热力学统计物理——第6章(统计物理基础)

p m 2a( x x0）
0
x0 图4.2.1
x
返回
[例2]
一维谐振子的相轨道
2
p 1 m 2 x 2 2m 2
写为标准椭圆方程形式
p
（ 2）
2m
2 / m 2
0
x
p x 1 2 2m (2 / m )
给定ε时，椭圆的半轴分别为
2m 和
2
2
（ 3）
图4.2.2
（ 2）
当V 较大时，动量px，py，pz和能量ε实际上可视为连续变化。 由此求得 体积V内、动量在dpx，dpy，dpz范围内自由粒子的量子态数
V N dnx dn y dnz 3 dpx dp y dpz h
（ 3）
若不考虑方向，则动量大小在p→p＋dp范围，自由粒子的 量子态数
4V 2 dN 3 p dp h
返回
2、泊松分布
(n ) n n PN (n) e n!
返回
3、高斯分布
P ( n)
1 2 (n) 2
e
( n n ) 2 / 2 ( n ) 2
返回
4.2 粒子运动状态的经典描述和量子描述
一、近独立粒子体系
二、粒子运动状态的经典描述 三、微观粒子运动状态的量子描述 四、常见粒子的量子态 五、粒子能态密度g(ε)
返回
二、概率及概率分布
1、随机事件的概率 2、概率的加法定理
3、概率的乘法定理
4、随机变量的概率分布
返回
1、随机事件的概率
NA p A lim N N
（ 1）
返回
2、概率的加法定理
若A、B为互斥事件，则
PA B PA PB
（ 2）
返回
3、概率的乘法定理
若A、B事件互为独立，则
返回
一、近独立粒子体系
若一个粒子构成的体系，各粒子之间相互作用可忽略，
则这种粒子组成的体系叫近独立粒子体系。
返回
二、粒子运动状态的经典描述 1、自由度 2、粒子运动状态的描述、μ空间、相轨道 3、相轨道的作法
返回
1、自由度
确定一个粒子的位置所需要的独立坐标数，叫自由度，记为r， 例如：平面上自由运动的粒子，r=2；直线上运动的粒子，r=1。
利用能量
（ 4）
p2 2m
得到体积V内，粒子能量在ε→ε＋dε的量子态数
2v dN 3 (2m)3 / 2 1/ 2 d h
算术平均值的极限值即为统计平均值，即
X lim
N
x N x P N
i i i i i
返回
2、涨落
宏观量的观察值与统计平均值有偏差的现象叫张落现象。 归平均值的偏差叫涨落。
方差
(x) 2 ( xi X ) 2 X 2 ( X ) 2
返回
四、多个随机变量的联合概率分布函数
波函数或量子数描述的粒子状态叫量子态。
返回
四、常见粒子的量子态
⒈自旋状态
⒉三维自由粒子的量子态及量子态数
返回
1、自旋状态
对电子、质子、中子等粒子，用自旋磁量子数表示
1 mS 2
返回
2、三维自由粒子的量子态及量子态数
边长为L的立方体容器中的自由粒子，其状态由量子数nx，
ny，nz描述，动量的三个分量px，py，pz为
2 / m 2
返回
三、微观粒子运动状态的量子描述 ⒈微观粒子的特性 ⒉微观粒子状态的量子描述
返回
1、微观粒子的特性
（1）波粒二象性，并遵从德布罗意关系式
h
p h / k
（2）遵从测不准关系
qp h
返回
2、微观粒子状态的量子描述
微观粒子的状态要用波函数Ψ或者一组量子数来描述，用
变量 X取值在dx、变量Y取值在dy范围的概率。
ρ(x,y)的联合分布
dW ( x, y )dxdy
ρ(x,y)的边缘分布
( x)dx [ ( x, y )dy ]dx
返回
五、几种典型的概率分布
1、二项分布 2、泊松分布 3、高斯分布
返回
1、二项分布
N! n N n PN (n) pq n!( N n)!
P 1
i
返回
②连续型随机变量的概率分布 随机变量x取值在x→x＋d的概率dW,则概率分布为:
( x) dW / dx


( x)dx 1
返回
三、统计平均值和涨落
1、统计平均值
2、涨落
返回
1、统计平均值
对连续型：
X x ( x)dx
f f ( x) ( x)dx
2 px nx L
nx 0,1,2,
2 py ny L
n y 1,1,2,
（ 1）
2 pz nz L
nz 0,1,2,
能量可能值为
2 2 2 n n n 1 2 2 x y z 2 2 ( px p y pz ) 2m m L2 2 2
返回
2、粒子运动状态的描述、 μ空间、相轨道
设粒子自由度为r，以r个广义坐标q1，……，qr为横轴，以r 个广义动量p1，……，pr为纵轴所构成的2r维空间叫μ空间。 在μ空间中的一个点代表粒子的运动状态，这个点叫代表点。 粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道叫相轨道。
返回
3、相轨道的作法
PAB PA PB
返回
4、随机变量的概率分布
以一定概率取各种可能值的变量叫随机变量. ①分离型随机变量的概率分布 ②连续型随机变量的概率分布
返回
①分离型随机变量的概率分布
x1 , x2 ,, xi ,, xn Pi P , P , , P , , P i n 1 2
步骤
①确定粒子自由度r
②确定广wk.baidu.com动量与广义坐标满足的函数关系
③画出相轨道
[例1]
[例2]
返回
[例1]
从静止开始沿直线作匀加速运动，作出相轨道。 解:取运动方向为x轴正向,坐标和动量为 p
1 2 p mv mat x x0 at 2
（ 1）
由（1）作出的相轨道如图4.2.1所示。
消去t 得到
6.1 概率分布函数
一、统计物理的基本观点 二、概率及概率分布 三、统计平均值和涨落 四、多个随机变量的联合概率分布函数 五、几种典型的概率分布
返回
一、统计物理的基本观点
1、物质是由大量微观粒子组成，分子间有作用力 2、微观粒子作杂乱无章，永不停止的热运动 3、物体宏观量是相应微观量的统计平均值 4、单个微观粒子遵从力学规律性，大量粒子遵从统计规律性