第六章非线性规划最优潮流
非线性规划在电力系统中的应用(新)
式中： 为由拉格朗日乘子所构成的向量
这样便把原来的有约束最优化问题变成了一个无约束最优 化问题。
采用经典的函数求极值的方法，即将L分别对变量x、u及
求导并令其等于零，从而得到求极值的一组必要条件为
Lx fxgxT 0
①
Luuf guT 0
非线性规划在电力系统中的应用(新)
概要
非线性规划问题介绍 非线性规划问题分类 在电力系统中应用——最优潮流 经典算法分析对比 结语
非线性规划
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一 个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性
规划问题．
一般形局式部:最优和m 全局fin X 最优解：
(1)仅有等式约束条件时的算法
对于仅有等式约束的最优潮流计算，可以表示为
min f (u, x) u
s.t. g(u, x) 0
应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束
g(u,x)＝0 中方程式数同样多的拉格朗日乘子 ,则
构成拉格朗日函数为
L (u ,x )f(u ,x )T g (u ,x )
法)
仿射尺度法 ( affine scaling )
路径跟随法
(path following , 又称原—对偶内
点算法) 。
原—对偶内点算法
一般步骤:
首先引入松弛变量,将不等式约束化为等式约
束, 然后在目标函数中引入对数障碍函数, 消除松弛变
量的不等式约束,再运用Lagrange 乘子法引入等式约束
得到了国内外学者高度评价，成为上世纪
九十年代发展最优潮流程序时优先予以选
用的算法之一。
1984年，AT&T贝尔实验室数学
非线性优化
13非线性规划3.1非线性规划简史非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。
1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件（后来称为库恩－塔克条件）的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。
在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n 种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。
50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。
非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。
20世纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划方法取得了长足进步，在信赖域法、稀疏拟牛顿法、并行计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。
线性规划及其扩展问题的约束条件和目标函数都是关于决策变量的一次函数。
虽然大量的实际问题可以简化为线性规划及其扩展问题来求解，但是还有相当多的问题很难用线性函数加以描述。
如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称这样的规划问题为非线性规划问题。
由于人们对实际问题解的精度要求越来越高，非线性规划自20世纪70年代以来得到了长足的发展；目前，已成为运筹学的一个重要分支，在管理科学、最优设计、系统控制等许多领域得到了广泛的应用。
一般来讲，非线性规划问题的求解要比线性规划问题的求解困难得多；而且也不象线性规划问题那样具有一种通用的求解方法（单纯形法）。
非线性规划没有能够适应所有问题的一般求解方法，各种方法都只能在其特定的范围内发挥作用。
其解法有几何规划，一维最优化方法，无约束最优化方法，有约束最优化方法，二次规划，凸规划等六个大方面。
3.2非线性规划的数学模型通过一个非线性规划问题来归纳非线性规划的一般数学模型如下：[例] 某商店经销A 、B 两种产品，售价分别为20和380元。
据统计，售出一件A 产品的平均时间为0.5小时，而售出一件B 产品的平均时间与其销售的数量成正比，表达式为n 2.01+。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
非线性规划
非线性规划
组长：马文海 成员：黄羽兰、吴春安、林志铖、汤嘉晨
非线性函数概述：
具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是 运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个n元实函 数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且 目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函 数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于 线性规划。
f ( x) f1 ( x) f 2 ( x)
2 2 2
数学模型: max f ( x) 20x1 16x2 [2 x1 x2 ( x1 x2 ) ]
max f ( x) 20x1 16x2 [2x x ( x1 x2 ) ]
2 1 2 2 2
x* a b
最优解:
最优值:
z * ab
例2 投资决策问题
某钢铁厂准备用 5000 万用于 A、 B 两个项目技术改造投资，设 x1,x2分别表示分配给项目 A、B的投资。据专家预估投资项目 A、B 的年收益分别为20%和16%，同时投资后的风险损失将随着总投资 2 和单项投资的增长而增加。已知总的风险损失为2x12 x2 ( x1 x2 )2 。问如何分配资金才能使期望的收益最大，同时风险损失为最小。 解 这个问题有两个指标函数: 收益函数和风险损失函数
非线性规划简史：
