第五章 解析延拓 多值函数与黎曼面
黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析
黎曼曲面解析延拓问题证明逻辑解析黎曼曲面解析延拓问题是复变函数理论中的一个重要研究方向。
本文将对黎曼曲面解析延拓问题进行证明逻辑解析。
首先，我们将介绍黎曼曲面和解析延拓的基本概念，然后介绍相关的定理和推论，最后给出证明过程与逻辑推理。
一、黎曼曲面与解析延拓的基本概念黎曼曲面是一种复流形，具有局部欧几里德结构，是复变函数理论的重要基础。
解析延拓是指将函数定义域从一个开集扩展到一个更大的开集上，使函数在定义域的边界上仍然解析。
二、相关定理与推论1. 必要定理在进行黎曼曲面解析延拓的证明前，我们需要先介绍一个必要定理。
根据Cauchy-Riemann方程的性质，如果一个函数在某个点解析，那么它在该点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。
2. 解析延拓定理解析延拓定理是黎曼曲面解析延拓问题的中心定理之一。
该定理表明，如果函数在某个开集上解析，并且可以延拓到该开集的一个更大的开集上，那么函数在整个扩展开集上也解析。
3. 唯一性推论解析延拓定理的一个重要推论是唯一性推论。
这一推论指出，如果一个函数可以延拓到两个不相交的开集上，那么在这两个开集的交集上，这个函数的值必须相等。
三、证明过程与逻辑推理为了证明黎曼曲面解析延拓问题，我们将使用反证法。
假设存在一个函数f(z)在某个开集U上解析，但无法延拓到U的一个更大开集上。
首先，我们根据必要定理可知，如果f(z)在U上解析，那么它在U的每个点处的偏导数存在且满足Cauchy-Riemann方程。
然后，我们假设存在一个点z0，使得f(z0)无法延拓到U的一个更大的开集上。
根据解析延拓定理，我们可以得出矛盾，因为f(z)在U上是解析的。
因此，我们可以得出结论，对于任意一个解析函数f(z)，它都可以延拓到它定义域的一个更大开集上。
最后，根据唯一性推论，我们可以断定，在解析延拓的过程中，函数的值不会发生变化。
综上所述，我们证明了黎曼曲面解析延拓问题。
根据所给的证明过程和逻辑推理，我们可以得出结论：任意解析函数f(z)都可以进行解析延拓，且延拓后的函数值与原函数值相等。
黎曼曲面积分表示问题的解析延拓证明逻辑解析
黎曼曲面积分表示问题的解析延拓证明逻辑解析曲面积分在数学中扮演着重要的角色，而黎曼曲面积分是计算曲面上向量场的流量的方法之一。
然而，在某些情况下，黎曼曲面积分的定义范围可能存在限制，因此需要对其进行解析延拓。
本文将通过逻辑解析的方式对黎曼曲面积分表示问题的解析延拓进行证明。
首先，我们来回顾一下黎曼曲面积分的定义。
设M是一个黎曼流形，$D \subseteq M$是一个分割，即$D = \{D_i\}_{i=1}^n$，其中每个$D_i$都是M上的可测集。
假设$f:M \rightarrow \mathbb{R}^n$是一个连续函数，则曲面积分定义如下：$$\int_M f \cdot dS = \lim_{\|D\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i) \cdotS(D_i)$$其中，$x_i$是$D_i$中的一个点，$S(D_i)$是$D_i$的面积，$\|D\|$表示分割D的直径。
然而，在某些情况下，我们可能需要计算的函数f在曲面M上处处发散，或者M包含奇点。
这时，直接应用上述定义进行计算可能存在问题。
因此，我们需要对黎曼曲面积分进行解析延拓。
为了实现解析延拓，我们引入黎曼曲面上的良好正规相容性结构。
所谓的良好正规相容性结构可以通过黎曼曲面的结构定理得到。
该定理指出，对于任意的曲面点$p \in M$，都存在一个典范邻域$U_p$，它同胚于某个复平面域，且在$U_p$上定义了一个保角映射。
根据这个典范邻域的性质，我们可以将黎曼曲面M上的任意一个典范邻域$U_p$上的积分表示为：$$\int_{U_p} f(z)dz$$其中，z是$U_p$上的一个复变量。
我们可以通过该积分的计算来实现黎曼曲面积分的解析延拓。
接下来，我们将对黎曼曲面积分的解析延拓进行证明。
假设我们需要计算的函数f在一点$p \in M$处有一个奇点。
根据良好正规相容性结构的性质，我们可以找到一个以p为中心的典范邻域$U_p$，且在$U_p$上存在一个保角映射。
解析延拓定理
解析延拓定理
解析延拓定理是数学分析领域中的一个重要定理，其核心概念为复变函数。
复变函数是指将复平面上的点映射到复平面上的函数，其定义域和值域均为复数集合。
根据解析延拓定理，所有的解析函数都可以在其定义域外的某些点上进行无限次的解析延拓，从而得到一个唯一的全纯函数。
全纯函数是指在复平面上处处可微的复变函数。
解析延拓定理对于研究复变函数的性质和行为具有重要的作用。
它可以用于解决一些在某些特定条件下无法解决的问题。
例如，对于某些解析函数，其定义域可能出现断点或奇点，这就导致了函数在该点处失去了解析性质。
解析延拓定理就可以帮助我们在该点处重新定义函数，从而使其在该点处具有复变函数的解析性质。
解析延拓定理还可以用于研究复变函数的奇点和极点。
奇点是指函数在该点处失去解析性质的点，而极点则是指该点处函数值趋向于无穷大或无穷小的点。
通过解析延拓定理，我们可以在这些点处重新定义和计算函数值，并且可以更加清晰地理解函数在这些点附近的行为和性质。
总之，解析延拓定理是一条重要的数学定理，它对于研究复变函数的性质和行为有着重要的意义。
通过解析延拓定理，我们可以更加全面和深入地理解这一领域的重要概念和基本原理。
复变函数第四版余家荣答案
复变函数第四版余家荣答案【篇一：1第一章复数与复变函数】京1第一章复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念①在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。
