积分上限函数的极限问题 PPT
第六章 定积分 《经济数学》PPT课件
6.4.2 定积分的分部积分法
设函数u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续导数,则有 (uv)'=u'v+uv',即uv'=(uv)'-u'v,等式两端在[a,b]上的定积分为 ，即:
➢ 这就是定积分的分部积分公式.
06 P A R T
6.5
广义积分
前面我们是在有限区间上讨论有界函数的定积分.但是,无论在理
CHAPTER
06
第6章 定 积分
PART
06
6.1
定积分的概念
6. 1. 2 定积分的定义
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
一个有效数为6位数的近似值.
• 注意:对于分段函数不能求其积分的精确值,但可求近似值,即再
用“N”命令.
由定理可知,在运用换元法计算定积分时应注意以下两点:
用变量代换x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t 时,积分限一定要换成相应于新变量t的积分限;
求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数F[φ(t)]后,不需要 再把t变换成原来变量x的函数,而只需把新变量t 的上、下限分别代入F[φ(t)]中,然后求出增量即 可.
பைடு நூலகம்
的值与
被积函数f(x)和积分区间[a,b]有关,而与积分变量用什么字母表
示无关,即:
➢ (2)定义中假定a<b,如果b<a,我们规定
,特
高等数学课件5第四节 反常积分ppt
lim
t b
t a
f
(
x
)
dx
b
a
f (x) 在 [a , b) 上的反常积分(或瑕积分).
这时称反常积分
收敛;
否则, 称反常积分 发散.
定义6. 设函数 f ( x)在[a, b]上除点c (a c b)外连续,
点 c 为f (x)的瑕点.
若 瑕 积 分ac
f
(
解:
原式
1 p
0
td(e
pt
)
1 p
([te
pt
]0
e
0
pt dt )
a
udv
[uv]a
a
vdu
1 p
( lim te t
pt
0
[
1 p
e
pt
]0
)
0
1 p2
( lim e
t
pt
1)
1 p2
.
定义2. 设 f ( x)在(, b)上连续.
b
f
( x) dx
lim
t
tb
f
( x) dx
若极限存在,则称无穷限积分
2
1)3
]13
1
1
lim 3( x 1)3+ 3 3 3 4 lim 3( x 1)3
x1
x1
3(1 3 4 ).
例12.
讨
论
反
常
积
分
1 1
dx x2
的
收
敛
性.
解:
lim
x0
1 x2
,
x
0是
1 x2
的瑕点.
《定积分定义》课件
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词
8定积分应用(求极限,变上限求导,面积,体积,不等式)
y
o
x
4.设 y ax与 y x 2 围成图形的面积为s1 , 它们与x 1 围成图形的面积为s2 , 且 0 a 1 (1) 求 a , 使 s1 s2 最小
(2) 求此最小值对应的平面 图形绕 x 轴旋转而得的旋转 体体积. 解 (1) 0 a 1 时, s s1 s2
例
x sin( xt ) f ( x) . lim 2 ，其中 f ( x) 2 dt x x 0 x t
例 : 设f ( x )连续, 且f ( 0 ) 0
求 lim
x0
x
0
( x t ) f (t )dt
x 0
x f ( x t )dt
1 ( ) 2
例.
例
3
设隐函数y y( x )由
o
x
1 3 1 2 （ ） (1 y 2 y) dy ( y y y ) . 1 S 0 3 3 0 2 2 1 2 2 （2） V ( x) dx ( x 1) dx 0 1 6 2
1 2
1
(3)绕直线 x 2 旋转所得旋转体的体积.
例
.设f ( x)为奇函数，且当 0时，f ( x) 0 x
sin( xt ) f ( x) 0, 其中 f ( x) 2 dt，令 x t
x
F ( x) f ( xt)dt tf (t 2 x 2 )dt,
1 0
1
x
判别F (x)在 ， 上的凹凸性
3 2 2
2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f ( x)在2,4上可导, 且
f (2) ( x 1) f ( x)dx 。
第十讲 定积分的概念与性质 积分上限函数及其导数
b
o a
xi 1xi
(左矩形公式)
bx
a f ( x) dx y0x y1x yn1x
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n
2.
