微积分基本知识汇总

定义：如果

具有任意阶导数，则幂级数

在点x=x

称为

在点x

处的泰勒级数。[1]

=0，得到的级数[2]

在泰勒公式中，取x

称为麦克劳林级数。函数

的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与

的麦克劳林级数一致。[3]

注意：如果

的麦克劳林级数在点的某一邻域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶导数，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。

一些函数无法被展开为泰勒级数，因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，仍然可以将其展开为一个级数。例如

，就可以被展开为一个洛朗级数。

带佩亚诺余项

以下列举一些常用函数的泰勒公式[1]：

定理一

设函数

在

的某个邻域

内具有任意阶导数，则函数

在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项满足[4]

定理二

如果

在区间

能展开成泰勒级数

则右端的幂级数是惟一的。[

下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。[2]指数函数：

自然对数：

几何级数：

正弦函数：

余弦函数：

正切函数: