平面向量的分解定理及应用讲义

学科教师辅导讲义

学员学校： 年 级：高二 课时数：2 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 课 题 平面向量的分解定理及应用

授课日期及时段

教学目的

1. 了解平面向量的分解定理的论证过程。

2. 知道基向量的特征，并能准确通过基向量来表示一个向量

3. 了解向量在平面几何中的应用（平行、共线、垂直、夹角）

4. 了解向量在代数中的应用

教学内容

【知识结构】

1. 平面向量分解定理：如果12e ,e 是同一平面内的两个不平行的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ使a =1122e e λλ+。 其中不共线的向量12e ,e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

注意：（1）平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式。 （2）上面的分解师唯一的。

2. 向量的加法、减法，实数与向量积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算。任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合。

3. 几个重要的结论：

（1）若向量,a b 为不共线向量，则a b a b a b +-、

为以、为邻边的平行四边形对角线的向量。 （2）2

222

+=2+a b

a b a b +-（）。

（3）G 为∆ABC 的重心112233,),,),,)y B

y B y A （x （x （x 123123

0(

,)33

x x x y y y GA GB GC G ++++⇔++=⇔ 4. 向量运算与几何图形

（1) 向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景;当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便.

（2)平面几何的许多性质，平行、垂直、夹角、长度、三点共线、三线共点等都可以由向量的线性运算表示出来，因此，向量方法是研究几何的一个有效的强有力的工具

①要证明CD AB =，只要证明CD

AB =;

②要证明AB ⊥CD ，只要证明

0=⋅CD AB ;

③要证明AB ∥CD ，只要证明存在实数λ，使得CD AB λ=;

④要证明A ，B ，C 三点共线，只要证明存在实数λ，使得AC AB λ=; ⑤利用向量的数量积公式，可以求角b

a b a ⋅=

αcos .

5. 用向量法解决平面几何问题的一般步骤：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，把平几问题转化为向量问题。选择基向量或建坐标系后用向量（基向量或坐标）表示问题中涉及的几何元素；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 简述：形到向量→向量的运算→向量和数到形 【例题精讲】

例1. 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k 的值为多少？

例2. 已知向量a = ( 3 sin ωx ，cos ωx )，b =( cos ωx ，cos ωx )，其中ω＞0，记函数()f x =a ·b ，已知)(x f 的最小正周期为π． （1）求ω；

（2）当0＜x ≤π

3 时，试求f (x )的值域．

例3. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2） ⑴若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；

⑵若|b |=,2

5

且b a 2+与4a b -垂直，求a 与b 的夹角θ.

例4. 如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.

a

A B

C

例5. 设函数()f x a b =，其中向量(2cos ,1)a x =，(cos ,3sin 2)b x x =，x R ∈.

（Ⅰ）若()13f x =-

且[,]33

x ππ

∈-，求x ；

（Ⅱ）若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)(||)2

c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象，求实数,m n 的

值.

例6. 设a =(1+cos α, sin α)，b =(1－cos β,sin β)，c =(1，0)，α∈(0,π)，β∈(π,2π), a 与c 夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2= π6，求sin α-β4的值。

例7. 已知{a n }是等差数列,公差d ≠0，其前n 项和为Sn,点列P 1（1,S 11）,P 2(2, S 2

2 )，……

P n （n ，S n

n ）及点列M 1(1,a 1)，M 2(2,a 2)，……，Mn （n ，a n ）

（1）求证：1n PP (n>2且n ∈N*)与12PP 共线； （2）若12PP 与12M M 的夹角是α，求证：|tan α|≤24

例8 给定两个长度为1的平面向量120OA OB ︒和，他们的夹角为，点C 在以O 为圆心的弧AB 上变动，若OC xOA yOB =+，其中x,y R ∈,求x+y 的最大值。

例9 设两个向量,a b 满足2,1,,60a b a b ==︒的夹角为，

若向量27ta b a tb ++与向量的夹角为钝角， 求实数t 的取值范围。

例10 设{}n a 的首项为-10，公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1

-2，公差为12

的等差数列，

O 为坐标原点，向量(11),(11)OA OB =-=，，,点列n P 满足n ()n n OP a OA b OB n N *

=⋅+⋅∈.

（1）求证：12n ...,PP P ，

共线； （2）若点k ()n P k N P *∈表示点到中处于第一象限的点，求k 的值。