积分上限函数的极限问题 PPT
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2．当积分上限变量同时出现于被积函数 中时，求导常常发生错误．
方法总结
先确定所给表达式是否为未定式，若是，则 按洛必达法则运用积分上限函数的求导公式分别 求出分子、分母的导数，进而求得极限．
相关例题1
x
et2
dt
2
lim 0
．
x0 x t e2t2 d t 0
解答：
lim
x et2 d t 2
相关例题4
已知极限 lim 1
x sin t d t 1，试确
x0 e x bx a 0 t c
定非零常数 a 、 b 、 c 的值．
解答：
由于 x 0
sin t d t 0 x 0，故由条件知
tc
lim ex bx a 0 ，
x0
得1 a 0 ， a 1．
积分上限函数的极限问题
解题方法1
利用洛必达法则和积分上限函数的求导公 式，分别求出分子、分母的导数，然后可确定 未定式的极限．
解题步骤1
x2 t etdt
lim 0
x0 x x 2 sin t d t 0
lim
d d x
x 0
2
t
e
t
d
t
x0
d dx
x
2
x 0
s
in
t
d
t
x2 ex2 2x lim
x0 2x x sin t d t x2 sin x 0
解题步骤2
2 x2 ex2
lim
x0 2
x
sin t d t x sin x
0
lim
4x
x0 3sin x x cosx
lim
4
1．
x0 3 sin x cos x
x
常见错误
1．对含积分上限函数的未定式不能识 别，因此不知道可利用洛必达法则求这类极限；
0
2 lim
x et2 dt ex2
0
x0 x t e2t2 d t 0
x0
x e2x2
2
lim
x et2dt
0
2 ex2 lim
2．
x0
x
x0 1
相关例题2
x et2dt
lim 1
．
x1 ln x
解答：
lim
x 1
et2 d t
lim
e x2
Leabharlann Baidu
e．
x1 ln x
x1 1
x
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
相关例题3
求极限 lim x0
x2 t3/2 d t
0
．
x tt sin td t
0
解答：
lim
x0
x2 t3/2 d t
0
lim (x2 )3/ 2 2x
x
t(t sin t) d t
x0 x(x sin x)
0
lim 6x 2 lim 12x 12 ． x0 1 cos x x0 sin x
方法总结
先确定所给表达式是否为未定式，若是，则 按洛必达法则运用积分上限函数的求导公式分别 求出分子、分母的导数，进而求得极限．
相关例题1
x
et2
dt
2
lim 0
．
x0 x t e2t2 d t 0
解答：
lim
x et2 d t 2
相关例题4
已知极限 lim 1
x sin t d t 1，试确
x0 e x bx a 0 t c
定非零常数 a 、 b 、 c 的值．
解答：
由于 x 0
sin t d t 0 x 0，故由条件知
tc
lim ex bx a 0 ，
x0
得1 a 0 ， a 1．
积分上限函数的极限问题
解题方法1
利用洛必达法则和积分上限函数的求导公 式，分别求出分子、分母的导数，然后可确定 未定式的极限．
解题步骤1
x2 t etdt
lim 0
x0 x x 2 sin t d t 0
lim
d d x
x 0
2
t
e
t
d
t
x0
d dx
x
2
x 0
s
in
t
d
t
x2 ex2 2x lim
x0 2x x sin t d t x2 sin x 0
解题步骤2
2 x2 ex2
lim
x0 2
x
sin t d t x sin x
0
lim
4x
x0 3sin x x cosx
lim
4
1．
x0 3 sin x cos x
x
常见错误
1．对含积分上限函数的未定式不能识 别，因此不知道可利用洛必达法则求这类极限；
0
2 lim
x et2 dt ex2
0
x0 x t e2t2 d t 0
x0
x e2x2
2
lim
x et2dt
0
2 ex2 lim
2．
x0
x
x0 1
相关例题2
x et2dt
lim 1
．
x1 ln x
解答：
lim
x 1
et2 d t
lim
e x2
Leabharlann Baidu
e．
x1 ln x
x1 1
x
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
相关例题3
求极限 lim x0
x2 t3/2 d t
0
．
x tt sin td t
0
解答：
lim
x0
x2 t3/2 d t
0
lim (x2 )3/ 2 2x
x
t(t sin t) d t
x0 x(x sin x)
0
lim 6x 2 lim 12x 12 ． x0 1 cos x x0 sin x