非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学 科。1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件 （后来称为库恩－塔克条件）的论文是非线性规划正式诞 生的一个重要标志。在50年代还得出了可分离规划和二次 规划的n种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规 划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多 解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的 发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方 面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。20世 纪80年代以来，随着计算机技术的快速发展，非线性规划 方法取得了长足进步，在信赖域法、稀疏拟牛顿法、并行 计算、内点法和有限存储法等领域取得了丰硕的成果。
最优潮流
最优潮流问题
Optimal Power Flow
一、概述
1.最优潮流和基本潮流的比较
✓ 潮流计算可以归结为针对一定的扰动变量p(负荷 情况)，根据给定的控制变量u(如发电机的有功出 力、无功出力或节点电压模值等)，求出相应的状 态变量x(如节点电压模值及角度)，这样通过一次 潮流计算得到的潮流解决定了电力系统的一个运 行状态。
✓ 已有算法归纳起来可分为线性规划法、非线性规划法、混 合规划法、内点法和智能化方法等。
（二）线性规划法
✓ 前提：通常把最优潮流问题分解为有功功率和无 功功率两个子优化问题，
✓ 在求解方法上，大都采用分段线性或逐次线性化 逼近非线性规划问题，然后利用线性规划方法 （如单纯形法、对偶单纯形法）求解。
L f g T 0
x x x
L f g T 0
u u u
(3)由于(3)式就是潮流方程， L g(u, x) 0
所以通过潮流计算就可以由已知的u 求得相应的x(k)
(4)再观察式(1)， g 就是牛顿法潮流计算的
x
雅可比矩阵J，利用求解潮流时已经求得的潮流解
点的J及其LU三角因子矩阵，可以方便地求出
（二）非线性规划法
✓ 特点:目标或约束函数呈现非线性特性。
✓ 最优潮流作为一个非线性规划问题，可以利用非线性规划 的各种方法来求解，更由于结合了电力系统的固有物理特 性，在变量的划分、等式及不等式约束条件的处理、有功 与无功的分解、变量修正方向的决定、甚至基本潮流计算 方法的选择等等方面，都可以有各种不同的方案。为此即 使是采用非线性规划方法，也曾出现过为数甚多的最优潮 流算法。
(2)所有发电机节点(包括平衡节点)及具有 可调无功补偿设备节点的电压模值；
《最优化方法》非线性规划的基本概念
2019/7/30
最优化方法
16
可行下降方向
设X Rn , x X , pRn , p 0,若存在t 0，使得
x tp X 则称向量p是点x处 关于X的可行方向。
解非线性规划问题，关键在于找到某个方向，使得在 此方向上，目标函数得到下降，同时还是可行方向。 这样的方向称为可行下降方向。
P
f
x
f
x1 f
x2 x1 0
6 x1 4 x2
4 x1 2 x2
x1 0
4 2
x2 1
x2 1
这个方向上的单位向量是：
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e
4
f f
非线性规划问题的数学模型
（1）数学规划模型的一般形式：
min f ( x) s.t. gi ( x) 0, i 1,, p hi ( x) 0, j 1,,q
其中, x (x1, x2,, xn )T , f (x), gi (x),hj (x)为x的实值函数，
一般来说，求解非线性规划问题比线性规划问题困难得多。 而且，也不象线性规划那样有单纯形法这一通用的方法。非线性 规划的各种算法大都有自己特定的使用范围，都有一定的局限性。 到目前为止还没有适合各种问题的一般算法，这是需要深入研究 的一个领域。我们只是对一些模型及应用作简单介绍。
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最优化方法
仓库到第 j 个市场的距离为
dij ( xi p j )2 ( yi q j )2 ,
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最优化方法
3
目标函数
非线性规划
其中L( X , ) f ( X ) T h( X )称为Lagrange函数。
定理2：(二阶充分条件)设X * E n是问题(1)的可行解，f , h j ( j 1,2,..., l ) 在X*二次可微。如果存在向量* E l , 使得L( X * , * ) 0, 且L( X , )的 海塞矩阵H ( X * , * )正定，则X*问题(1)的局部最有解。
可设：T X , M f X M
2 2 min 0 , g X M h X i j m l i 1 j 1
(2)
将问题（ 1 ）转化为无约束问题： min T X , M n
X E
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，
49coscosminsinsin飞机的初始位置第加飞机的初始方向角时间参数第加飞机的调整后的方向角时刻时飞机的距离飞机的距离飞行速度偏差平方和函数求精次数逐步求精搜索法中每权因子次求精每层循环次数飞机最短距离的约束第架飞机的等式约束罚函数符号说明
数学建模与数学实验
非线性规划
经济数学系数学建模研究室
1
实验目的
1、直观了解非线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件求解优化问题。
实验内容
1、非线性规划的基本理论。
2、用数学软件求解非线性规划。 3、钢管订购及运输优化模型 4、实验作业。
2
非线性规划
非线性规划的基本概念
*非线性规划的基本解法
返回3
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似． 每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤． 这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解。
最优潮流
线性规划法（linear Programming, LP） 混合规划法 内点算法 人工智能方法
非线性规划法
有约束非线性规划方法的基本思想是利用拉 格朗日乘子法和罚函数法建立增广目标函 数，使有约束非线性规划问题转化为无约束 的非线性规划问题，然后利用不用的数学方 法优化求解。
