角的概念的推广(学案)

1.1.1角的概念的推广（学案）

班级姓名

一、学习目标：

1. 理解“旋转”定义角的概念，掌握“正角”、“负角”、“零角”的意义．

2. 理解终边相同的角的意义，掌握与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法.

二、学习重点：

理解并掌握正角、负角和零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.

一、课前预习：

1.角的概念的推广

（１）“旋转”形成角

在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的，终止时的射线叫做角的，射线的端点叫做角的 .

（２）角的表示方法：①常用字母A，B，C等表示；②也可以用字母α、β、γ等表示；

③特别是当角作为变量时，常用字母x表示.

（３）“正角”、“负角”与“零角”

按逆时针方向旋转所得到的角为，如图1-1中，α为正角；而按顺时针方向旋转所得到的角为，如图1-2中，β为负角.我们还规定：当一条射线没有旋转时，也把

α=︒. 它看成一个角，叫做 .这样，零角的始边和终边重合.如果角α是零角，那么0

2.象限角与象限界角

为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做

3．与α有相同终边的角，连同α在内可以表示为

二、预习自测：

1.一昼夜时针转过多少度？

2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度？

3.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是

B.

-

A

60

.

60

-

︒

︒

C30

︒

︒30

D

4.将-885°化为α+ k·360°(0°＜α＜360°，k∈Z)的形式是

A.-165°+ (-2)·360°

B.195°+ (-3)·360°

C. 195°+ (-2)·360°

D.165°+ (-3)·360°

5.下列命题中正确的是

A.第一象限角一定不是负角

B.小于90°的角一定是锐角

C.钝角一定是第二象限角

D.终边相同的角一定相等

6.若α是锐角，则180°－α是

A.第一象限角

B.第二角限角

C.第三象限角

D.第四象限角

三、合作探究

合作探究一：角概念的理解

锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？

例1.射线OA绕端点O顺时针旋转80o到OB位置，接着逆时针旋转250o到OC位置，然后

∠大小.

再顺时针旋转270o到OD位置，求AOD

合作探究二：象限角的理解

如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为怎样的不等式？其它几个象限呢？一____________________________________________________

二______________________________________________________

三______________________________________________________

四_______________________________________________________

合作探究三：轴线角的理解

终边落在x 的正半轴上，角的集合为

终边落在x 的负半轴上，角的集合为

终边落在x 轴上，角的集合为

终边落在y 的正半轴上，角的集合为

终边落在y 的负半轴上，角的集合为

终边落在y 轴上，角的集合为

终边落在坐标轴上，角的集合为

合作探究四：终边相同的角

1．观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边 .

2．与30°角的终边相同的角的表达式.

390°=30°+ 360°， -330°=30°-360°， 30°=30°+0×360°，…

那么与30α=︒有相同始边和终边的角，连同30°角在内可以表示成

3．这些有相同的始边和终边的角，叫做终边相同的角.

与α有相同始边和终边的角表示为______________________________________

例2:写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式00

360720β-≤< 的元素β写出来：

(1) 060 (2)021- (3)036314'

合作探究五：如果α分别是第一、第二、第三和第四象限的角，

2α，3α分别是第几象限

四、变式训练：

1. 设θ为第一象限角,求2θ,2θ

,-θ所在的象限.

五、当堂检测：

1、以原点为角的顶点，x 轴正方向为角的始边，终边在坐标轴上的角等于（ ）

（A ）00、900或2700 （B ）k ⋅3600（k ∈Z ）

（C ）k ⋅1800（k ∈Z ） （D ）k ⋅900（k ∈Z ）

2、如果x 是第一象内的角，那么（ ）

（A ）x 一定是正角 （B ）x 一定是锐角

（C ）-3600

3、设A={θ∣θ为锐角}，B={θ∣θ为小于900的角}， C={θ∣θ为第一象限的角} D={θ∣θ为小于900的正角}。则下列等式中成立的是（ ）

（A ）A=B （B ）B=C （C ）A=C （D ）A=D

4、在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系为（ ）

（A ）β=α+900 （B ）β=α±900 （C ）β=α+900+k·3600 （D ）β=α±900+ k·3600 k ∈Z

5、在直角坐标系中，判断下列各语句的真、假：

(1)第一象限的角一定是锐角；（2）终边相同的角一定相等；

(3)相等的角，终边一定相同；（4）小于90○的角一定是锐角；

（5）象限角为钝角的终边在第二象限；

（6）终边在直线x y 3=上的象限角表示为Z k k ∈+⋅,6036000

6.下列命题中正确的是( )

A.终边在y 轴非负半轴上的角是直角

B.第二象限角一定是钝角

C.第四象限角一定是负角

D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同

7、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 .

8、若α为锐角，则180°＋α在第__________象限，－α在第______________象限. 9、写出与370°23′终边相同角的集合S ,并把S 中在-720°～360°间的角写出