为此，需要扩大数系。
我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为z?x?iy，2其中，i满足i??1。
我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，y?imz。
特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复数0?0?i?0。
z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。
2.复数的代数运算2.1 四则运算设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2（z2?0） ??i2222z2x2?y2x2?y22【注】：(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。
(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；②.用复数z1?x1?iy1除以非零复数z2?x2?iy2，就是要求出这样一个复数z?x?iy，使得z1?z2?z。
按乘法的定义，为求出z需要解方程组?x2x?y2y?x1??x2y?xy2?y12.2 共轭复数复数x?iy和x?iy互称为对方的共轭复数，如果记z?x?iy，则用记其共轭复数，即?x?iy?x?iy。
黎曼函数解析延拓
黎曼函数解析延拓
根据黎曼猜想，黎曼函数定义为ζ(s)=∑(n=1->∞)(1/n^s)，其中s
是复数。
该函数在s的实部大于1时是收敛的，但无法扩展到实数或负实数，因为这些位置上的函数会发散。
为了解决这个问题，数学家尝试将黎曼函数解析延拓到实数轴的左侧。
最著名的方法是使用函数方程ζ(s)=2^(s)π^(s-1)sin(πs/2)Γ(1-
s)ζ(1-s)，其中Γ(s)是伽玛函数。
通过这个方程，可以将黎曼函数延
拓到所有的复数平面。
使用黎曼函数的解析延拓，我们可以得到一些有趣的结果。
首先，黎
曼函数在s=1的解析延拓之后，可以得到黎曼上假设的结论，即ζ(s)在
s=1的解析延拓值为0。
这是因为方程ζ(s)=2^(s)π^(s-
1)sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s)中的sin(πs/2)因子使得ζ(s)的值在s=1
处为0。
其次，通过黎曼函数的解析延拓，我们可以发现ζ(-2n)=0，其中n
是正整数。
这意味着黎曼函数在负偶数的位置上有无穷多个零点。
这个结
果是黎曼猜想的一个重要推论。
总之，黎曼函数解析延拓是将黎曼函数的定义从实数轴扩展到复数平
面的过程。
通过这个延拓，我们可以得到一些关于黎曼猜想的结论，并与
素数分布的规律相关联。
黎曼函数解析延拓对于数论和复变函数理论的发
展有着重要的意义。
黎曼曲面讲义
3.5 Abel-Jacobi 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
第四章 曲面与上同调
121
4.1 全纯线丛的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
f 的实部和虚部分别为 u, v, 则 f 为全纯函数的充分必要条件是 u, v 满足如下的
Cauchy-Riemann 方程:
$ & ux “ vy,
% uy “ ´vx.
全纯函数的定义还有许多其他的等价形式.
平均值公式:
若函数
f
在圆盘
tz
P
C
ˇ ˇ
|z
´ a|
ă
Ru
内全纯并连续到边界,
则
f paq “
本书主要内容如下：第一章基本上是关于复变函数的简单复习，我们给出了 单值化定理的简单情形，即 Riemann 映照定理的证明。这一章也得到了调和函数 的梯度估计以及 Harnack 原理，这里采用的方法可以推广到一般的黎曼流形上。 第二章引入了抽象黎曼曲面的定义，并给出了单连通黎曼曲面的分类（单值化定 理），其中，黎曼环面作为一类重要的紧致黎曼曲面也加以了分类。证明单值化定 理的方法是通过调和函数（可能带有奇点）来构造特殊的全纯映射。而调和函数 的存在性是通过经典的 Perron 方法获得的。第三章是本书核心内容之一，我们给 出了 Riemann-Roch 公式的证明，并选择了若干有意思的应用加以介绍。我们选 择的 Riemann-Roch 公式的这个证明也是经典的，它也涉及某些给定奇性的亚纯 微分的存在性，这种亚纯微分的存在性是通过 Hodge 定理获得的，为了尽快的介 绍 Riemann-Roch 公式的应用，我们把重要的 Hodge 定理的证明放在本书第二个 附录中了。通过 Riemann-Roch 公式我们知道了紧致黎曼曲面上亚纯函数的丰富 性，我们也证明了亚纯函数域是一个一元代数函数域，并且它惟一地决定了黎曼曲 面本身。作为例子我们简单介绍了黎曼环面上的亚纯函数，它们就是经典的椭圆 函数。通过适当地挑选亚纯函数，我们把黎曼曲面全纯地嵌入到了复投影空间中， 因此可以从代数曲线的角度来研究它们。我们还介绍了计算总分歧数的 RiemannHurwitz 公式，并利用它简单研究了超椭圆型的黎曼曲面。接下来我们介绍了曲面 上的 Weierstrass 点，得到了 Weierstrass 点的个数估计。这些结果又被应用于曲面 的全纯自同构群，特别地，我们证明了亏格大于 1 的紧致黎曼曲面全纯自同构群 的阶的估计。作为第二章的结束，我们还介绍了重要的双线性关系、Jacobi 簇，证
大学物理-多值函数及其黎曼面
3.求支点及单值分支的例题：pp 84-85
4.
