第六章非线性规划最优潮流

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2.模型基本思路 基本思路是建立一个简化问题代替越问题，步骤 如下： （1）在初始点检查所示的全部不等式约束 （2）选出起作用的约束和靠近限制值的约束 （3）用控制变量将选出的这些约束表出，建立简 化问题。 （4）对简化问题进行优化得到控制变量新值，通 过解潮流算出状态变量。 （5）满足全部约束且两次迭代的简化问题没有显 著变化，则得到安全最优解；否则加入新的约束 重复上述过程。


（1）给定状态变量初值E。 （2）如意算出E(k),但E(k)不是误差范围内的极小值， 选择一个搜索方向S(k),使沿S(k)方向C(E)是下降的。 （3）由E(k)出发，沿S(k)方向前进一步。 （4）检验E(k+1)是否满足 或者




求解步骤如下： （1）给一组惩罚因子值，由普通潮流求状态变量 E(0)。 （2）求C(E(k))及H(k)和g(k)。


第二节、最优潮流的修正广义简化梯度法





6.2.1引言 广义化梯度法的缺点： （1）只具有线性收敛速度。 （2）随惩罚因子值的增加，采用最速下降法，收敛 性不能保证。 （3）通过牛顿法潮流求相关变量时维数较高。 本节所讲述的修正广义简化梯度法有以下几点： （1）引入一个近似的简化海森矩阵的逆对负广义简 化梯度进行修正。 （2）选用发电机节点电压实部及虚步作为独立变量， 减少牛顿法潮流中自变量的维数。 （3）采用试探和三次插值相结合的办法进行一维搜 索，使总的计算量减少。






2.几点说明 （1）迭代步骤为如下 第一步：给定一组惩罚因子。 第二步：按6.2.2给出的步骤进行优化，其中 （6.110）改为（6.113）至（6.114），目标函数 由F改为F+FP。 第三步：如全部不等式约束满足，整个计算结束， 否则，惩罚因子增加一倍，返回第二步。 （2）模型中不中存在对相关变量本身的不等式约 束。 （3）用这种方法处理N-1线路安全约束时将造成 很大的计算量。
6.1.5实施中的几点说明 1.状态变量的给定 为减少迭代次数，以普通潮流的计算结果作为初值。 2.一维搜索初试步长的选取 令 α<1，则选α，否则选1. 3.收敛判据 （1）每次优化中，增广目标函数在一定范围内不再 下降。（2）所有约束在一定范围内不被违反。 4.惩罚因子的选择 总的原则：使全部惩罚项的值与原目标函数的值 数量级上相当。 5.海森矩阵 若状态变量修正值很小，两次迭代用相同的海森 矩阵。



（2）线路上的有功限制值约束用直流潮流的关系 写为：

（3）节点有功平衡也采用直流潮流的关系式

除上述约束外，凡是能用发电机有功及节点电压 角度线性表出的其他约束均可以引入。

6.4.3模型的求解方法 将目标函数及约束式进过处理后，归纳为下面的 二次规划标准形式：


对变量δ作如下变换： 根据kuhn-Tucker定理，二次规划问题等价于求矢 量w、z，满足


需指出三点： （1）这种模型主要反映有功的最优分配。 （2）模型以费用最小和以有功网损最小时所得到 的有功分配是不相同的，只有在网络结构、符合 分布分布和各发电机的费用特性配合适当时，即 使费用最小的也是网损最小的。 （3）经过两次优化，在满足最小费用的前提下实 现网损最小。





第四节、有功优化的二次规划模型




6.4.1引言 本节介绍一个有功优化的二次规划最有潮流模型， 它与有以下特点： （1）将网损的费用直接引入目标函数。 （2）采取必要的近似，以减少计算量。 （3）模型只需一次计算。


6.4.2模型的建立

1.目标函数 目标函数包括两部分：发电机有功的费用和有功 网损的费用。 发电机有功的费用采取二次特性，即 若单位网损的费用为β，则目标函数为： 2.约束式 （1）自变量是发电机有功及各节点电压角度，发 电机有功的限值为：
6.1.2模型的求解方法 上述模型的基本思路是：有惩罚函数法把模型变 为无约束优化序列，用海森矩阵法求解无约束优 化问题。 1.用惩罚函数法构造无约束优化序列 将6.7及6.6代入6.1至6.5中模型可写成6.13至6.21 式。 以费用最小为目标时， 以网损最小为目标时F为6.9式所示。 构造增广目标函数：




6.2.3不等式约束的处理及几点说明 1.不等式约束的处理 上述模型没考虑6.93至6.98所给的约束，这些约 束分为两种情况处理。 （1）发电机节点电压幅值的约束 由6.88的要求，约束可以采取以下原则：在一维 搜索方向上前进一步后，是电压幅值越界的部分 按前进一步后的幅角停留在这个幅值的界上其他 分量则前进一步。把独立变量分为两个子矢量。 （2）发电机节点有功、无功约束及负荷节点电压 幅值约束 这类是状态变量的函数不等式约束，用惩罚法加 以处理。
6.2.2广义简化梯度法最优潮流的基本模式 1.广义简化梯度法 根据Kuhn-Tucker定理可知： γ称为简化梯度，它的分量为：

广义简化梯度法是这样进行的，从E(0)出发，以迭 代方式移动到E(1)、E(2)…等等，直到满足6.86为止， 若第k次迭代还不满足6.86，则按下式修正独立变量，


