热力学统计物理——第6章(统计物理基础)
热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布
al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l
l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l
l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
统计物理第六章
d 2p dp
2m
体V 内 积能 ， 量 大在 小 到 d，自由粒子:的量
D ()d2V(2m )3212d
h3
D(表) 示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为能量态密度，简称为态密 度。
注意：
以上讨论没有考虑自旋，并且考虑到是非相对论性的粒子。 如果粒子的自旋不为零，比如电子自旋为1/2，光子自旋为1，由于自旋 角动量在动量方向上的投影有两个可能值（前面已提到，自旋角动量在空间 中的任意一个方向的投影有两个可能值），也就是说，有两个不同的状态， 因此上面的量子态数公式需乘以2：
由于自由由 粒动 子量 的p 的 x、 量 y、 p三 子 （ zp个 态 或 分 者 量 n 三 x、y、 n个 z） n量 表征， V 因 L3内 此 ， 容 p动 x到 器 px 量 dx， p在 yp到 pydyp ，zp到 pzdz的 p 范围
自由粒子:的量子态数为
dx d n y d n z n (2 L )3 dx d p y d p z p Vx h d d 3 y d p p zp
右边表示在μ空间中以h3为单位的相格的个数，左边表示量子态的数目。 一个相格h3 内只有一个量子态
进一步说明：
微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和 坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义 动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格）， 而不是一个点，这个体积元称为量子相格。
y r sc i n r o c s s o i r s s n c i n os
z r co r s sin
1m (r2r22r2si2 n 2)
热学-统计物理6 第6章 热力学第二定律
热功转换
3. 热传导
两个温度不同的物体放在一起，热量将自动地由高温物体 传向低温物体，最后使它们处于热平衡，具有相同的温度。 温度是粒子无规热运动剧烈程度即平均平动动能大小的宏观 标志。初态温度较高的物体，粒子的平均平动动能较大，粒 子无规热运动比较剧烈，而温度较低的物体，粒子的平均平 动动能较小，粒子无规热运动不太剧烈。若用粒子平均平动 动能的大小来区分它们是不可能了，也就是说末态与初态比 较，两个物体的系统的无序度增大了，这种自发的热传导过 程是向着无规热运动更加无序的方向进行的。
热机Q2
A , A
E
Q1
Q1
T1
A Q2
Q1 可
逆 热 机
T2 E’
用反证法，假设
得到
A A Q1 Q1
Q1 Q1
Q1 Q2 Q1 Q2
Q2 Q2
两部热机一起工作，成为一部复合机，结果外界不对复合
机作功，而复合机却将热量 Q1 Q2 Q1 Q2 从低温热源送到高温热源，违反热力学第二定律。
自然界中的自发热传导具有方向性。
通过某一过程，一个系统从某一状态变为另一状态， 若存在另一过程，能使系统与外界同时复原，则原来的过 程就是一个可逆过程。否则，若系统与外界无论怎样都不 能同时复原，则称原过程为不可逆过程。单摆在不受空气 阻力和摩擦情况下的运动就是一个可逆过程。
注意：不可逆过程不是不能逆向进行，而是说当过程逆向 进行时，逆过程在外界留下的痕迹不能将原来正过程的痕 迹完全消除。
现在考虑4个分别染了不同颜色的分子。开始时，4个分 子都在A部，抽出隔板后分子将向B部扩散并在整个容器内无 规则运动。隔板被抽出后，4分子在容器中可能的分布情形如 下图所示：
统计物理10-第六章
l
l
la l al!
MB . BE . . FD . . N !
