01超静定结构计算-位移法
《高等工程力学》1 超静定结构内力计算
1 超静定结构内力计算
§1.1.4超静定结构的位移计算
按照虚功原理，计算超静定结构位移时，若忽略轴力及剪力的影响，其计算
公式为：
s
MM EI
ds
在平面结构中结构位移计算的一般公式为：
s
MM EI
ds
s
NN EA
同理可以求出一端固定一端铰支等截面直杆（图1-3a）的转角位移方程。设 B端为铰，则MBA＝0
M AB
3i A
3i
l
M AB
(1-9)
当一端为固定另一端为滑动支承时（图1-3b），转角位移方程为。
M AB i A B M AB M BA iB A M BA
方程式代入，方程（1-11）中就只有各结点的转角作为未知数。如果结构中有n
个刚性结点，则可列出n个平衡方程。恰好解出方程中的n个基本来知数，即n个
刚性结点的转角。
解方程求出转角后再代回各杆端的转角位移方程中，就可以求出各杆端的内
力。
1 超静定结构内力计算
§1.2.3考虑结点及截面平衡法求解结构内力（续1）
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力
⑴ 位移法典型方程 设一刚架如图1－5所示。其位移法基本体系如图b所示。
图1-5
当基本体系产生的位移Zl、Z2与原结构的实际位移相等时，附加刚臂的反力 矩应与实际结构在该处的受力情况一致，即反力矩应为零。
R1 R11 R12 R1P 0
1 超静定结构内力计算
(1-5)
结构力学(I)结构静力分析篇(位移法)@@
EI
正对称
q q q
h
反对称
q
哈工大 土木工程学院
29 / 65
q
q
q
对称结构在对称荷载作 用下内力、反力和变形皆对 称，故取半结构计算。由半 结构特点采用位移法较好。
哈工大 土木工程学院
30 / 65
q
q
q
对称结构在反对称荷载 作用下内力、反力和变形皆 反对称，故取半结构计算。 而此半结构仍具有对称结构 特点。继续分解。
A 2EI
l
B
EI c
l
C
原始结构
C
A
Z1
B c
基本结构 基本体系
k R 0 1Z 11 1 C
哈工大 土木工程学院
基本方程
33 / 65
4i
Z1 1
3i
8i
k 11
3i
8i
12 i l 12 i l
M1
1 2 i l
k i 1111
R 1C
3i l
c
3i l
MC
9i R1C c l
哈工大 土木工程学院
15 / 65
3i
Z1 1
k 11
4i
3i
1 Z1 FPl 56i
2i
1 FPl 8 1 FPl 8
M1
4i k i 117
R1P
1 FPl 8
M Z M M 1 1 P
3 FPl 56 8 FPl 56 9 FPl 56
FP
MP
1 R 1P F Pl 8
哈工大 土木工程学院
21 / 65
Z1 1
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
01-结构力学 位移法知识点小结
第8章 位移法（知识点小结）一、杆端内力正负号规定（图8-1）杆端弯矩AB M 、BA M ：以绕杆端顺时针为正，逆时针为负；对结点或支座而言，截面弯矩以逆时针为正。
杆端剪力SAB F 、SBA F ：以绕微段隔离体顺时针转动者为正，反之为负。
结点转角（杆端转角）A θ、B θ：顺时针转动为正。
两端垂直杆轴的相对线位移AB ∆：以使杆件顺时针转动为正，反之为负。
图8-1 杆端内力及杆端位移的正负号规定二、等截面直杆的转角位移方程—位移法计算的基础1、由杆端位移求杆端力——形常数考虑三种不同情况：两端固定直杆、一端固定另一端铰支的直杆及一端固定另一端滑动支承的直杆。
由杆端位移求杆端内力的公式（刚度方程），如表8-1所示，这里/i EI l =。
由杆端位移求出杆端弯矩后，杆端剪力可由平衡条件求出。
表8-1中，杆端内力是根据图示方向的位移方向求得的，当计算某一结构时，应根据其杆件所受的实际位移方向，判断其杆端内力的正负号及受拉侧。