的黎曼面—形象地描述多值函数 值的变化
函数 的值在 z 绕 z = 0 转第二圈时，与 z 转第一圈时不 同。设想： z 的第一圈和第二圈分别在“不同的”复数平 面上运行，即将 z 平面分为两叶平面。为了把多值函数的 各个分支作为整体来研究，两叶平面作以下粘合：第一页
例 规定 z = 0 时，w(0) = i，设 z 从 0 沿 C ' 变到 i (图 3-5-
11)，求函数 w z2 1 之值。
解：根据规定 arg w(0)
2
由(3-5-17)式可见，求argw(i)的关键是求
arg w 1 [ arg( z 1) arg( z 1)] 2
图 3-5-11
故
w(z)
'e w i
1 2
(0
0
'
4
)
0
即 w 值处于原来分支，故 z = 不是支点。
显然，对于函数 w z2 1 来说，z = –1、 z = 1 为其支点。
为了取 w z2 1的单值分支，需要沿连接分支点 z =± 1 的任意曲线作割缝。下图画出了几种可能的割缝形式。
若取图 (a) 形状的割缝，还需规定割缝上岸的辐角值， 以确定具体的单值分支。例如，可规定
令 z 沿逆时针方向环绕原点(z=0)转一圈回到原处时，它的辐
角由 0 变为 0 + 2 = 1 ，而 w 由 w0 变为 w1，即 w 从一
个单值分支变到另一个单值分支。继续令 z 沿逆时针方向绕
z = 0 转一圈，z 再次回到原处，它的辐角由 0 + 2 = 1 变
为 0 + 4 ，而 w 由 w1 变为 w0 。这样再转第三圈：辐角为 0 + 6 ，而 w 由 w0 变为 w1，与第一圈上的值完全相同…。
(完整版)黎曼定理及其应用
(完整版)黎曼定理及其应用
黎曼定理是数学上的一个重要定理，它与复数论和解析函数密切相关。
黎曼定理的完整版是指黎曼定理的一般形式，它包含了多个重要的推论和应用。
黎曼定理
黎曼定理是由德国数学家黎曼于1851年提出的。
它阐述了复变函数的非常重要的性质。
黎曼定理可以表述为：设 $f(z)$ 是定义在区域 $D$ 内的解析函数，且 $f(z)$ 在区域 $D$ 内的任意两个路径的积分是相等的，则 $f(z)$ 在区域 $D$ 内是解析的。
黎曼定理的推论包括：
- 解析函数的导数一定也是解析函数。
- 解析函数的积分与路径无关。
- 解析函数在其定义区域内具有无穷阶导数。
黎曼定理的应用
黎曼定理在解析函数、复变函数和数学物理等领域都有重要的
应用。
以下是黎曼定理的一些应用：
1. 奇点研究：通过分析解析函数的奇点情况，可以揭示函数的
性质和行为。
2. 积分计算：利用黎曼定理的路径无关性质，可以简化复杂的
积分计算。
3. 函数逼近：通过黎曼定理可以构造逼近函数序列，用于函数
逼近问题的求解。
4. 物理模型：黎曼定理在物理学中的应用非常广泛，可以解决
电磁场问题、热传导问题等。
结论
黎曼定理是复变函数理论中的重要定理，它揭示了解析函数的
特性和性质。
黎曼定理的应用涵盖了多个领域，包括数学、物理等。
深入理解和应用黎曼定理对于进一步探索解析函数的性质和应用具有重要意义。
解析延拓法-概述说明以及解释
解析延拓法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述解析延拓法是一种常用的数学工具，它在不同领域都有广泛的应用。
通过对问题进行解析建模，该方法能够将问题转化成解析函数的延拓，从而更好地理解和解决问题。
在解析延拓法中，解析函数是指在复数域上定义的函数。
而延拓则是指将函数从定义域延拓到更广泛的域，通常是将函数在实轴或复平面上的一部分延拓到整个实轴或者复平面上。
通过对延拓之后的函数进行分析和计算，我们可以得到更全面和深入的信息，解决原问题中的困难或疑惑。
这种方法的优势在于它不仅能够处理具体问题，还能够揭示问题的本质和内在规律。
通过解析延拓法，我们能够理解函数的性质和行为，从而更好地研究和解决与之相关的问题。
因此，无论是在物理、工程、经济学还是其他各个领域，解析延拓法都是一种非常重要的工具和方法。
在接下来的文章中，我们将对解析延拓法进行详细的探讨。
首先，我们将介绍解析延拓法的定义，阐述其基本原理和思想。
然后，我们将进一步探讨解析延拓法的应用，以及它在不同领域中的具体应用案例。
最后，我们将总结解析延拓法的优势，并展望未来对该方法的发展和应用。
通过对解析延拓法的深入研究和理解，我们可以更好地应用它来解决实际问题，并推动相关领域的发展。
希望本文能够为读者提供有益的信息和观点，引起大家对解析延拓法的兴趣和思考。
接下来，我们将开始探索解析延拓法的定义和基本原理。
1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括以下内容：文章的结构是指文章的整体组织框架，它决定了文章的逻辑顺序和层次结构。
对于本文来说，其结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要用于引导读者进入文章的主题，并对解析延拓法进行概述。
首先，需要对解析延拓法进行简单介绍，包括其定义、原理和应用。
然后，介绍文章的结构和目的，以及大致的内容安排。
最后，对整篇文章进行总结，提供一个概览。
正文部分是文章的核心部分，用于详细解析解析延拓法。
首先，给出解析延拓法的定义，解释它是一种什么方法，并说明其在科学研究中的重要性。
黎曼曲面讲义
黎曼曲面讲义
黎曼曲面是复变函数理论中的重要概念，它是复平面上的一种特殊结构，可以用来研究多值函数、解析函数的延拓、全纯函数等问题。
黎曼曲面的定义是：设S为一个复数平面上的有界开集，若给定S上的一个拓扑结构和在S上定义的复坐标函数，使得这些复坐标函数满足某些特定的连续性和解析性条件，则称S 为黎曼曲面。
黎曼曲面的基本性质包括：
1. 维数：黎曼曲面的维数是一维的，即它是一个二维实流形。
2. 局部同胚：黎曼曲面上的每个点都有一个局部同胚映射，将该点映射到复平面上的某个开集。