h
h p
3 4
h 6 . 6 31 0 Js
普朗克常数
量纲: [长度]· [动量] 电子束的衍射图样
2、不确定关系:
q ph
微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。
3、量子描述
线性谐振子：
氢原子： 自旋:
量子态由一组量子数来表征。
2 n S m , m s , s 1 , , s 1 , s z s s
什么是统计物理？ Statistical Physics
T 5 0 0K 1
Cu
p 大 Q
p 小
T 3 0 0K 2
分子、电子间碰撞传递能量—— 热传导现象
什么是统计物理？ Statistical Physics
基本出发点：物质由大量微粒组成，宏观热现象 是大量微观粒子运动的集体表现。
根据牛顿力学来确定系统的 宏观性质是不可能办到的。
量子态1 量子态2
费米子
C 3
2 3
量子态3
作业
• 求一维谐振子能量在ε到ε+dε内时粒子可能 的状态数 • 三维自由粒子在体积V内，在p到p+dp的动 量范围内的状态数 • 6.1
一、粒子运动状态的经典描述 自由度为r的粒子 空间
q , p 1 , 2 ,, r
大量粒子组成的体系服从统计规律性。
气体分子运动的速率分布
v
2
n
v1
热力学与统计物理第六章章末总结
第1节粒子运动状态的经典描述一．回顾1.最概然分布（1）分布：粒子在能级上的分布（2）最概然分布：概率最大的分布2.粒子运动状态描述--力学运动状态(1)经典力学描述（2）量子力学描述二．粒子向空间描述1.运动状态确定自由度为r的粒子，任意时刻的力学运动状态由r个广义坐标（q）和r个广义动量（p）的数值确定，则粒子的能量为2. 向空间（1）空间：由r个广义坐标和r个广义动量构成一个直角坐标系，这个2r维的空间，就称为空间。
（2）代表点（相点）（3）相轨迹.3．常见粒子的描述1. 自由粒子定义：不受力的作用而作自由运动的粒子。
描述：粒子能量为2. 线性谐振子3. 转子第2节粒子运动状态的量子描述1．波粒二象性与测不准关系1.波粒二象性德布罗意关系2. 测不准关系2．常见粒子的量子态描述1线性谐振子2. 转子（1），当L 确定时，可将角动量在其本征方向投影（z轴）（2）能量（3）简并与简并度3. 自旋角动量自旋角动量（）是基本粒子的内禀属性4. 自由粒子（1）一维（2）三维容器边长L,动量和能量分量x: ,y:z;总动量和总能量（3）量子态数第3节系统微观运动状态的描述1、系统1、对象：组成系统的粒子为全同近独立粒子2、全同粒子系统具有完全相同的内禀属性的同类粒子的系统3、近独立粒子系统：系统中的粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单粒子能量。
4、系统的能量N个全同近独立粒子 .2、系统的微观状态的经典描述1、力学方法：。
2、可分辨全同粒子系统中任意两个粒子交换位置，系统的力学运动状态就不同。
3、量子描述1、全同性原理2、状态的描述（1）、定域系：全同粒子可辨非定域系：全同粒子不可分辨定域系需要要确定每个粒子的个体量子数；非定域系确定每个个体量子态上的粒子数（2）、微观粒子的分类玻色子：自旋量子数位整数费米子：自旋量子数为办整数4、系统分类1、玻色系统：玻色子不受泡利原理控制；2、费米系统：费米子受泡利原理约束，不可分辨；3、玻尔兹曼系统：粒子可分辨，同一个个体量子态上粒子数不受限制。
热力学统计物理第六章
l
l
l
N al 0 l
E lal 0 l
[lnlnBB.E.E
lNal[lEn(]l
精l 品a课la)件llnlnalla]l
al
l
0
33
…… ……
即：能级1上有a1个粒子， 能级2上有a2个粒
子，……。
精品课件
l
al
2
a2
1
a17 1
1、玻耳兹曼系统εl 上的ωl 个量子态时，第一个粒
子可以占据ω 个量子态中的任何一个态，有ωl 种可能的
占据方式。由于每个量子态能够容纳的粒子数不受限制，在第 一个粒子占据了某一个量子态以后，第二个粒子仍然有ωl种
的占据方式，这样al 个编了号的粒子占据ωl个la量l 子态共有
种可能的占据方式，
精品课件
18
(2) 各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数:
al l
l
(3) 现在考虑将N个粒子互相交换，不管是否在同一能级上，交换
数是N!，在这个交换中应该除去在同一能级上al 个粒子的交换al !
因此得因子
N!/ al!
