB AB ∴=，又1S 表示PA 为一边的正方形的面积，2S 表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积，21S PA ∴=，2S PB AB =， 12S S ∴=．故选：B ．【解答】解： 设参赛队伍有x 支， 则 (1)380x x -=．故选：B ．【解答】解：AB BC ⊥， 90B ∴∠=︒． //AD BC18090A B ∴∠=︒-∠=︒， 90PAD PBC ∴∠=∠=︒．设AP 的长为x ，则BP 长为7x -．若AB 边上存在P 点， 使PAD ∆与PBC ∆相似， 那么分两种情况： ①若APD BPC ∆∆∽，则::AP BP AD BC =， 即:(7)3:4x x -=，解得：3x =②若APD BCP ∆∆∽，则::AP BC AD BP =， 即:43:(7)x x =-，解得：4x =或 3 ．∴满足条件的点P 的个数是 2 个， 故选：B ．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分） 【解答】解： 画树状图得：∴共有 6 种情况， 是奇数的有 1 种情况，∴是奇数的概率是16．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，又ADE ∆是等边三角形，AE AD DE ∴==，60DAE ∠=︒， AB AE ∴=，ABE AEB ∴∠=∠，9060150BAE ∠=︒+︒=︒， (180150)215ABE ∴∠=︒-︒÷=︒，又45BAC ∠=︒，451560BFC ∴∠=︒+︒=︒．故答案为： 60 ．【解答】解：ABC DEF ∆∆∽，∴相似比等于：1()()()2AB AC BC a b c DE DF EF b a a c c b ++++==+++++++．12k ∴=．故答案为：12． 【解答】解：过B 点作AC 的垂线，使AC 两边的线段相等，到E 点，过E 作EN AB ⊥于N 点，交AC 于M ， 则BM MN +的最小值EN =， 10AB =，5BC =，2210555AC ∴=+=，AC ∴边上的高为10555⨯，所以45BE =，ABC ENB ∆∆∽，∴AB ACEN BE =， 8EN ∴=．故答案为：8．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程） 【解答】解： （1）24(1)36x +=，2(1)9x ∴+=， 13x ∴+=±，则12x =，24x =-；（2）2560y y --=，(8)(7)0y y ∴-+=， 则80y -=或70y +=， 解得：18y =，27y =-；（3）2a =，4b =-，1c =-， ∴△1642(1)240=-⨯⨯-=>， 则4262642m ±==． 【解答】解：（1）ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥，∴直角OCD ∆中，2222534()OC CD OD cm =-=-=；（2）//CE DB ，//BE AC ， ∴四边形OBEC 为平行四边形， 又AC BD ⊥，即90COB ∠=︒， ∴平行四边形OBEC 为矩形， 0OB D =， ()24312OBEC S OB OC cm ∴=⋅=⨯=矩形．【解答】解：如图 2 所示， 作B ∠的平分线BN ，交AC 于G ，作BN 的垂直平分线MG ，交AB 于M ，MN 即为所求 ． 【解答】解：该一元二次方程有两个实数根，∴△2(2)41440a a =--⨯⨯=-， 解得：1a ，由韦达定理可得12x x a =，122x x +=，12120x x x x ++>， 20a ∴+>， 解得：2a >-， 21a ∴-<．【解答】解： 画树状图为：共有 12 种等可能的结果数， 其中两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、 一次是社会层面价值取向的结果数为 8 种， 所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、 一次是社会层面价值取向的概率82123==． 【解答】解： （1） 点P 的位置如图所示， 点(5,1)P --，点1(3,5)B -；（2）△22OA B 如图所示 ． 点2B 的坐标(2,6)--；（3）OAB ∆内部一点M 的坐标为(,)a b ，写出M 在△22OA B 中的对应点2M 的坐标(2,2)a b ；（4）△22OA B 能看作是由△111O A B 经过平移变换得到的图形 ．△111O A B 向左平移 5 个单位， 向下平移应该单位得到△22OA B ． 【解答】证明：AD DE AEAB BC AC==， ABC ADE ∴∆∆∽， BAC DAE ∴∠=∠，BAD DAC DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠， CAE BAD ∴∠=∠．【解答】解： （1） 设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将(22.6,34.8)、(24,32)代入y kx b =+，22.634.82432k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩， y ∴与x 之间的函数关系式为280y x =-+． 当23.5x =时，28033y x =-+=．答： 当天该水果的销售量为 33 千克 ．（2） 根据题意得：(20)(280)150x x --+=， 解得：135x =，225x =．2032x ， 25x ∴=．答： 如果某天销售这种水果获利 150 元， 那么该天水果的售价为 25 元 ．【解答】解： （1） 观察表格得： 随着投掷次数的增大， 石子落在圆内的频率值稳定在13；（2） 设封闭图形的面积为a ，根据题意得：13a π=， 解得：3a π=，则封闭图形ABC 的面积为3π平方米 ．【解答】解： （1） 由折叠性质得：ANM ADM ∆≅∆， MAN DAM ∴∠=∠，AN 平分MAB ∠，MAN NAB ∠=∠， DAM MAN NAB ∴∠=∠=∠， 四边形ABCD 是矩形， 90DAB ∴∠=︒， 30DAM ∴∠=︒，3tan 3tan 30333DM AD DAM ∴=∠=⨯︒=⨯=；（2） 如图， 作NE AB ⊥于E ，延长EN 交CD 于F ． 则NF CD ⊥．90MFN MNA AEN ∠=∠=∠=︒，90MNF ANE ∴∠+∠=︒，90ANE NAE ∠+∠=︒， FNM NAE ∴∠=∠， MNF NAE ∴∆∆∽， ∴MN MF FNAN NE AE ==，设MF x =，FN y =， 则有1331x yy x ==-+，解得0.8x =，0.6y =，1.8AE ∴=，2.4NE =， 2.2BE AB AE =-=222226522245BN BE NE ∴=+=+=【解答】解： 【感知】如图①， 四边形ABCD 是正方形，45OAG OBE ∴∠=∠=︒，OA OB =，在AOG ∆与BOE ∆中，AG BE AOG BOE AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOG BOE ∴∆≅∆，14AOB ABCD AEOG S S S ∆∴==正方形四边形；故答案为：14；【拓展】如图②， 过O 作ON AD ⊥于N ，OM AB ⊥于M ，14AOB ABCD S S ∆=矩形，14ABCD AEOG S S =矩形四边形，AOB AEOG S S ∆∴=四边形，AOB BOE AOE S S S ∆∆∆=+，AOG AOE AEOG S S S ∆∆=+四边形，BOE AOG S S ∆∆∴=，11112224BOE S BE OM m b mb ∆===，11112224AOG S AG ON AG a AG a ∆===，∴1144mb AG a =， mbAG a∴=；【探究】如图③， 过O 作KL AB ⊥，PQ AD ⊥， 则2KL OK =，2PQ OQ =，ABCD S AB KL AD PQ =⋅=⋅平行四边形， 3252OK OQ ∴⨯=⨯， ∴53OK OQ =， 14AOB ABCD S S ∆=平行四边形，14AEOG ABCD S S =四边形平行四边形，AOB AEOG S S ∆∴=四边形，BOE AOG S S ∆∆∴=，11122BOE S BE OK OK ∆==⨯⨯，12AOG S AG OQ ∆=，∴11122OK AG OQ ⨯⨯=，∴53OK AG OQ ==， ∴当53AG CH ==，1BE DF ==时， 直线EF 、GH 把四边形ABCD 的面积四等分 ．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷附答案详解
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列命题中，真命题是（ ）A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形 2．如图，菱形ABCD 中，B 60∠=，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．173．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ＞1且k≠0 D ．k ＜1且k≠0 4．一个袋子里装有8个球，其中6个黄球2个红球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（ ） A ．18 B ．16 C ．14 D ．345．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A 、250(1+x)=182B ．50+50(1+x)+250(1+x)=182C 、50(1+2x)＝182D ．50+50(1+x)(1+2x)=1826．矩形具有而菱形不具有的性质是( )A ．对角线相等B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等7．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )A ．等腰梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．矩形 8．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 9．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ）①AC BD ⊥；②90BAD ∠=；③AB BC =；④AC BD =．A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③二、填空题 10．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 11．方程(x ＋2)(x －1)=0的解为___________________．12．已知23m p n q ==(n+q≠0)，则m p n q++＝_______________． 13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC 的长为 。
九年级上学期数学期中考试试卷含答案(共3套,北师大版)