a f ( x) dx y1x y2x yn x
a ( y y y ) b 1 2 n n
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
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结束
2) 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: a) 大化小. n 个小段 过的路程为 b) 常代变. 得 将它分成 在每个小段上物体经
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
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1x
结束
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
y
1 2 x 0
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和（几何意义）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、可积的充分条件:
定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
o
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
积分上限函数
积分上限函数
积分上限函数（integrallimitfunction）是一类函数，用来描述某种函数序列的极限情况，它由一个无穷级数的累积和构成，加快无穷级数的收敛速度，可以让无穷级数在有限情况下更好地近似极限函数。
一般来说，积分上限函数可以用数学积分和渐进表示形式定义。
简单地说，积分上限函数就是通过把一系列函数由小到大求和后逐步收敛到极限函数。
其计算结果可以用下列形式表示：如果有序列（fn），则当n→∞时，`lim``(Σ_(n=1)^Nf_n(x)) = F(x)，或lim_(h→0)Σ_(n=1)^Nf_n(x)h = F(x)`。
积分上限函数的实际应用非常广泛，可以用来描述各种现象的变化规律。
例如，它可以用来表示分子的结构变化，描述力学系统的运动规律，以及描述两种不同质量的粒子的交互作用。
此外，它还可以被应用于复杂系统的数值分析中，可以用来计算系统中的关键参数，为系统的优化提供有效支持。
另外，积分上限函数也可以用来描述统计分布的随机性。
它可以用来模拟随机漫步行为，或者描述某些实际问题中随机变量的分布情况，例如随机变量的期望值、方差等。
有时候也可以用来描述不确定性和分布偏差，以及模拟数据分析等场景。
此外，积分上限函数还可以用来对函数的精确结果进行投影，以此来拟合实际问题。
它可以用来拟合函数中的等式到一个给定的上限或下限，并分析函数的变化情况。
总之，积分上限函数在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述许多实际问题、实际现象的变化以及解决实际问题的有效支持。
它的计算结果具有一定的可靠性，可以作为支持决策的有力依据。
积分上限函数
积分上限函数积分上限函数是数学中的一种强大的工具，它能够有效的解决许多复杂的问题。
它最初是由德国数学家Karl Weierstrass在1883年提出的，之后被许多数学家用于解决多变量函数的最优化问题和其他数学上的技巧应用。
积分上限函数是一种可以在有限时间和步骤内寻找数学函数的最优解的方法。
一般来说，它是在一系列有约束条件（如连续性、可导性、可积分性等）的情况下，有极限的定义，并且能够使用一系列有限的步骤，以最大或最小的值来最优化函数的运算。
积分上限函数的优势主要表现在两个方面：一是它不仅可以解决复杂的问题，而且在计算时间上也比其他方法更加有效；二是它可以处理多维的问题，而其他的方法往往只能处理二维问题。
实际应用中，积分上限函数被广泛应用于数学中的最优化问题，如非线性系统、机器学习、图像处理和信号处理等，以及最小二乘法等数学知识框架。
比如，最小二乘法是一种经典的最优化方法，它是在有效果的最小方差函数中求取最优解，而积分上限函数可以实现这一目的，而且计算量也更小。
另外，积分上限函数还可以应用于优化计算中的逼近问题，如数值积分和拟合优化等，这些问题可以使用它进行解决。
例如，在有限元问题中，诸如弹性问题或热传导问题等，可以使用积分上限函数进行数值求解，从而可以获得更快更准确的结果。
积分上限函数还可以用于控制系统、机器学习和机器人的控制，在这些领域的应用可以实现自动的、快速、准确的控制。
举个例子，如果要控制一个机器人，可以使用积分上限函数来实现机器人的无人驾驶，以及机器人的实时动作反应等，这些技术大大提高了机器人控制的效率和准确性。
综上所述，积分上限函数是一种强大的工具，它可以有效地解决许多复杂的最优化问题和控制问题，在数学中被广泛应用。
它具有有效简单、快速准确的优势，可以有效的解决许多复杂的问题，并能够大大提高相关工作的效率和效果。
微积分基本公式ppt课件
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
积分上限函数的极限问题
x →0
x e ⋅ 2x
2 x2
2 x ∫ sin t d t + x 2 sin x
0
x
解题步骤2