A
A AA
⑤⑥ A
A
AA
两个玻色子占据3个量子态有6种方式
精品课件
10
（2）费米系统：即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统
粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个 粒子（费米子遵从泡利原理）。
系统由两个粒子组成（定域子）。粒子的个体量子 态有3个, 讨论系统有那些可能的微观状态
量子态1 量子态2 量子态3
❖ 微观粒子的状态杂乱无章，一个系统的力学状态也是 杂乱无章的，有很多个可能的状态，那么，每个状态 出现的概率为多少呢，与什么因素有关
大学热力学与物理统计课件-第六章非平衡态统计初步课件
T
由温度决定， 与压强无关。
单位时间内的分子平均碰撞次数
πd 2 vr 2v
v T
0
1 T
2nπd 2 v
两次连续碰撞的平均时间间隔
1 2nπd 2 v
0
初级输运理论结果 1 nmvl
3
l v 0 平均自由程
nm0 vx2
1 2
mvx2
1 3
1 2
f
f 0 0vx
f 0 vy
dv0 dx
px0y
mvxvy
f
0dvxdvydvz
0
pxy
px1y
dv0 dx
0
mvx2vy
f 0 vy
d
pxy
dv0 dx
m 0
vx2vy
f 0 vy
f
f 0
0
§6.2 气体的粘滞现象
粘滞系数
y
负方气体通过单位面 积对正方气体的作用 力——粘滞力
pxy
dv0 dx
v0 x 沿 x 正向的动量（y 分量）流密度
两侧分子具有不同的平均动量，穿过
x 平面到达另一侧时，导致净的动量输
x0
运。
单位时间内，通过单位面积的速度为 v 的 1 分子位于一柱体内。
电导率
能量流密度 温度
q T
导热系数
质量流密度
扩散——物质输运 j = D
密度 扩散系数
粘滞——动量输运 动量流密度正比于宏观速度负梯度
第六章 统计热力学
第六章统计热力学初步教学目的及要求掌握玻兹曼统计的基本原理，能从微观角度解释体系的一些热力学性质，一般掌握从分子配分函数和自由能函数表计算简单气相反应的平衡常数、理想气体及晶体热力学函数的方法。
6-1 引言经典热力学（宏观热力学）热力学以三个定律为基础，利用热力学数据，研究平衡系统各宏观性质之间的相互关系，揭示变化过程的方向和限度。
它不涉及粒子的微观性质。
研究对象：大量粒子构成的集合体。
研究方法：热力学方法。
优点：结论具有普遍性，不受对物质微观结构认识的影响。
缺点：不能阐明体系性质的内在原因，不能给出微观性质与宏观性质之间的联系，不能对热力学性质进行直接的计算。
要克服这些缺点必须从分子的微观结构和内部运动去认识体系及其变化。
统计热力学统计热力学从粒子的微观性质及结构数据出发，以粒子遵循的力学定律为理论基础；用统计的方法推求大量粒运动的统计平均结果，以得出平衡系统各种宏观性质的值。
•研究对象：大量粒子构成的集合体。
•研究方法：统计力学的方法，应用几率规律和力学定律求出大量粒子运动的统计规律。
•优点：揭示了体系宏观现象的微观本质，可以从分子或原子的光谱数据直接计算体系平衡态的热力学性质。
•缺点：受对物质微观结构和运动规律认识程度的限制。
•统计热力学是统计物理学的一个分支，也是化学热力学的补充和提高。
经典统计力学以经典力学为基础处理粒子运动，建立了经典统计力学，即Maxwell-Boltzmann 统计。
•量子统计力学以量子力学为基础处理粒子运动，建立了两种量子统计力学，分别适用于不同的量子体系，即Bose-Einstein统计和Fermi-Dirac统计。
本章主要介绍Maxwell-Boltzmann统计，简称麦-玻统计1. 麦-玻统计比较简单。
2. 现在的麦-玻统计已渗入不少量子力学的成果。
3. 在一定条件下，通过适当的近似，三种统计方法得出几乎相同的统计结果。
4. 麦-玻统计基本上可以说明化学中所遇到的一般问题。
南京大学-热力学与统计物理第六章讲解学习
1)!
(五).经典极限条件下，玻色系统的微观状态数
经典极限条件：
al
l
1
（对所有的
）时：
B.E
l
(l
al
1)!/ al (l
1)! l
(l
al
1)(l al al !
2) l
l
al l al
M.B N!