第一个成功的最优潮流算法是Ｄｏｍｍｅｌ 和Ｔｉｎｎｅｒｙ于１９６８年提出的简化 梯度算法。
μ = lT z − uT w
2r
Gap = lT z − uT w
如果参数 μ 按上式取值时，算法的收敛性较
差，所以建议采用
μ = σ Gap
2r
σ ∈ (0,1) 为中心参数，一般取0.1，在大多数
场合可获得较好的收敛效果。
线性化的方程为
[ ] −
∇
2 x
f
(
x
)
−
∇
2 x
h(
x)
y
−
∇
2 x
⎢⎢∇
T x
h(
x
)
0
最优潮流
最优潮流算法概述摘要：最优潮流是一类典型的非线性规划问题, 在电力系统中求解最优潮流是一项基本而重要的工作。
本文论述了最优潮流算法问题, 对其中经典的简化梯度法、牛顿法、内点法、序列二次规划法、以及混合序列法做了详细介绍，并对智能化的潮流算法，如遗传算法、模拟退火法等进行了探讨，同时做了相应的比较。
然后结合最优潮流在电力市场下的应用进行了分析，最后指出最优潮流发展所面临的问题，并深入研究。
一引言最优潮流OPF (Optima l Power Flow)是指从电力系统优化运行的角度来调整系统中各种控制设备的参数,在满足节点正常功率平衡及各种安全指标的约束下,实现目标函数最小化的优化过程。
它将电网的经济调度、质量控制和安全运行统一协调起来，对电力系统的规划和运行有着重要意义。
最优潮流能够统一考虑电力系统在安全、经济和电压质量各方面的要求。
最优潮流问题，实质上是在满足一定的安全约束条件下，使目标函数达到最优的非线性规划问题。
具体地说，最优潮流是研究当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过系统变量的优选，所能找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的一个或多个目标达到最优时的潮流分布。
1962年, J. Carpentier介绍了一种以非线性规划方法来解决经济分配问题的方法[1],首次引入了电压约束和其它运行约束。
电力系统最优潮流是经过优化的潮流分布, 其数学模型可以表示为：,min(,)..(,)0(,)0fs t gh⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩u xu xu xu x（1.1）其中目标函数f 及等式、不等式约束g 及h中的大部分约束都是变量的非线性函数, 因此电力系统的最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划问题。
本文论述了最优潮流算问题, 对其中的简化梯度法、牛顿法、内点法、序列二次规划法、遗传算法模拟退火法等进行了详细的比较。
二经典的最优潮流计算方法电力系统最优潮流的经典解算方法主要是指以简化梯度法、牛顿法、内点法和解耦法为代表的基于线性规划和非线性规划以及解耦原则的解算方法,是研究最多的最优潮流算法,这类算法的特点是以一阶或二阶梯度作为寻找最优解的主要信息。
第六章 非线性规划基本概念与基本原理
量 x 的一阶导数．特别地，一元函数的海赛矩阵就是二阶导
数．
在微积分中已经证明过，当 f (x )的二阶偏导数连续时， 混合偏导数与求导顺序无关，即
2 f (x) 2 f (x) (i 1,2,, n; j 1,2,, n) xix j x jxi 此时，▽2f (x )是对称矩阵．函数在某一点 x(0)处的海赛矩 阵就是将 x(0)的各分量值代入(6-9)中矩阵各元素（二阶偏 导函数）即可．
定义 6-3 设 f (x)为定义在 n 维欧氏空间 R n 中的某一区域 S 上的
n 元 实 函 数 ， 其 中 x (x1, x2 ,, xn )T ． 对 于 x*∈ S， 若 存 在 某 个 ε >0，
对任意的 x∈S 均有 f (x)≥f (x*)，则称 x*为 f (x )在 S 上的全局极小点， f (x* )为全局极小值．若对于所有 x∈S 且 x≠x*都有 f (x) > f (x*) ，则 称 x *为 f (x )在 S 上的严格全局极小点，f (x * )为严格全局极小值．
S 2x12 2x1x2 x12
构 件 的 体 积 为 半 球 体 和 圆 住 体 之 和 ，所 以 若 要 使 构 件 的 体 积 为 定 值 V0， 应该满足条件
2 3
x13
x12 x2
V0
又构件的底半径和圆柱体之高显然非负，故还要求
因此本例的数学模型为
x1≥0, x2≥0
min S 2x12 2x1x2 x12
的缩写．
例 6-2 定 位 问 题 假 设 要 选 定 一 个 供 应 中 心 的 位 置 ，由 这 个 中 心 向 城 市 中 位 置 固 定 的 m 个 用 户 提 供 服 务 中 心 供 应 的 商 品 ，可 以 是 电 、水 、 牛奶和其他货物，供应中心的设置定位准则是使从中心到用户的“距 离”最小．例如，可以是使中心到各用户的最大距离为最小，假定在 这个城市里货物必须沿互相垂直的路线（街道）供应，那么合适的距 离函数就是矩形距离．下面列出其数学模型：
非线性规划的概念和原理
第五章 非线性规划的概念和原理非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起来的。
1951年，库恩（H.W.Kuhn ）和塔克（A.W.Tucker ）等人提出了非线性规划的最优性条件，为它的发展奠定了基础。
以后随着电子计算机的普遍使用，非线性规划的理论和方法有了很大的发展，其应用的领域也越来越广泛，特别是在军事，经济，管理，生产过程自动化，工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。
一般来说，解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多，而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形法这一通用解法。
非线性规划的各种算法大都有自己特定的适用范围。
都有一定的局限性，到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。
这正是需要人们进一步研究的课题。
5.1 非线性规划的实例及数学模型[例题6.1] 投资问题：假定国家的下一个五年计划内用于发展某种工业的总投资为b 亿元，可供选择兴建的项目共有几个。