2、由荷载求固定内力——载常数对三种等截面直杆，在荷载作用、温度改变作用下的杆端弯矩和剪力，称为固端弯矩和固端剪力（载常数）。
常见荷载作用下的载常数可查表所得。
3、等截面直杆的转角位移方程对等截面直杆，既有已知荷载作用，又有已知的杆端位移，可根据叠加原理，写出其杆端力的一般表达式，这即为等截面直杆的转角位移方程。
三、位移法的基本未知量包括独立的结点角位移和独立的结点线位移。
独立的结点角位移数目等于刚结点（包括组合结点、弹性抗转弹簧）的数目。
结点线位移的数目可通过增设支杆法（或铰化体系法）来确定。
铰化体系法就是将原结构中所有刚结点和固定支座均改为铰结点形成铰接体系，此铰接体系的自由度数就是原结构的独立结点线位移数。
然后分析该铰接体系的几何组成：如果它是几何不变的，说明结构无结点线位移；相反，如果铰接体系是几何可变的，再看最少需要增设几根附加支杆才能确保体系成为几何不变，或者说使此铰接体系成为几何不变而需添加的最少支杆数就等于原结构的独立结点线位移数目。
位移法求超静定结构支座反力
位移法求超静定结构支座反力首先，让我们先来了解一下超静定结构和位移法的基本概念。
超静定结构是指具有多余支撑或节点的结构，这些结构在外力作用下可以保持稳定，但是支座反力并不唯一确定。
在超静定结构中，我们需要通过一定的方法来求解支座反力以及结构的内力分布。
位移法是一种结构分析方法，其基本思想是假设结构在受力作用下产生微小位移，通过计算位移的变化来求解结构的受力状态。
位移法的优点是简单易用，适用于各种结构形式，并且可以较为准确地求解结构的支座反力和内力分布。
接下来，我们将以一个简单的超静定结构为例，通过位移法来求解支座反力。
假设我们有一个悬臂梁结构，如下图所示：（图）该悬臂梁结构为超静定结构，假设其长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。
现在我们需要求解支座A处的水平和竖直支座反力。
首先，我们需要对结构进行简化，假设结构在受力作用下产生微小位移ε，如下图所示：（图）根据悬臂梁结构的几何关系和位移法的基本原理，我们可以列出以下方程：$\frac{d}{dx}(EA\frac{d^2u}{dx^2}) = 0$其中，u为结构在x方向的位移。
根据以上方程可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = C_1$其中，C1为积分常数。
根据结构的边界条件，我们可以得到u(0) = 0，u'(0) = 0。
即支座A处的位移为0，支座处的应变为0。
根据以上条件，我们可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = -\frac{F}{L^2}x$解上述方程可以得到结构的位移表达式为：$u(x) = \frac{F}{2EA}(x^2 - Lx)$根据结构的边界条件，我们可以得到支座A处的水平反力为0，即$R_A = 0$。
而支座A 处的竖直支座反力为支持力，即$R_V = F$。
通过以上分析，我们成功求解了超静定悬臂梁结构的支座反力。
通过位移法这一经典的结构分析方法，我们可以对各种结构进行分析，并且可以比较准确地求解结构的支座反力和内力分布。
01静定结构位移计算
§4.2 变形体虚功原理
五、直杆系虚功方程
q FPx p
δWe = δW =δWi q(s) 取任一单元
* FQj
* FNi
* FNj
M i* F i m(s) * Qi
j
p(s)
θ(s)
M* j
δWe 的计算:
δWei,j [ pδu qδv mδ ]d s
i 当无集中荷载时： δWe =Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds
l
M 2 ( x) FP 2l 3 dx 2 EI 6 EI
V FPl 3 FP 3EI
?
