高等数学1-1映射与函数

f 构成的复合映射, 记作 f o g, 即 f o g: X Z,
(f o g)(x)f[g(x)], xX . 讨论： 映射 g 和 f 构成复合映射的条件是什么？ 例 4 设有映射 g : R[1, 1], 对每个 xR, g(x)sin x, 映射 f : [1, 1][0, 1], 对每个 u[1, 1], f (u) 1u 2 , 则映射 g 和 f 构成复映射 f o g: R[0, 1], 对 每个 xR, 有
y [ x ]
称为取整函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f Z .
23GS1+04D5x%T()7C<689B sjvb,-zkg.W aperncofthwldquiym 还 耕 退 良 改 坡 山 括 地 工 人 然 天 的 产 业 牧 畜 于 者 或 能 功 态 生 有 具 指 是 称 所 。 例 条 适 ， 动 活 等 营 经 包 承 及 以 用 利 和 设 建 理 管 、 护 保 原 草 事 从 内 域 区 政 行 省 本 在
( f g )( x) f [ g ( x)] f (sin x) 1sin2 x |cos x| .
三、函数
f：D R为定义在D上的函数 ，通常简记为 1 定义：设非空数集 D R，则称映射
其中 x 称为自变量， y 称为因变量， D 称为定义域， 记作 D f ，即D f D y f（x），x D ， 注意: （1）记号 f 和 f(x)的含义是有区别 （2）函数的两要素: 例：求函数 y x 2 4 的定义域. 介绍单值函数与多值函数的概念。 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法) 函数的例子:
23GS1+04D5x%T()7C<689B sjvb,-zkg.W aperncofthwldquiym 还 耕 退 良 改 坡 山 括 地 工 人 然 天 的 产 业 牧 畜 于 者 或 能 功 态 生 有 具 指 是 称 所 。 例 条 适 ， 动 活 等 营 经 包 承 及 以 用 利 和 设 建 理 管 、 护 保 原 草 事 从 内 域 区 政 行 省 本 在
5 [ ] 0 , [ 2 ] 1 , []3, [1]1, [3. 5]4. 7
分段函数: 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 例。 函数 y
2 x 0 x 1 . 1 x x 1
这是一个分段函数, 其定义域为 D[0, 1](0, ) [0, ). 当 0x1 时, y 2 x ; 当 x>1 时, y1x. 例如 f ( ) 2
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g : XY 1,
f : Y 2Z,
其中 Y 1Y 2. 则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则, 它将每个 xX 映射成
f[g(x)]Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从 X 到 Z 的映射, 这个映射称为映射 g 和
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1 2 1 2 ; f (1) 2 1 2 ; 2
f(3)134.
2 函数的几种特性 1）有界性: 若 f ( x) 在 I 上有定义， M 0 ， x I 有 f ( x) M 成立则称函数 f ( x) 在 I 上有界， 否则称无界。 2）单调性 设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上任意两点 x1 x2 ，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) 则称函数 f ( x) 在区间 I 上是单调增加的；恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) 则称函数 f ( x) 在区间 I 上 是单调减少的。 3）奇偶性 设 D 关于原点对称，对于 x D ，有 f ( x) f ( x) ，称 f ( x) 为偶函数。 设 D 关于原点对称，对于 x D ，有 f ( x) f ( x) ，称 f ( x) 为奇函数。 4）周期性 设函数 f ( x) 的定义域为 D f ( x) ，如果存在一个不为 0 的常数 T ，对任意的 x D 均有 （通常说周期函数的周期是 F ( x T ) f ( x) 则称 f ( x) 为周期函数， T 为 f ( x) 的周期。 指其最小正周期） 3．反函数与复合函数 反函数:
X{(x, y)|x2y21}, Y{(x, 0)||x|1}, f : X Y, 对每个(x, y)X, 有 f : [ , ] [1, 1], 对每个 x [ , ] , f(x)sin x .
