高中数学 换元法(附答案)
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二、换元法（课时10）
一、知识提要
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法.
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.
二、例题讲解
例1．（1）已知：x x
f l
g )12
(
=+，求)(x f . （2）设实数x 、y 满足0122
=-+xy x ，则y x +的取值范围是_________. （3）方程2)22
(log )12(log 1
22=+⋅++x x
的解集是______________.
解：（1）)1)(1lg(2lg )(>--=x x x f ；
（2）设k y x =+，则1044,0122
2≥⇒≥-=∆=+-k k kx x 或1-≤k ； （3）令)12(log 2+x
=t ，可得原方程的解集为}0{.
例2．（1）函数2
23
)
1(x x x y +-=的值域是_____________. (2)已知：数列}{n a 的11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S .求}{n a 的通项公式.
解：（1）令θtan =x ，)2,2(π
πθ-∈，则θθθθθθsin )tan 1(cos )
tan 1(tan tan 2
32
23-=+-=y θθθθθθθθ4sin 412cos cos sin )sin (cos sin cos 22=
⋅=-=， ∴]4
1
,41[-∈y . （2）由241+=+n n a S ，知)2(241≥+=-n a S n n ，
∴)2)((411≥-=--+n a a S S n n n n ，即)2)((411≥-=-+n a a a n n n
∴)2)(2(2211≥-=--+n a a a a n n n n ，令n n n a a b 21-=+，则)2(21≥=-n b b n n
∵11=a ，52=a ，∴31=b ，1
23-⨯=n n b ，即n n n a a 22311+⨯=-+.
两边除以12+n 得：
432211=-++n n n n a a ，令n
n n a c 2=，则有43
1=-+n
n c c ， ∴)13(41-=
n c n ，代入n
n n a c 2
=得： 2
2)13(-⋅-=n n n a . 例3．实数x 、y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5 （ ①式） ，设S ＝x 2＋y 2，求
m ax
1s ＋
m in
1s 的值.（93年全国高中数学联赛题）
方法1：设⎪⎩⎪⎨⎧==α
α
sin cos s y s x 代入①式得： 4S －5S ·sin αcos α＝5
解得 S ＝
α
2sin 5810
- ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
1013≤1085-sin α≤103
∴
m ax
1s ＋
m in
1s ＝
310＋1310＝1610＝8
5
方法2：由S ＝x 2
＋y 2
，设x 2
＝
2s ＋t ，y 2
＝2
s －t ，t ∈[－S 2，S 2]，
则2
24t s xy －±=代入①式得：4S ±5224
t s －=5， 移项平方整理得 100t 2
+39S 2
－160S ＋100＝0 .
∴ 39S 2
－160S ＋100≤0 解得：
1013≤S ≤10
3
∴
m ax
1s ＋
m in
1s ＝
310＋1310＝1610＝8
5
方法3：（和差换元法）设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,
53]，所以S ＝(a －b)2＋(a ＋b)2＝2(a 2＋b 2)＝1013＋2013a 2∈[1013,10
3]，再求
m ax
1s ＋
m in
1
s 的值.
三、同步练习
1．x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值是__
1
2
＋2___. 2．已知数列}{n a 中，n n n n a a a a a -=⋅-=++111,1a 1＝－1，则数列通项n a ＝_____
n
1
____. 3．已知x 2＋4y 2
＝4x ，则x ＋y 的范围是_____]25,25[---______.
4．设等差数列}{n a 的公差2
1=d ，且145100=s ，则99531a a a a ++++ 的值为（C ）
A. 85
B. 72.5
C. 60
D. 52.5
5．已知0,0≥≥b a ，1=+b a ，则a +12
＋b +12
的范围是__]2,2
2
6[
+__. 6．函数12++=x x y 的值域是_____),2[+∞-_____.
7．已知正四棱锥ABCD S -的侧面与底面所成的角为β，相邻两侧面所成的角为α 求βα2
cos cos +的值.
解答：0