关于数论函数方程

关于数论函数方程()()2S n n ϕ=李宋宋（安徽师范大学 安徽芜湖 241000）摘要:对于任给的正整数n ，()n ϕ和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数，本文根据初等数论的理论以及分类讨论的方法，对数论方程()()2S n n ϕ=的解进行了讨论并给出了解的表达式以及解的判别条件。

关键词:Euler 函数;Smarandache 函数;阶乘;费马数;方程On the Arithmetic Functional Equation()()2S n n ϕ=Abstract: For any given positive integer n,()n ϕ and ()S n are Euler function and Smarandache functionrespectively, according to the elementary number theory and the method of classification discussion, this article has discussed the arithmetic functional equation ()()2S n n ϕ=and finally given the expression and thediscriminants of solution.Keywords: Euler function ；Smarandache function ；factorial ；Fermat number ；equations1 引言对于任意正整数n ,设()n ϕ和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数.其中,()n ϕ表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数;()S n 定义为最小正整数m ,使得|!n m ，即:!}|,{()min m n m m Z S n +=∈.()S n 的各种性质是数论及其应用领域中一个十分引人关注的研究课题[1].关于这两个函数之间关系的讨论,一直也是很多学者研究的对象[2]-[4], 例如文献[2]中讨论了数论方程()()tn S n ϕ=的相关性质和求解过程，并且在很多学者努力下，此类型方程的求解结果已经很完善；文献[4]中讨论并给出了方程()()2n n ωϕ=的解.在诸多文章和结果的启发下，本文提出了一类数论方程()()2S n n ϕ=的求解问题,并通过分类讨论的方法，在现有的五个费马素数的基础上得到了此类方程解的表达式和部分解的判别条件.现将本文的主要结果列在下面：定理 对于任给的正整数n ,()n ϕ和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数，若n 为数论方程()()2S n n ϕ=的解，则n的标准分解式为：12m s n p p =,1(3,15)s p p s ≤<<≤≤为素数,其中221k ii p =+，{0,1,2,3,4},(1,,)i k i s ∈=，m 满足：(1)当1s =时，1121km p =-+，1{23,4}k ∈，，或者m 满足不等式组：11111(21)21(22)221k k k k a m a m m p ⎧+-≤-⎪+->-⎨⎪≥-⎩，1{12,3,4}k ∈， 特别地，当15p =时，21,3t m t =-≥.（2）当15s <≤时，121i sk s i m p ==-+∑，或者m 满足不等式组：1111(21)21(22)221i i i is sk k i i s s k k i i s a m a m m p ====⎧+-≤-⎪⎪⎪+->-⎨⎪⎪≥-⎪⎩∑∑∑∑ 其中{0,1,2,3,4}i k ∈.()a n 为n 的二进制表示的各数字之和.2 相关引理引理1[5]对任意互素的正整数a 和b ，Euler 函数为积性函数，即()()()ab a b ϕϕϕ=.引理2[5]如果1212ss n p p p ααα=是正整数n 的标准分解式,其中i p 为不同素数，iα为正整数=1,2,,s （i ），则有11(1)()isi i i p p n αϕ-=-=∏引理3[6] 如果1212ss n p p p ααα=是正整数n 的标准分解式,则有1212()max{(),(),,()}ss S n S p S p S p ααα=引理4[5]若12,,,s p p p 为不大于n的互不相同的正素数，则!n 的标准分解式为21!k i i i i in n n sp p p i n p⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦==∏其中1i i k k i i p n p +≤<.引理5 对任给的正整数k ,方程(2)m m k S +=的解m 满足：()(1)1a m k ka m k k +≤⎧⎨+->-⎩ 其中()a n 表示n 的二进制表示的各数字之和.证明 设()!m k +的标准分解式中,2的指数为2()!Ord mk +,首先证明2()!()()Ord m k m k a m k +=+-+.设()m k +的二进制表示为1(s s m k a a -+=102)a a ,其中0i a =或1，(0~)i s =,记()a m k +为二进制表示的数字之和，即110()s s a m k a a a a -+=++++则由引理4,2()!222m k m k m k Ord m k t ⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中12()2t t m k +≤+<,于是212121221112111210121010()!()()()(111)(111)++(11)(10001)(10001)++(1001)(101)(11)()()().s s s s s s sS S s s S S s s s s s s Ord m k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a m k a m k ---------+=++++=++=-+--+-+-=-+++=+-+个个个个其次,若m 为方程(2)mm k S +=的解,由()S n 的定义知,min{:2!}mm k n n +=,也就是：22()!,(-1)!Ord m k m Ord m k m +≥+<且即()()(1)(1)().(1)1m k a m k m m k a m k m a m k k a m k k +-+≥⎧⎨+--+-<⎩+≤⎧⇒⎨+->-⎩引理6[7]若p 为21t+型的素数,则2k t =,即221kp =+为费马素数.目前知道的费马素数只有3,5,17,257, 65537,本文就在这些费马素数的范围内讨论所给方程的解.3 定理的证明分两部分证明，首先证明方程解的标准分解式为 12m s n p p =,1(3p ≤<<,15)s p s ≤≤；其次给出1,,,s p p m 应满足的条件。