3. 解析结构：黎曼曲面上定义了一种解析结构，使得可以在曲面上定义全纯函数。
全纯函数在黎曼曲面上满足解析方程。
4. 亏格：黎曼曲面的亏格是一个拓扑性质，由欧拉公式给出。
亏格是一个标志了曲面拓扑结构复杂程度的量。
5. 延拓：某些函数在黎曼曲面上可以得到延拓，即在原定义域以外的点上也有定义，并满足解析方程。
黎曼曲面的研究在复变函数理论中具有重要的意义，它不仅提
供了对复变函数更深层次的理解，也为其他数学领域如代数几何、微分几何、奇点理论等提供了重要工具和观点。
黎曼zeta函数解析延拓
黎曼zeta函数解析延拓黎曼zeta函数是数学中的重要函数之一，其解析延拓在数学和物理学领域有着广泛的应用。
本文将介绍黎曼zeta函数的相关性质和解析延拓的概念。
I. 黎曼zeta函数的定义和性质1. 定义黎曼zeta函数是指以下级数的和函数：$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$其中，s是一个复数。
需要注意的是，当s的实部大于1时，该级数收敛，即$$\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^s}$$ 存在。
否则，该级数发散。
2. 基本性质2.1 函数关系：$\zeta(s)$和$\eta(s)$黎曼zeta函数与Dirichlet eta函数的关系式为：$$\zeta(s) = \frac{1}{1-2^{1-s}}\cdot\eta(s)$$其中，$$\eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}$$2.2 函数零点黎曼猜想认为$\zeta(s)$在s = -2, -4, -6, ...处有无穷多个零点。
目前已证明该猜想成立至少在实部大于1/2的范围内。
2.3 函数极点在s=1处，$\zeta(s)$有一个一阶极点。
2.4 函数奇偶性当s为实数时，$\zeta(s)$为离散奇函数。
即当s=-n时（n为整数），$\zeta(s)$的值为0。
II. 解析延拓解析延拓是指将一个函数在其定义域之外进行延拓，使得函数在整个复平面上都有定义并且具有解析性质。
黎曼zeta函数的解析延拓有两种方法，即黎曼方法和维尔斯特拉斯方法。
1. 黎曼方法黎曼方法就是将$\zeta(s)$进行下列等式展开：$$\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{p^{ns}}$$将该等式带入到$\zeta(s)$的表达式中，$$\zeta(s) = \prod_{p\in\text{primes}}\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$对于s的实部大于1的情况，该级数收敛。
复变函数中的解析延拓理论
复变函数中的解析延拓理论复变函数是数学中的一个重要分支，它研究了在复平面上定义的函数。
解析延拓是复变函数理论中的一项重要内容，它可以将函数在有限定义域外延拓到无限大的区域上，并保持函数的性质不变。
一、解析延拓的概念和基本思想解析延拓是指将一个函数从其有限定义域延拓到更大的定义域上，使其在新的定义域内解析。
在复数域上，解析延拓的基本思想是利用解析性的特点，通过对函数进行适当的变换或构造，使其在原有定义域之外也能满足解析性的条件。
二、解析延拓的方法解析延拓可以通过多种方法实现。
其中一种常见的方法是使用奇点理论，通过分析函数的奇点性质，找到可以延拓函数定义域的方式。
例如，我们可以通过去除奇点或添加极点的方式，使函数在更大的定义域上解析。
另一种常见的方法是利用解析函数的特殊性质，通过构造新的函数来延拓原函数。
例如，可以利用指数函数、三角函数等基本函数的解析性质，来延拓原函数的定义域。
这种方法常用于实数域上的函数延拓。
三、解析延拓的应用解析延拓在复变函数的研究中具有广泛的应用。
首先，通过解析延拓可以扩大函数的定义域，使其在更大的区域内解析。
这对于研究函数的性质和行为具有重要意义。
其次，解析延拓可以用于求解解析函数的特殊值和积分。
通过延拓函数的定义域，可以使得函数在原有定义域之外的点上取得有意义的值。
这对于解析函数的计算和应用具有重要意义。
最后，解析延拓还可以用于解决一些数学问题。
例如，在数论中可以使用解析延拓的方法来研究整数的性质；在微分方程中可以使用解析延拓来求解特殊的微分方程等。
四、解析延拓的发展和挑战解析延拓作为复变函数理论的重要内容，已经在数学和应用领域取得了广泛的应用。
但同时也面临着一些挑战。
首先，解析延拓的方法和理论较为复杂，需要深入的数学思想和技巧。
其次，解析延拓涉及到函数的极限和连续性等概念，需要严格的数学推导和分析。
在未来的发展中，我们可以进一步探索解析延拓的理论和应用。
通过研究更加复杂的函数和问题，深化对解析延拓的理解和应用，推动复变函数理论的发展。
5. 黎曼几何初步
§5 黎曼几何初步一、 黎曼空间[黎曼空间及其度量张量] 若n 维空间R n 中有一组函数g ij ( x i )=g ji ( x i )，使得两邻点x i， x i ＋d x i之间的距离ds 由一个正定二次型d s 2 = g ij ( x )d x i d xj 决定，则称空间R n 为黎曼空间，记作V n .称黎曼空间V n 中的几何学为黎曼几何.二次型 ds 2称为V n 的线素.定义曲线弧长的微分为()j i ij x x x g s d d d =而任一曲线x i =x i(t )()a t b ≤≤的弧长为积分()()⎰=baji ij t tx t x t x g s d d d d d因为在坐标变换()x x x i i i ='下，ds 2为一个不变量，所以j ji i ij j i xx x x g g ''∂∂∂∂= 这表明g ij ( x)为一个二阶协变张量的分量，它称为黎曼空间V n的度量张量或基本张量.