(六).经典极限条件下，费米系统的微观状态数
F.D
l
l !/ al
(l
子 1/ N ! 上。
(二)、玻耳兹曼、玻色、费米分布的推导 （1）玻耳兹曼分布公式
等几率原理：
对于处于平衡状态的孤立系统，每一个可能的微观状 态出现的概率是相等的；
最概然分布：
微观状态数最多的分布，出现在概率最大，称为最概然分 布(或最可几分布)。
Stirling公式 ln m! m(ln m 1)
式。因为粒子是不可分辨的，应除去粒子之间的相互交换数 al !
和量子态之间的相互交换数 (l 1)!
所以，al 个粒子占据能级 l 上的 l 个量子态，
有
(l al 1)!/ al (种l 可1)!能性。
所以玻色系统与分布 al 相应的系统的微观a状l ! 态数是：
B.E
l
(l
al
1)!/ al (l
全同
F .D.
l! l al!(l al )!
经典极限条件下
al
l
1
，玻色及费米系统的
微观状态数
B.E
M .B N!
F.D
在经典极限条件下，由于每个量子态上的平均粒子数
远小于1，粒子之间的关联可以忽略，这时 B.E 和 F.D
热力学统计物理第六章
sind d 4
0 0
2
在体积 V 内，在 p ~ p dp 的动量大小范围内 自由粒子可能的量子态（非相对论情况下）
p2 2m
代入上式，则有
2V 2m 3 h
3 2 1 2d
D d
统计物理学
统计物理学是从宏观物质系统是由大量微观粒子组 成这一事实出发，认为物质的宏观性质是大量微观粒子 行为的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计 平均值。因此，对于统计物理学来说，首要的问题是怎 样去描述组成热力学系统的微观粒子的运动状态。
运动状态是指粒子的力学运动状态，根据它遵从的是
经典的还是量子的运动规律，分为经典描述和量子描述。
三、系统微观运动状态的量子描述 量子的全同粒子一般来说是不可分辨的，在含有多个全同 粒子的系统中，将任何两个全同粒子加以对换，不改变整个系 统的微观状态，此为微观粒子的全同性原理。
但如果系统的微观粒子受到空间的限制（定域系统），那
么可用粒子的位置来分辨粒子。这时描述系统的微观运动状态 需要确定每一个粒子的量子态。 如果系统的微观粒子不受空间的限制（非定域统系统）， 必须考虑微观粒子的全同性原理。 如果全同粒子是不可以分辨，确定由全同近独立粒子组 成的系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。
p
h
2
一维自由粒子的能量
nx
2 2 p x 2 2 2 n x 2m m L2
nx 0,1,2,
（2）三维自由粒子
2 px nx L
边长为 L 的正方形空间
nx 0,1,2,
nx
2 n y 0,1,2, py ny L nz 0,1,2, 2 pz nz L n y nz 是表征三维自由粒子运动状态的量子数
热力学统计物理各章总结
第一章1、与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系；2、与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系；3、与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系；4、平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。
5、参量分类：几何参量、力学参量、化学参量、电磁参量6、温度：宏观上表征物体的冷热程度；微观上表示分子热运动的剧烈程度7、第零定律：如果物体A和物体B各自与处在同一状态的物体C达到热平衡，若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡，这个经验事实称为热平衡定律8、t=T-273.59、体胀系数、压强系数、等温压缩系数、三者关系10、理想气体满足：玻意耳定律、焦耳定律、阿氏定律、道尔11、顿分压12、准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。
13、广义功14、热力学第一定律：系统在终态B和初态A的内能之差UB-UA 等于在过程中外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和，热力学第一定律就是能量守恒定律.UB-UA=W+Q.能量守恒定律的表述：自然界一切物质都具有能量，能量有各种不同的形式，可以从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递到另一个物体，在传递与转化中能量的数量保持不变。
15、等容过程的热容量；等压过程的热容量；状态函数H；P2116、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关。