推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构
§4.0 理力材力相关内容回顾 四、摩尔定理（公式）
l
FN ( x)FN 0 ( x) T ( x)T 0 ( x) M ( x)M 0 ( x) dx dx dx EA GI p EI
l
l
FN ( x)、T ( x)、M ( x) - -结 构 在 原 载 荷 下 的 内 力 FN ( x)、T ( x)、M ( x) - -去 掉 原 载 荷 ， 在 所 义 广 求 位移点，沿所求广移的方向加广义单时， 义位 位力 结构产生的内力
0 0 0
推导过程使用了两种力施加不同顺序得出结果相同， 所以只适用线弹性结构
X AΔ 0
YA
YB
§4.2 变形体虚功原理
一、虚位移、虚力
对一变形体
FP 力状态：平衡方程 FP/2 FP/2 满足平衡条件 FP 位移状态：协调方程 满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小
§4.2 变形体虚功原理
一、虚位移、虚力
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
超静定结构基本计算方法对比分析
超静定结构基本计算方法对比分析作者：刘晓江马俊涛来源：《卷宗》2016年第06期摘要：超静定结构是在工程实际中大量采用的结构形式。
本文主要论述超静定结构的两种基本计算方法--力法与位移法在基本思路、典型方程以及应用等方面的对比。
关键词：超静定结构；力法；位移法；对比在实际工程中，大多数结构都是超静定结构。
结构力学计算的内容，通常包括内力计算和位移计算两个方面。
在结构的静力问题中，内力和位移必须满足平衡条件和变形连续条件。
对于静定结构来说，平衡条件是解结构反力和内力的唯一条件，而超静定结构必须同时满足以上两个条件，问题才能获得全部解答。
本文介绍的超静定结构计算的两种基本计算方法都离不开这两条件，只是在满足这两个条件的次序和方式上有所不同。
1 基本思路的对比力法：用力法计算超静定结构，首先撤除多余约束，将超静定结构变为静定结构，同时保留相应的多余力（基本未知量），这就是力法的基本体系；其次，利用静力平衡条件，求出基本结构在荷载和单位多余力作用下的内力；利用变形协调条件，建立力法的基本方程，进而求出基本未知量；最后，用叠加原理求出超静定结构的内力。
位移法：位移法以结点位移作为基本未知量，通过转角位移方程求出各杆杆端弯矩，从而求出结构的内力、反力。
用位移法解答问题时，首先需要明确结构的基本未知量。
选取的基本未知量将原来各部分相互关联的结构，分解成彼此可以独立使用转角位移方程的杆件。
在此基础上，就可以利用杆件的转角位移方程，根据结构的结点或局部平衡条件建立位移法方程。
将求解位移法方程所得的基本未知量回代入各杆件的转角位移方程，即可求得各杆件的杆端弯矩。
力法解题时转化搭桥，采用过渡策略，把超静定问题与静定问题联系起来，加以比较，从中找到由静定问题求解过渡到超静定问题求解的途径。
而位移法把结构拆成杆件，进行杆件分拆，得出杆件的刚度方程，再把杆件综合成结构，进行整体分析，得出基本方程，从而求解，是“先化整为零，再集零成整”，即将一个复杂的问题化解为若干简单问题的分析及组合的问题。
位移法求解超静定结构
位移法求解超静定结构一、引言超静定结构是指在静力学条件下，其内力和位移无法通过平衡方程和变形方程求解的结构。
由于超静定结构的内力和位移无法直接求解，因此需要采用特殊的方法进行计算。
其中，位移法是一种经典的求解超静定结构的方法。
二、位移法基本原理位移法是一种基于能量原理的方法，其基本思想是将结构中各个部分的变形看作独立自由度，然后通过能量平衡原理得到各个自由度之间的关系，最终求解出整个结构的内力和位移。
具体来说，位移法包括以下几个步骤：1. 将超静定结构中每一个部分看作一个独立自由度，并为每个自由度引入一个未知位移；2. 根据平衡条件列出各部分之间相互制约的方程组；3. 根据能量平衡原理列出总势能和总应变能之间的关系式，并将其转化为未知位移之间的关系式；4. 将各个方程组联立起来，得到未知位移之间的关系式；5. 利用已知边界条件解出未知位移，并进而求解出整个结构的内力和位移。
三、位移法的应用范围位移法适用于各种类型的超静定结构，包括梁、柱、框架等。
此外，位移法还可以用于求解复杂的结构体系，如悬索桥、拱桥等。
四、位移法的优点和缺点1. 优点：（1）能够求解各种类型的超静定结构；（2）计算精度高，适用于复杂结构；（3）计算过程简单明了，易于理解和掌握。
2. 缺点：（1）只能求解超静定结构，不能求解不静定和半静定结构；（2）需要将每个部分看作独立自由度，因此对于复杂结构需要引入大量自由度，计算量较大；（3）需要具备一定的数学基础和结构力学知识。
五、位移法的实例以一根简支梁为例进行说明。
假设梁长为L，截面为矩形截面，宽度为b，高度为h。
在中间加一集中荷载F，则该梁为超静定结构。
采用位移法进行求解：1. 将梁分成两段，并引入两个未知位移u1和u2；2. 根据平衡条件，得到以下方程组：（1）在x=0处：F = R1 + R2（2）在x=L处：R1u1 + R2u2 = FL/43. 根据能量平衡原理，得到以下关系式：（1）总势能：V = (R1u1 + R2u2)hL/2（2）总应变能：T = F^2L^3/48EI4. 将以上方程组和关系式联立起来，得到：（1）F = (3EI/h^3L^3)(u1 - u2)（2）R1 = F/2 - EI/h^3L^3(u1 + u2)（3）R2 = F/2 + EI/h^3L^3(u1 + u2)5. 利用已知边界条件，即梁两端的位移为0，解出未知位移：（1）u1 = FL^3/(48EIh)；（2）u2 = -FL^3/(48EIh)；6. 最终求解出内力和位移：（1）R1 = F/4；（2）R2 = F/4；（3）Mmax = FL/8；（4）umax = FL^3/(48EIh)。
超静定结构的解法1位移法
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数 杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
i=EI/l----线刚度
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念 三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
MP
EA Z1=1
r11
M1
Z1
3i/l
5P/16
3i / l 2
R1P
r11
3i / l 2
Z1---位移法
基本未知量
r11 6i / l 2 R1P 5P / 16
Z1 5Pl 2 / 96i
M M1Z1 MP
Z1
q
EI
EI
Z1 q
Z1
=
Z1
=
Z1=1
Z1
q
+
Z1
q
EI
EI
Z1
位移法的基本结构 ----单跨梁系.
=
=
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql 2 / 8
R1P
q
位移法的基本方程 ----平衡方程.
