2016年深圳市高三年级二模文科数学参考答案(考试时间：20160425)

1 2
（15） Sn 2
n
1 1 2n -1
（16） 8
A
B 45 ， cos BAM
3 10 . 10
（Ⅰ）求线段 AM 的长度； （Ⅱ）求线段 MC 的长度. 【解析】 （Ⅰ）
B
3 10 , 0 BAM 180, 10 10 ， 10
„„„„1 分
M C
cos BAM
sin BAM 1 cos 2 BAM
又
sin ABM
2 ， BM 3 2
„„„„3 分
由正弦定理
AM 3 BM AM ，得 sin BAM sin B 2 10 2 10
AM 3 5
（Ⅱ）
„„„„4 分
cos AMC cos(BAM B)
（20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E ：
x2 y 2 2 1（ a b 0 ）的上顶点 P 在圆 C : x 2 ( y 2)2 9 上，且椭圆的离心率为 2 a b
3 ． 2
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）若过 C 点的直线 l 与椭圆 E 交于 A 、 B 两点，且 PA PB 1，求直线 l 的方程． 【解析】 （Ⅰ）依题意，令 x 0 时， 02 ( y 2)2 9 ，解得 y 1 或 y 5 ， ∴点 P 的坐标为 (0,1) ，即 b 1 ， „„„„2 分

g ( x) 0 „„„„5 分
(1)当 x m 时， e 0 ， g (m) m cos m 0 ，
m
此时，对任意 a R ②式恒成立； (2)当 x m,
„„„ 11分
在 RtMNA 中， MA 2 , AN 3 ， AH 点 A 到平面 DMN 的距离为 30 5
30 ， 5
„„„„12分
【命题意图】通过线线垂直、线面垂直、锥体的高与体积等知识，考查考生空间想象能力、推理论证 能力及运算求解能力.
2016 年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案（第 4 页）
BC 的中点， AB 2 AF ， CBA 60 .
（Ⅰ）求证： DM 平面 MNA ； （Ⅱ）若三棱锥 A DMN 的体积为 求点 A 到平面 DMN 的距离. 【解析】 （Ⅰ）证明：连接 AC ，在菱形 ABCD 中，
F M E
3 ， 3
A
N
B
C
D
CBA 60 且 AB BC
∴ PA PB ( x1 , y1 1)( x1 , y1 1) x1 x2 y1 y2 ( y1 y2 ) 1
12(1 k 2 ) 48k 2 (1 k ) x1 x2 3k ( x1 x2 ) 9 9 1 4k 2 1 4k 2 12(1 k 2 ) 48k 2 9 36k 2 21 1 2 1 4k 1 4k 2 解之，得 k 2 5 ，即 k 5 ，此时 0 ∴直线 l 的方程为 y 5 x 2 或 y 5x 2 ．
2016 年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案（第 3 页）
ABC 为等边三角形， 又 N 为 BC 的中点， AN BC ， BC // AD AN AD 又 平面 ABCD 平面 ADEF ， AN 平面 ADEF ， AN 平面 ADEF ， 又 DM 平面 ADEF ， DM AN 在矩形 ADEF 为中， AD 2 AF ， M 为 EF 的中点，
源自文库
15 50 50 100
P ( K 2 k0 )
0.05 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
K2
n(ad bc)2 ， (a b)(c d )(a c)(b d )
k0
n a bcd 其中．
2016 年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案（第 2 页）
„„„„4 分
„„„„5 分
y kx 2, 2 2 联立 x 2 消去 y 并整理，得： (1+4k ) x 16kx 12 0 2 y 1, 4
2 2 ∵Δ 256k 48(1 4k ) 0 ，
„„„„6 分
解之，得 k
2
3 ， 4
3 10 2 10 2 5 10 2 10 2 5
„„„„7 分
又
AC 2 10 ，
2016 年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案（第 1 页）
2 由余弦定理得 （2 10） MC 2 (3 5)2 2MC 3 5
5 5
„„„„10 分 „„„„12 分
f (0) 1 a ，
„„„„2 分 „„„„3 分 „„„②
∴ f ( x) 在 x 0 处的切线方程为 y x 1 a . „„„① 把点 P(1,6) 代入①，解得 a 4 . （Ⅱ）由 f ( x) ax 可得 e a( x cos x) ，
x
令 g ( x) x cos x ， x [0, ] ，
π 2
g ( x) 1 sin x 0 ，且 g (0) 1 0 ， g ( ) 0 ， 2 2
∴ 存 在 m( 0 ,