已知第j 个项目的投资为j a 亿元，可得收益为j c 亿元，问应如何进行投资，才能使盈利率（即单位投资可得到的收益）为最高？解：令决策变量为j x ，则j x 应满足条件()10j j x x -=同时j x 应满足约束条件1nj j j a x b =≤∑目标函数是要求盈利率()1121,,,njjj n njjj cx f x x x ax ===∑∑ 最大。
[例题6.2] 厂址选择问题：设有n 个市场，第j 个市场位置为(),j j p q ，它对某种货物的需要量为jb ()1,2,,j n = 。
现计划建立m 个仓库，第i 个仓库的存储容量为i a ()1,2,,i m = 。
试确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输量与路程乘积之和为最小。
解：设第i 个仓库的位置为(),i i x y ()1,2,,i m = ，第i 个仓库到第j 个市场的货物供应量为ijz ()1,2,,,1,2,,i m j n == ，则第i 个仓库到第j 个市场的距离为i j d =目标函数为1111mnmni j i j iji j i j z d z =====∑∑∑∑约束条件为：（1） 每个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的存储容量； （2） 每个市场从各仓库得到的货物量之和应等于它的需要量； （3） 运输量不能为负数。
非线性规划_基础理论_0505
ì ï min f ( x) ï ï ï ï í s.t . hi ( x) = 0 i = 1, 2, L p, p < n ï ï ï g j ( x) ? 0 j 1, 2, L m ï ï î hi (x) = 0, gj (x) 式中，x是n维欧氏空间Rn中的向量， f(展
自从1951年H. W. Kuhn及A. W. Tucker探讨了非线性规划解的最优性条件，为 非线性规划奠定了理论基础之后，非线性规划逐渐形成了一门十分重要且比较 活跃的新兴学科，出现了许多解非线性规划问题的有效的算法。由70年代开始， 该分支得到迅速发展：理论方面，非线性规划借鉴了数学理论中其他分支的成 果，逐步形成自身的学科特色；在应用方面，非线性规划为系统的优化和管理 提供了有力的工具。 随着电子计算机的应用，非线性规划在最优设计、管理科学、质量控制等许多 领域得到越来越深入的应用。非线性规划发展到今天，虽然已经提出许多求解 方法和策略，但是对于非线性规划的最优化问题目前还没有适于各种不同情况 的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。因而，这是需要人们更深入 的进行研究的一个领域。
非线性规划的理论基础
凸函数和凸规划
上述有关最优化问题的极值点的定义描述了优化问题中解的判断条件，一 般而言，我们的优化过程实际上就是找极值点或者最值点的过程，但是上面的定义 往往并不便于执行，我们需要引入其他的手段进行分析和判断，故我们首先介绍凸 集、凸函数和凸规划的概念，在这类特殊的问题之中，极值条件有着其特殊性。 对于一个非线性规划的目标函数，有局部极小值和全局极小值的概念，那 么我们提出凸集和凸函数的概念就是为了区分目标函数的极小值在什么情况下是局 部极小值，什么情况下是全局极小值。 凸集 x(1) , x(2) 翁T Rn x = l x(1) + (1都有 - l ) x(2) T [0,1 ] " l ，若对于 设 则称T为凸集 用形象一点的语言描述就是凸集的特征是集合中任两点连成的线段必 属于这个集合。下图是二维空间中具有典型特征的凸集和非凸集的例子。
电力系统最优潮流计算
电力系统最优潮流计算电力系统最优潮流计算是电力系统运行中的重要问题，旨在求解系统中各节点的电压幅值和相位角，以及各支路中的有功和无功功率。
最优潮流计算可以帮助电力系统运行人员评估系统可靠性、效率和稳定性，并为系统的运行和规划提供参考。
最优潮流计算的基本原则是在保持系统供电平衡和支路功率平衡的基础上，通过调整发电机的出力和支路上的功率分配，使得系统运行的一些指标（通常是整个系统的平均电压幅值或总功率损耗）达到最小。
最优潮流计算的基本模型是基于电力系统潮流方程的非线性优化问题。
潮流方程是描述电力系统节点间功率平衡的方程，一般可以表示为：P_i = ∑ (G_ij * V_i * V_j - B_ij * V_i * V_j * cos(θ_i -θ_j))Q_i = ∑ (-G_ij * V_i * V_j * sin(θ_i - θ_j) - B_ij * V_i* V_j)其中，P_i和Q_i分别表示节点i的有功和无功功率，G_ij和B_ij分别表示节点i和节点j之间的导纳，V_i和V_j分别表示节点i和节点j的电压幅值，θ_i和θ_j分别表示节点i和节点j的相位角。
最优潮流计算的目标是最小化如下的系统目标函数：f(X) = ∑ (c_ij * P_ij)其中，c_ij表示支路ij的损耗系数，P_ij表示支路ij上的有功功率。
最优潮流计算的求解方法一般分为迭代法和直接法两种。
迭代法包括牛顿-拉夫森法、高斯-赛德尔法等，主要思想是通过迭代更新节点电压幅值和相位角，直到达到收敛的要求。
直接法则是使用线性化的潮流方程进行求解，通常使用牛顿-拉夫森法对线性化方程进行求解，并通过细化初始猜测值来改进收敛性。
最优潮流计算中的一些特殊问题包括潮流约束问题、优化问题和灵敏度分析问题。
潮流约束问题是指在最优潮流计算中，对一些节点和支路施加一些特殊的约束条件，如电压限制、功率限制等。
优化问题是将最优潮流计算与其他优化问题相结合，如输电线路规划、机组出力优化等。
第六章 非线性规划(运筹学-上海电力学院,施泉生
gj(X) 0 (j=1,2….l)
X En f(X) hi(X) gj(X) 为En上 的实函数。
模型分类1
如果 f(X) hi(X) gj(X) 中至少有 一个函数不是线性（仿射）函数，则 称（P）为非线性问题。
如果 f(X) hi(X) gj(X) 都是线性 （仿射）函数，则称（P）为线性问 题。
主要内容
理论方面
最优性条件
对偶问题
互补稳定灵敏
非线性规划
直接法 有约束问题
算法方面
间接法 无约束问题
应用方面
一般模型
Min f(X)
s.t. hi(X) = 0 (i=1,2,….m) （P）
gj(X) 0 (j=1,2….l)
X En f(X) hi(X) gj(X) 为En上 的实函数。
根据H(x)来判断该驻点X*是否是 极值点。
o若H(x)为正定，该驻点X*是严格局部 极小值点；