超静定结构-力法位移计算
M
3. 支座位移：
MMC EI
ds
FRCR
综合:
MM EI
ds
t0 SFN
t h
S M
FRCR
其中M为超静定结构在各种因素作用下产生的弯矩
详见教学视频“6.16荷载作用下超静定结构位移计算”
例1：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数
q
ql2 12
第 六 章 力法
§6-8* 超静定结构位移计算
可取任意静定结构做为基本结构来计算超静定结构位移
施加单位荷载，计算单位荷载作用下的内力图 (M , FQ , FN )
1. 荷载作用：
MM EI
F
ds
2. 温度改变：
MMt EI
ds
t0SFN
t h
S
A
C
B
A
l/2
l/2
原结构
ql2 12
B
ql2 24
M图
CV
ql 4 384EI
()
例2：求图示刚架D结点水平位移ΔDH，各杆EI如图示。
C
D
/m
2EI
2EI 6m
31.5
A
B
6m
57.6
30.6
M图(kN m)
基本结构1
基本结构2
基本结构3
基本结构4
单位荷载施加在哪个基本结构更加简单？
EI l
线刚度
A
i
qA
B
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数（表7-1）
A
B
A
BA
1超静定结构的解法
1超静定结构的解法超静定结构是指结构的支座反力数目多于静力平衡方程的数目，即结构的自由度多余零，不能通过直接求解静力平衡方程得到结构的内力、位移等参数。
因此，需要使用超静定结构的解法来求解结构的响应。
超静定结构的解法主要有两种：力法和位移法。
在这里，我将分别介绍这两种方法的基本原理。
1.力法力法是指通过引入虚功原理，利用未知内力的线性平衡方程组与已知荷载、位移或位移力系数之间的关系，构建方程并求解未知内力的方法。
使用力法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择剪力或弯矩作为未知内力。
在超静定结构中，选择剪力或弯矩作为未知内力比较常见；（3）建立线性平衡方程组。
将剪力或弯矩作为未知量，根据结构的几何条件和约束条件，建立线性平衡方程组；（4）引入荷载、位移或位移力系数。
根据结构的受力情况，将已知荷载、位移或位移力系数引入线性平衡方程组；（5）求解未知内力。
通过求解线性平衡方程组，得到未知内力。
2.位移法位移法是指通过引入位移的概念，利用位移与剪力/弯矩之间的关系，将超静定结构的内力求解问题转化为线性代数方程组的求解问题。
使用位移法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择支座位移为未知量。
在超静定结构中，支座位移比较容易确定；（3）建立位移-力关系方程。
根据结构的几何条件和材料性质，建立位移-力关系方程，将剪力或弯矩表示为位移的函数；（4）引入荷载或位移。
根据结构的受力条件，将已知荷载或位移引入位移-力关系方程；（5）求解未知位移。
通过求解位移-力关系方程，得到未知位移；（6）求解未知内力。
将未知位移代入位移-力关系方程，求解出未知内力。
需要注意的是，在力法和位移法中，由于超静定结构的自由度数目大于零，未知内力或未知位移存在无穷多个解。
因此，需要加入合理的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等，来确定唯一的解。
结构力学位移法
二、基本未知量的确定 1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
2.有侧移结构
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移
例3.
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向
变形，B、C点的竖向位移为零，B、C
(a)
(b) (c)
2）求图(2)中 φA2和φB2 3）叠加得到
变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：
由平衡条件得杆端剪力：见图（d)
(d)
1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角 。
MAB A
由力法求得
B MBA
2i
4i
M
2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角 。
MAB A
,得:
BC杆
4. 解方程，得:
5. 把结点位移回代，得杆端弯矩
6. 画弯矩图
ql2 14
B ql2 C 8
A
ql2
28 M图
例2.