九年级上学期数学期中质量评估试卷[时间：90分钟分值：100分]第Ⅰ卷(选择题，共36分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．在下列方程中，一元二次方程是()A．x2－2xy＋y2＝0 C．x2－2x＝3B．x(x＋3)＝x2－11D．x＋x＝02．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是()A．对角线相等C．对角线互相垂直B．对角线互相平分D．邻边互相垂直3．用配方法解方程x2＋4x－6＝0，下列配方正确的是()A．(x＋4)2＝22 C．(x＋2)2＝8B．(x＋2)2＝10 D．(x＋2)2＝64．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计袋子中大约有红球()A．16个B．20个C．25个D．30个5．下面有关一元二次方程的表述正确的是()A．若x2＝9，则x＝3B．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0的一个根为2，则另一个根为－4C．一元二次方程x2－x＋1＝0的两实数根之和为1D．一元二次方程x＋6x＋9＝0只有一个实数根x＝36．现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，某家快递公司今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是()A．6.3(1＋2x)＝8 C．6.3(1＋x)2＝8B．6.3(1＋x)＝8D．6.3＋6.3(1＋x)＋6.3(1＋x)2＝82B．C．D．a7．如图1，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，如果其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率为()1A.图1157412128．若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是()A．0C．2B．1D．39．关于x的一元二次方程x2－4x＋2＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有无实数根，无法判断10．如图2，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝38°，则∠E的值是()A．19°C．20°B．18°D．21°图211．定义一种新运算：♣b＝a(a－b)，例如4♣3＝4×(4－3)＝4，若x♣2＝3，则x的值() A．x＝3C．x1＝3，x2＝1B．x＝－1D．x1＝3，x2＝－112．如图3，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过点O且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于点E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为()①DC ＝3OG ；②OG ＝ BC ；③△OGE 是等边三角形；④ AOE ＝ S26 矩形 ABCD图 31 1 .△SA ．1C ．3B ．2D ．4第Ⅱ卷 (非选择题，共 64 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分)13．如图 4，在菱形 ABCD 中，对角钱 AC 与 BD 相交于点 O ，AC ＝8，BD ＝6，OE ⊥BC ，垂足为点 E ，则 OE ＝________.图 414．若方程 2x －4＝0 的解也是关于 x 的方程 x 2＋mx ＋2＝0 的一个解，则 m 的值________．15．合作小组的 4 名同学坐在课桌旁讨论问题，学生 A 的座位如图 5 所示，学生 B ，C ，D 随机坐到其他三个座位上，则学生 B 坐在 2 号座位的概率为________．图 516．如图 6，在矩形 ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，P 是 AD 上的动点，PE ⊥AC 于点 E ，PF ⊥BD 于点 F ，则 PE ＋PF ＝________.图 6三、解答题(本大题共 7 个小题，共 52 分)17．(5 分)解下列方程：2x 2－4x ＋1＝0.218．(6分)如果一元二次方程x2－3x＋1＝0的两实数根分别为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值．(1)x1＋x22；(2)(x1－2)(x2－2)．19.(7分)为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：(1)求此次调查中接受调查的人数；(2)求此次调查中结果为非常满意的人数；(3)兴趣小组准备从调查结果为不满意的4名市民中随机选择2名进行回访，已知4名市民中有2名来自甲区，另2名来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．图720．(8分)如图8，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的点F处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若 CD ＝2，∠ADB ＝30°，求 BE 的长．图 821.(8 分)在“文博会”期间，某公司展销如图 9 所示的矩形工艺品，该工艺品长 60 cm ，宽 40 cm ，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．(1)若丝绸花边的面积为 650 cm 2，求丝绸花边的宽度；(2)已知该工艺品的成本是 40 元/件，如果以单价 100 元/件销售，那么每天可售出 200 件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是 2 000 元，根据销售经验，如果将销售单价降低 1 元，每天可多售出 20 件，请问该公司每天所获利润能否达到 22 500 元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由．图 922．(9 分)已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋3x ＋m －1＝0 有两个实数根 x 1，x 2.(1)求实数 m 的取值范围；(2)是否存在实数 m ，使得 2(x 1＋x 2)＋10＋x 1x 2＝0 成立？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由．23．(9 分)【阅读发现】如图 10①，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ABE 和ADF ，连接 ED 与 FC 交于点 △M ，则图中 ADE ≌△DFC ，可知 ED ＝FC ，求得∠DMC ＝________.【拓展应用】如图10②，在矩形ABCD(AB>BC)的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连接ED与FC交于点M.(1)求证：ED＝FC.(2)若∠ADE＝20°，求∠DMC的度数．①②图1013. 14.－3 17．x 1＝2＋ 219．(1)50 人 (2)18 人 (3) 20．(1)略(2) 22．(1)m ≤13(2)存在，m ＝－3，x 2＝参考答案期中质量评估试卷1．C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A9． A 10.A 11.D 12.C125 15. 1316. 60 132－ 22 218．(1)7 (2)－11 64 3 321．(1)5 cm(2)当售价定为 75 元时，能达到利润 22 500 元．，理由略423．【阅读发现】90° 【拓展应用】(1)略 (2) 100°，北师大版九年级（上册）期中数学试卷一、选择题（本大题共6分，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．）1．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和32．2014年底，我国核电装机容量大约为2000万千瓦，到2016年底我国核电装机容量将达到约3200万千瓦．若设平均每年的增长率为x，则可列方程为（）A．2000（1+x）=3200B．2000（1+2x）=3200C．2000（1+x）2=3200D．2000（1+x2）=32003．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠04．已知A．，则B．C．的值是（）D．5．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°AB=在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（），折叠后，点C落A．B．3C．2D．2落（F二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．把方程x（x﹣1）=2（x﹣2）化为一元二次方程的一般形式为．8．把方程x2+4x+1=0配方成（x+m）2=n的形式，配方后所得方程是．9．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22=．10．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是．11．D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，添加一个条件（只能填一个）即可．12．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分，）13．（6分）解方程：x2+8x﹣9=0．14．（6分）已知2是关于x的方程x2+ax+a﹣3=0的一个根，求a的值及方程的另一个根．15．6分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．16．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．17．（6分）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．四、（本大题共4小题，每小题8分，满分32分，）18．（8分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．19．（8分）如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE ∽△BAD．20．（8分）某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？l l l21．（8分）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．五、（本大题共10分）22．（10分）如图，在△Rt ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．六、（本大题共12分）23．