2 2 2 2
唯一确定的(x, 0)Y 与之对应. 例3
满射、单射和双射: 提问：上述三例各是什么映射？ 2. 逆映射与复合映射 逆映射： 设 f 是 X 到 Y 的单射, 则由定义, 对每个 yR f , 有唯一的 xX, 适合
23GS1+04D5x%T()7C<689B sjvb,-zkg.W aperncofthwldquiym 还 耕 退 良 改 坡 山 括 地 工 人 然 天 的 产 业 牧 畜 于 者 或 能 功 态 生 有 具 指 是 称 所 。 例 条 适 ， 动 活 等 营 经 包 承 及 以 用 利 和 设 建 理 管 、 护 保 原 草 事 从 内 域 区 政 行 省 本 在
f : XY ,
其中 y 称为元素 x(在映射 f 下)的像, 并记作 f(x), 即
yf(x),
而元素 x 称为元素 y(在映射 f 下)的一个原像; 集合 X 称为映射 f 的定义域, 记作 D f, 即
D f X ; X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记为 R f, 或 f(X), 即 R ff(X){f(x)|xX}.
x x0 例. 函数 y | x| . x x 0 1 x
称为绝对值函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f [0, ).
1 x 0 例. 函数 y sgn x 0 x 0 . 1 x 0
称为符号函数. 其定义域为 D(, ), 值域为 R f {1, 0, 1}. 例 设 x 为任上实数. 不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分, 记作[ x ]. 函数
高等数学 1
课时安排： 2 学时
教
案
编 号： 习题课□ 其它□
教学课型：理论课 √ 实验课□
题目（教学章、节或主题） ： §1.1 映射与函数 教学目的要求（分掌握、熟悉、了解三个层次） ： 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法。 2. 了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。 3. 理解复合函数、反函数的概念。 4 .熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。 5 .会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点、难点： 重点： 函数的概念，基本初等函数和初等函数的概念，复合函数的概念； 难点：函数的概念及性质 教学方式、手段、媒介： 由于本次课是本章的基础课， 概念性东西较多，同时部分也是以前高中就学过的知 识，所以 1、 2、 3、 本次课以 ppt 演示为主，重要的地方辅以板书注解 课堂提问，活跃气氛，增加同学的上课积极性 理论知识讲解结合实例，让同学能更好的掌握知识
4 常见的数集 N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: N Z , Z Q, Q R. 5 例子
A {1, 2}， C {x x 2 3x 2 0} ，则 A C
不含任何元素的集合称为空集, 记作 例如, {x x R, x 2 1 0} 规定 空集为任何集合的子集. 6 运算 （提问交流） 5) 其运算律 (1) A B= BA, AB =BA (2)（AB )C =A(B C) , (A B)= A(B C) (3)（AB ) C =(A C )(B C) （A B ) C =(A C ) (B C) (4) ( A B)c AC BC ,( A B)c Ac Bc 注意 A 与 B 的直积 AB {(x,y)xA 且 yB} 例如：R R={(x,y)xR 且 yR} 表示 xoy 面上全体点的集合, R R 常记为 R 2 7 邻域: 设 a 与 是两个实数且 0 ， 称集合 {x a x a } 为点 a 的 邻域。 点a叫 做这邻域的中心， 叫做这邻域的半径。记作 U (a) {x a x a } 点 a 的去心 邻域记做 U0 (a) ， U 0 (a ) {x 0 x a } 。 注意：邻域总是开集。 二、映射 1. 映射的概念 定义 设 X、 Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则 f, 使得对 X 中每个元素 x, 按法 则 f, 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作
f(x)y, 于是, 我们可定义一个从 R f 到 X 的新映射 g, 即 g : R f X,
对每个 yR f , 规定 g(y)x, 这 x 满足 f(x作 f 1, 其定义域 D f 1 R f , 值域 R f 1 X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？ 复合映射：设有两个映射