1、基本未知量θB、θC
40 43.5 2406k.N9/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
24.5 14.7
AA 4i=I 1 1
BB 3.4
51I62.5 CC
1
94.118I DD
二、形常数和载常数
形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力 载常数：由荷载引起的固端力
1.由杆端位移求杆端内力（形常数）
MAB
Δ
根据力法可求解：
QAB φA
MAB
φB MBA
结构力学 位移法
B
3 2l
3i M AB l 3i FQAB FQBA 2 l
B 不独立，可不作为基本未知量
故，其杆端弯矩和杆端剪力为
3、远端滑动（ B FQAB FQBA 0 ） 如图（e）所示，由弯曲杆件的刚度方程，并令
B FQAB FQBA 0
基本线位移未知量2个 (a) (b)
三、基本方程举例
(a) (b)
3
2 1
基本未知量：3个刚结点D、E、F 增加3根支座链杆 对应于θ 三个刚结点，分别建立其力矩平衡条件
3个角位移
D , E , F
(c)
3个线位移 1 , 2 , 3
D、θ E、θ F3个角位移，应截取D、E、F
QAB= QBA
θ =1
B
4i
1
2i
6i
1 2i
l
6i
3i
l
6i
0
l
l2
A A
θ =1
B B
3i
3i
l
1 θ =1
B
3i
i
l
0
l2
A
－i
0
四、常用荷载情况下的固端弯矩和固端剪力
1、两端固定梁 ①
P A l/ 2 l/ 2
B
M
F AB
Pl / 8
F FQAB P / 2 F FQBA P / 2
平衡方程
M AG M AB M AD 0 M BA M BC 0
基本方程
所以，该刚架利用位移法计算时的基本未知量为 A和 B 。
根据铰结点C的力矩为零的条件，可以把 C 表示成 A B 的函数关系式， 与
结构力学位移法
第十七章位移法求解超静定结构的两种最基本的方法力法适用性广泛，解题灵活性较大。
（可选用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法电算——矩阵位移法力法位移法力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移基本未知量F PϕBϕB在忽略杆轴向变形和剪切变形的条件下，结点B 只发生角位移ϕB 。
由于结点B 是一刚结点，故汇交于结点B 的两杆的杆端在变形后将发生与结点相同的角位移。
位移法计算时就是以这样的结点角位移作为基本未知量的。
第一节位移法的基本概念BAClhEI 1EI 2首先，附加一个约束使结点B 不能转动，此时结构变为两个单跨超静定梁。
称为位移法的基本结构。
在荷载作用下，可用力法求得两根杆的弯矩图。
由于附加约束阻止结点B 的转动，故在附加约束上会产生一个约束力矩1631l F F P P -=C BAF P316Fl 532FlCAB然后，为了使变形符合原来的实际情况，必须转动附加约束以恢复ϕB 。
两个单跨超静梁在B 端有角位移时的弯矩图，同样可由力法求得。
此时在附加约束上产生约束力矩Bh EI lEI F ϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=211143ϕB ϕBBA CB lEI ϕ13B h EI ϕ24B hEI ϕ22F PBAC求基本未知量,可分两步完成：1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）转动附加约束使结点产生角位移ϕB ，使结构发生与原结构一致的结点位移。
ϕBϕB附加刚臂经过上述两个步骤，附加约束上产生约束力矩应为F 11和F 1P 之和。
由于结构无论是变形，还是受力都应与原结构保持一致，而原结构在B 处无附加约束，亦无约束力矩，故有F 11+F 1P ＝001634321=-⎪⎭⎫⎝⎛+Fl h EI lEI B ϕ解方程可得出ϕB 。
位移法典型方程将求出后ϕB ，代回图22-1c ，将所得的结果再与图22-1b 叠加，即得原结构（图22-1a ）的解。
位移法的基本体系.
3I0
4m
5m
q=20kN/m
4m Δ2
C 3I0 F 4I0 4m
2m
Δ3
D
A
i AB
4I0 B Δ 5I0 1 3I0 E
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
3 1 , iCF 4 2
8
iBC 1 , iCD 1 , iBE
4m
2019/2/28
5m
4m
2m
3
i=1 3B i=3/4
k22=4+3+2=9
k13=k31=?
2 D
i=1
k23=k32=?
