必修五数学综合测试

必修五综合测试卷一、选择题1.在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c等于() A． 1 B．√2C． 3√2D．√32.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于()A．－2√23B．2√23C．－√63D．√633.在三角形ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，则B的大小为()A．π3B．π6C．2π3D．5π64.在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则△ABC的周长是()A． 18 B． 19 C． 16 D． 175.已知等差数列{an}中，a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于() A． 18 B． 27 C． 36 D． 456.等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是()A． 179 B． 211 C． 248 D． 2757.在△ABC中，B＝30°，AB＝√3，AC＝1，则△ABC的面积是()A ．√34B ．√32C ．√3或√32D ．√32或√348.在△ABC 中，已知AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A ． 19 B ． －14 C ． －18 D ． －199.等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ． －24B ． 0C ． 12D ． 2410.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ． 765B ． 665C ． 763D ． 66311.设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ． 63B ． 45C ． 36D ． 2712.设0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1B ． log b <log a <0C ． 2b <2a <2D ．a 2<ab <1分卷II二、填空题13.不等式2x 2－x －1>0的解集是________．14.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为________．15.若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是________．16.已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．17.在△ABC中，a＝3√2，cos C＝1，S△ABC＝4√3，则b＝________.318.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．19.已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d ＝________.三、解答题20.在△ABC中，已知a＝2√3，b＝6，A＝30°，求B及S△ABC.21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A －√3sin A)cos B＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．22.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.23.在等比数列{an}中，(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.25.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝an log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.答案解析1.【答案】A【解析】因为a＝3，b＝4，c＝5，所以△ABC是以C为直角的直角三角形，根据正弦定理可知A正确，故选A.2.【答案】C【解析】C＝180°－30°－15°＝135°，c＝asinCsinA ＝3×√2212＝3√2.应选C.3.【答案】D【解析】由正弦定理得asinA ＝bsinB，即15sin60°＝10sinB，解得sin B＝√33.∵b＜a，∴B＜A，故角B为锐角，∴cos B＝√1−sin2B＝√63，故选D.4.【答案】A【解析】由sin A∶sin B∶sin C＝5∶7∶8，根据正弦定理可得a∶b∶c＝5∶7∶8，设a＝5x，b＝7x，c＝8x(x>0)，由余弦定理得cos B＝a2+c2−b22ac＝(5x )2+(8x )2−(7x )22×5x×8x ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3，故选A.5.【答案】A【解析】∵△ABC 中，a ＝3，c ＝8，B ＝60°，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋64－24＝49，即b ＝7，∴△ABC 周长为3＋8＋7＝18.故选A.6.【答案】C【解析】由大边对大角得，cos θ＝√2)22√10)22×3√2×6＝－√22⇒θ＝135°. 7.【答案】C【解析】当x 为最大边时，{3<x <5,x 2>32+22,∴√13<x <5； 当3为最大边时，{1<x <3,32>x 2+22,∴1<x <√5.∴x 的取值范围是1<x <√5或√13<x <5.8.【答案】D【解析】由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，∴12＝(√3)2＋BC 2－2×√3·BC ·√32.整理，得BC 2－3BC ＋2＝0.∴BC ＝1或2.当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×√3×1×12＝√34.当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×√3×2×12＝√32.9.【答案】C【解析】在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－2ab cos π3，整理得ab ＝6，再由面积公式S ＝12ab sin C ，得S △ABC ＝12×6×sin π3＝32√3.故选C.10.【答案】D【解析】△ABC 三边分别为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝6，c ＝7，cos B ＝25＋49－362×5×7＝1935，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝7×5×(－1935)＝－19.11.【答案】C【解析】在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°，∴A＞90°－B，∴sin A＞sin(90°－B)＝cos B．故选C.12.【答案】C【解析】令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.13.【答案】C【解析】∵∴a＝，b＝x. ∴＝.14.【答案】C【解析】由a8－a4＝(8－4)d＝4d，得d＝3，所以a15＝a8＋(15－8)d＝14＋7×3＝35.15.【答案】A【解析】由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.16.【答案】C【解析】∵ {an}为等差数列，∴a5＋a9＝a6＋a8＝2a7，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝0，∴a7＝0.17.