（12分）已知：1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、2与l3、3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．顺时针旋转 30° 到∠AE ′D ′（如图 2），点 D ′在直线 l 3 上，以 AD ′为边在 E ′D ′左侧作菱形 AB ′C ′D ′，使 B ′，（1）如图 1，正方形 ABCD 为“格线四边形”，则正方形 ABCD 的边长为．（2）矩形 ABCD 为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形 ABCD 的宽．（3）如图 1，EG 过正方形 ABCD 的顶点 D 且垂直 l 1 于点 E ，分别交 l 2，l 4 于点 F ，G ．将∠AEG 绕点 A得C ′分别在直线 l 2，l 4 上，求菱形 AB ′C ′D ′的边长．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6分，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项．）1．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．2014年底，我国核电装机容量大约为2000万千瓦，到2016年底我国核电装机容量将达到约3200万千瓦．若设平均每年的增长率为x，则可列方程为（）A．2000（1+x）=3200B．2000（1+2x）=3200C．2000（1+x）2=3200D．2000（1+x2）=3200【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】本题可先用x表示出2015年的装机容量，再根据2015年的装机容量表示出2016年的绿地面积的方程，令其等于3200即可．【解答】解：依题意得：2015年的装机容量为：2000（1+x），则2016年的装机容量为：2000（1+x）2=3200．故选C．【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目常常要先列出前一年的装机容量，再根据题意列出所求年份的装机容量的方程．3．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k≠0D．k＞﹣1且k≠0【考点】根的判别式．【分析】方程有两个不相等的实数根，则＞△0，由此建立关于k的不等式，然后可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知k≠△0，=4+4k＞0解得k＞﹣1且k≠0．故选D．【点评】总结：△1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）＞△0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜△0⇔方程没有实数根．2、一元二次方程的二次项系数不为0．4．已知A．，则B．C．的值是（）D．【考点】比例的性质．【分析】先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．【解答】解：令a，b分别等于13和5，∵，∴a=13，b=5∴==；故选D．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．5．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．【分析】由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，AC⊥BD，又由E是AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为48cm，∴AD=12cm，AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE=AD=6（cm）．故选：C．【点评】此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB=在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（），折叠后，点C落A．B．3C．2D．2【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．【解答】解：连接CC1．在△Rt ABE中，∠BAE=30°，AB=，∴BE=AB×tan30°=1，AE=2，∠AEB1=∠AEB=60°，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴∠C1AE=∠AEB=60°，∴△AEC1为等边三角形，同理△CC1E也为等边三角形，∴EC=EC1=AE=2，∴BC=BE+EC=3，故选B．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．把方程x（x﹣1）=2（x﹣2）化为一元二次方程的一般形式为x2﹣3x+4=0．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】把方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）形式即可．【解答】解：x（x﹣1）=2（x﹣2），x2﹣x=2x﹣4，x2﹣x﹣2x+4=0，x2﹣3x+4=0．故答案为：x2﹣3x+4=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．8．把方程x2+4x+1=0配方成（x+m）2=n的形式，配方后所得方程是（x+2）2=3．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先移项得到x2+4x=﹣1，再把方程两边加上4，然后把方程左边利用完全平方公式写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2+4x=﹣1，x2+4x+4=3，（x+2）2=3．故答案为（x+2）2=3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握完全平方公式是理解配方法得关键．9．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22=﹣3．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1•x2=﹣1，再变形x12x2+x1x22得到x1•x2•（x1+x2），然后利用整体代入思想计算即可．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1•x2=﹣1，所以x12x2+x1x22=x1•x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．故答案为﹣3【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．10．箱子里放有2个黑球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个球，恰好为1个黑球和1个红球的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为1个黑球和1个红球的概率．【解答】解：由题意可得，故恰好为1个黑球和1个红球的概率是：，故答案为；．【点评】本题考查列表法和树状图法，解题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．11．D、E分别在△ABC的边AB、AC上，要使△AED∽△ABC，添加一个条件∠AED=∠B（只能填一个）即可．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据∠AEB=∠B和∠A=∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AEB=∠B即可以求证△AED ∽△ABC．【解答】解：∵∠AEB=∠B，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AEB=∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案为：∠AEB=∠B．【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形对应角相等的性质，本题中添加条件∠AEB=∠B并求证△AED∽△ABC是解题的关键．12．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在△Rt END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分，）13．解方程：x2+8x﹣9=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．【解答】解：由原方程，得（x﹣8）（x﹣1）=0，解得x1=8，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．14．已知2是关于x的方程x2+ax+a﹣3=0的一个根，求a的值及方程的另一个根．【考点】根与系数的关系．【分析】将x=2代入方程x2+ax+a﹣3=0可得a的值，再将a的值代回方程，解方程得出另一个根．【解答】解：将x=2代入方程x2+ax+a﹣3=0得4+2a+a﹣3=0，解得a=﹣，方程为x2﹣x﹣=0，即3x2﹣x﹣10=0，．解得设 x 1=﹣ ，x 2=2．所以另一个根为﹣ ．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用根与系数的关系，可以使运算简便．15．如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是为 E ，F ，并且 DE=DF ．求证：四边形 ABCD 是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE ≌△CDF ，再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形 ABCD 是菱形．【解答】证明：在△ADE 和△CDF 中，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED=∠CFD=90°又∵DE=DF ，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）∴DA=DC ，∴平行四边形 ABCD 是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法，解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．16．如图，在菱形 ABCD 中，点 E 为 AB 的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图 1，在 CD 上找点 F ，使点 F 是 CD 的中点；（2）如图 2，在 AD 上找点 G ，使点 G 是 AD 的中点．【考点】菱形的性质；作图—复杂作图．