A 4 Δ 2=1
i=1 B i=3/4
A
Δ 1=1
i=1
D
C
i=1/2
4m
E
2m
1.5 F 5m
E
F
i=1/2
4
2
i=1 2 C
3
i=1
1
9
4m
2019/2/28
4m
A
9/8
i=1 B i=3/4 i=1
(1/12) × 20×52=41.7 D i=1 C
i=1/2
F1P=40–41.7= –1.7 F2P=41.7
4m
F3P=0
E
F
4m
2019/2/28
5m
4m
10
2m
（6）建立位移法基本方程：
9 101 2 2 3 1.7 0 8 1 21 9 2 3 41.7 0 2 9 1 35 1 2 3 0 8 2 48
13.62
A
5.69 M(kN· m)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。
l l 11 , 22 3EI 3EI l 12 21 6 EI
由图e可得
Δ1Δ Δ2 Δ AB ΔAB l
解典型方程得
4 EI 2 EI 6 EI X1 A B 2 ΔAB l l l 4 EI 2 EI 6 EI X2 B A 2 ΔAB l l l
M FP q
FP
A
A
B
B
单跨超静定梁内力？ 力法
上图所示两端固定的等截面梁 ，两端支座发生了位移，且受 荷载作用。我们这里先计算位 移情况下的内力，图a。 取基本结构如图b。 X3对梁的弯矩无影响，可不 考虑，只需求解X1、X2。 力法典型方程为
11 X 1 12 X 2 Δ1Δ A 21 X 1 22 X 2 Δ2 Δ B
Δ
A FP
Fy 0
FNi cosa i FP
物理 平衡
ห้องสมุดไป่ตู้
几何条件
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知内力-位移(转角-位 移)关系的单根杆件集合 分析各单根杆件在外因和结点位移共同作用 下的受力 将杆件拼装成整体 用平衡条件建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨杆件内力和外因 及结点位移关系可得原结构受力
EI=常数
1 位移法（典型方程法）步骤: R11 Z1 r11 r11
2
3.列位移法方程，求基本未知量
3
l 2 l 2
Z1
位移法（典型方程法）步骤: 1.确定基本未知量 2.确定基本结构、基本体系 3.建立位移法方程 4.作单位弯矩图,荷载弯矩图; q ql 2 / 20 练习
EI 2 EI
将相关杆端内力的表达式代入，整理后得： 解得：
位移法（平衡方程法思想）步骤: 1.确定基本未知量 4.利用平衡方程，求解基本未知量 2.拆分杆件 5.计算杆端弯矩，区段叠加画弯矩图 3.列转角位移方程，计算杆端内力;
第二种基本思路
回顾力法的思路： （1）解除多余约束代以基本未知力，确 定基本结构、基本体系；
na 2
nl 3
作业:
6-1 6-2 6-4
5.求出系数 6.解位移法方程 7.叠加法作弯矩图 q Z1=1
l l
4i
ql 2 / 8
ql2 / 40
Z1
6i
2i
M1
MP
q
R1=0 r11 Z1+ R1P =0
r11
R1P 6i
4i
基本体系
r
11
=10i
ql 2 / 8
R1 P ql 2 / 8
Z1 ql 2 / 80i
M M 1 Z1 M P
令 i EI —杆件的线刚度
l
MAB=X1，MBA=X2，可得 固端弯矩
F F M AB、M BA
6i ΔAB l 6i M BA 4i B 2i A ΔAB l M AB 4i A 2i B
：单跨梁在荷载作用及温度变化时 产生的杆端弯矩。
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化 时，其杆端弯矩为
FP 2
1.确定基本未知量
Z1
2.拆分杆件 3.列转角位移方程，计算杆端内力 4.利用平衡方程，求解基本未知量 5.将求得基本未知量带回杆端弯 矩表达式，求出各杆端弯矩， 利用区段叠加画弯矩图
FP
EI=常数 3
l 2 l 2
1
Z1
Z1
Z1
1
2
1 M 12 位移法（平衡方程法思想）步骤: 1.确定基本未知量 4.利用平衡方程，求解基本未知量 3 M 13 2.拆分杆件 5.计算杆端弯矩，区段叠加画弯矩图 3.列转角位移方程，计算杆端内力;
1 EI=常数 基本体系 3
l 2 l 2
1.确定基本未知量 2.确定基本结构和基本体系 3.列位移法方程，求基本未知量
R1=0
第二种基本思路
FP
1
2
1
FP Z1
2
FP
2
1 EI=常数
EI=常数
3
l 2 l 2
EI=常数 基本体系 3
l 2 l 2
3 Z1 1 EI=常数 3
l 2 l 2 l 2 l 2
符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正；
A、 B均以顺时针方向为正；
△AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。
超静定单跨梁的力法结果(1) 形=形常数 载=载常数
形
形 载