P2317、理想气体准静态绝热过程的微分方程P2418、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程：等温膨胀过程、绝热膨胀过程、等温压缩过程、绝热压缩过程19、热功转化效率20、热力学第二定律：1、克氏表述-不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；2、开氏表述-不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其它变化,第二类永动机不可能造成21、如果一个过程发生后，不论用任何曲折复杂的方法都不可能把它留下的后果完全消除而使一切恢复原状，这过程称为不可逆过程22、如果一个过程发生后，它所产生的影响可以完全消除而令一切恢复原状，则为可逆过程23、卡诺定理：所有工作于两个一定温度之间的热机，以可逆机的效率为最高24、卡诺定理推论：所有工作于两个一定温度之间的可逆热机，其效率相等25、克劳修斯等式和不等式26、热力学基本微分方程：27、理想气体的熵P4028、自由能：F=U-FS29、吉布斯函数：G=F+pV=U-TS+pV30、熵增加原理：经绝热过程后，系统的熵永不减少；孤立系的熵永不减少31、等温等容条件下系统的自由能永不增加；等温等压条件下，系统的吉布斯函数永不增加。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是物理学的一个重要分支，它研究的是大量微观粒子的统计规律，通过对微观粒子的统计行为进行分析，揭示了宏观物质的性质和规律。
统计物理学的基本原理包括热力学统计原理、量子统计原理和统计力学原理。
本文将从这三个方面介绍统计物理学的基本原理。
一、热力学统计原理热力学统计原理是统计物理学的基础，它建立在热力学和统计学的基础之上，描述了大系统的宏观性质与微观粒子的统计规律之间的关系。
热力学统计原理包括了热力学第零、第一、第二、第三定律，以及玻尔兹曼分布定律等。
1. 热力学第零定律热力学第零定律规定了当两个系统分别与第三个系统达到热平衡时，它们之间也处于热平衡状态。
这个定律为热力学的温度概念提供了基础，也为热力学的其他定律奠定了基础。
2. 热力学第一定律热力学第一定律是能量守恒定律的推广，它规定了系统的内能变化等于系统所吸收的热量减去系统所做的功。
这个定律揭示了能量转化的基本规律，也为热力学的其他定律提供了基础。
3. 热力学第二定律热力学第二定律是热力学中最重要的定律之一，它规定了热量不会自发地从低温物体传递到高温物体，熵在孤立系统中永远增加。
这个定律揭示了自然界中不可逆的过程，也为热力学的熵概念提供了基础。
4. 热力学第三定律热力学第三定律规定了在绝对零度时系统的熵为零，也就是系统的熵在绝对零度时达到最小值。
这个定律揭示了系统在绝对零度时的行为，也为热力学的熵概念提供了极限条件。
5. 玻尔兹曼分布定律玻尔兹曼分布定律描述了系统中粒子的分布规律，它指出系统中不同能级上粒子的分布服从玻尔兹曼分布。
这个定律为统计物理学的发展提供了重要的基础，也为系统的热力学性质提供了理论支持。
二、量子统计原理量子统计原理是统计物理学中的另一个重要部分，它描述了微观粒子的统计行为与宏观性质之间的关系。
量子统计原理包括了费米-狄拉克统计和玻色-爱因斯坦统计两种统计方法。
1. 费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计适用于具有半整数自旋的粒子，如电子、质子等费米子。
热力学与统计物理学的基础概念
热力学与统计物理学的基础概念热力学与统计物理学是研究物质能量转化和热量传递规律的学科，是物理学的重要分支之一。
本文将介绍热力学与统计物理学的基本概念和原理。
一、热力学基本概念1. 热力学系统热力学系统是指我们研究的物体或物质，可以是一个单独的物体，也可以是若干个物体构成的系统。
热力学系统可以分为封闭系统、开放系统和孤立系统三类。
2. 状态函数状态函数是描述热力学系统状态的基本属性，与路径无关，只与热力学系统的初始状态和终止状态有关。
常见的状态函数有内能、熵、体积等。
3. 热平衡当两个物体之间没有温度差异时，它们处于热平衡状态。
在热平衡状态下，两个物体的温度相等，热量不再流动。
二、热力学基本定律1. 第一定律：能量守恒定律能量在物质之间的转化过程中不会增加或减少，只会从一种形式转化为另一种形式。
根据第一定律，系统的能量变化等于系统所吸收的热量减去对外界所做的功。
2. 第二定律：热力学箭头定律热力学箭头定律表明，在没有外界干扰的情况下，热能只能从高温物体传递到低温物体，热量不会自发地从低温物体传递到高温物体。
3. 第三定律：绝对零度绝对零度是温度的最低极限，等于绝对零度的物体处于无序状态，熵趋于零。
第三定律规定，在系统趋近于绝对零度时，系统的熵将趋近于一个确定的极限值。
三、统计物理学基本概念1. 微观态和宏观态微观态是指一个物理系统在一定时刻下的具体状态，包括了系统的粒子分布、动量、能量等信息。
宏观态则是指整个系统的宏观性质，如温度、压强、体积等。
2. 玻尔兹曼熵玻尔兹曼熵是描述系统的无序程度的物理量，与系统的微观状态数有关，熵越大，系统的无序程度越高。
3. 统计力学统计力学是通过分析系统的微观状态来推导宏观性质的物理学方法。
通过统计物理学的方法，可以研究大规模物质系统的性质和行为。
四、热力学和统计物理学的应用热力学和统计物理学是广泛应用于能源、天文学、材料科学等领域的重要工具。
在能源领域，热力学被用于描述能量转化和热引擎的效率。
热力学和统计物理学
热力学和统计物理学热力学是物理学的一个分支，研究能量转化与能量守恒的规律，以及物质系统的性质和行为。
统计物理学是热力学的延伸，它研究微观粒子的行为，并通过统计方法来揭示物质的宏观性质。
本文将简要介绍热力学和统计物理学的基本概念和关键内容。
一、热力学的基本概念热力学研究的对象是宏观物质系统，强调系统与外界的能量交换和守恒。
热力学第一定律是能量守恒定律，指出能量可以从一个系统传递到另一个系统，但总能量保持不变。
第二定律是热力学的核心，包括熵增原理和热力学箭头。
熵增原理指出孤立系统的熵永远不减，在自然过程中总是增加或保持不变。
热力学箭头则指出热量只能从高温物体传递到低温物体，不可能自动从低温物体传递到高温物体。
二、统计物理学的基本概念统计物理学研究微观粒子的行为，通过统计方法来揭示宏观物质性质。
统计物理学的核心是研究系统的物态密度，它描述了系统中粒子的能量分布。