[矢量的长度·两矢量的标量积和夹角·伴随张量] 在黎曼空间中关于标量(场)、矢量(场)、张量(场)等的定义类似前面各节，它们的运算法则也相仿.设{}a i 是一个逆变矢量，则其长度的平方为g ij a i a j设{}i a 与{}b i 是两个逆变矢量，则其标量积为g ij a i bj 这两矢量夹角的余弦为g a b g a ag b bij i j ij ijij i j设g ij a i=a j , g ij b i=b j则{}j a 与{}j b 都是协变矢量，它们的长度与标量积分别为g ij a i a j=a j a j, g ij a i b j=a j b j张量j k i T ⋅⋅的伴随张量为j l i lk ijk T g T ⋅⋅=，k i lj jk i l T g T ⋅⋅⋅=式中g lj 满足等式g g il lj i j=δ式中j i δ为克罗内克尔符号.[黎曼联络与克里斯托弗尔符号] 在黎曼空间中总可以用唯一的方式确定联络k ij Γ，满足条件：(i) 仿射联络是无挠率的，即kji k ij ΓΓ=(ii) 仿射联络所产生的平行移动保持矢量的长度不变. 这种k ij Γ称为黎曼联络或勒维－奇维塔联络. 根据上述两个条件可以得出⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂=l iji jl j il kl kij x g x g x g g 21Γ 如果记k ij lk l ij g ΓΓ=,则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂=l ij i jl jil l ij x g x g x g 21,Γ 有时用下面的记号：[]l ij l ij ,,Γ=和{}k ij k ij Γ=它们分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔三指标符号.此外，还有等式0=--∂∂lkj il l ki jl kij g g xg ΓΓ或i kj j ki kij xg ,,ΓΓ+=∂∂还要指出，§4中关于协变微分法的一切结果，对黎曼联络k ij Γ都成立.二、 勒维－奇维塔的平行性仿射联络空间中的平行移动，是由仿射联络ijk Γ决定的.在具有度量张量g ij 的黎曼空间Vn中，利用黎曼联络ijk Γ来定义相应的平行移动称为V n的勒维－奇维塔平行移动.设沿V n 中某一曲线 x i =x i (t )()a t b ≤≤ 给定了矢量场a i =a i(t )，如果沿这条曲线作一无穷小位移时，矢量a i(t )按规律0d d d d d =+=tx a t a t Da ji k ij k k Γ 变化，则称矢量a i(t )沿曲线作勒维－奇维塔平行移动.勒维－奇维塔平行移动具有性质：1度量张量g ij 的协变导数等于零，即0=--∂∂=∇lkj il l ki jl kij ij k g g x g g ΓΓ还有 ∇=k j i δ0, ∇=k ij g 02若两族矢量a i (t )和b i(t )都沿曲线平行移动，则()0d d=j i ij b a g t所以两矢量的标量积与夹角在平行移动下保持不变.3 黎曼空间V n中的自平行曲线(也称为测地线)和仿射联络空间中自平行曲线的情况完全一样，都由微分方程0d d d d d d 22=+s x s x sx kj i jk i Γ 所确定.不过这里的k ij Γ是黎曼联络.所以一曲线为测地线的充分必要条件是它的单位切矢量sx id d 互相平行.三、 黎曼空间中的曲率[曲率张量与李奇公式] 张量的协变导数与普通导数的明显区别是：求高阶导数时，张量导数的结果一般与求导的次序有关.例如，运算∇∇-∇∇k j j k 作用于矢量{}a i 时，则有l r kl i jr r jl i kr j i kl k i jl i k j i j k a x x a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∂∂-∂∂=∇∇-∇∇ΓΓΓΓΓΓ (1) 记rkli jr r jl i kr ji klkijlikjl x x R ΓΓΓΓΓΓ-+∂∂-∂∂=它是一个三阶协变一阶逆变的四阶混合张量，称为空间V n的曲率张量或黎曼－克里斯托弗尔张量.由(1)式得∇∇-∇∇=k j i j k i kjl il a a R a左边称为逆变矢量{}a i 的交错二阶协变导数；对协变矢量{}ib 的交错二阶协变导数是r rjki i j k i k j b R b b -=∇∇-∇∇张量的交错二阶协变导数是∇∇-∇∇=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-+-+∑∑j k s s s r r r k j s s s r r r jkir s s s r r r ir r jkq i s s s is s r r r q mp lTTR TR T ml m l p m p p l q q m l12121231212121112111211这称为李奇公式.[黎曼符号·李奇张量·曲率标量·爱因斯坦空间] 曲率张量的协变分量R g R jklr ri jkl i=称为第一类黎曼符号，而R jkl i 称为第二类黎曼符号. 曲率张量缩并得R R g R kl jkl jrj jklr ==称为李奇张量.李奇张量再缩并得R = g klR kl称为曲率标量.