【分析】（1）过点E，作EF∥AD交CD于点F，则点F是CD的中点；（2）连接BD，过点E作EG∥BD交AD于点G，则点G是AD的中点．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：【点评】本题考查的是作图的应用，掌握菱形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．17．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．【考点】列表法与树状图法；分式方程的应用．【分析】（1）由一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，根据概率公式直接求解即可求得答案；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（3）根据概率公式列方程，解方程即可求得n的值．【解答】解：（1）∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，∴摸出1个球是白球的概率为；（2）画树状图、列表得：白红1红2第二次第一次白红1红2白，白白，红1白，红2红1，白红1，红1红1，红2红2，白红2，红1红2，红2∴一共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）由题意得：，解得：n=4．经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，∴n=4．【点评】此题考查了概率公式与用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．四、（本大题共4小题，每小题8分，满分32分，）18．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；E “（2）求证：不论 m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】（1）直接把 x=1 代入方程 x 2+mx +m ﹣2=0 求出 m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【解答】解：（1）根据题意，将 x=1 代入方程 x 2+mx +m ﹣2=0，得：1+m +m ﹣2=0，解得：m= ；（2）∵ △=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m +8=（m ﹣2）2+4＞0，∴不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点评】此题考查了一元二次方程 ax 2+bx +c=0（a ≠△0）的根的判别式=b 2﹣4ac ：当 ＞△0，方程有两个不相等的实数根；当 △=0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有实数根．19．如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点， 为 AD 上一点，若∠DAC=∠B ，CD=CE △，试说明 ACE ∽△BAD ．【考点】相似三角形的判定．【分析】由 CE=CD ，利用等边对等角得到一对角相等，利用等角的补集相等得到一对角相等，再由已知角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】证明：∵CE=CD ，∴∠CED=∠CDE ，∴∠AEC=∠ADB ，∵∠DAC=∠B ，∴△ACE ∽△BAD ．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．20．某市百货大楼服装柜在销售中发现： 七彩”牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了迎接元 旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件（童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．【解答】解：设每件童装应降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=10，x2=20，因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，所以x只取20．答：每件童装应降价20元．【点评】考查了一元二次方程的应用，首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．21．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．【解答】解：（△1）∵ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．五、（本大题共10分）22．（10分）（2011•河南）如图，在△Rt ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t 秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【考点】菱形的性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形．【分析】（△1）在DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使AEFD为菱形则需要满足的条件及求得；（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AE•cos60°列式得．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．【解答】（△1）证明：在DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t．又∵AE=t，∴AE=DF．（2）解：能．理由如下：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形．∵AB=BC•tan30°=5=5，∴AC=2AB=10．∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．若使AEFD为菱形，则需AE=AD，即t=10﹣2t，t=．即当t=时，四边形AEFD为菱形．（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在△Rt AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE．即10﹣2t=2t，t=．②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°．∵∠A=90°﹣∠C=60°，∴AD=AE•cos60°．即10﹣2t=t，t=4．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．综上所述，当t=秒或4秒时，△DEF为直角三角形．【点评】本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐．六、（本大题共12分）23．（12分）（2016秋•崇仁县校级期中）已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为．（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A 顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．【考点】四边形综合题．【分析】（△1）利用已知得出AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE=1，BF=3，由四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，∠ABE+∠FBC=90°，根据∠ABE+∠EAB=90°，得到∠FBC=∠EAB，然后分类讨论，求得矩形的宽．（3）首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，∠AEO=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED=90°∴∠DGC=90°，。
2023年北师大版九年级上册数学期中综合测试试卷及答案
期中检测卷
【探究证明】 (2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点 G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE 与AM之间的关系是否仍然成立?并说明理由．
图1
图2
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期中检测卷
解：(2)仍然成立． 证明：延长AM至点H，使得AM＝MH，连接FH， BH． ∵M是BF的中点，∴BM＝FM， ∴四边形ABHF是平行四边形， ∴AB＝HF，AB∥HF， ∴AD＝FH，∠BAM＝∠FHA．
是2，则点B的坐标是( D )
A．(2，3)
B．(3，2)
C．(2，－3)
D．(3，－2)
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期中检测卷
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的 顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA， OB的长分别是一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个 根(OA＞OB)，在直线BC上取点P，使△PCD为等 腰三角形，则点P的坐标为( D )
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期中检测卷
由题易得∠EAD＝45°＋90°＝135°， ∠FHA＋∠FAM＝∠BAM＋FAM＝∠FAG＝45°， ∴∠AFH＝135°，∴∠EAD＝∠AFH， ∴△EAD≌△AFH(SAS)， ∴DE＝AH，∠AED＝∠FAH． 又∵AM＝MH，∴DE＝2AM． ∵∠EAN＋∠FAH＝90°，∴∠EAN＋∠AED＝90°， ∴∠ANE＝90°，即DE⊥AM．
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(50－x) 元．(用含x的代数式表示)
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期中检测卷
(2)在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品 降价多少元时，商场日盈利为2100元? (3)商场能否每天盈利2300元?若能，请求出每件商 品降价多少元；若不能，请说明理由．
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北师大版九年级数学上-第一学期光祖中学期中测试卷