= lim
x →0
2⋅ x e
2 x 0
x2
2 ∫ sin t d t + x sin x
4x = lim x →0 3 sin x + x cos x
= lim
x →0
4 sin x 3 + cos x x
令
1 c
= 1 ，得 c = 1 ，即 a = −1 ， b = 1 ， c = 1 ．
(
)
(e
sin x
x
−b
)
x+c
，由于
x + c = 0 ，因为 c ≠ 0 ，
因此 e x − b → 0 (x → 0) ，从而 b = e 0 = 1 ，而 lim ⋅ lim x = x →0 (e − b) x + c x →0 c x + c x →0 e − 1
解答：
由于 ∫
x 0
sin t t+c
x →0
d t → 0 (x → 0) ，故由条件知
lim e − bx + a = 0 ，
x
(
)
得 1 + a = 0 ， a = −1 ．
相关例题4
由洛必达法则知 1 = lim
x →0
lim sin x = 0 ，故 lim e x − b
x →0
x →0
= 1．
常见错误
1．对含积分上限函数的未定式不能识
别，因此不知道可利用洛必达法则求这类极限； 2．当积分上限变量同时出现于被积函数 中时，求导常常发生错误．
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
考研积分上限的函数（变上限积分变限积分）知识点全面总结
考研积分上限的函数（变上限积分变限积分）知识点全⾯总结考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点()()xaF x f t dt =?形如上式的积分，叫做变限积分。
注意点：1、在求导时，是关于x 求导，⽤课本上的求导公式直接计算。
2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。
（即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。
）关于积分上限函数的理论定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，⽽)(x f 可积，则?=xa dtt f x F )()(在],[b a 上连续。
定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。
定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则?=xa dt t f x F )()(在],[b a 上可导，⽽且有).(])([)(x f dt t f dx d x F xa=='? ==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质⽐原来的函数改进了⼀步：可积改进为连续；连续改进为可导。
这是积分上限函数的良好性质。
⽽我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚⾄不⼀定是连续的。
（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。
它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的⼀个原函数。
我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；⽽求定积分是求⼀个特定和式的极限，是积分学的问题。
定理（3）把两者联系了起来，从⽽使微分学和积分学统⼀成为⼀个整体，有重要意义。
重要推论及计算公式：推论1 )(])([x f dt t f dx d bx -=? <变上限积分改变上下限，变号。
>推论2 )()]([])([)(x x f dt t f dxd x c '=? <上限是复合函数的情况求导。
微积分基本公式PPT幻灯片课件
dx v( x)
d
(
u( x)
f (t )dt) f (u( x))u( x)
f (v( x))v( x)
dx v( x)
例
( x)
x2 1 0 1 t 2 dt,
则
(
x
)
1
2
x x
4
I( x)
x2 1 x 1 t 2 dt,
则I( x)
2x 1 x4
第五章 第二节
微积分基本公式
本节主要内容
一、积分上限函数 二、微积分基本公式 三、积分上限函数的应用
引例 设f (t) 0，且在[a,b]上可积。ab f (t)dt表示一曲 边梯形的面积 取。 x (a, b)，则ax f (t)dt
表示区间[a, x]上方部分曲边梯形的面积。
当x变化时，面积也随之变化。
x
a
f
(t )dt在[a, b]区间上定义了一个x的函数。
因为x是积分上限， y
故称为积分上限函数。
o a xx x b x
一、积分上限函数
定义 设函数f ( x)在[a,b]上可积，x [a,b]，则称
( x) ax f (t)dt
为定义在[a, b]上的积分上限函数。
相应地可以定义积分下限函数：
dx x2 1 t 4 1 x12
1 x8
3x2 2x 。 1 x12 1 x8
例 求 lim 0x cos t 2dt 。
x0
x
解： 用洛必达法则
原极限 lim cos x2 1。 x0 1
1 et2 dt
练习 求 lim cosx
.