若李奇张量满足R nRg ij ij =1则称此空间为爱因斯坦空间. [曲率张量的性质]1曲率张量前两个指标j 和k 是反对称的，即i jkl i kjl R R -=特别R jjl i=02曲率张量对三个协变指标作循环置换后相加，使得R R R jkl i klj i ljk i++=0这称为李奇恒等式.3第一类黎曼符号R kjlr 可按下式计算：()q jl p kr q jr p kl pq l j kr r j kl r k jl l k jr jklrg x x g x x g x x g x x g R ,,,,222221ΓΓΓΓ-+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂∂+∂∂∂-∂∂∂= 因此R kjlr 关于指标j , k 与 l , r 是反对称的；关于前一对指标与后一对指标是对称的；对前面三个指标作循环置换后相加等于零，即R j klr =－R kjlr R j klr =－R jkrlR j klr = R lrjkR jklr ＋R kljr ＋R ljkr = 0４李奇张量是对称的，即R kl = R lk . 5 空间V n 中任一点下式成立：∇+∇+∇=i jkl r j kil r k ijl rR R R 0这称为皮安奇恒等式.它表明，按协变导数的指标(i )及曲率张量前两个指标(j , k )作循环置换所得到的和等于零.[黎曼曲率(截面曲率)与常曲率空间] 对黎曼空间V n内一点M 的两个线性无关矢量{}p i 和{}q i 作()K R p q p q gg g g p q p qrijk r i j krkij rj ik r i j k=-这称为p i，q i所确定的平面的黎曼曲率，又称为截面曲率.如果对空间V n(n > 2)中所有点都有R rijk =K (g rk g ij －g rj g ik )则黎曼曲率K 为常数，这就是舒尔(Schur)定理.黎曼曲率为常数的空间Ｖn称为常曲率空间，这种空间的线素可化为形式()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=221221241d d d n n x x K x x s 这称为黎曼形式的常曲率空间的度量.常曲率空间是爱因斯坦空间.。
复变函数论总结
复变函数论总结摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。
关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换1引言《复变函数论主要内容》第一章复变函数complex function第二章复变函数的积分complex function integral第三章幂级数展开power series expansion第四章留数定理residual theorem第五章傅立叶变换Fourier integral transformation第一章复变函数§1.1 复数及复数的运算§1.2 复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.1 复数及复数的运算1．复数的概念的数被称为复数，其中。
；；ｉ为虚数单位，其意义为当且仅当时，二者相等复数与平面向量一一对应ｚ平面虚轴ｙ. （ｘ，ｙ）ｒｘ实轴模幅角(ｋ)注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义2．复数的表示代数表示三角表示指数表示一个复数ｚ的共轭复数注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义4．复数的运算复数的加法法则：复数与的和定义是两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，且，当同一方向时等号成立。
复数的减法法则：且有复数的乘法法则：乘法的交换律、结合律与分配律都成立复数的除法法则：注意：采用三角式或指数式比较方便。
《数学物理方法》第5章 解析延拓多值函数及其黎曼面
从展开中心bn到z=1的距离就是fn(z)的收敛半径， 见图5.2.
11
2. 并非所有函数都能解析延拓
例如函数
的定义域为|z|<1，其收敛半径R=1。 f1(z)在 收敛圆周上密布着无限多奇点．实际上，在
圆周|z|=1上，满足的
点，也就是
当z回到出发点时z的辐角值开始增加，到达 A点后减少，到达B点后又增加，当z点回到
出发点时，辐角值又回到初始值j0。这样，
函数值始终在同一个单值分支中变化，不会 变化到另一单值分支中去。
31
为了考察无穷远点的情况，只要令
当 t 绕 t = 0 转一圈回到出发点时，w值不会 还原。由支点的定义可见，z=∞是 的另一个支点．
容易看出，z=0 及 z=∞ 是
的支点。
29
当z从z0=r eij0出发，围绕原点转一圈回到出 发点，它的辐角就由j0变为j0+2p =j1，相应
的函数值就由w0 (z0 )变为w1 (z1)，即由一个单 值分支变到另一个单值分支．这表明，z=0 是
的支点，如图5.3所示。
30
当z从z0=reij0出发，但不绕原点转圈(图5.4),
27
为了把多值函数变为单值函数，就要了解： 这两个分支有什么关系？
z 如何取值才会让w从一个分支变到另一个分 支？
研究表明，这与多值函数的支点有关。
28
2.支点
我们知道，当z值连续变化时，在复平面可以 用一条曲线来描述z的变化过程。
对于每一个特定的多值函数，都存在一些特 殊的点，当z环绕该点转一圈回到原处时， w(z)的值将由一个单值分支变到另一个单值 分支，这些特殊的点就称为多值函数的支点。
黎曼映射定理 多连通区域
黎曼映射定理与多连通区域的探索一、引言数学作为一门深奥的科学，有着无尽的奥妙和可能。
其中，几何学尤其以其多样的结构和无限的变化吸引了无数数学家的注意。
在这其中，黎曼映射定理以及多连通区域的性质更是成为了研究的重要课题。
这些领域不仅涉及到数学的基础理论，也在很多实际应用中发挥着关键的作用，比如在物理、工程和计算机科学等领域。
二、黎曼映射定理简介黎曼映射定理是复分析中的一个基本定理，它为将任一具有边界的、紧的、有向的、连通的、区域映入复平面提供了一种可能的方法。
这一定理的发现为复分析奠定了基础，并且在解析几何和复几何中都有着广泛的应用。
它对于理解和操作复数空间的结构有着深远的影响。