初中数学试卷2016-2017学年第一学期光祖中学期中测试卷九年级数学(问卷)一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案）1、已知y x 32=，则下列比例式成立的是（ ）A 、32y x =B 、23y x = C 、32=y x D 、yx 32= 2、下列主视图正确的是（ ）3、用配方法解一元二次方程0542=--x x 的过程中，配方正确的是（ ）A 、 9)2(2=-xB 、1)2(2=-xC 、 9)2(2=+xD 、1)2(2=+x4、某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回， 待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中2只有标志，从 而估计该地区有黄羊（ ）A 、200只B 、 400只C 、800只D 、1000只5、 如下图，A 为反比例函数xk y =的图象上一点，AB 垂直x 轴于B ，若S △AOB ＝2，则k 的 值为（ ）A 、4B 、2C 、-2D 、1（第9题）(第5题) （第6题）6、如上图，在直角三角形ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形， 则x 的值为（ ）A 、5B 、6C 、7D 、87、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元。
下列所列方 程中正确的是( )A 、128%)21(168=-aB 、128%)1(1682=+aC 、128%)1(1682=-aD 、128%)1(1682=-a8、 如下图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，如果AD=6，BD=2，那么CD 等于( )A 、2B 、4C 、32D 、23（第8题）9、如上图是一个几何体的三视图，根据图示，该几何体的体积为（ ）A 、12πB 、24πC 、36πD 、10π10、下列命题正确的个数有 ( )① 两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；② 对角线相等的四边形是矩形；③ 任意四边形的中点四边形是平行四边形；④ 两个相似多边形的面积比为2:3，则周长比为4:9.A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11、反比例函数xy 6-=图象上有三个点),(11y x ，),(22y x ，),(33y x ，其中 3210x x x <<<，则321,,y y y 的大小关系是( )A 、 321y y y <<B 、 312y y y <<C 、213y y y <<D 、123y y y <<12、四边形ABCD 、AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH ⊥DG 与H,若AB=4，AE=2时，则线段 BH 的长是( )A 、 24B 、16C 、5108 D 、2103 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，每小题只有一个正确答案） 13、如图，同一时刻在阳光照射下，树AB 的影子BC=3m ，小明的影子m C B 5.1=''，已知小明的身高m B A 7.1=''，则树高 AB=14、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点0.6 处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列各组线段中，是成比例线段的是（）A ．1cm ，3cm ，4cm ，6cmB ．2cm ，3cm ，4cm ，6cmC ．3cm ，5cm ，9cm ，13cmD ．3cm ，5cm ，9cm ，12cm2．用配方法解一元二次方程2420x x -+=，下列配方正确的是（）A ．()222x +=B ．2(2)2x -=-C ．2(2)2x -=D ．2(26)x -=3．若四条不相等的线段a ，b ，c ，d 满足a cb d=，则下列式子中，成立的是（）A ．b ca d=B ．(0)a c mm b d m +=>+C ．a b d cb d--=D ．a c cb d d+=+4．四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A ．AB=CDB ．AB=BCC ．AC ⊥BDD ．AC=BD5．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定6．小兰和小潭分别用掷A 、B 两枚骰子的方法来确定()P x,y 的位置，她们规定：小兰掷得的点数为x ，小谭掷得的点数为y ，那么，她们各掷一次所确定的点落在已知直线y 2x 6=-+上的概率为()A ．636B ．118C ．112D ．197．观察下列表格，一元二次方程2 1.1x x -=的一个近似解是（）x1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.92x x-0.560.750.961.191.441.71A ．0.11B ．1.19C ．1.73D ．1.678．如图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形土地ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分钟花草，要使每一块花草的面积都为278cm ，那么通道宽应设计成多少m ？设通道宽为xm ，则由题意列得方程为（）A ．()()302078x x --=B ．()()30220278x x --=C ．()()30220678x x --=⨯D ．()()302202678x x --=⨯9．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ，若BF=12，AB=10，则AE 的长为（）A ．13B ．14C ．15D ．1610．如图，已知正方形ABCD 的顶点()1,3A ，()1,1B ，()3,1C ，规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形ABCD 的对角线的交点M 的坐标为（）A ．()2018,2-B ．()2018,2--C ．()2017,2--D ．()2017,2-二、填空题11．方程24x x =-的根是_____.12．如图，在三角形ABC 中，点E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且有EF ∥BC ，如果45EB AB =，则ACFC＝________．13．如图，正方ABCD 形和正方形BEFG 的边长分别为1和3，点C 在边BC 上，连接DE ，DG .EG ，则DEG ∆的面积为____．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，点E 是BC 边上一点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE =_____．15．如图，△ADE ∽△ABC ，AD ＝6，AE ＝8，BE ＝10，CA 的长为__．16．抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，那么出现正面的频率是____．三、解答题17．先化简，再求值：22319369x x x x x x x x +--⎛⎫+÷⎪--+⎝⎭，其中x 满足x 2﹣2x ﹣3＝0．18．用合适的方法解方程：（1）（2t +3）2＝3（2t +3）（2）（2x ﹣1）2＝9（x ﹣2）2（3）2x 2＝5x ﹣1（4）x 2+4x ﹣5＝019．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．类别频数（人数）频率小说0.5戏剧4散文100.25其他6合计1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）八年级一班有多少名学生？（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．20．已知关于x 的一元二次方程22(1)(2)0x m x m m ---+=.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若2x =-是此方程的一个根，求方程的另一个根.21．如图，ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 中点，F 是AC 中点，AN 是ABC ∆的外角MAC ∠的角平分线，延长DF 交AN 于点E ，连接CE .（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）填空：①若4BC AB ==，则四边形ABDE 的面积为_______；②当ABC ∆满足______时，四边形ADCE 是正方形.22．香香蛋糕店开业在即，老板香香要求员工通过微信转发进行宣传，于是蛋糕店开业的消息朋友圈快速流转起来．（1）开始只有香香和员工共9个人知道开业消息，两天后知道此店开业消息的人数达到1089人，如果每个人每天转发的人数相同，那么每个人每天把消息传递了几个人？（2）老板香香根据经验估计；该店将进货价格为8元的蛋糕按每个10元售出，每天可销售200个，如果这种蛋糕每涨价1元，其销售量就减少20个，香香想通过卖这种蛋糕每天获得800元利润，他能梦想成真吗？23．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且满足AB BC ACAD DE AE==，求证：△ABD ∽△ACE ．24．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，∠APB ＝∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；（2）若改变（1）中的条件，使∠APB ＝∠CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状（不必证明）．25．（1）操作发现如图1，在五边形ABCDE 中，AB AE =，90B BAE AED ∠=∠=∠=︒，45CAD ∠=︒，试猜想BC ，CD ，DE 之间的数量关.小明地过仔细思考，得到如下解题思路：将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒至AEF ∆.由90B AED ∠=∠=︒，得180DEF ∠=︒，即点D ,E ，F 三点共线，易证ACD ∆≌_____，被BC ，CD ，DE 之间的数量关系是_______；（2）类比探究如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在边CB ，DC 的延长线上，12EAF BAD ∠=∠，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并给出证明.（3）拓展延伸如图3，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若2BD =，3CE =，则DE 的长为_____.参考答案1．B 2．C 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．D 10．C 11．0和-4.12．5413．9214．103或5．15．24．16．0.4517．2229(9)(3)x x x x ----，38018．（1）t 1＝﹣32，t 2＝0；（2）x 1＝75，x 2＝5；（3）12517517,44x x -==；（4）x 1＝1，x 2＝﹣519．（1）40（2）15%（3）1620．（1）证明见解析；（2）方程的另一个根为0或4．21．（1）见解析；（2）①②答案不唯一，如当90BAC ∠=︒时，或者，当45ABC ∠=︒时，22．（1）每个人每天把消息传递了10个人；（2）他不能梦想成真，不能获得每天获得800元利润23．见解析．24．（1）四边形EFGH 是菱形，理由见解析；（2）四边形EFGH 是正方形，理由见解析25．（1）AFD ∆，CD DE BC =+；（2）EF ，BE ，DF 之间的数量关系是EF DF BE =-；证明见解析；（3。
