圆思维导图
圆的有关概念和性质思维导图
定义 性质
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合
圆将平面分为圆内、圆上、圆外三部分
圆的确定
不在同一直线上的三点确定一个圆
圆
到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆
基本轨迹
线段的中垂线
和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹是这条线段的中垂线
角平分线
到已知角的两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
轴对称性 旋转不变形
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线是它的对称轴。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
重要 垂径定理
推论
①平分弦 ②垂直于弦 ③过圆心 ④平分弧
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注
（这条弦不是直径）
补充
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的内接四边形
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
重要 圆心角、弧、弦、弦心距、关系定理
在同圆和等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量和它所对的圆心角的一半
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
圆周角定理
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等
第24章《圆》思维导图
圆圆的有关性质圆的对称性弧、弦、圆心角与圆有关的计算正多边形和圆与圆有关的位置关系圆的定义有关概念弦：连接圆上任意两点的线段直径：过圆心的弦轴对称性中心对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴垂径定理(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等(2)在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等(3)在同圆或等圆中，相等的两条弦对的圆心角相等，所对的弧相等周长和面积弧长相关概念相关计算画法正多边形的中心正多边形的半径中心角的度数内角、外角利用同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等点和圆直线和圆相离相切相交点在圆内点在圆上动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的的图形叫做圆静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离 等于定长r的点的集合。
弧：圆上任意两点之间的部分弦心距：弦到圆心的距离垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧圆是中心对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合，即有旋转不变性圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径定义定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角圆和圆点在圆外没有公共点，（d>r)只有一个公共点，（d=r)有两个公共点，（d<r)切线判定定理切线性质定理切线长三角形内切圆过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角与三角形各边都相切的圆三角形的外接圆不在同一直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点的圆，叫三角形的外接圆相离相交相切正多边形外接圆的圆心正多边形外接圆的半径中心角正多边形每一边所对的圆心角边心距中心到正多边形的边的距离周长、面积、边心距扇形圆锥。
《圆》章节思维导图(全)
《圆》章节思维导图(全)一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面内到定点距离相等的点的集合。
2. 圆的表示：圆心坐标为 (a, b)，半径为 r 的圆表示为(xa)² + (yb)² = r²。
3. 圆的性质：圆心、半径、直径、周长、面积等。
二、圆的方程1. 标准方程：(xa)² + (yb)² = r²。
2. 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。
3. 圆的切线方程：y = mx ± √(r²(1+m²))。
三、圆与直线的关系1. 相交：圆与直线有两个交点。
2. 相切：圆与直线有一个交点。
3. 相离：圆与直线没有交点。
四、圆与圆的关系1. 内含：一个圆完全在另一个圆内部。
2. 外切：两个圆外切于一点。
3. 内切：一个圆内切于另一个圆。
4. 相交：两个圆有两个交点。
5. 相离：两个圆没有交点。
五、圆的几何性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角。
2. 弧长：圆周上的一段弧。
3. 扇形：由圆心角和对应的弧组成的图形。
4. 椭圆：平面内到两个定点距离之和为常数的点的集合。
六、圆的应用1. 数学：圆在几何、代数、三角等领域有广泛应用。
2. 物理：圆在运动学、力学等领域有广泛应用。
3. 工程：圆在机械、建筑等领域有广泛应用。
4. 日常生活：圆在装饰、设计等领域有广泛应用。
《圆》章节思维导图(全)七、圆的定理与公式1. 勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两腰平方和。
2. 圆的周长公式：C = 2πr。
3. 圆的面积公式：A = πr²。
4. 圆的弧长公式：L = rθ，其中θ为圆心角（弧度制）。
八、圆的几何变换1. 平移：将圆沿着某一方向移动一定距离。
2. 旋转：将圆绕某一点旋转一定角度。
3. 放缩：将圆按一定比例放大或缩小。