物态密度与热力学量之间存在密切联系，通过物态密度可以计算熵、内能和压力等重要物理量。
统计物理学中的玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布描述了粒子在不同能级上的分布情况，从而揭示了系统的热力学性质。
三、热力学和统计物理学的关系热力学和统计物理学是密不可分的。
热力学描述了宏观系统的能量转化和性质变化，而统计物理学则从微观粒子的行为出发，解释了这种宏观行为的本质。
两者相辅相成，在研究物质系统时都起到了重要作用。
热力学提供了宏观的物理量和状态方程，而统计物理学则通过微观粒子的统计规律，解释和预测了热力学的结果。
四、应用领域热力学和统计物理学的应用广泛，涉及材料科学、化学、生物学和天体物理学等领域。
在材料科学中，热力学和统计物理学可以用来研究材料的相变行为和热导率等性质。
在化学中，它们可以解释化学反应的热效应和平衡常数。
在生物学中，热力学和统计物理学有助于理解生命现象和蛋白质的折叠过程。
在天体物理学中，热力学和统计物理学可以解释天体物质的行为和演化。
结语热力学和统计物理学是物理学中重要的两个分支，它们的发展推动了科学的进步和技术的发展。
热力学与统计物理学思考题及习题
《热力学与统计物理学》思考题及习题第一章 热力学的基本定律§1.1 基本概念1． 试求理想气体的定压膨胀系数α、定容压强系数β和等温压缩系数κ。
2． 假设压强不太高，1摩尔实际气体的状态方程可表为)1(Bp RT pv += , 式中B 只是 温度的函数。
求βα、和κ，并给出在0→p 时的极限值。
3． 设一理想弹性棒，其状态方程是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200L L LL kT F 式中k 是常数，0L 是张力F 为零时棒的长度，它只是温度T 的函数。
试证明：(1) 杨氏弹性模量223AL kTL A F L F A L Y T +=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=；(2) 线膨胀系数AYT F T L L F -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=01αα，其中F T L L ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=0001α，A 为弹性棒的横截面积。
4． 某固体的V Bp CT -=2α，V BT=κ，其中B 、C 为常数，试用三种方法求其状态方程。
5． 某种气体的α及κ分别为：pV Rνα=,V ap +=1κ,其中ν、R 、a 都是常数。
求此气体的状态方程。
6． 某种气体的α及k 分别为：()p f V aVT 134+=α，2Vp RT =κ。
其中a 是常数。
试证明：(1) ()2/p R p f =；(2) 该气体的状态方程为：T ap RT pV /-=。
7． 简单固体和液体的体胀系数α和压缩系数κ的值都很小，在一定的温度范围内可以近似视为常数。
试证明其状态方程可表为：)0,(),(00T V p T V =[p T T κα--+)(10]。
8． 磁体的磁化强度m 是外磁场强度H 和温度T 的函数。
对于理想磁体，从实验上测得： T C H m T =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ ，2T CH T m H-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ ， T CH m =。
其中C 是居里常数。
试证明其状态方程为：m =。
9． 求下列气态方程的第二、第三维里系数：(1) 范德瓦耳斯方程RT b v v ap =-+))((2；(2) 克劳修斯方程b v RT p -=2)(c v T a +-。
热力学与统计物理课后习题答案第六章
第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式（）证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为解:式（）给出，在体积3V L =内，在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3d d d .x y z Vp p p h （1） 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V 内，.p （2） 3h 因此.ε（3）6.2为解:在长度.p （1） 代入，即得()122d d .2L m D h εεεε⎛⎫=⎪⎝⎭（2） 6.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为解:根据式（），二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为21d d d d .x y x y p p h（1）用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为在面积2L 内，动量大小在p 到d p p +范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的状态数为22d d .L p p h θ（2） 对d θ积分，从0积分到2π，有2.p （3） .ε（4）6.4解:数为.p （1）.