北师大版九年级上册数学期中测试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，连接CE，连接DE交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1； 12．20； 13．18； 14．25%； 15．5； 16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．北师大版九年级上册数学期中考试试题（带答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：92．一个布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是白球的概率是（）A．B．C．D．3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．对一元二次方程x2﹣ax=3进行配方时，两边同时加上（）A．）2 B．C．D．a25．已知x：y=3：2，则下列各式中不正确的是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的袋中，有若干个白色乒乓球和4个黄色乒乓球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回袋中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在40%，那么，估计袋中白色乒乓球的个数为（）A．6 B．8 C．10 D．127．如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（）A．24 B．12 C．8 D．68．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0 B．2 C．7 D．2或79．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°10．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．一元二次方程x2+2x+a=0有实根，则a的取值范围是．12．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是cm2．13．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB=2米，BC=18米，则旗杆CD的高度是米．14．某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是．15．在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．16．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．8分）解方程：（1）x2﹣3x=0（2）3x2+2x﹣5=0．18．8分）如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）．（1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1；（2）A1的坐标是，C1的坐标是．19．8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．20．（8分）如图，某校在开展积极培育和践行社会主义核心价值观的活动中，小光同学将自己需要加强的“文明”、“友善”、“法治”、“诚信”的价值取向文字分别贴在4张质地、大小完全一样的硬纸板上，制成卡片，随时提醒自己要做个遵纪守法的好学生．小光同学还把卡片编成一道数学题考同桌小亮：将这4张卡片洗匀后背面朝上放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取另一张卡片，让小亮同学用列表法或画树状图法，求出两次抽到卡片上的文字含有“文明”、“诚信”价值取向的概率（卡片名称可用字母表示）．21．8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．22．10分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E 为AB的中点，连接CE，连接DE交AC于F．（1）求证：△ADC∽△ACB；（2）若AD=4，AB=6，求的值．23．（10分）某超市在销售中发现：“宝宝乐”牌童装进价为60元，当定价为100元时，平均每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：如果每件童装降价5元，那么平均每天就可多售出10件，要想平均每天盈利1200元，那么每件童装应该降价多少元？24．（12分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作后，余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，例如：如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）理解与判断：邻边长分别为1和3的平行四边形是阶准菱形；邻边长分别为3和4的平行四边形是阶准菱形；（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为2，a（a＞2），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=7b+r，b=4r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．25．1如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A；2．C；3．D；4．A；5．D；6．A；7．B；8．A；9．D；10．B；二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共211．a≤1； 12．20； 13．18； 14．25%； 15．5； 16．；三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．18．19．20．21．22．23．24．25．数学学习——了解每道题中蕴含的规律对于很多中学生来讲,数学似乎都是他们的“硬伤”。
北师版九上数学期中检测试卷(含答案)
北师版九上数学期中检测试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟.分）1．3的相反数是（）A ．3B ．3C ．33D ．32．某细菌的直径为0.0000000096毫米，数据0.0000000096用科学记数法表示为（）A ．8106.9 B ．81096.0 C ．9106.9 D ．10106.9 3．我们根据一些简单的函数方程式，就可以在坐标系中绘制出形状优美、寓意美妙的曲线．下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）A ．三叶玫瑰线B ．四叶玫瑰线C ．心形线D ．笛卡尔叶形线4．下列运算中，计算结果正确的是（）A ．62342a a B ． 222422b ab a b a C ．236a a a D ．3322 a a 5．如图，BN CM //， 45C ， 20B ，则A 的度数为（）A ． 45B ． 35C ．25D ．20第5题图第7题图第8题图6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为21，下列说法错误的是（）A ．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次B ．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上C ．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上D ．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的7．如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“六”字对面的字是（）A ．十B ．月C ．五D ．神8．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB 的长为50米，AB 与AC 的夹角为 24，则高BC 是（）A ． 24sin 50米B ． 24cos 50米C ．24sin 50米D ．24cos 50米9．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（）A ．44322456y x y x B ．24354426y x y x C ．24234465y x y x D ．24324456y x y x 10．某旅游景区内有一块三角形绿地ABC （BC AC ），现要在绿地ABC 内建一个休息点O ，使它到AB ，BC ，AC 三边的距离相等，下列作法正确的是（）A．B ．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式： 3632a a ．12．比较大小：'1552 15.52．（填“ ”“ ”或“ ”）13．若代数式2x x有意义，则x 的取值范围是．14．不等式组x x x x 53532的解集为．15．如图，点P 在反比例函数xy 2的图象上，x PA 轴于点A ，则PAO 的面积是．16．在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色．小雅说：“红色球在我手上”；小培说：“红色球不在我手上”；小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”．三个同学只有一个说对了，则红色球在的手上．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算： 0220244123130tan 3．18．先化简，再求值： 22224x y x y x y y，其中1 x ，1 y ．第15题图19．如图，在平面直角坐标系xOy 中， 4,1A ， 2,3B ，若OAB 绕点O 逆时针旋转 90后，得到11B OA（A 对应点是1A ，B 对应点是1B ）．