第一部分：当1n =时,(1)(1)1,22S ϕ==,因此1n =不是方程的解；当n p α=时,代入方程有：1()()(1)2S n n p p αϕ-=-=因此要求(i) 当3p ≥时,1α=,即12pp -=,显然等式不成立,故此种情形无解；(ii) 当2p =,即1(2)22,S αα-=从而1(2)S αα-=.由于222111(!)()222222k k Ord αααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++≤+++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦——（*）所以1(2)S ααα-<<,故此种情形无解；当1221ssp n p p ααα=时, 1(3p ≤<,2,1,,)s i p Z s i s α+<∈≥=为素数，此时方程为：1()1()(1)2i sS n i i i n p p αϕ-==-=∏要使方程有解,则1(1,,)i i s α==,方程可写为：1(1)2s sp i i p =-=∏.则(1,,)i p i s =必为21k+型的素数,由引理6知, (i p i =1,,)s 为Fermat 素数,本文仅考虑3,5,17,257,65537这5个费马素数.设为:221k ii p =+, {0,1,2,3,4}i k ∈,其中1,,,24i s s =≤≤根据引理知，s11222()=222sk ik k i n ϕ=∑=12()max{(),(),,()}s s S n S p S p S p p ==代入方程得:21221k si sk i ==+∑, 但是23211125222,(0)k sisssk k k s i k k ++=<⨯<<>=∑也即 ()()2S n n ϕ<.因此,此种情形方程无解.排除以上几种情况,并且由上面的分析可知,n 的标准分解式只能为：112(3),15m s s n p p p p s =≤<<≤≤——（**）第二部分：将（**）代入方程()()2S n n ϕ=有： 1()12(1)(1)2m S n s p p ---=如果方程有解,则(1,,)i p i s =必须为21t +形的素数,由引理6,(1,,)i p i s =为费马素数221kp =+.下面对s 进行分类讨论：(1)当1s =时,即2m n p =,其中221kp =+0,1,2,3,=（k ）,根据引理2和引理3,有：11212()2(1)222k km m m n p ϕ---+=-==()(2)max{(2),}m m S n S p S p ==代入方程得：12(2)2,(2)22,(2)km p mm S mp S p S -+⎧≥⎪=⎨<⎪⎩① 当221(2)km p S +=≥时,若方程有解,则有：2122121kk k m m p -+=+⇒=-+对k 进行分类讨论：当0,3k p ==时,得3m =,但是3(2)43S =>,矛盾！ 当1,5k p ==时, 521m =-+即4m =，但是4(2)65S =>,矛盾！当2,17k p ==时, 1741m =-+，即14m =，并且14(2)17S <,故14217n =⨯为方程的解；当3,257k p ==时，得m =250，并且250(2)257S <,故2502257n =⨯为方程的解；当4,65537k p ==时,得m =65522，并且65522(2)65537S <,故65522265537n =⨯为方程的解；②当221(2)km p S +=<时,若方程有解,则12(2)k m m S -+=,同样对k 进行分类讨论：当0,3k p ==时,有(2)m m S =,由（*）式知此种情形无解；当1,5k p ==时,有1(2)m m S +=,若方程有解,由引理5知m 应满足：(1)1(1)1()0a m a m a m +≤⎧⇒+=⎨>⎩12(3)21(3t tm t m t ⇒+=≥⇒=-≥ 因此,2125,(3)tn t -=⨯≥为方程的解.当2,17k p ==时,有3(2)mm S +=,若m 为方程的解,由引理5,当且仅当(3)3(2)2a m a m +≤⎧⎨+>⎩ 当3,257k p ==时,有7(2)m m S +=,若m 为方程的解,由引理5,当且仅当(7)7(6)6a m a m +≤⎧⎨+>⎩ 当4,65537k p ==时,有15(2)m m S +=,若m 为方程的解,由引理5,当且仅当(15)15(14)14a m a m +≤⎧⎨+>⎩综合起来,2mn p =型的解为：1121k m p =-+，12k ≥，或者m 满足不等式组：111111(21)21(22)22,11k k k ka m a m k m p ⎧+-≤-⎪+->-≥⎨⎪≥-⎩. 并且当15p =时，21,3t m t =-≥.解的具体表达式参见表格1.表格1 方程()()2S n n ϕ=的2mn p =型的解Table 12m n p = type of solution of the equation ()()2S n n ϕ=表格2 方程()()2S n n ϕ=的122m n p p =型的解Table 2122m n p p = type of solution of the equation ()()2S n n ϕ=（2）当2s =时,即122m n p p =,其中1222121221,21(04)k k p p k k =+=+≤<≤,根据引理2和引理3知：1212122122()2222k k k k m m n ϕ--++==22()(2)22,(2)22,(2)mp mS n S mp S p S ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 代入方程()()2S n n ϕ=有：12222,(2)122(2),(2)mk k m mp p S m S p S ⎧≥⎪-++=⎨<⎪⎩1212222221,(2)122(2),(2)k k mk k m mm p p S m S p S ⎧=--+≥⎪⇒⎨-++=<⎪⎩ 同（1）中的讨论方法一样,不同的是,此时是对12(,)k k =（0,1）,（0,2）,（0,3）,（0,4）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）进行分类讨论,具体步骤不再重复,最后得到对12(,)k k 的所有分类情况均存在方程的解.