ε（2）6.5N N '作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 和其中l ε和l ε'是两种粒子的能级，l ω和l ω'是能级的简并度.解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '，总能量为E ，体积为V 时，两种粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件,,ll l l l lllllaN a N a a Eεε''==''+=∑∑∑∑（1）才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布{}l a 和{}l a '时各自的微观状态数为!,!.l l a l ll la l N Ωa ω'='∏∏（2）.'（3）.为求使()0ln Ω的变化.即但这些即.ll '（4）.子数,N N '和能量E 具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的β.6.6同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解:当系统含有N 个玻色子，N '个费米子，总能量为E ，体积为V 时，粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件l llllla a E εε''+=∑∑（1）才有可能实现.玻色子处在分布{}l a ，费米子处在分布{}l a '时，其微观状态数分别为 系统的微观状态数()0Ω为()0.ΩΩΩ'=⋅（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使()0Ω或()0ln Ω为极大的分布.将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得令各l a 和l a '有δl a 和δl a '的变化，()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化，使用权()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}l a '必使 即即（4）。
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2、粒子运动状态的描述、 μ空间、相轨道
设粒子自由度为r，以r个广义坐标q1，……，qr为横轴，以r 个广义动量p1，……，pr为纵轴所构成的2r维空间叫μ空间。 在μ空间中的一个点代表粒子的运动状态，这个点叫代表点。 粒子运动状态改变时，代表点移动所描述的轨道叫相轨道。
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3、相轨道的作法
2 px nx L
nx 0,1,2,
2 py ny L
n y 1,1,2,
（ 1）
2 pz nz L
nz 0,1,2,
能量可能值为
2 2 2 n n n 1 2 2 x y z 2 2 ( px p y pz ) 2m m L2 2 2
步骤
①确定粒子自由度r
②确定广义动量与广义坐标满足的函数关系
③画出相轨道
[例1]
[例2]
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[例1]
从静止开始沿直线作匀加速运动，作出相轨道。 解:取运动方向为x轴正向,坐标和动量为 p
1 2 p mv mat x x0 at 2
（ 1）
由（1）作出的相轨道如图4.2.1所示。
消去t 得到
PAB PA PB
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4、随机变量的概率分布
以一定概率取各种可能值的变量叫随机变量. ①分离型随机变量的概率分布 ②连续型随机变量的概率分布
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①分离型随机变量的概率分布
x1 , x2 ,, xi ,, xn Pi P , P , , P , , P i n 1 2
（ 2）
当V 较大时，动量px，py，pz和能量ε实际上可视为连续变化。 由此求得 体积V内、动量在dpx，dpy，dpz范围内自由粒子的量子态数
V N dnx dn y dnz 3 dpx dp y dpz h
（ 3）
若不考虑方向，则动量大小在p→p＋dp范围，自由粒子的 量子态数
4V 2 dN 3 p dp h
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一、近独立粒子体系Fra bibliotek若一个粒子构成的体系，各粒子之间相互作用可忽略，
则这种粒子组成的体系叫近独立粒子体系。
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二、粒子运动状态的经典描述 1、自由度 2、粒子运动状态的描述、μ空间、相轨道 3、相轨道的作法
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1、自由度
确定一个粒子的位置所需要的独立坐标数，叫自由度，记为r， 例如：平面上自由运动的粒子，r=2；直线上运动的粒子，r=1。
6.1 概率分布函数
一、统计物理的基本观点 二、概率及概率分布 三、统计平均值和涨落 四、多个随机变量的联合概率分布函数 五、几种典型的概率分布
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一、统计物理的基本观点