（1）画出11B OA ；（2）求旋转过程中A 点的运动路径长（结果保留 ）．20．为提升学生的核心素养，长沙市某教育教学联合体开展了城乡读书交流活动．该教育教学联合体的某成员校号召全体师生积极捐书．为了解所捐书的种类，校团委对部分书籍进行了随机抽样调查，所捐书籍分为四类：文学类（记作A 类），艺术类（记作B 类），科普类（记作C 类），其他类（记作D 类）．学生张华根据收集的数据绘制了如图①，图②所示的不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：（1）本次随机抽样调查的书籍的本数是本，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中B 类所对应扇形的圆心角的度数是 ；（3）小钟和小雅参与了本次捐书活动，请用列表或画树状图的方法，求他们捐的书是同类书的概率．21．如图，DB AE ，DB CF ，垂足分别是点E ，F ，BF DE ，CD AB ．（1）求证：C A ；（2）若2 AE ，4 DC ，求DF 的长．22．2023年11月，第一届全国学生（青年）运动会在广西举行，“壮壮”和“美美”作为运动会吉祥物也受到了人们的强烈喜爱．某超市在2023年9月份销售吉祥物毛绒玩具共256个，10月、11月销售量持续走高，在售价不变的基础上，11月份的销售量达到400个．（1）求10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率；（2）若吉祥物毛绒玩具每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年12月进行降价促销，经调查发现，若吉祥物毛绒玩具价格在11月的基础上，每个降价1元，月销售量可增加4个，当吉祥物毛绒玩具每个降价多少元时，出售吉祥物毛绒玩具在12月份可获利4200元？23．如图，在四边形ABCD 中，DC AB //，CD AB ，对角线AC ，BD 交于点O ，过点C 作AB CE 交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：OC OA ；（2）若ACE ABO ，求证：四边形ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，若菱形ABCD 的面积为40，8 BD ，求OE 的长．24．我们将抛物线c bx ax y C 21:（0 a ，0 b 且b a ）与抛物线a cx bx y C 22:称为“美轮美奂抛物线”．例如：抛物线32:21 x x y C 与抛物线132:22 x x y C 就是一组“美轮美奂抛物线”．根据该约定，解答下列问题：（1）已知抛物线12:21 x x y C ，直接写出其“美轮美奂抛物线”2C 的解析式；（2）若抛物线c ax ax y C 21:的顶点在其“美轮美奂抛物线”2C 的图象上，抛物线2C 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；（3）在同一平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y C 21:与y 轴交于点P ，其“美轮美奂抛物线”2C 与y 轴交于点Q （P 在Q 上方）．小雅发现无论a ，b 为何值时，两抛物线始终有一交点G 在与x 轴垂直的某一固定直线上运动．若GPQ 是以PQ 为斜边的等腰直角三角形，当acb a a ac b a 242时，求抛物线2C 截x 轴得到的线段长度的取值范围．25．如图，四边形ABCD 为O ⊙的内接四边形，对角线AC 为直径，过点D 作AC DE 于点E ，交BC 于点F ．（1）若 33CBD ，求CDF 的度数；（2）连接BD ，若2:1: BF CF ，求DB DF :的值；（3）在（2）的条件下，①记CEF ，CDE ，ADE 分别为1S ，2S ，3S ，若3122S S S ，求ACB 的度数；②若BD ，AC 交于点P ，m CEPE，试用含m 的式子表示BDF cos ．备用图一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分参考答案）题号12345678910答案ACBACCAADD二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．()213-a 12．>13．0≥x 且2≠x 14．21<<x 15．116．小培三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：原式()143233332--+--⨯=………………………………………………………（4分）132493--+-=63--=……………………………………………………………………………（6分）18．解：原式()[]y y x y xy x 44442222÷--++=…………………………………………………（2分）()yy xy 4842÷+=y x 2+=………………………………………………………………………………（4分）当1=x ，1-=y 时，原式121-=-=…………………………………………………（6分）19．解：（1）11B OA ∆如图所示：………………………………………………………（3分）（2）174122=+=OA ………………………………………………………………（4分）¼1901723602AA π=⨯=∴旋转过程中A 点的运动路径长为π217………………………………………（6分）20．解：（1）本次随机抽样调查的书籍的本数是100%4040=÷本…………………………（1分）补全条形统计图如图所示：…………………………………………………（2分）（2）扇形统计图中B 类所对应扇形的圆心角的度数为︒=⨯︒7210020360………………（4分）（3）画树状图如下：……………………………………（6分）共有16种等可能结果，小钟和小雅捐的书是同类书的结果有4种……………（7分）∴小钟和小雅捐的书是同类书的概率为41164=…………………………………（8分）21．解：（1）DB AE ⊥ ，DBCF ⊥︒=∠=∠∴90CFD AEB BFDE = EFBF EF DE +=+∴BE DF =∴…………………………………………………………………………（1分）CD AB = ，DFBE =()HL CDF Rt ABE Rt ∆≅∆∴…………………………………………………………（3分）（没有写∆Rt 扣1分）C A ∠=∠∴…………………………………………………………………………（4分）（2）由（1）得：CDFRt ABE Rt ∆≅∆2==∴AE CF ……………………………………………………………………（5分）在CDF Rt ∆中，32242222=-=-=CF CD DF …………………………（8分）22．解：（1）设10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为x()40012562=+x ……………………………………………………………………（2分）解得：%2525.01==x ，25.22-=x （舍）………………………………………（3分）答：10、11这两个月吉祥物毛绒玩具销售量的月平均增长率为25%…………（4分）（2）设吉祥物毛绒玩具每个降价y 元()()420044002540=+--y y ………………………………………………………（7分）解得：51=y ，902-=y （舍）……………………………………………………（8分）答：吉祥物毛绒玩具每个降价5元………………………………………………（9分）（两问均需作答，漏1个或2个作答都只扣1分）23．解：（1）DC AB // ，CDAB =∴四边形ABCD 是平行四边形……………………………………………………（2分）OC OA =∴…………………………………………………………………………（3分）（2）ABCE ⊥ ︒=∠∴90AEC ︒=∠+∠∴90CAE ACE ……………………………………………………………（4分）ACEABO ∠=∠ ︒=∠+∠∴90BAO ABO ︒=∠∴90AOB BD AC ⊥∴…………………………………………………………………………（5分）ABCD ∴Y 是菱形…………………………………………………………………（6分）（3）1184022ABCD S AC BD AC =⋅⋅=⋅⋅=菱形10AC ∴=…………………………………………………………………………（8分）在Rt ACE ∆中，O 为斜边AC 的中点152OE AC ∴==……………………………………………………………………（9分）24．解：（1）2:22--=x x y C …………………………………………………………………（3分）（2）1C 对称轴：21=x ，顶点⎪⎭⎫ ⎝⎛-a c 41,21……………………………………………（4分）a cx ax y C ++-=22:ac a c a 412141-=++-∴a c 2=∴………………………………………………………………………………（5分）a ax ax y C ++-=2:22()122++-=∴x x a y 0122=++-x x 解得：211+=x ，212-=x ()0,21+∴，(),21-……………………………………………………………（6分）（3）联立⎪⎩⎪⎨⎧++=++=acx bx y cbx ax y 22解得：11=x ，ba ac x --=2…………………………………………………………（7分）()c b a G ++∴,1()c P ,0 ，()a Q ,0在等腰GPQ Rt ∆中，2=-=a c PQ 2+=∴a c …………………………………………………………………………（8分）c b a ca ++=+21--=∴b a ，1+-=b c ()11:21+-++-=b bx x b y C ()11:22--+-+=b x b bx y C ()()012514122>++=---+-=∆b b b b b ()()()5121141222221++⎪⎭⎫ ⎝⎛=---+-=-∴bb b b b b x x acb a a ac b a ++≤≤--24232≤≤∴a …………………………………………………………………………（9分）312≤--≤∴b 34-≤≤-∴b ∴41131-≤≤-b 对称轴：11-=b当411-=b 时，()1673max 221=-x x 当311-=b 时，()940min 221=-x x ()1673940221≤-≤∴x x 473310221≤-≤∴x x …………………………………………………………（10分）25．解：（1）AC 为O ⊙的直径︒=∠∴90ADC ………………………………………………………………………（1分）︒=∠+∠∴90ACD CAD AC DE ⊥ ︒=∠∴90CED ︒=∠+∠∴90DCE CDE CDECAD ∠=∠∴»»CDCD =Q CBD CAD ∠=∠∴︒=∠=∠∴33CBD CDF ……………………………………………………………（3分）（2）由（1）得：CBDCDF ∠=∠BCDDCF ∠=∠ CBD CDF ∆∆∴～…………………………………………………………………（4分）BD DFCD CF CB CD ==∴2:1:=BF CF 设a CF =，a BF 2=，则a BC 3=a CD 3=∴33==∴CB CD BD DF ……………………………………………………………………（5分）（3）①3122S S S ⋅= 2132S S S S =∴，即DE EFAE CE =AEDCEF ∠=∠ AED CEF ∆∆∴～…………………………………………………………………（6分）EAD ECF ∠=∠∴BCAD //∴︒=∠=∠=∠∴90ABC ADC BCD ∴四边形ABCD 是矩形aCD AB 3==∴在ABC Rt ∆中，33tan ==∠BC AB ACB ︒=∠∴30ACB …………………………………………………………………（7分）②过点P 作DF PQ //交BC 于点Q ………………………………………………（8分）m CEPECF QF ==∴，CPQ CEF ∆∆～，BDF BPQ ∆∆～22m BF BQ DF PQ -==∴，即DFmPQ 22-=11+==m CP CE PQ EF ，即()DF m mPQ m EF 12211+-=+=()DFm mEF DF DE 123+=-=∴DF PQ // 2m FB FQ DB DP ==∴，即DB mDP 2=在PDE Rt ∆中，BDDFm DP DE PDE ⋅+==∠13cos 由（2）得：33==CB CD BD DF 13cos +=∠∴m BDF ……………………………………………………………（10分）。