第11讲 积分变上限函数及性质
则
x tf (x2 t2 )dt
0 f (u)( du ) 1
x2
f (u)du
0
x2
2 20
所以原式 (1 x2 f (u)du) f (x2 ) x 。
20
题型 2：有关积分变上函数极限与连续的命题：
例 1：求正常数 a 与 b ，使等式 lim 1
x t2 dt 1 成立。
0
x
x
x
F(0) lim F (x) F (0) lim
x0 x 0
x0
0
f (u)du x2
lim
x0
f (x) 2x
1
题型 4：有关积分变上函数导数的应用问题：
例 1：设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，在区间 (a, b) 内可导，且 f (x) 0 ，证明函
x0 bx sin x 0 a t 2
解： 由罗比塔法则得
x2 原式 lim a x2
x0 b cos x 由于分子极限为零，且原式极限为1，所以 b 1，从而有
x2
原式 lim a x2 1 lim x2 2 1
x0 b cos x
a x0 1 x2
a
2
所以 a 4 。
例 2：设 f ( x )
dx g (x)
公式 2： d
(
x g(x) f (t)dt) g(x)
x
f (t)dt g(x) f (x) ；
dx a
a
公式 3：
d
(
x
f ()dt) ，其中 是 x, t 的二元函数，一般通过换元，即令 u ，最
dx a
终转化为公式 1 的形式。
题型 1：直接对积分变上函数求导：
变积分上限函数求极限
变积分上限函数求极限变积分上限函数求极限是我们在数学课上经常遇到的一种问题，求解这种问题并不难，只需要按照一定的步骤进行求解即可。
首先，我们需要理解什么是变积分上限函数。
变积分上限函数通常是指一个函数，它的自变量是变化的积分上限。
换句话说，这是一个以x作为自变量的函数，这个自变量x是由积分上限t所确定的，而积分下限是一个常数。
例如，f(x)=∫0^x g(t) dt，这就是一个变积分上限函数。
接下来，让我们从定义上来讲述如何求解变积分上限函数的极限：第一步，我们需要确定变积分上限函数的最大值和最小值，以确保极限的存在。
我们可以通过对变积分上限函数求导得到其导函数，然后再令导函数等于0，求解出所有可能的最大值和最小值。
第二步，我们需要检查这些最大值和最小值是否为有效的极限值。
我们可以通过二阶导数测试来判断这些值是否为极大值或极小值。
如果是极大值或极小值，则它们是极限值。
第三步，我们需要将极限值带入变积分上限函数，求解出相应的极限值。
这就是我们所要求解的答案。
举个例子来说明：假设有函数f(x)=∫0^x e^{t^2} dt，我们需要求解该函数在x=2处的极限值。
首先，我们对该函数求出导函数，即f'(x)=e^{x^2}。
我们可以看出，该导函数始终大于0，因此该函数无极小值和极大值。
由于我们无法通过导数测试来判断极限值，所以我们只能尝试将x=2代入变积分上限函数中，得到f(2)=∫0^2 e^{t^2} dt的近似值。
我们可以通过数值算法求解该积分，并最终得到f(2)的极限值。
综上所述，变积分上限函数求极限并不是一件难事，只要按照一定的步骤进行求解，就可以得到所要求的答案。
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0
2 lim
x et2 dt ex2
0
x0 x t e2t2 d t 0
x0
x e2x2
2
lim
x et2dt
0
2 ex2 lim
2．
x0
x
x0 1
相关例题2
x et2dt
lim 1
．
x1 ln x
解答：
lim
x 1
et2 d t
lim
e x2
e．
x1 ln x
x1 1
x
大家学习辛苦了，还是要坚持
2．当积分上限变量同时出现于被积函数 中时，求导常常发生错误．
方法总结
先确定所给表达式是否为未定式，若是，则 按洛必达法则运用积分上限函数的求导公式分别 求出分子、分母的导数，进而求得极限．
相关例题1
x
et2
dt
2
lim 0
．
x0 x t e2t2 d t 0
解答：
lim
x et2 d t 2
相关例题4
已知极限 lim 1
x sin t d t 1，试确
x0 e x bx a 0 t c
定非零常数 a 、 b 、 c 的值．
解答：
由于 x 0
sin t d t 0 x 0，故由条件知
tc
lim ex bx a 0 ，
x0
得1 a 0 ， a 1．
x0 2x x sin t d t x2 sin x 0
解题步骤2
2 x2 ex2
lim
x0 2
x
sin t d t x sin x
0
lim
4x
x0 3sin x x cosx
lim
4
1．
x0 3 sin x cos x
x
常见错误
1．对含积分上限函数的未定式不能识 别，因此不知道可利用洛必达法则求这类极限；
积分上限函数的极限问题
解题方法1
利用洛必达法则和积分上限函数的求导公 式，分别求出分子、分母的导数，然后可确定 未定式的极限．
解题步骤1
x2 t etdt
lim 0
x0 x x 2 sin t d t 0
lim
d d x
x 0
2
t
e
t
d
t
x0
d dx
x
2
x 0
s
in
tdt源自x2 ex2 2x lim
继续保持安静
相关例题3
求极限 lim x0
x2 t3/2 d t
0
．
x tt sin td t
0
解答：
lim
x0
x2 t3/2 d t
0
lim (x2 )3/ 2 2x
x
t(t sin t) d t
x0 x(x sin x)
0
lim 6x 2 lim 12x 12 ． x0 1 cos x x0 sin x