数学期望的计算及应用

数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。

因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。

在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞==1)(k k kp xX E ；2. 应用随机变量函数的期望公式∑∞==1)())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。

但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将介绍一些解决这些难题的简单方法。

在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。

如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。

就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。

下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。

1. 变量分解法]1[如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。

这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。

例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。

注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。

把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。

解 ： 引进随机变量=i X站有人下车第站没有人下车第i i ⎩⎨⎧01i=1,2,3,4、、、、、 则1021...X X X X +++=.根据题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为109，因此20位旅客在第i 站都不下车的概率为20109⎪⎭⎫ ⎝⎛，在第i 站有人下车的概率为201091⎪⎭⎫ ⎝⎛-。

即20109}0{⎪⎭⎫ ⎝⎛==i X P ，201091}1{⎪⎭⎫ ⎝⎛-==i X P ，201091)(⎪⎭⎫⎝⎛-=i X E ，其中i=1，2，3，…10，从而784.8109110)...()(201021≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=X X X E X E ，也就是说平均要停车近9次。

但是并不是每个问题都可以拆分开来，甚至有些问题是需要有每一种情况总结到总的问题来解决。

也就是把所求数学期望E(X)作为序列1E ，2E ，…，k E 中的一般项，根据实际意义导出k E 的递推关系式，然后发掘出蕴藏着的初始条件，最终求出E(X)。

这是求数学期望的方法我们叫做建立递推关系法。

2. 建立递推关系法]1[例题2： 设一个实验有m 个等可能的结局。

求至少一个结局接连发生k 次的独立是啊一年的次数。

分析： 显然独立实验的次数X 的随机变量，X 的所有可能的取值为k ，k+1，,,,，如果把“至少一个结局接连发生k 次”这一事件所需要的实验次数k ，k+1，…，的概率一一写出，然后相应求出X=k ，k+1…的概率，那是相当困难的。

于是可以考虑构建关于k E 的递推关系式。

解 ： 设k E 是“至少一个结局接连发生k 次”(记此事件为k A )所需的试验次数的期望，则1-k E 表示至少一个结局接连发生k-1次，(记此事件为1-k A )所需试验次数的期望。

而事件k A 与1-k A 之间有这样的关系：在1-k A 发生的条件下，或者继续试验一次，同一结局又发生了，这样便导致k A 的发生，其概率为m1；或者继续试验一次，这个结局没有发生(其概率为m11-)，而另外的结局发生了，这样要使k A 发生，等于从头开始，它的期望次数是k E 。

根据这种分析，得k k k E m m E E ⎪⎭⎫⎝⎛-++=-111*11，即 11+=-k k mE E 。

注意到11=E ，故由递推关系式(1)，最后求得数学期望11 (11)2--=++++=-m m mm m E k k k . 条件数学期望是概率论中最重要的概念之一，期望是条件期望的特例，概率也是条件期望的特例，因此，通过对某类随机现象的适当的条件化处理，应用全期望公式，可以给出计算数学期望和计算概率更简洁的方法。

设()ηξ,是二维随机向量，ξE 存在，则有()ξηξE E E =]|[，这就是我们接下来要说的全期望公式法。

3 全期望公式法]2[例题3：一名矿工陷入一个有三扇门的矿井中，第一扇门通过一个隧道，走2小时后他可到达安全区；第二扇门通到另一个隧道，走3个小时后使他回到矿井中；第三扇门通到有一个隧道，走5个小时后使他回到矿井中。

嘉定这位矿工总是等可能地选择三扇门中的一扇门中走，试求他达到安全区所需的平均时间。

解： 设T 表示到达安全区所需时间，T 是一个随机变量，ξ表示最初选择门的编号，按题设有 ()31==i P ξ，i=1，2，3. T= 2， 当＝１ξ， 3+1T 当2＝ξ， 5+1T 当3=ξ，其中1T 为返回原处时算起至走到安全区所需的时间。

由题设知道返回原处后在此选择门的概率分布不变。

故][]|[]2|[21T E T E T E ===ξξ,于是()()()()()][253231]}3|5[]2|3[2{31]}3|[]2[]1|[{313]3|[2]2|[1]1|[]|[][11T E T E T E T E T E T E p t e P T E P T E T E E T E +++==++=++==+=+====+==+====ξξξξξξξξξξξξ由此，可得E[T]=10小时。