北师大版数学九年级上册期中考试试题含答案
北师大版数学九年级上册期中考试试卷A卷（共100分）一、选择题（每题3分，共30分）1．下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2+=0B．ax2+bx+c=0C．3x2﹣2xy﹣5y2=0D．（x﹣1）（x+2）=12．如图所示的实心几何体，其俯视图是（）A．B．C．D．3．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与y=（k为常数，k≠0）的图象大致是（）A B C D4．在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）A．35个B．20个C．30个D．15个5．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A．B．C．D．6题7题8题6．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（）A．105°B．115°C．125°D．135°7．如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB=1.4米，BP=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD 的高度是（）A．6米B．8米C．10米D．12米8．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A．B．BC 2=AB•BCC．D．9．某超市一月份营业额为10万元，一至三月份总营业额为50万元，若平均每月增长率为x，则所列方程为（）A．10（1+x）2=50B．10+10×2x=50C．10+10×3x=50D．10+10（1+x）+10（1+x）2=5010．下列判断中正确的个数有（）①全等三角形是相似三角形②顶角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形都相似④所有的菱形都相似⑤两个位似三角形一定是相似三角形．A．2B．3C．4D．5二、填空题（每空4分，共16分）12题14题11．已知x=1是一元二次方程x 2＋kx－2=0的一根，则方程的另一个根为__.12．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O，=，则=．13．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm，则它的面积等于________cm 2．14．如图，已知反比例函数y=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A，过A 点作AB⊥x 轴，垂足为B．若△AOB 的面积为1，则k=．三、计算题（共18分，15题每题6分，16题6分)15．计算：（1）2x 2﹣5x+1=0（2）3x（x﹣2）=2（x﹣2）16.已知y=y 1+y 2，y 1与x+1成正比例，y 2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当y=5时，求x 的值．四、解答题。
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初中数学试卷
2016-2017学年第一学期光祖中学期中测试卷
九年级数学(问卷)
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案）
1、已知y
x3
2=，则下列比例式成立的是（）
A、
3
2
y
x
= B、
2
3
y
x
= C、
3
2
=
y
x
D、
y
x3
2
=
2、下列主视图正确的是（）
3、用配方法解一元二次方程0
5
4
2=
-
-x
x的过程中，配方正确的是（）
A、9
)2
(2=
-
x B、1
)2
(2=
-
x C、9
)2
(2=
+
x D、1
)2
(2=
+
x
4、某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中2只有标志，从而估计该地区有黄羊（）
A、200只
B、 400
C、800只
D、1000只
5、如下图，A为反比例函数
x
k
y=的图象上一点，AB垂直x轴于B，若S△AOB＝2，则k的
（第9题） 值为（ ）
A 、4
B 、2
C 、-2
D 、1
(第5题) （第6题） 6、如上图，在直角三角形ABC 中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x 的三个正方形， 则x 的值为（ ）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
7、上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%a 后售价为128元。
下列所列方 程中正确的是( )
A 、128%)21(168=-a
B 、128%)1(1682=+a
C 、128%)1(1682=-a
D 、128%)1(1682=-a
8、 如下图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，如果AD=6，BD=2，那么CD 等于( )
A 、2
B 、4
C 、32
D 、23
（第8题）
9、如上图是一个几何体的三视图，根据图示，该几何体的体积为（ ）
A 、12π
B 、24π
C 、36π
D 、10π
10、下列命题正确的个数有 ( )
① 两边成比例且有一角对应相等的两个三角形相似；
② 对角线相等的四边形是矩形；
③ 任意四边形的中点四边形是平行四边形；
④ 两个相似多边形的面积比为2:3，则周长比为4:9.
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
11、反比例函数x
y 6-=图象上有三个点),(11y x ，),(22y x ，),(33y x ，其中
3210x x x <<<，则321,,y y y 的大小关系是( )
A 、 321y y y <<
B 、 312y y y <<
C 、213y y y <<
D 、123y y y <<
12、四边形ABCD 、AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH ⊥DG 与H,若AB=4，2时，则线段 BH 的长是( )
A 、 24
B 、16
C 、
5108 D 、2103 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，每小题只有一个正确答案） 13、如图，同一时刻在阳光照射下，树AB 的影子BC=3m ，
小明的影子m C B 5.1=''，已知小明的身高m B A 7.1=''，
则树高 AB=
14、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点0.6 处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处。
15、如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，=∠AOD 120°，AB=3，
则BC 的长是
（第15题）
（第16题）
16、如图，在反比例函数的图象x
y 4=（x ＞0）上，有点P 1,P 2,P 3,P 4,……，点P 1横坐标 A B C C 'B 'A '
35.17
.1A
B C
D G
H F E A
B
O
ο120
为2,且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1,P 2,P 3,P 4,……分别作x 轴，y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，……则S 1+S 2+S 3+……+Sn=____________
三、解答题本题共7小题，共52分
17、 解方程（1）4分）：2
(1)1440x +-= （2）（4分）03722=+-x x
18、如图，晚上，小亮在广场上乘凉。
图中线段AB 表示站在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯。
⑴（2分）请你在图中画出小亮在照明灯（P ）照射下
的影子；
⑵（4分）如果灯杆高PO=12m ，小亮的身高AB=1.6m ，
小亮与灯杆的距离BO=13m ，请求出小亮影子的长度。
19、在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它
们分别标有数字1，2，3，4随机地摸取出一张纸牌然后放回，再随机摸取出第二张纸牌。
（1）（4分）请用树状图法或列表法计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
（2）（4分）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。
这是个公平的游戏吗？请说明理由。
20、（6分）某服装店有一批童装，每天可卖30件，每件盈利50元，经调查知道，若每件降价5元，则每天可多销售10件。
现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，则每件童装应降价多少元？
21、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N.
（1）（4分）求证：AE CG =
(2)（4分）求证：AN DN MN CN ⋅=⋅
22、如图，已知一次函数与反比例函数y
k
x
=的图象相交于点 A（-3，1）和点B(a，-3)
（1）（3分）求反比例函数的表达式；
（2）（3分）求点B的坐标及一次函数的表达式；（3）（2分）观察图象，直接写出反比例函数数值大于一次函数数值时对应x的取值范围。
23、如图所示，已知直线l的表达式为
4
y8
3
x
=-+，
且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒。
（1）（2分）求点A、B的坐标
（2）（3分）当t为何值时，△APQ与△AOB相似；
(3)（3分）当t为何值时，△APQ的面积最大，
最大面积是多少？。