1、物质是由大量微观粒子组成，分子间有作用力 2、微观粒子作杂乱无章，永不停止的热运动 3、物体宏观量是相应微观量的统计平均值 4、单个微观粒子遵从力学规律性，大量粒子遵从统计规律性
波函数或量子数描述的粒子状态叫量子态。
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四、常见粒子的量子态
⒈自旋状态
⒉三维自由粒子的量子态及量子态数
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1、自旋状态
对电子、质子、中子等粒子，用自旋磁量子数表示
1 mS 2
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2、三维自由粒子的量子态及量子态数
边长为L的立方体容器中的自由粒子，其状态由量子数nx，
ny，nz描述，动量的三个分量px，py，pz为
算术平均值的极限值即为统计平均值，即
X lim
N
x N x P N
i i i i i
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2、涨落
宏观量的观察值与统计平均值有偏差的现象叫张落现象。 归平均值的偏差叫涨落。
方差
(x) 2 ( xi X ) 2 X 2 ( X ) 2
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四、多个随机变量的联合概率分布函数
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2、泊松分布
(n ) n n PN (n) e n!
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3、高斯分布
P ( n)
1 2 (n) 2
e
( n n ) 2 / 2 ( n ) 2
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4.2 粒子运动状态的经典描述和量子描述
一、近独立粒子体系
二、粒子运动状态的经典描述 三、微观粒子运动状态的量子描述 四、常见粒子的量子态 五、粒子能态密度g(ε)
2 / m 2
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三、微观粒子运动状态的量子描述 ⒈微观粒子的特性 ⒉微观粒子状态的量子描述
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1、微观粒子的特性
（1）波粒二象性，并遵从德布罗意关系式
h
p h / k
（2）遵从测不准关系
qp h
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2、微观粒子状态的量子描述
微观粒子的状态要用波函数Ψ或者一组量子数来描述，用
变量 X取值在dx、变量Y取值在dy范围的概率。
ρ(x,y)的联合分布
dW ( x, y )dxdy
ρ(x,y)的边缘分布
( x)dx [ ( x, y )dy ]dx
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五、几种典型的概率分布
1、二项分布 2、泊松分布 3、高斯分布
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1、二项分布
N! n N n PN (n) pq n!( N n)!
利用能量
（ 4）
p2 2m
得到体积V内，粒子能量在ε→ε＋dε的量子态数
2v dN 3 (2m)3 / 2 1/ 2 d h
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二、概率及概率分布
1、随机事件的概率 2、概率的加法定理
3、概率的乘法定理
4、随机变量的概率分布
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1、随机事件的概率
NA p A lim N N
（ 1）
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2、概率的加法定理
若A、B为互斥事件，则
PA B PA PB
（ 2）
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3、概率的乘法定理
若A、B事件互为独立，则
p m 2a( x x0）
0
x0 图4.2.1
x
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[例2]
一维谐振子的相轨道
2
p 1 m 2 x 2 2m 2
写为标准椭圆方程形式
p
（ 2）
2m
2 / m 2
0
x
p x 1 2 2m (2 / m )
给定ε时，椭圆的半轴分别为
2m 和
2
2
（ 3）
图4.2.2
P 1
i
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②连续型随机变量的概率分布 随机变量x取值在x→x＋d的概率dW,则概率分布为:
( x) dW / dx
( x)dx 1
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三、统计平均值和涨落
1、统计平均值
2、涨落
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1、统计平均值
对连续型：
X x ( x)dx
f f ( x) ( x)dx