表示要熟记！！！
超静定单跨梁的力法结果(2) 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载
载
超静定单跨梁的力法结果(4) 载
将原结构分解为等截面单跨超静定梁
对AB、BC、CD分别使用转角位移方程得： 以 梁 为 例
AB
返回
从原结构中取出图c、d两个隔离体。
由图c的平衡条件： 由图d的平衡条件：
位移法（平衡方程法思想）步骤: 1.确定基本未知量 4.利用平衡方程，求解基本未知量 2.拆分杆件 5.计算杆端弯矩，区段叠加画弯矩图 3.列转角位移方程，计算杆端内力;
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
1
形 形
载
超静定单跨梁的力法结果(5)
载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(6) 载
载
载 载
超静定单跨梁的力法结果(7) 载 形
载 载
超静定单跨梁的力法结果(8) 载 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(9) 载
2
载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(10)
载 载
载
例1: 求图示刚架的弯矩图
1 Z1
R1=0
R1 R11 R1P 0
2
3.列位移法方程，求基本未知量
第二种基本思路
FP
1
FP
2
1.确定基本未知量 4i EI=常数 r11 7i EI=常数 3i 2.确定基本结构、基本体系 3.建立位移法方程1P R 3 R1P FPl / 8 3 l 4.作单位弯矩图,荷载弯矩图; l l l 2 2 2 2 5.求出系数 0 FP l / 8 11 Z 6.解位移法方程 2 M M 1 Z1 M P 7.叠加法作弯矩图 R1=0 1 R1 R11 R1P 0
（2）分析基本结构在未知力和“荷载” 共同作用下的变形，消除与原结构 的差别，建立力法典型方程；
（3）求解未知力，将超静定结构化为 静定结构。
核心是化未知为已知
第二种基本思路
Z1
1 Z1
FP
2
1
2 EI=常数 3 基本结构
l 2 l 2
----刚臂,限制转动的约束
Z1
FP 2
EI=常数
3
l 2 l 2
1 2 3
=刚结点数
4 5
如何确定基本未知量？ 基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 独立的 结点角位移na
=刚结点数
独立的 结点线位移nl 考虑轴向变形时： nl =结点数2
不考虑轴向变形时（通常）： nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几何不变所 需加的支杆数。
位移未知数确定举例
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统一 格式处理。最终结果由迭加得到。 平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体 问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，杆端力在求 得位移后代转角位移方程直接可得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。
如何确定基本未知量？ 基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 独立的 结点角位移na
第六章
超静定结构的解法—位移法
第六章
§6-1 基本概念 §6-2 位移法举例 §6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法
§6-4 计算有侧移结构的反弯点法
问题：如何求解超静定结构？ l cosa i i 杆长为li，Ai=A ， Ei=E
B 1 D 3 C 2
a a
FNi li li EA EA cosa i FNi li
位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
Z1
FP
哪些位移为基本未知量？
2 1
Z1
1 Z
1
EI=常数 3
l 2 l 2
Z1
Z1
FP 2
1 3
如何确定基本未知量？
假定：不考虑轴向变形
位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
基本思路
典型方程法：
仿力法，按确定基本未知量、基本结构，研究基本结 构在位移和外因下的“反应”，通过消除基本体系和 原结构差别来建立位移法基本方程（平衡）的上述方 法。
平衡方程法：
利用等直杆在外因和杆端位移下由迭加所建立杆端位 移与杆端力关系（转角位移）方程由结点、隔离体的 杆端力平衡建立求解位移未知量的方法
6i F M AB 4i A 2i B ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l
转角位移方程