2.最优潮流模型 用节点电压实部和虚部作为状态变量的最优潮流 问题可以表示为：






将潮流方程中节点注入有功的直角坐标表达式代入 6.90，可得目标函数的各阶偏导数。 广义简化梯度求解最有潮流的步骤： （1）给定发电机节点电压初值z(0)； （2）第k次迭代中得到z(0) ，按6.89所示的迭代格式， 用牛顿法潮流求出相应的负荷节点电压y(k); （3）按6.100及6.101求 ，并按6.106及6.109 建立矩阵 ，并求其转置，根据6.85求得矢量λ。 （4）按6.102及6.103求 ，并按6.106及6.109 建立矩阵 ，并求其转置，根据6.84求得广 义简化梯度γ。 （5）以负广义简化梯度为搜索方向，在搜索方向上 修正发电节点电压矢量。 （6）如满足 ，所得到的 即为最有潮流解，否则返回（2）。

附录B-4-5介绍了一种化为线性规划的解法。



6.4.4由实例计算结果所得到的几点说明 （1）本模型不进行迭代、收敛可靠、计算量小， 可在微机上实现优化调度。 （2）以费用微增率大小排序的调度方法算得的发 电机边际费用单位网损费用值是可行的。 （3）证明了有功与节点电压值之间的弱关系。



6.3.3简化问题的建立与求解 1.简化问题的形式 简化问题的表述为：


2.简化问题中个系数的计算 用灵敏度分析方法推到 、 式。
的计算公


6.3.4几点说明 （1）忽略二次项，可进一步减少计算量。 （2）当把发电机电压作为固定值时，模型就基本 可以看作是纯有功优化。 （3）模型的灵活性还在于，它可以根据需要计及 可行性和N-1安全性不等式约束。 （4）把原问题变成等价的简化问题，使问题的规 模变得很小。
第六章 非线性规划最优潮流

第一节、最优潮流的惩罚----海森矩阵法


6.1.1模型的数学描述 上一章所得的结果只是有功经济分配，有功无功 综合化模型如下：

若以最小有功网损为目标，目标函数改为各节点 注入有功之和，即

上述模型，不管以最小发电费用为目标也好，还 是以最小有功网损为目标，均可抽象成数学形式：





惩罚函数的基本迭代格式如下： （1）给定一组初值，对增广函数进行无约束最优 化，在此过程中，凡是没有违反的不等式约束都 剔除。 （2）对违反不等式约束和趋于零不够快的等式约 束，每次无约束优化后应增加其相应的惩罚因子 值。 （3）增大后构成新的增广目标函数，进行又一轮 无约束优化。 2.海森矩阵法解无约束优化 对于增广目标函数求极小，其基本的迭代格式如 下：

6.1.3增广目标函数梯度及海森矩阵的计算公式 1.梯度公式

2.海森矩阵公式


6.1.4关于线路安全约束的讨论 以上讨论的模型没有引入线路安全性约束，下面 加以补充说明。 线路有功限制可以表示为： 在6.24中加入新的惩罚项，新增广目标函数为：

其梯度及海森矩阵公式增加相应的部分如下：




（3）按6.29式求搜索方向S(k) （4）按二次插值公式求得α(k),使C(E(k)+α(k) S(k))在 S(k)上取极小值。 （5）由6.25式求新的状态变，量并计算C(E(k+1))， 满足2.6或2.7式，转到(7)，否则转到(6)。 （6）计算E(k+1)处的g(k+1)及H(k+1)，转回(3)。 （7）检查所有约束是否违反，不违反则计算结束， 否则将惩罚因子增大一倍，返回(2)。




6.2.5两种模型及算法的简单算例 下面给出惩罚-海森矩阵法和修正广义简化梯度法 计算一个5节点系统最优潮流的例子，比较一下修 正广义简化梯度法与一般广义简化梯度法的收敛 性。

第三节、N-1安全性最优潮流的简化微分模型 6.3.1模型的基本思路及框图 1.N-1安全性最优潮流的描述 计算下列变量： （1）发电机节点注入有（无）功 （2）发电机节点电压 （3）可调变压器的变比 （4）其他状态变量 使运行费用最小，并满足下列约束： （1）等式约束 （2）可行性不等式约束 （3）安全性不等式约束



6.2.4一维搜索方向的修正和一维搜索步长的选取 1.一维搜索方向修正 对搜索方向加以改进，把6.111改为 H矩阵按下列迭代公式计算： 2.一维搜索步长的选取 本节模型建议使用三次插值，但有越界情况时， 三次插值不适用。所以采取以下办法： （1）每次迭代中将搜索方向矢量规格化，并选一 个初始步长。 （2）按初始步长走一步后，检查增广目标函数， 如下降，不再插值，若上升且不越界，进行三次 插值，若越界，步长减半。

3.模型的框图及说明




6.3.2不等式的安全约束安全分析 不等式约束分为正常情况下的可行性约束和断线 情况下的N-1安全性约束。 可行性约束的检查及选择很容易，下面主要讲述 N-1安全性约束的分析检查。 1.基于直流潮流的传递系数法安全分析 用基于直流潮流的传递系数法进行粗略预算，适 当扩大准起作用约束的范围，这样可以将绝大多 数不起作用的约束清除。 2.基于灵敏度矩阵的安全分析 最准确的安全分析是用牛顿法潮流或解耦潮流直 接计算，为减少计算量，可以采取近似的灵敏度 矩阵分析。