4. 对称：将圆关于某一直线或点进行对称。
九、圆与坐标系的关联1. 圆在直角坐标系中的表示：通过圆心和半径确定。
关于圆的思维导图
一、圆的有 关概念和性 质
02 圆的性质
03 有关半径、弦、弦 弦长a、弦心距d、半径r、弓形高h 心距、弓形高的计算 知道任意二个，可求其它二个
二、与圆有关的位置关系
01点与圆的位置关系 三种位置关系：点在圆外、圆上、圆内
02 确定圆的条件
①过一点有无数 ②过二点有无数，但这些圆心在这两点连线的平分线上 ③过同一直线上的三点无 ④过不同直线上的三点确定一个
弓形的面积
劣弧:S弓=S扇-S三角形 优弧:S弓=S扇+S三角形 半圆:
四、有关圆 的计算
05 圆柱
圆柱的基本特征 圆柱的侧面展开图：矩形 侧面积S侧=2π Rl 圆柱的表面积： S表=S侧+2S底=2π Rl +2π R2 圆锥的基本特征 圆锥的侧面展开图：扇形 侧面积S侧=π Rl 圆锥的表面积： S表=S侧+S底=π R（l +R）
03 尺规作图的基本步骤
五、尺规作 图
04 运用基本作图作三角形 05 探索过一点、两点和不 看例题练习 06 如何分析作图题 在同一直线上的三点作圆
①公式法 ②割补法 ③拼凑法
06 圆锥
07 不规则图形的面积计算 01 尺规作图的概念
④等积变形法 ⑤构造方程法 ⑥迁移变换法
02 五种基本作图
五、尺规作 图
㈠作一条线段与已知线段相等 ㈡作一个角等于已知角 ㈢作已知角的平分线 ㈣经过一点作已知直线的垂线 ㈤作线段的垂直平分线 ①已知 ②求作 ③作法 ④证明 ⑤讨论 ⑥结论
05正多边形的有关计算 归结为解直角三角形
06正多边形的画法 01 圆的周长与面积
先将一个圆n等分，然后顺次连接各等分点 面积S=π R2
圆思维导图九年级
圆的记忆口诀：
常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边。
圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆，
直角相对成共弦，试试加一个辅助圆，若是证题打转轴，四点共圆可解难，
要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连
直线与圆未给点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和ห้องสมุดไป่ตู้是条件，
如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆相交连工弦。
圆 知识点框架,思维导图
圆圆的初步认识圆在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.这个定点叫做圆的圆心。
弧圆上任意两点之间的部分叫做弧优弧大于半圆的弧劣弧小于半圆的弧弦圆上任意两点之间的连线叫做弦弦心距圆心到弦的距离（垂线段）弓高弧的中点到弦的距离圆的对称性轴对称原是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴无数条过圆心直线对称轴的特征中心对称圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.（旋转不变性）圆周角顶点在圆上角的两边是圆内的两条弦性质圆周角与圆心角的关系圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半圆周角与弧的关系圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.圆内接四边形（四边形的四个顶点在圆上）的对角互补特征圆心角顶点在圆心上角的两边是半径圆心角与所对弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆心角弧弦知一推二推论：在同圆或等圆中，相等的两条弧的弦心距也相等.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等（1°的弧所对的圆心角是1°的角，1°的圆心角所对的弧是1°的弧；n°的弧所对的圆心角是n°的角，n°的圆心角所对的弧是n°的弧）特征垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧过圆心垂直于弦平分弦（非直径）平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧知二推三确定圆的条件圆心（确定位置）半径（确定大小）两个条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆（不共线的三点）圆内接三角形（三角形的三个顶点在圆上）三角形的外接圆（经过三角形三个顶点的圆）外心位置性质三角形内部（锐角三角形）三角形外部（钝角三角形）在一条边上（直角三角形，在斜边的中点上）到三角形三个顶点的距离都相等，等于半径（OA＝OB＝OC＝r）到三角形三条边的距离不一定相等。
圆思维导图
圆【知识框架】⇔⇔⇔⇔⇔⇔圆【知识要点】1.点和圆的位置关系：如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在⊙O内⇔d<r；点P在⊙O上⇔d=r；点P在⊙O外⇔d>r.2.能够互相重合的弧叫做等弧.3.同圆或等圆的半径相等.4.圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.5.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.经验：知二推三经验：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.经验：圆的两条平行弦所夹的弧相等.∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD∴PC=PD, ⌒AC=⌒AD ,⌒BC=⌒BD6.圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等.推论1：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.（遇直径，构直角）推论2：圆内接四边形对角互补.经验：圆内接四边形的外角等于它的内对角.一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,这个三角形是直角三角形7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆.三角形的外心:三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半.8.直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r.9.切线的判定和性质：（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.方法一：连半径证垂直得切线；方法二：作垂直证半径得切线.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.（遇切点，连半径，得垂直）∵OP⊥AB∴AB是⊙O的切线∵AB是⊙O的切线∴OP⊥AB10.切线长定理：过圆外一点所画圆的两条切线长相等.∵P A 、PB 是⊙O 的切线∴P A ＝PB11.三角形的内切圆：三角形的内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三角形的三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等. Rt △ABC 中，∠C =90°，则Rt △ABC 的外接圆半径为2c R ＝；则Rt △ABC 的内切圆半径为cb a abc b a r ++=-+2＝.12.正多边形与圆：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. 正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径.正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距. 中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角.一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都经过正n 边形的中心. 一个正偶数边形又是中心对称图形，对称中心是这个正多边形的中心.13.弧长和扇形面积： 弧长公式：n Rl⋅=3602π.（把圆等分成360等份）扇形面积公式：lR n R S 213602=⋅=π扇.（把圆等分成360等份） 圆锥的侧面积：rm r m Sππ=⋅=221，其中m 是圆锥的母线长，r 是底面圆半径. 两个相等关系：（1）底面圆的周长＝侧面扇形的弧长（2）高2+底面半径2＝母线2 .即 222m r h=+。
初三数学圆的思维导图
初三数学圆的思维导图归纳初三数学圆：圆的定义第一定义在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆[1] (circle)。
这个定点叫做圆的圆心。
圆形一周的长度，就是圆的周长。
能够重合的两个圆叫等圆。
圆是一个正n边形(n为无限大的正整数)，边长无限接近0但永远无法等于0。
第二定义平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。
证明：点坐标为(x1,y1)与(x2,y2),动点为(x,y),距离比为k,由两点距离公式。
满足方程(x-x1)^2 + (y-y1)^2 =k^2*[ (x-x2)^2 + (y-y2)^2 ] 当k不为1时,整理得到一个圆的方程。
.几何法：假设定点为A,B,动点为P,满足|PA|/|PB| =k(k1),过P点作角APB的内、外角平分线,交AB与AB的延长线于C,D两点由角平分线性质,角CPD=90。
由角平分线定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k,注意到唯一确定了C和D的位置，C在线段AB内,D在AB延长线上,对于所有的P,P在以CD 为直径的圆上。
初三数学圆：相关定义径1.连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r(radius)2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d(diameter)。
直径所在的直线是圆的对称轴。
圆的直径 d=2r弦1.连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).在同一个圆内最长的弦是直径。
直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。
弧1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)以⌒表示。
2.大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，所以半圆既不是优弧，也不是劣弧。
优弧一般用三个字母表示，劣弧一般用两个字母表示。
优弧是所对圆心角大于180度的弧，劣弧是所对圆心角小于180度的弧。
3.在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。
角1.顶点在圆心上的角叫做圆心角(central angle)。
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圆认识特征圆心画圆时固定的点是圆心，圆心一般用字母O 表示。
直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d 表示
半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用r 表示。
圆是轴对称图形，每条直线都是圆的对称轴。
圆有无数条对称轴
面积面积=半径×半径×π S=πr²
把一个圆平均分成若干份，剪开拼成一个近做的长方形，这个长方形的长相当于圆的半径，即r 长方形面积=长×宽，
圆的面积= ×r ，即S=πr²
半径比a ：b ，直径比a ：b ，周长比a ：b ，面积比a²：b²
周长周长=直径×π C=πd
周长=半径×2×π C=2πr
拓展：半圆的周长等于圆的周长一半加上直径的长度（或两个半径的长度）
圆周率
圆的周长和它的直径的比值是一个固定数，这个比值就叫圆周率。
他是一个无效不循环小数。
一般取它的近似值3.14.
拓展：圆周率是由南北朝时期祖冲之发明的
扇形扇形是由两条半径和一段曲线围成的图形
扇形大小与圆心角大小、半径的长度有关圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。