4. 连续型随机变量数学期望的简易公式法]3[我们知道数学期望有离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，还有既非 离散型又非连续型随机变量的数学期望，这里我们介绍连续型随机能力的数学期望。

若连续型随机变量ξ的密度函数为)(x f ，如果⎰+∞∞-dx x f x )(||收敛，积分⎰+∞∞-dx x xf )(为随机变量ξ的数学期望，相反，如果ξ的分布函数)(X F ,求数学期望ξE 需要先求出密度函数)(x f ，计算过程会比较复杂，这里介绍一个简易的连续型随机变量的数学期望。

定理 若连续型的随机变量ξ的分布函数为()X F ，且数学期望ξE 存在，则()()⎰⎰∞+∞---=00]1[dx X F dx X F E ξ．证明()dx x f x ||⎰+∞∞-存在，则()⎰+∞∞-∞<x F x ||，于是：()()()()⎰⎰⎰∞-∞--∞→∞--∞→-∞→-∞→=≤≤=xxx xx x x y dF y y ydF y dF xx xF 0|||limlim|lim ||lim()()()⎰⎰∞-∞→∞-∞→-∞→=≤=-≤xx xx x y ydF y dF x X F x 0limlim ]1[lim 0()()0]1[lim lim =-=-∞→-∞→x F x x xF x x()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞∞-+∞∞-∞+--=--=+==00000|1dx x F x xF x F xd x xdF x xdF x xdF x xdF E ξ ()()⎰+∞∞+-+-00]1[|]1[dx x F x F x由(1)式得 ()()⎰⎰∞+∞---=0]1[dx X F dx X F E ξ例题4 已知连续型的随机变量ξ的分布函数为()xe X F 21=x<0 ，求ξE=xe --211 x ≥0 解 ()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-----=-=---=000210212121]11[dx e e dx e dx e E x x x xξ5. 结合随机微分方程求数学期望例题5 求证()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-S S S f e E t T dtr Ttt |]4[成立，其中t S 代表t 时刻标的资产的价格，t r 是即期无风险利率，()T S f 是欧式未定权益的到期收益。

1973年，Black 和Scholes 利用无套利原理给出了著名的期权定价公式]5[，促进了金融属性领域的快速发展。

由现代金融数学理论，欧式未定权益的价值最终归结为在风险中性下的数学期望()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-S S S f e E t T dtr Tt t |记()()()()S S K S e E S t v t T t T r P =-=+--|,，其中r ，K 为常数，t S 满足 随机微分方程 t t t t dB S dt rS S d σ+=，t B 为风险中性概率测度P 下的标准布朗运动。

PE 表示在测度P 的条件期望算子，()()0,max K S K S T T -=-+,这个期望在金融中代表标准视频看涨期权的价值。

()()()()S S KeE S t v t t T r P=-=+--|eξ，()()()()()()()⎰∞+∞-+-----+----=dx t T t T r S x t T Keext T r }2]2/ln [exp{21222σσσπ()()()()()()()⎰∞+-----+----=Kxt T r dx t T t T r S x t T Keeln 222}2]2/ln [exp{21σσσπ()()()()()()----+---=⎰∞+--dx t T t T r S x e t T e K xt T r ln 222}2]2/ln [exp{2σσσπ()()()()()()⎰∞+-----+---Kt T r dx t T t T r S x t T Ke ln 222}2]2/ln [exp{2σσσπ 对第一个式子进行配方，对第二个式子作变换()()()()t T t T r S x y ---=-=σσ2/ln 2,并记()()()()t T t T r K S d --++=σσ2//ln 21 ，()()()()()t T d t T t T r K S d --=---+=σσσ122//ln 2得()()()()()()()()⎰∞+----++--++---=Kt T r dx t T r S t T t T r S x t T eS t v ln 222]}[ln 2]2/ln [exp{21,σσσπ()⎰∞+----22221d y t T r dy eK e π()⎰⎰∞+-∞+------=1222222121d d y t T r y dy eK e dx eS ππ()⎰⎰∞-∞------=1222222121d d y t T r y dy eK e dx eS ππ()()()21d N Ke d SN t T r ---=其中()⎰∞--=xy dy ex N 2221π为标准正态累积分布函数。