o若H(x)为负定，该驻点X*是严格局部 极大值点； o若H(x)为半正定（半负定）则进一步 观察它在该点某邻域内的情况，如果保 持半正定（半负定），那它们是严格局 部极小值点（极大值点）；
o如果H(x) 不定的，该驻点X*就不是f(X) 极值点。
0 1 -2 =4>0
H(X) =xxf(X)=
0 0
各阶主子式：-2<0,
-2
0
0
-2
-2
0
0
-2
0
1 = - 6<0
0
1
-2
H(X)负定， f(X) 是凹函数
X*=(1/2,2/3,4/3)为极大值点。
f(X*)= f(1/2,2/3,4/3)=19/12
最优化潮流算法综述
早在 1920 年出现的经济负荷调度，以及 20 世 纪 20 年代在电力系统功率调度开始使用的等耗量 微增率准则 EICC（Equal Incremental Cost Criteria） 总结中就涉及了最优化潮流的相关问题。等耗量微 增率准则至今在一些商用 OPF 中仍有应用。 而现代 的经济调度可以视为 OPF 问题的简化， 它们都是优 化问题，最终实现目标函数的最小化。经济调度一 般考虑发电机有功的分配，同时考虑的约束多仅为 潮流功率方程等式的约束。20 世纪 60 年代初法国 学者 Carpentier 介绍了一种以非线性规划方法来解 决经济分配问题的方法，首次引入了电压约束和其 它运行约束，提出了由于目标函数和约束条件不同 而构成应用范围不同的最优潮流数学模型，这也即 是最优潮流问题的最初模型。随后的大量学者，在 此基础上，从改善算法的收敛性能，提高计算速度
0 引言
随着我国电网和工业化的快速发展，对电力系 统运行的稳定性，经济性和可靠性的要求越来越 高。这就需要对系统运行进行优化，也就是说，从 所有可行潮流解中挑选出性能指标（主要包括系统 总的燃料消耗量、系统总的网损等）最佳的一个方 案，这就是最优潮流要解决的问题。所谓最优潮流 [1] ，就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通 过控制变量的优选，所找到的能满足所有指定的约 束条件，并使系统的某一个性能指标或目标函数达 到最优时的潮流分布。由于最优潮流是同时考虑网 络的安全性和经济性的分析方法，因此在电力系统 的安全运行、经济调度、电网规划、复杂电力系统 的可靠性分析、传输阻塞的经济控制等方面得到了 日益广泛的应用。
这个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后再 由这个新的点开始，再重复进行上述步骤，直到所 求解满足收敛判据为止。而在很多情况下，最优潮 流的不等式约束条件很多。按性质将其分为控制变 量不等式约束和函数不等式约束。对第一种情况， 若控制变量超过其限值时，则该越界的控制变量就 被强制在相应的界上，即使得目标函数能进一步的 减小。而对于函数不等式约束无法采用和控制变量 不等式约束相同的办法来处理，通常采用罚函数的 方法。罚函数的基本思路是将约束条件引入原来的 目标函数而形成一个新的函数将原来有约束最优 化问题的求解转化成一系列无约束最优化问题的 [2] 求解 。最优潮流的这种算法原理比较简单，存储 需求小，程序设计也比较简便。但是这种算法存在 很多缺点：在计算过程中会出现锯齿现象，收敛性 较差，尤其是在接近最优点附近收敛速度很慢；每 次迭代都要重新计算潮流， 计算量很大， 耗时较多； 另外，采用罚函数处理不等式时，罚因子数值的选 取对算法的收敛速度影响很大等等。现在对这种方 法用于最优潮流的研究己经很少。 最优潮流作为一个非线性规划问题，可以利用 非线性规划的各种方法来求解，更由于结合了电力 系统的固有物理特性，在变量的划分、等式及不等 式约束条件的处理、有功与无功的分解、变量修正 方向的决定、甚至基本潮流计算方法的选择等等方 面，都可以有各种不同的方案。采用非线性规划的 方法，也有很多不同的算法，其中的最优潮流牛顿 算法，是得到了广泛认可并予以优选的一种算法。 牛顿法是另一种求无约束极值的方法。它是一 种直接求解Kuhn—Tucker等式寻优的方法。以牛顿 法为基础的最优潮流用以实现系统无功的优化的 方法被公认为是牛顿OPF算法实用化的重大飞跃。 该法以Lagrange乘子法处理等式约束，以惩罚函数 法处理违约的变量不等式约束。将电力系统的稀疏 [3] 性和牛顿法结合起来，可以大大减小计算量 。牛 顿法的难点在于，在迭代的过程中，中间变量是不 满足潮流方程的。这样，就会在每一个迭代步变量 修正后，无法判断不等式约束是否越界。而如果无 法确定那些越界的不等式就无法形成罚函数，而且 引入的罚函数对Hessian阵的部分对角元素有影响， 会明显改变计算结果。因此对违约不等式约束的处 理，在牛顿法中多采用试验迭代处理，对违约变量 进行修正。牛顿法另一个难题是：对应控制变量的
运筹学课件第六章 非线性规划
或 x
k 1
x tk p , tk 0
k k
称p k 为 第k轮 搜 索 方 向 ， 为 第k轮 沿 搜 索 方 向 tk p k的 步 长 。
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n n n 定义3 设f : R R, x R , p R , p 0， 0，使得 若
f ( x tp) f ( x ), t (0, )
2 1
令 0 得： f ( x1 )T ( x 2 x1 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
f ( x 2 ) f ( x1 )
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x1 , x 2 S f ( x ) ( x x ) f ( x ) f ( x )
1 T 2 1 2 1
1 T 2 1 2 1
证 (1) 必要性.设f是S上的凸函数，则对 (0,1), 有
f ( x 2 (1 ) x1 ) f ( x 2 ) (1 ) f ( x1 )
x1 , x 2 S
f ( x 1 ( x 2 x 1 )) f ( x1 )
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全局优化算法概述
全局优化方法可分为随机性方法和确定性方法. 确定性方法充分利用了问题的解析性质, 如函数的 凸性、单调性、稠密性等, 产生一个确定性的有限 或无限点序列, 使得该点序列收敛于全局最优解. 包 括分枝定界算法、区间算法、填充函数法、割平面 法、顶点枚举法等,这类算法在理论上有较强的可行 性, 但对较为复杂的大型优化问题却难于应用.