【答案】C【解析】S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.18.【答案】B【解析】∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.19.【答案】A【解析】由S12＝8S4，得12a1＋d＝8⇒20a1＝18d⇒＝.20.【答案】B【解析】数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∵S3＝9，S6－S3＝27∴S9－S6＝45.即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.21.【答案】A【解析】由S3＝3a1＋3d＝3，S6＝6a1＋15d＝24得，a1＝－1，d＝2，∴S12＝12a1＋d＝120.22.【答案】A【解析】由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得(3x＋3)2=x(6x＋6)，解得x＝－1或x＝－3当x＝－1时，3x＋3＝0，不符合条件，舍去；当x＝－3时，数列的前三项为－3，－6，－12，从而得第四项为－24.23.【答案】B【解析】由16＝81×q5－1，q＞0，得q＝. 所以S5＝＝211. 24.【答案】C【解析】由0＜b＜a＜1，得0<b2<1，0<a2<1，ab<a2，b2<ab，log b>loga>0，2b<2a<2，则A，B，D错，故选C.25.【答案】D【解析】∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x>1或x<－，∴不等式的解集为∪(1，＋∞)．26.【答案】C【解析】由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.27.【答案】C【解析】画出可行域如下图．设z＝x＋2y，平行移动直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋过点B 时，z取最大值，所以(x＋2y)max＝.28.【答案】C【解析】∵a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b ＝2a＝时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.29.【答案】4(√3－1)【解析】由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝bsinCsinB ＝4sin45°sin75°＝4(√3－1)．30.【答案】2√3【解析】∵sin C＝√1−cos2C＝2√23，a＝3√2，S△ABC＝12ab sin C＝4√3，∴b＝2√3.31.【答案】4或5【解析】设BC＝x，则(√5)2＝x2＋52－2×5x cos C＝x2－9x＋25，即x2－9x＋20＝0.∴x＝4或x＝5，经检验x＝4或x＝5符合题意．∴BC＝4或5.32.【答案】5【解析】∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.33.【答案】4或5【解析】由解得∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5同时最大．∴n＝4或5.34.【答案】90【解析】6，a，b,48成等差数列，则a＋b＝6＋48＝54；6，c，d,48成等比数列，则q3＝＝8，q＝2，故c＝12，d＝24，从而a＋b＋c＋d＝90.35.【答案】解由正弦定理asinA ＝bsinB，得sin B＝ba sin A＝2√3×12＝√32.∵0°<B<150°且a<b，∴A <B ，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，C ＝90°，S △ABC ＝12ab sin C ＝6√3；当B ＝120°时，C ＝30°，S △ABC ＝12ab sin C ＝3√3.【解析】36.【答案】解 (1)由题意得－cos(A ＋B )＋(cos A －√3sin A )cos B ＝0，∴sin A sin B －√3sin A cos B ＝0，∴sin A (sin B －√3cos B )＝0.∵sin A ≠0，∴sin B －√3cos B ＝0，即tan B ＝√3，∴B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .∵a ＋c ＝1，cos B ＝12， ∴b 2＝3(a －12)2＋14. 又∵0<a <1，∴14≤b 2<1，∴12≤b <1.【解析】37.【答案】解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正弦、余弦定理得a ＝2b ·a 2+c 2−b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2√3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2+c 2−a 22bc ＝9+1−126 ＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝√1−cos 2A ＝√1−19＝2√23. 故sin(A +π4)＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝2√23×√22＋(−13)×√22＝4−√26. 【解析】38.【答案】解 (1)由已知条件及正弦定理，得sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，∵sin(B ＋C )＝2sin A cos B .∵sin(B ＋C )＝sin A ≠0，∴2cos B ＝1，即cos B ＝12.又∵0°<B<180°，∴B＝60°.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B.又b2＝ac，则ac＝a2＋c2－2ac cos 60°，即a2＋c2－2ac＝0，∴(a－c)2＝0，即a＝c.∴b＝√ac＝a＝c，∴△ABC为正三角形．【解析】39.【答案】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.(2)当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，∴an＝【解析】40.【答案】当n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.当n＝1时得a1＝2≠3.∴an＝【解析】41.【答案】(1)由等比数列的通项公式，得a6＝3×(－2)6－1＝－96. (2)设等比数列的公比为q，那么解得所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.【解析】42.【答案】(1)由a5＝a2q3，得－＝4·q3，所以q＝－.an＝a2qn－2＝4n－2＝(－1)n·24－n.(2)由a3a5＝a，得a3a4a5＝a＝8.解得a4＝2.又因为a2a6＝a3a5＝a，所以a2a3a4a5a6＝a＝25＝32.【解析】43.【答案】an＝2n－1或an＝28－n.【解析】由题意，得，解得或.∴q5＝＝25或，q＝2或. ∴an＝a2qn－2＝2n－1或.∴数列的通项公式为an＝2n－1或an＝28－n.44.【答案】(1)设数列{an}的公比为q，由题意知：2(a3＋2)＝a2＋a4，∴q3－2q2＋q－2＝0，即(q－2)(q2＋1)＝0.∴q＝2，即an＝2·2n－1＝2n.(2)bn＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②①－②得－Sn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.∴Sn＝2＋(n－1)·2n＋1.【解析】。