归纳起来有：122m n p p =型解中122221k k m p =-++，或者m 满足不等式组：121212122(221)221(222)2221k k k k k k k ka m a m m p ⎧++-≤+-⎪++->+-⎨⎪≥-⎩其中12,k k N ∈，且1204k k ≤<≤.解的具体表达式参见表格2.(3) 当3s =时,即1232mn p p p =,其中212321,1,2,3(04)k ii p i k k k =+=≤<<≤根据引理2和引理3知33121212221222()22222k k k k k k m m n ϕ--+++==33()(2)32,(2)22,(2)mp m S n S mp S p S ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 代入方程有：33312322221,21(2)1222(2),21(2)kkk m k k k m m S m S S ⎧++≥⎪-+++=⎨+<⎪⎩333133121,(2)12(2),(2)i i k m i k m m i m p p S m S p S ==⎧=-+≥⎪⎪⇒⎨⎪-+=<⎪⎩∑∑ 同前面的讨论方法一样,对123(,,)k k k =（0,1,2），（0,1,3），（0,1,4），（0,2,3），（0,2,4），（0,3,4），（1,2,3），（1,2,4），（1,3,4），（2,3,4）的进行分类讨论,最后得到每种情况均存在方程的解，综合起来有： 1232m n p p p =型解中33121i k i m p ==-+∑或者m 满足不等式组：331133113(21)21(22)221i ii i k k i i k ki i a m a m m p ====⎧+-≤-⎪⎪⎪+->-⎨⎪⎪≥-⎪⎩∑∑∑∑ 其中123,,k k k N ∈，且12304k k k ≤<<≤.具体表达式参见表格3.（4） 当4s =时, 12342m n p p p p =,其中221k ii p =+,1,2,3,4i =，12(0k k ≤<34)k k <<,此时：312412222()22222k k k k m n ϕ-=31241222+22k k k k m -+++=44()(2)42,(2)22,(2)m p m S n S mp S p S ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩若方程有解,则：31241222+2k k k k m -+++44422221,21(2)(2),21(2)kkk m m m S S S ⎧++≥⎪=⎨+<⎪⎩444144121,(2)12(2),(2)i i k m i k m m i m p p S m S p S ==⎧=-+≥⎪⎪⇒⎨⎪-+=<⎪⎩∑∑ 同前面的讨论方法一样,对1234(,,,)k k k k =（0,1,2,3）,（0,1,2,4）,（0,2,3,4）,（1,2,3,4）进行分类讨论,最后也可得到每种情况均存在方程的解， 12342m n p p p p =型的解中44121i k i m p ==-+∑或者m 满足不等式组：441144114(21)21(22)221i i i i k k i i k ki i a m a m m p ====⎧+-≤-⎪⎪⎪+->-⎨⎪⎪≥-⎪⎩∑∑∑∑其中1234,,,k k k k N ∈，且1230k k k ≤<<<44k ≤.解的具体表达式参见表格4.表格3 方程()()2S n n ϕ=的1232m n p p p =型的解Table 31232m n p p p = type of solution of the equation ()()2S n n ϕ=满足：6)65)5+≤+> 35257nm 满足10)109)9+≤⎧⎪+>⎨3565537满足18)1817)17+≤+>满足12)1211)11+≤+>m 满足20)2019)19m m +≤⎧⎪+>⎨满足24)24+≤ 满足13)13+≤ 满足21)21+≤ 525765537满足25)25+≤ 1725765537满足27)27+≤表格4 方程()()2S n n ϕ=的12342m n p p p p =型的解Table 112342m n p p p p = type of solution of the equation ()()2S n n ϕ=（5）当5s =时,即23517m n =⨯⨯⨯⨯2565537⨯此时：112481630()2222222m m n ϕ-+=⋅⋅⋅⋅⋅=65537()(2)2,65537(2)22,65537(2)m m S n S mS S ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 代入方程,若m 为方程的解,则m 满足：65537,65537(2)30(2),65537(2)mm mS m S S ⎧≥⎪+=⎨<⎪⎩ 若65537(2)m S ≥,则306553765507m m +=⇒=并且65507(2)65537S <,即6550723n =⨯51725765537⨯⨯⨯⨯为方程的解；若65537(2)mS <,有30(2)mm S +=,则由引理6, m 满足：(30)30(29)2965536a m a m m +≤⎧⎪+>⎨⎪≥⎩此时,2351725765537mn =⨯⨯⨯⨯⨯.也综上,在现有的五个Fermat 素数的基础上,对数论方程()()2S n n ϕ=的解进行了讨论,给出了部分解的表达式和解的判别条件.值得思考的是,本文没有总结出解的一般形式,但并不意味着不存在这样的表达式.比如根据二进制数码和组合数的相关性质,结合给出的解答判别条件,或许能得到更优的结论.参考文献：[1]Dubuc S.Interpolation through an iterative scheme. 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