如果有 f ( x* ) f ( x), x D, x x* 则称 x * 是(P)的严格全局最优解或严格全局极小点， 称 f ( x * ) 是(P)的严格全局最优值或严格全局极小值。
六、最优潮流
随后，Gill将内点法的应用进一步推广到非线性规划领域。
近年来，许多学者对Karmarkar算法进行了广泛深入的研究，一些 新的变型算法相继出现，最有发展潜力的是路径跟踪法(Path Following)，又称为跟踪中心轨迹法。
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人工智能方法
近几年随着计算机和人工智能等技术的发展，不断有新的方法出 现，模拟进化规划方法、模糊集理论、模拟退火算法等人工智能 方法先后用于电力系统最优潮流问题。 人工智能方法解决了寻找全局最优解的问题，能精确处理问题中 离散变量，但由于这类方法通常属于随机搜索方法，具有计算速 度慢的先天缺陷，难以适应在线计算及电力市场的要求。
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最优潮流的目标函数
（1）全系统发电燃料总耗量（或总费用）
f
iNG
K (P
i
Gi
)
（1）
式中：NG为全系统发电机的集合，其中包括平衡节点s的发电机组。 Ki(PGi)是发电机组Gi的耗量特性。 由于平衡节点s的电源有功出力不是控制变量，其节点注入功率必须通过潮 流计算才能决定，是节点电压模值U及相角θ的函数，于是
由上可见，最优潮流的目标函数不仅与控制变量u有关，同时和状态 变量x有关。因此可用简洁的形式表示
f＝f（u,x）
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（6） 东南大学电气工程系
等式约束条件及不等式约束条件
最优潮流分布必须满足基本潮流方程，这就是最优潮流问题的等 式约束条件。即f(x,u,p)＝0。由于扰动变量p是给定的，该式可简 化为 g(x,u)＝0 （7） 不等式约束条件 （1）有功电源出力上下限约束； （2）可调无功电源出力上下限约束； （3）带负荷调压变压器变比K调整范围约束； （4）节点电压模值上下限约束； （5）输电线路或变压器元件中通过的最大电流或视在功率约束； （6）线路通过的最大有功潮流或无功潮流约束 （7）线路两端节点电压相角差约束，等等。 统一表示为 h(u,x)<=0 （8）
第六章非线性规划最优潮流
6.2.4一维搜索方向的修正和一维搜索步长的选取 1.一维搜索方向修正 对搜索方向加以改进，把6.111改为 H矩阵按下列迭代公式计算： 2.一维搜索步长的选取 本节模型建议使用三次插值，但有越界情况时， 三次插值不适用。所以采取以下办法： （1）每次迭代中将搜索方向矢量规格化，并选一 个初始步长。 （2）按初始步长走一步后，检查增广目标函数， 如下降，不再插值，若上升且不越界，进行三次 插值，若越界，步长减半。
（2）线路上的有功限制值约束用直流潮流的关系 写为：
（3）节点有功平衡也采用直流潮流的关系式
除上述约束外，凡是能用发电机有功及节点电压 角度线性表出的其他约束均可以引入。
6.4.3模型的求解方法 将目标函数及约束式进过处理后，归纳为下面的 二次规划标准形式：
对变量δ作如下变换： 根据kuhn-Tucker定理，二次规划问题等价于求矢 量w、z，满足
附录B-4-5介绍了一种化为线性规划的解法。
6.4.4由实例计算结果所得到的几点说明 （1）本模型不进行迭代、收敛可靠、计算量小， 可在微机上实现优化调度。 （2）以费用微增率大小排序的调度方法算得的发 电机边际费用单位网损费用值是可行的。 （3）证明了有功与节点电压值之间的弱关系。
?625两种模型及算法的简单算例?下面给出惩罚海森矩阵法和修正广义简化梯度法计算一个5节点系统最优潮流的例子比较一下修正广义简化梯度法与一般广义简化梯度法的收敛性
第六章 非线性规划最优潮流
第一节、最优潮流的惩罚----海森矩阵法
6.1.1模型的数学描述 上一章所得的结果只是有功经济分配，有功无功 综合化模型如下：
非线性最优化.pptx
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1.4 凸规划
非线性规划的数学模型
Minf(X)
(1.1)
hi(X)=0 i=1,2, … ,m
(1.2)
gj(X) ≥ 0 j=1,2, … ,l
(1.3)
满足约束条件(1.2)和(1.3)的点称为可行点
(可行解)，所有可行点的集合称为可行域.
