反比例函数的图象与性质

§11.2 反比函数的图像与性质（1）
教学目标：
1.类比画一次函数图象的方法，用描点法画出反比例函数的图象；
2.利用反比例函数的图象得到其基本特征，认识表达式、列表、图象是相互印证、和谐统一的；
3.在画出反比例函数的图象，并探究其性质的过程中，体会“分类讨论”“数形结合”以及“从特殊到一般”的数学思想.
一、学习导入
复习提问
（1）大家以前还学过哪些函数？研究这些函数时，我们是从哪几个方面入手的？
（2）我们已经学习了反比例函数的定义，接下来还应研究它哪方面的知识呢？
（3）回顾用描点法画出一次函数图象的步骤：列表、描点、连线
设计意图：结合复习研究函数的一般方法，引出本节课的学习内容。

让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质，为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫．
二、探究新知
【探究一】 利用手中的网格纸，画出反比例函数x
y 6 的图象． 师生活动：（1）学生独立操作，用“描点”法画函数图象，教师巡视，收集并展示学生画出的典型图象．
（2）针对所展示的作图里出现的问题，让学生互相完善和补充。

教师适时提问：选取自变量的值时，要注意什么？连线时要注意什么？图象延伸的趋势是怎样的？为什么？教师引导学生思考和回答。

（3）教师小结作图的注意事项，并通过课件演示作图规范。

设计意图：图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用“描点”法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体的感性认识。

列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x ≠0）。

同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象的特征；连线时按照自变量从
小到大的顺序顺次连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。

根据学生作图容易出现图象末端延伸趋势有误的问题，结合作图实例的对比，有针对性的引导学生从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（ x ≠0，y ≠0，k ≠0）或“式”（解析式中x ，y 的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识。

使学生初步理解双曲线与x 轴、y 轴“越来越靠近”但不相交的趋势。

同时为探究函数的性质做好准备。

问题1 观察反比例函数x
y 6=和x y 12=的图象，它们有哪些共同特征？ 师生活动：学生观察，思考，四人小组讨论，归纳．学生代表发表观点和看法，互相交流和补充，形成统一的认识。

教师引导和评价，给出双曲线的名称．
设计意图：学生感受“形”的特征，类比对一次函数图象和性质的学习，容易观察得到函数图象的形状、位置和变化趋势，对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。

反比例函数具有丰富的性质，且九年级学生思维能力强，适当放开，以小组讨论的形式给学生充分交流，既激发学生探究问题的主动性和热情，又给学生一个更广阔的思维空间，培养了学生的合作交流能力。

注意把握好“度”，对双曲线的渐进性、对称性以及相对于原点的位置等等，若学生有所发现，教师给予肯定，但不作基本要求。

问题2 你能由列表中数值的关系，或者由函数解析式来解释这些性质吗？
师生活动：学生先独立思考，再四人小组合作交流．学生回答，教师引导和评价．
设计意图：函数的表示法有解析式法、列表法和图象法。

函数图象是研究函数性质的直观载体，从图象上较容易整体把握函数的性质，但是难以深入局部和细节；而解析式可以对函数性质进行无限“解读”，但不够直观。

学生观察函数图象，归纳得到函数的性质后，引导学生结合列表中数值的关系，或者观察解析式的特点，去解释说明这些性质，这样结合函数图象和解析式去研究函数的性质，既深化了学生对函数性质的认识，又体现了数形结合的思想。

追问1 对于一般的k >0的反比例函数，是否也具有同样的性质呢？
师生活动：学生猜想，教师演示几何画板，在k ＞0的前提下赋予不同的k 值，学生观察所得到的反比例函数图象的特征，引导学生发现“变化中的规律性”。

设计意图：通过几何画板演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，
归纳得到k＞0时，反比例函数的图象特征和性质。

问题
3 猜想反比例函数
x
k
y=（k＜0）的图象和性质是怎样的呢？你是怎么猜的？
师生活动：学生猜想，回答．
设计意图：引导学生根据已有经验猜想，使学生巩固在探究一中获得的经验和思考方法。

同时，引出对k＜0的反比例函数的图象和性质的探究。

【探究二】
请类比刚才的探究过程，探究反比例函数
x
k
y=（k＜0）的图象和性质，验证一下你的猜想。

追问1 类比k＞0的情况，你能归纳k＜0时函数的性质吗？
师生活动：学生画出
6
y
x
=-的反比例函数，借鉴画反比例函数
x
y
6
=或
x
y
12
=的图象的经验，自主画出函数图象，教师巡视指导。

作图完成后，展示作品，学生说出函数的图象特征和性质。

教师演示几何画板，赋予k不同的负值，引导学生发现“变化中的规律性”。

设计意图：通过再次画出反比例函数的图象，使学生巩固作图经验。

同时，在总结说出反比例函数的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历画出函数图象，并利用函数图象研究函数性质的过程。

【小结归纳】
函数图象形状图象位置变化趋势
x
k
y=
师生活动：教师帮助学生梳理、归纳。

设计意图：通过归纳，培养学生的抽象概括能力。

三、应用新知
（1）下列图象中是反比例函数图象的是（）．
（2）如图所示的图象对应的函数解析式为（ ）．
A. x y 5=
B. 32+=x y
C. x
y 4= D. x y 3-= 第（2）题图 第（3）题 （3）填空：
① 反比例函数x
y 5=
的图象在第______象限． ② 反比例函数x k y =的图象如图所示，则k ____0；在图象的每一支上，y 随x 的增大而______．
师生活动：师生问答，引导学生关注各题对应考查的知识点。

设计意图：通过练习，实现知识向能力的转化。

四、 课堂小结
师生共同回顾本节课所学主要内容，学生回答以下问题，最后教师总结各环节的学习方法和数学思想。

（1）这节课我们从哪几个方面去研究反比例函数？
（2）在这些环节中你学到了哪些知识？
（3）从中体会到了哪些数学思想方法？
设计意图：教师引导学生回顾本节课的学习过程，梳理知识脉络，归纳知识点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为完整、全面的认识。

结束语：今天，我们通过反比例函数图像与性质的学习与探究，对比一次函数的学习，我们发现图像由“一条”到“两支”，由“连续”到“间断”，形态由“直”到“曲”，由与坐标轴“相交”到“无限趋近”.这是知识与方法的一次拓展，是理解与认识的一次升华，是思维上的一次飞跃.
以后，我们将继续用“数形结合”的视角
研究反比例函数更多的性质，探究更多新函数.
五、分层作业，共同提升
1.必做题：
在同一坐标系中，用描点法画出y = 4
x和y =－
4
x的图像.
2.选做题：
利用今天研究函数的方法，探究函数y = x＋1
x的性质，请写出y = x＋
1
x的3条性质.。