) ， 使 得 g (m ) 0， 且 当 x ( 0 m , ) 时 ， g ( x) 0 ， 当 x (m, ) 时 2 2
2
„„„„10 分
„„„„12 分
【命题意图】通过圆与椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系等知识，考查数形结合及函数与方程的思 想方法，考查考生推理论证能力及运算求解能力.
2016 年深圳市高三年级第二次调研考试文科数学参考答案（第 5 页）
（21） （本小题满分12分） 已知 f ( x) e a cos x （ e 为自然对数的底数） ．
x
（Ⅰ）若 f ( x) 在 x 0 处的切线过点 P(1,6) ，求实数 a 的值； （Ⅱ）当 x [0, ] 时， f ( x) ax 恒成立，求实数 a 的取值范围.
π 2
解： （Ⅰ） ∴ f (0) 1 ， 又
f ( x) e x a sin x ，
„„„„1 分
15
35 50
30
20 50
45
55 100
„„„„„„8 分
结合列联表的数据得：
n(ad bc)2 100 (30 35 20 15)2 K 9.091 ， (a b)(c d )(a c)(b d ) 50 50 55 45
2
„„„„„„10 分
v
2016 年深圳市高三年级第二次调研考试
文科数学试题参考答案（A 卷）
选择题答案
一．选择题 （1） D （7） A （2） B （8） A （3） C （9） A （4） C （10）B （5） B （11）D （6） B （12）C
非选择题答案
二．填空题 （13） 3 三．解答题 （17） （本小题满分12分） 如图 ABC 中，点 M 是边 BC 上的一点， BM 3 ， AC 2 10 ， （14）
VM ADN 1 1 3 3 S CDF h 3x 2 x x ， 3 3 3 3 ， x 1 3
„„„„7 分 „„„„ 8 分
VM ADN V A DMN
„„„„10分
作 AH MN 交 MN 于 H ， DM 平面 MNA ， DM AH AH 平面 DMN ，则 AH 即为点 A 到平面 DMN 的距离
解得 MC 1或 MC 5
【命题意图】通过三角形中正弦定理、余弦定理，三角函数的和角公式等知识，考查考生运算求解、恒等 变形与推理论证等能力. （18） （本小题满分12分）
2016 年全国两会，即中华人民共和国第十二届全国人民代表大会第四次会议和中国人民政治协商会
议第十二届全国委员会第四次会议，分别于 2016 年 3 月 5 日和 3 月 3 日在北京开幕.为了解哪些人更关注 两会，某机构随机抽取了年龄在 15 ～ 75 岁之间的 100 人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下 图所示，其分组区间为： [15, 25) ， [25,35) ， [35, 45) ， [45,55) ， [55, 65) ， [65,75] ．把年龄落在区 间 [15,35) 和 [35, 75] 内的人分别称为“青少年人”和“中老年人” ，经统计“青少年人”与“中老年人” 的人数之比为 9 :11 ．
c 3 ，解得 a 2 ， a 2 x2 ∴椭圆的方程为 y2 1； 4 （Ⅱ）∵直线 l 经过圆心 C (0, 2) ， ①直线 l 的斜率不存在时，不合题意；
又∵ e ②直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y kx 2 ，设 A （ x1 ， y1 ） ， B （ x2 ， y2 ） ，
„„„„7 分
由韦达定理可得 x1 x2
又∵ y2 kx2 2 ， y1 kx1 2 ，
16k 12 ， x1 x2 ， 2 1 4k 1+4k 2
„„„„8 分
（kx1 2)(kx1 2) k 2 x1 x2 2k ( x1 x2 ) 4 ， ∴ y1 y2 k ( x1 x2 ) 4 ， y1 y2
因为 P( K 2 6.635)=0.01 ， 9.091 6.635 ， 所以有超过 99% 的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会． „„„„„„12 分
【命题意图】通过直方图、独立性检验等知识，考查考生阅读理解、数据分析处理及运算求解能力.
（19） （本小题满分12分） 如图， 平面 ABCD 平面 ADEF ， 四边形 ABCD 为菱形， 四边形 ADEF 为矩形， M 、N 分别是 EF 、
AMF 为等腰直角三角形， AMF 45 ，
同理可证 DME 45 DMA 90 ，
„„„„„1 分 „„„„„ 2 分 „„„„„ 2 分 „„„„„„3 分
DM AM .
又 AM AN A 且 AM, AN 平面 MNA ，
„„„„„„5 分
a
频率 组距
0.030
b
0.010 0.005
O
15 25 35 45 55 65 75 年龄/岁
（Ⅰ）求图中 a 、 b 的值； （Ⅱ）若“青少年人”中有 15 人在关注两会，根据已知条件完成下面的 2 2 列联表，根据此统计结 果能否有 99% 的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？ 关注 青少年人 中老年人 合计 附参考公式和临界值表： 不关注 合计
DM 平面 MNA ， （Ⅱ）设 AF x 则 AB 2 AF 2 x ，
在 RtABN 中， AB 2 x, BN x ， ABN 60 ，
„„„„„„6 分
AN 3x ，
1 2 x 3x 3x 2 ， 2 平面 ABCD 平面 ADEF ， AD 为交线， FA AD ， FA 平面 ABCD 设 h 为点 M 到平面 ADN 的距离，则 h AF x S ADN
解： （Ⅰ）依频率分布直方图可知：
45 10 (b 0.03) , 100 10 (a 0.010 0.005 0.005) 55 . 100
解之，得
a 0.035， ，„„„„„„6 分 b 0.015.
（Ⅱ）依题意可知： “青少年人”共有 100 (0.015 0.030) 45 人， “中老年人”共有 100 45 55 人，完成的 2 2 列联表如下： 关注 青少年人 中老年人 合计 不关注 合计