若某个可行解使目标函数(1.1)最小，就称
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• 例5. 求解非线性规划
x2 g2(x) 0
g1(x) 0
A
min f (x) x12 x22 4x1 4 O s.t. g1(x) x1 x2 2 0
2
4
x1
g2 (x) x12 x2 1 0
x1 0, x2 0
最优点A(0.58,1.34), min f 3.8
f(X)在S上的局部极小点, f(X* )为局部极小值。 严格局部极小点(值)：对于所有X≠X* 且
与X*的距离小于ε的X∈S,f(X)>f(X* ),则称 X* 为f(X)在S上的严格局部极小点， f(X* )为
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严格局部极小值。 全局极小点(值)：对于所有的X ∈S，都
有f(X)≥f(X* ),则称X* 为f(X)在S上的全局 极小点，f(X* )为全局极小值。
则称f(X)为定义在S上的严格凸函数. 将(1.5)和(1.6)中的不等号反向,即可得到凹函数
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凸函数的性质
• 性质1 设f(X)为定义在凸集S上的凸函数, 则对 任意实数b≥ 0,函数bf(X)也是定义在S上的凸 函数.
• 性质2 设f1(X)和 f2(X)为定义在凸集S上的两 个凸函数,则其和f(X)= f1(X)+f2(X)仍为定义 在S上的凸函数.
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第四节、有功优化的二次规划模型
6.4.1引言 本节介绍一个有功优化的二次规划最有潮流模型， 它与有以下特点： （1）将网损的费用直接引入目标函数。 （2）采取必要的近似，以减少计算量。 （3）模型只需一次计算。
6.4.2模型的建立
1.目标函数 目标函数包括两部分：发电机有功的费用和有功 网损的费用。 发电机有功的费用采取二次特性，即 若单位网损的费用为β，则目标函数为： 2.约束式 （1）自变量是发电机有功及各节点电压角度，发 电机有功的限值为：
6.2.2广义简化梯度法最优潮流的基本模式 1.广义简化梯度法 根据Kuhn-Tucker定理可知： γ称为简化梯度，它的分量为：
广义简化梯度法是这样进行的，从E(0)出发，以迭 代方式移动到E(1)、E(2)…等等，直到满足6.86为止， 若第k次迭代还不满足6.86，则按下式修正独立变量，
6.1.3增广目标函数梯度及海森矩阵的计算公式 1.梯度公式
2.海森矩阵公式
6.1.4关于线路安全约束的讨论 以上讨论的模型没有引入线路安全性约束，下面 加以补充说明。 线路有功限制可以表示为： 在6.24中加入新的惩罚项，新增广目标函数为：
其梯度及海森矩阵公式增加相应的部分如下：
6.2.3不等式约束的处理及几点说明 1.不等式约束的处理 上述模型没考虑6.93至6.98所给的约束，这些约 束分为两种情况处理。 （1）发电机节点电压幅值的约束 由6.88的要求，约束可以采取以下原则：在一维 搜索方向上前进一步后，是电压幅值越界的部分 按前进一步后的幅角停留在这个幅值的界上其他 分量则前进一步。把独立变量分为两个子矢量。 （2）发电机节点有功、无功约束及负荷节点电压 幅值约束 这类是状态变量的函数不等式约束，用惩罚法加 以处理。
6.2.4一维搜索方向的修正和一维搜索步长的选取 1.一维搜索方向修正 对搜索方向加以改进，把6.111改为 H矩阵按下列迭代公式计算： 2.一维搜索步长的选取 本节模型建议使用三次插值，但有越界情况时， 三次插值不适用。所以采取以下办法： （1）每次迭代中将搜索方向矢量规格化，并选一 个初始步长。 （2）按初始步长走一步后，检查增广目标函数， 如下降，不再插值，若上升且不越界，进行三次 插值，若越界，步长减半。
（3）按6.29式求搜索方向S(k) （4）按二次插值公式求得α(k),使C(E(k)+α(k) S(k))在 S(k)上取极小值。 （5）由6.25式求新的状态变，量并计算C(E(k+1))， 满足2.6或2.7式，转到(7)，否则转到(6)。 （6）计算E(k+1)处的g(k+1)及H(k+1)，转回(3)。 （7）检查所有约束是否违反，不违反则计算结束， 否则将惩罚因子增大一倍，返回(2)。
（1）给定状态变量初值E。 （2）如意算出E(k),但E(k)不是误差范围内的极小值， 选择一个搜索方向S(k),使沿S(k)方向C(E)是下降的。 （3）由E(k)出发，沿S(k)方向前进一步。 （4）检验E(k+1)是否满足 或者
求解步骤如下： （1）给一组惩罚因子值，由普通潮流求状态变量 E(0)。 （2）求C(E(k))及H(k)和g(k)。
6.3.3简化问题的建立与求解 1.简化问题的形式 简化问题的表述为：
2.简化问题中个系数的计算 用灵敏度分析方法推到 、 式。
的计算公
6.3.4几点说明 （1）忽略二次项，可进一步减少计算量。 （2）当把发电机电压作为固定值时，模型就基本 可以看作是纯有功优化。 （3）模型的灵活性还在于，它可以根据需要计及 可行性和N-1安全性不等式约束。 （4）把原问题变成等价的简化问题，使问题的规 模变得很小。
3.模型的框图及说明
