关于数论函数方程

关于数论函数方程()

()2

S n n ϕ=

李宋宋

（安徽师范大学 安徽芜湖 241000）

摘要:对于任给的正整数n ，()n ϕ和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数，本文根据初等数论的理论以及分类讨论的方法，对数论方程()()2S n n ϕ=的解进行了讨论并给出了解的表达式以及解的判别条件。

关键词:Euler 函数;Smarandache 函数;阶乘;费马数;方程

On the Arithmetic Functional Equation

()()2S n n ϕ=

Abstract: For any given positive integer n,

()n ϕ and ()S n are Euler function and Smarandache function

respectively, according to the elementary number theory and the method of classification discussion, this article has discussed the arithmetic functional equation ()()2S n n ϕ=and finally given the expression and the

discriminants of solution.

Keywords: Euler function ；Smarandache function ；factorial ；Fermat number ；equations

1 引言

对于任意正整数n ,设()n ϕ和()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函数.其中,()n ϕ表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数;()S n 定义为最小正整数m ,使得

|!n m ，即:!}|,{()min m n m m Z S n +=∈.

()S n 的各种性质是数论及其应用领域中一

个十分引人关注的研究课题[1]

.关于这两个

函数之间关系的讨论,一直也是很多学者研

究的对象[2]-[4]

, 例如文献[2]中讨论了数论方程()()t

n S n ϕ=的相关性质和求解过程，并且在很多学者努力下，此类型方程的求解结果已经很完善；文献[4]中讨论并给出了方程()()2n n ωϕ=的解.在诸多文章和结果的启发下，本文提出了一类数论方程

()()2S n n ϕ=的求解问题,并通过分类讨论的

方法，在现有的五个费马素数的基础上得到

了此类方程解的表达式和部分解的判别条件.现将本文的主要结果列在下面：

定理 对于任给的正整数n ,()n ϕ和

()S n 分别是Euler 函数和Smarandache 函

数，若n 为数论方程()

()2

S n n ϕ=的解，则n

的标准分解式为：

1

2m s n p p =,

1(3,15)s p p s ≤<<≤≤为素数,其中

22

1k i

i p =+，{0,1,2,3,4},(1,,)i k i s ∈=，

m 满足：

(1)当1s =时，1121k

m p =-+，

1{23,4}k ∈，，或者m 满足不等式组：

11111(21)21(22)221

k k k k a m a m m p ⎧+-≤-⎪+->-⎨⎪≥-⎩

，1{12,3,4}k ∈， 特别地，当15p =时，21,3t m t =-≥.

（2）当15s <≤时，121i s

k s i m p ==-+∑，

或者m 满足不等式组：

11

11(21)21(22)22

1i i i i

s s

k k i i s s k k i i s a m a m m p ====⎧+-≤-⎪

⎪

⎪+->-⎨⎪

⎪≥-⎪⎩

∑∑∑∑ 其中{0,1,2,3,4}i k ∈.()a n 为n 的二进制表示的各数字之和.

2 相关引理

引理1[5]

对任意互素的正整数a 和b ，Euler 函数为积性函数，即

()()()ab a b ϕϕϕ=.

引理2[5]

如果12

12

s

s n p p p ααα=是正整

数n 的标准分解式,其中i p 为不同素数，i

α为正整数

=1,2,,s （i ），则有

11

(1)()i

s

i i i p p n αϕ-=-=∏

引理3[6] 如果12

12

s

s n p p p ααα=是正整

数n 的标准分解式,则有

1

2

12()max{(),(),

,()}s

s S n S p S p S p α

αα=

引理4[5]

若

12,,,s p p p 为不大于n

的互不相同的正素数，则!n 的标准分解式为

21

!k i i i i i

n n n s

p p p i n p

⎡⎤⎡⎤

⎡⎤+++⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

==∏

其中1

i i k k i i p n p +≤<.

引理5 对任给的正整数k ,方程

(2)m m k S +=的解m 满足：

()(1)1

a m k k

a m k k +≤⎧⎨

+->-⎩ 其中()a n 表示n 的二进制表示的各数字之和.

证明 设()!m k +的标准分解式中,2的指数为2()!Ord m

k +,首先证明

2()!()()Ord m k m k a m k +=+-+.

设()m k +的二进制表示为1

(s s m k a a -+=

102)a a ,其中0i a =或1，(0~)i s =,记

()a m k +为二进制表示的数字之和，即

110()s s a m k a a a a -+=++++

则由引理4,

2()!222m k m k m k Ord m k t ⎡⎤

⎡⎤+++⎡⎤+=++

+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦

其中1

2()2

t t m k +≤+<,于是

21

2121

2211121112101

21010()!()()()(111)(111)+

+(11)(10001)(10001)++(1001)(101)(11)

()

()().

s s s s s s s

S S s s S S s s s s s s Ord m k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a m k a m k ---------+=++

++=++=-+--+-+-=-++

+=+-+个

个

个

个

其次,若m 为方程(2)m

m k S +=的解,由

()S n 的定义知,min{:2!

}m

m k n n +=,也就是：

22()!,(-1)!Ord m k m Ord m k m +≥+<且