弹性力学复习提纲
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ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
4. 平面问题Airy应力函数 的选取： 直角坐标下
y 0
O
b
x
l
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y
极坐标下 （1） 轴对称问题
应力函数 Aln r Br 2 ln r Cr2 D
性力学问题； 13、掌握典型解答并能灵活运用，如简支梁纯弯曲、简
支梁受匀布荷载、楔形体受各种荷载、半无限体表 面受各种荷载、圆孔应力集中解答； 14、扭转问题的位移解法、应力解法； 15、位移函数解法。位移势函数、伽辽金位移函数、拉 甫位移，他们所要满足的方程及其应用； 16、应变能的概念及计算； 17、虚位移原理、最小势能原理，等价于什么方程及证明； 18、基于最小势能原理近似计算，用瑞兹法和伽辽金求解 具体问题。
（2） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式
（1） 楔顶受集中力偶
y
( )
MO
2
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
rf ( )
O
2
2
x x
（3） 楔形体一侧受分布力
r2 f ( )
r3 f ( )
（3） 曲梁问题
M ( ) f1(r) q( ) f2 (r) r Q( ) f3(r)
– 椭圆截面杆件的扭转 – 带半圆形槽的圆轴的扭转 – 厚壁圆筒的扭转 – 矩形截面杆的扭转
复习提纲
1、应力、应变、位移等概念； 2、弹性力学的基本假定，在那些地方用到； 3、张量的代数运算和分析运算； 4、应力状态、应力矢量、主应力等的计算； 5、应变状态、应变转轴变换、主应变等的计算； 6、弹性力学基本方程，平衡方程、几何方程、物理方
（1）
位移变分方程； 虚功方程；
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
3. 求解弹性力学问题的变分法 （1）Ritz 法； （2）最小势能原理； （3）伽辽金法；
4. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（６-15）求出应力函
数4：
x4
2
4
x 2y 2
4
y 4
0
(x, y)
4 0
(6-15)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（6-14）求出应力分量： x , y , xy
x
2
y 2
Xx
y
2
x2
Yy
xy
2
xy
(6-14)
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
us u vs v
极坐标下
（1） 由问题的条件求出满足式（7－6）的应力函数 (r, )
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br (ln
r
1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin
u
4Br
E
Hr
I
sin
K
cos
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1；
（2）总势能；
2. 变分方程与变分原理
14
感谢下 载
5. 最小势能原理解题步骤：
（1）假设位移函数，使其位移边界条件；
（2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理： =0 ，确定待定系数；
（4）回代求解位移、应力等。
四 柱形杆的扭转
• 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） • 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） • 扭转问题的薄膜比拟法 • 应用
2
2
2
0
（2） 由式（7－7）求出相应的应力分量： r , , r
（7－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（7－7）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
物理方程（6个）：
ij
1 E
(1 ) ij kk ij
边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j X i
位移边界条件（3个） ： ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
x y
yx y Y 0
x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
2 y 2
2 x2
(
x
y)
0
（常体力情形）
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X mBaidu Nhomakorabea y )s l( xy )s Y
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
初等函数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解；
复变函数解；
逆解法； 半逆解法；
2. 平面问题求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xy X 0
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
６个基本假设；
15个基本量： ui , ij, ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹 性 力
控制方程（15 个）
平衡微分方程（3个）： ij, j X i 0
几何方程（6个）：
ij
1 2
(ui, j
u
j ,i
)
学 基本方程
问 题
程、相容方程，及其推导； 7、基本方程的各种表示：指标表示、张量不变性表示、
在极坐标和圆柱坐标系的分量表示及推演； 8、空间问题按位移求解有关方程的推演； 9、空间问题按应力求解有关方程的推演； 10、平面应力问题、平面应变问题；
13
11、常体力情况的解法，应力函数； 12、能用给定应力函数或自行假定应力函数求解具体弹
4. 平面问题Airy应力函数 的选取： 直角坐标下
y 0
O
b
x
l
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y
极坐标下 （1） 轴对称问题
应力函数 Aln r Br 2 ln r Cr2 D
性力学问题； 13、掌握典型解答并能灵活运用，如简支梁纯弯曲、简
支梁受匀布荷载、楔形体受各种荷载、半无限体表 面受各种荷载、圆孔应力集中解答； 14、扭转问题的位移解法、应力解法； 15、位移函数解法。位移势函数、伽辽金位移函数、拉 甫位移，他们所要满足的方程及其应用； 16、应变能的概念及计算； 17、虚位移原理、最小势能原理，等价于什么方程及证明； 18、基于最小势能原理近似计算，用瑞兹法和伽辽金求解 具体问题。
（2） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式
（1） 楔顶受集中力偶
y
( )
MO
2
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
rf ( )
O
2
2
x x
（3） 楔形体一侧受分布力
r2 f ( )
r3 f ( )
（3） 曲梁问题
M ( ) f1(r) q( ) f2 (r) r Q( ) f3(r)
– 椭圆截面杆件的扭转 – 带半圆形槽的圆轴的扭转 – 厚壁圆筒的扭转 – 矩形截面杆的扭转
复习提纲
1、应力、应变、位移等概念； 2、弹性力学的基本假定，在那些地方用到； 3、张量的代数运算和分析运算； 4、应力状态、应力矢量、主应力等的计算； 5、应变状态、应变转轴变换、主应变等的计算； 6、弹性力学基本方程，平衡方程、几何方程、物理方
（1）
位移变分方程； 虚功方程；
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
3. 求解弹性力学问题的变分法 （1）Ritz 法； （2）最小势能原理； （3）伽辽金法；
4. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（６-15）求出应力函
数4：
x4
2
4
x 2y 2
4
y 4
0
(x, y)
4 0
(6-15)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（6-14）求出应力分量： x , y , xy
x
2
y 2
Xx
y
2
x2
Yy
xy
2
xy
(6-14)
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
us u vs v
极坐标下
（1） 由问题的条件求出满足式（7－6）的应力函数 (r, )
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br (ln
r
1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin
u
4Br
E
Hr
I
sin
K
cos
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1；
（2）总势能；
2. 变分方程与变分原理
14
感谢下 载
5. 最小势能原理解题步骤：
（1）假设位移函数，使其位移边界条件；
（2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理： =0 ，确定待定系数；
（4）回代求解位移、应力等。
四 柱形杆的扭转
• 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） • 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） • 扭转问题的薄膜比拟法 • 应用
2
2
2
0
（2） 由式（7－7）求出相应的应力分量： r , , r
（7－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（7－7）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
物理方程（6个）：
ij
1 E
(1 ) ij kk ij
边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j X i
位移边界条件（3个） ： ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
x y
yx y Y 0
x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
2 y 2
2 x2
(
x
y)
0
（常体力情形）
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X mBaidu Nhomakorabea y )s l( xy )s Y
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
初等函数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解；
复变函数解；
逆解法； 半逆解法；
2. 平面问题求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xy X 0
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
６个基本假设；
15个基本量： ui , ij, ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹 性 力
控制方程（15 个）
平衡微分方程（3个）： ij, j X i 0
几何方程（6个）：
ij
1 2
(ui, j
u
j ,i
)
学 基本方程
问 题
程、相容方程，及其推导； 7、基本方程的各种表示：指标表示、张量不变性表示、
在极坐标和圆柱坐标系的分量表示及推演； 8、空间问题按位移求解有关方程的推演； 9、空间问题按应力求解有关方程的推演； 10、平面应力问题、平面应变问题；
13
11、常体力情况的解法，应力函数； 12、能用给定应力函数或自行假定应力函数求解具体弹