6.3.2不等式的安全约束安全分析 不等式约束分为正常情况下的可行性约束和断线 情况下的N-1安全性约束。 可行性约束的检查及选择很容易，下面主要讲述 N-1安全性约束的分析检查。 1.基于直流潮流的传递系数法安全分析 用基于直流潮流的传递系数法进行粗略预算，适 当扩大准起作用约束的范围，这样可以将绝大多 数不起作用的约束清除。 2.基于灵敏度矩阵的安全分析 最准确的安全分析是用牛顿法潮流或解耦潮流直 接计算，为减少计算量，可以采取近似的灵敏度 矩阵分析。
附录B-4-5介绍了一种化为线性规划的解法。
6.4.4由实例计算结果所得到的几点说明 （1）本模型不进行迭代、收敛可靠、计算量小， 可在微机上实现优化调度。 （2）以费用微增率大小排序的调度方法算得的发 电机边际费用单位网损费用值是可行的。 （3）证明了有功与节点电压值之间的弱关系。
第二节、最优潮流的修正广义简化梯度法
6.2.1引言 广义化梯度法的缺点： （1）只具有线性收敛速度。 （2）随惩罚因子值的增加，采用最速下降法，收敛 性不能保证。 （3）通过牛顿法潮流求相关变量时维数较高。 本节所讲述的修正广义简化梯度法有以下几点： （1）引入一个近似的简化海森矩阵的逆对负广义简 化梯度进行修正。 （2）选用发电机节点电压实部及虚步作为独立变量， 减少牛顿法潮流中自变量的维数。 （3）采用试探和三次插值相结合的办法进行一维搜 索，使总的计算量减少。
2.模型基本思路 基本思路是建立一个简化问题代替越问题，步骤 如下： （1）在初始点检查所示的全部不等式约束 （2）选出起作用的约束和靠近限制值的约束 （3）用控制变量将选出的这些约束表出，建立简 化问题。 （4）对简化问题进行优化得到控制变量新值，通 过解潮流算出状态变量。 （5）满足全部约束且两次迭代的简化问题没有显 著变化，则得到安全最优解；否则加入新的约束 重复上述过程。
2.几点说明 （1）迭代步骤为如下 第一步：给定一组惩罚因子。 第二步：按6.2.2给出的步骤进行优化，其中 （6.110）改为（6.113）至（6.114），目标函数 由F改为F+FP。 第三步：如全部不等式约束满足，整个计算结束， 否则，惩罚因子增加一倍，返回第二步。 （2）模型中不中存在对相关变量本身的不等式约 束。 （3）用这种方法处理N-1线路安全约束时将造成 很大的计算量。
6.1.5实施中的几点说明 1.状态变量的给定 为减少迭代次数，以普通潮流的计算结果作为初值。 2.一维搜索初试步长的选取 令 α<1，则选α，否则选1. 3.收敛判据 （1）每次优化中，增广目标函数在一定范围内不再 下降。（2）所有约束在一定范围内不被违反。 4.惩罚因子的选择 总的原则：使全部惩罚项的值与原目标函数的值 数量级上相当。 5.海森矩阵 若状态变量修正值很小，两次迭代用相同的海森 矩阵。
需指出三点： （1）这种模型主要反映有功的最优分配。 （2）模型以费用最小和以有功网损最小时所得到 的有功分配是不相同的，只有在网络结构、符合 分布分布和各发电机的费用特性配合适当时，即 使费用最小的也是网损最小的。 （3）经过两次优化，在满足最小费用的前提下实 现网损最小。
（2）线路上的有功限制值约束用直流潮流的关系 写为：
（3）节点有功平衡也采用直流潮流的关系式
除上述约束外，凡是能用发电机有功及节点电压 角度线性表出的其他约束均可以引入。
6.4.3模型的求解方法 将目标函数及约束式进过处理后，归纳为下面的 二次规划标准形式：
对变量δ作如下变换： 根据kuhn-Tucker定理，二次规划问题等价于求矢 量w、z，满足
2.最优潮流模型 用节点电压实部和虚部作为状态变量的最优潮流 问题可以表示为：
将潮流方程中节点注入有功的直角坐标表达式代入 6.90，可得目标函数的各阶偏导数。 广义简化梯度求解最有潮流的步骤： （1）给定发电机节点电压初值z(0)； （2）第k次迭代中得到z(0) ，按6.89所示的迭代格式， 用牛顿法潮流求出相应的负荷节点电压y(k); （3）按6.100及6.101求 ，并按6.106及6.109 建立矩阵 ，并求其转置，根据6.85求得矢量λ。 （4）按6.102及6.103求 ，并按6.106及6.109 建立矩阵 ，并求其转置，根据6.84求得广 义简化梯度γ。 （5）以负广义简化梯度为搜索方向，在搜索方向上 修正发电节点电压矢量。 （6）如满足 ，所得到的 即为最有潮流解，否则返回（2）。
6.1.2模型的求解方法 上述模型的基本思路是：有惩罚函数法把模型变 为无约束优化序列，用海森矩阵法求解无约束优 化问题。 1.用惩罚函数法构造无约束优化序列 将6.7及6.6代入6.1至6.5中模型可写成6.13至6.21 式。 以费用最小为目标时， 以网损最小为目标时F为6.9式所示。 构造增广目标函数：
惩罚函数的基本迭代格式如下： （1）给定一组初值，对增广函数进行无约束最优 化，在此过程中，凡是没有违反的不等式约束都 剔除。 （2）对违反不等式约束和趋于零不够快的等式约 束，每次无约束优化后应增加其相应的惩罚因子 值。 （3）增大后构成新的增广目标函数，进行又一轮 无约束优化。 2.海森矩阵法解无约束优化 对于增广目标函数求极小，其基本的迭代格式如 下：
6.2.5两种模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及算法的简单算例 下面给出惩罚-海森矩阵法和修正广义简化梯度法 计算一个5节点系统最优潮流的例子，比较一下修 正广义简化梯度法与一般广义简化梯度法的收敛 性。