三、多连通区域的复杂性在几何学中，多连通区域是一类复杂的区域，它们可以包含多个孔洞。
这种复杂性使得研究多连通区域变得十分困难。
例如，确定一个多连通区域的边界就是一个复杂的问题。
此外，理解多连通区域中的几何量，如面积、周长等也是非常困难的。
然而，尽管困难重重，理解和操作多连通区域的能力对于数学家来说却十分重要。
它们不仅在几何学的研究中发挥着关键的作用，还在许多其他的数学分支中有所应用。
四、黎曼映射定理在多连通区域中的应用尽管多连通区域具有复杂的结构，但是黎曼映射定理提供了一种处理这些复杂性的方法。
这个定理可以用来映射多连通区域到更简单的区域，从而简化对这些区域的研究。
例如，我们可以使用黎曼映射定理将一个多连通区域映射到一个简单的圆盘，然后在这个圆盘上进行研究。
这样，我们就可以将复杂的几何量简化为简单的量，从而使问题变得更加易于处理。
除了简化几何量之外，黎曼映射定理还可以用来研究多连通区域的边界。
通过应用这个定理，我们可以更好地理解多连通区域的边界的性质和结构。
此外，黎曼映射定理还可以用来研究多连通区域中的函数。
通过将多连通区域中的函数映射到简单的区域，我们可以更好地理解这些函数的性质和行为。
五、结论黎曼映射定理和多连通区域的研究在数学中有着重要的地位和广泛的应用。
第五章 解析延拓 多值函数与黎曼面
0
（ 1）
说明： （i）Γ(x)是含参数（此处为 t）的定积分，是解析函 数的一种重要表达式， 这种表达式特别适于求函数的渐近表 示，或作解析延拓； （ⅱ） （1）式右边的积分的条件是 x>0，因此（1）式只定 义了 x>0 的Γ函数。对 ( x 1) et t x dt 进行分部积分，可
数学物理方法
证明：
( z 1) t
0
( z 1) 1 t
e dt t z d (et )
0 t z 0 0
t e
其中用到：
z t 0
e d (t ) z t z 1et dt z( z )
z t lim(t z e t ) lim t 0 t t e
数学物理方法
设级数的收敛区域为 D3。如果 D3 超出了 D2 的范围。由于 在 D2 和 D3 的重叠区域 f3(z)=f2(z)，所以 f3(z)就是 f2(z)在 D3 中的解析延拓。 这样不断作下去，得到一系列的解析元素
Dn , fn ( z)(n 2,3
) 。一个解析元素D1 , f1 ( z )的全部解析
D1 和 D2 的重叠区域 D12：就是 D1 在 D1 中：
f1 ( z ) f 2 ( z ) f 2 ( z ) 是 f1 ( z ) 在 D2 中的解析延拓
Hale Waihona Puke ( z 1) 解析元素 D2 , z
数学物理方法
( z 2) 同理：解析元素 D3 , D3 :{Re z 2, z 0, z 1} … z ( z 1)
黎曼曲面几何学
黎曼曲面几何学
汇报人：刘老师
2023-11-29
目录
• 黎曼曲面基本概念 • 黎曼曲面上的微分学 • 黎曼曲面上的积分学 • 紧致性及其性质 • 模空间与Teichmüller空间简介 • 黎曼曲面在物理学中应用举例
01
黎曼曲面基本概念
黎曼曲面定义与性质
01 黎曼曲面定义
黎曼曲面是一类具有复结构的一维流形，在局部 上与复平面同胚，且存在全局定义的复坐标函数 。
06
例
弦论中紧致化额外维度模型构建
01
紧致化额外维度
在弦论中，通过将额外维度紧致化为黎曼曲面， 解决了高维时空的物理实现问题。
02
Calabi-Yau空间
黎曼曲面的复杂结构为构建Calabi-Yau空间提供 了可能，进而实现了弦论的紧致化。
共形场论中关联函数计算方法
关联函数
共形场论中，利用黎曼曲面的共形不变性，可以方便地计算关联函数，揭示物理现象的内在联 系。
共形映射
通过共形映射方法，可以将复杂物理问题转化为黎曼曲面上的数学问题，简化计算过程。
量子引力中黑洞熵计算
黑洞熵
在量子引力中，黎曼曲面的拓扑性质被用于计算黑洞熵，揭示了黑洞内部微观状态的信息。
AdS/CFT对偶
黎曼曲面在AdS/CFT对偶中扮演重要角色，为研究黑洞物理和量子引力提供了有力工具。
THANKS
全纯映射
黎曼曲面之间的全纯映射是保持局部坐标卡之间转移函数全纯性质的映射。它们构成了一类重要的几何对象，用于研 究黎曼曲面的性质和结构。
覆盖空间与基本群
黎曼曲面的覆盖空间是另一个黎曼曲面，它与原曲面之间存在全纯映射，且满足一定的性质。基本群是 描述黎曼曲面拓扑结构的重要工具，它与覆盖空间之间存在密切的关联。
黎曼猜想内容
很多人如果对高等数学和复变函数没有一点儿概念的话，说起黎曼猜想，估计只是认识这几个字而已。
那么，这个黎曼猜想到底说了些什么呢？证明过程肯定很复杂的，我们就先不管它了，至于黎曼猜想的内容原来是这样的。
在自然数序列中，质数（素数）的概念，是小学生都能够理解的，数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2，3，5，7，11等等都是质数。
4，6，8，9等等都不是质数。
由于每个自然数都可以唯一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。
质数的特性，让数学界历来都为它们迷恋不已。
但是质数是没有规律可循的，最早用数学表达式来表达质数的普遍规律，还是瑞士的天才数学家欧拉在1737年发表了欧拉乘积公式。
在这个公式中，如鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一面。
沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独立提出了石破天惊的质数定理。
这一定理给出了质数在整个自然数中的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。
在和人们玩捉迷藏游戏两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。
虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意。
其时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通信院士。
出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是《论小于已知数的质数的个数》。
在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确分布规律。
没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高屋建瓴的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦苦思索。
就是数学界在一百多年前，在研究质数的过程中，黎曼定义出来的黎曼Zeta函数，就是黎曼猜想的主要内容。
现在关键的问题，是当时黎曼认为很显然的定理，没有证明，出现了类似费马猜想的乌龙，让整个数学界前赴后继，却不能证明，但是他们延伸出来的应用，已经遍布整个科学体系的方方面面了。
复变函数第五章解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点知识点总结
第五章解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点§1.解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.（定理5.1）：收敛圆环H，（1）H内绝对收敛且内闭一致收敛于f(z)=f1+f2（2）函数f在H内解析（3）f在H内可逐项求导p次（4）可沿H内曲线C逐项积分注：对应于定理4.133.（定理5.2 洛朗定理）：在圆环内解析的函数f必可展成双边幂级数，其中c n=12πi∫f(ξ)(ξ−a)n+1Γdξ,(n=0,±1,±2…)Γ为圆周|ξ−a|=ρ,f和圆环唯一决定系数c n4.泰勒级数是洛朗级数的特殊情形5.孤立奇点（奇点：不解析点）注：多值性孤立奇点即支点6.如果a为f(z)的一个孤立奇点，则必存在正数R，使得f(z)在点a的去心邻域K-{a}：0<|z-a|<R内可展成洛朗级数§2.解析函数的孤立奇点1.正则部分、主要部分2.可去奇点、极点（m阶极点，单极点）、本质奇点3.（定理5.3）可去奇点的特征（三点等价）：（1）f(z)在a点主要部分为零（2）可去奇点的判定条件：limz→af(z)=b(≠∞)（3）f(z)在a的去心邻域内有界4.施瓦茨（Schwarz）引理：如果函数f(z)在单位圆|z|<1内解析，并且满足条件f(0)=0,|f(z)|<1(|z|<1),则在单位圆|z|<1内恒有|f(z)|≤|z|，且有|f′(0)|≤1如果上式等号成立，或在圆|z|<1内一点z0≠0处前一式等号成立，则（当且仅当）f(z)=e iαz（|z|<1）其中α是一实常数。
5.（定理5.4）：m阶极点的特征（三点等价）（1）主要部分为有限项（系数c−m≠0）（2）f(z)在点a的某去心邻域内能表示成f(z)=λ(z) (z−a)m其中λ(z)在点a的邻域内解析，且λ(a)≠0;（3）g(z)=1f(z)以点a为m阶零点（可去奇点要当作解析点看，只要令g(a)=0）注：f(z)以a为m阶极点⇔1f(z)以点a为m阶零点6.（定理5.5）：函数f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是limz→af(z)=∞7.（定理5.6）：函数f(z)的孤立奇点a为本质奇点的充要条件是lim z→a f(z)≠{b（有限数）∞，即limz→af(z)不存在8.（定理5.7）：若z=a为函数f(z)之一本质奇点，且在点a的充分小去心邻域内部委零，则z=a亦必为1f(z)的本质奇点。
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数学物理方法
证明：
( z 1) t
0
( z 1) 1 t
e dt t z d (et )
0 t z 0 0
t e
其中用到：
z t 0
e d (t ) z t z 1et dt z( z )
z t lim(t z e t ) lim t 0 t t e
数学物理方法
3.将 Γ 函数进行解析延拓 设 f1 ( z ) ( z ) ，定义域 D1 为： Re z 0
解析元素 : D1, f1 ( z) D1, ( z)
( z 1) 由递推公式： f 2 ( z ) ( z ) z 右边成立的条件： Re( z 1) 0, z 0 D2 : Re z 1, z 0
1 1 ( x) ( x 1) ( x 2) ( x 2) (0,1) ( x 2) x x( x 1)
有定义，这样可以得到 ( x)
x (2, 1) ……
1 ( x n) 设 x (n, n 1)，定义 ( x) x( x 1) ( x n 1) 1 1 注：由 ( x) ( x 1) 及 (1) 1得到 (0) (1) x 0 数学物理方法
1 i (0 2 k ) 2
w z e
(k 0,1, 2 )
数学物理方法
当 k 0,2,4 时:w0 e 当 k 1,3,5 时:w1 e 点： w0 , w1。
i
0
2
0 0 2 e
i
1 i (0 2 ) 2
1
2
e
D1 和 D2 的重叠区域 D12：就是 D1 在 D1 中：
f1 ( z ) f 2 ( z ) f 2 ( z ) 是 f1 ( z ) 在 D2 中的解析延拓
( z 1) 解析元素 D2 , z
数学物理方法
( z 2) 同理：解析元素 D3 , D3 :{Re z 2, z 0, z 1} … z ( z 1)
1 在不同区域内的不同表达式而已。两个表达式各有自己 1 z 的有效范围 ( f1 ( z ) : D1 , f 2 ( z ) : D2 ) ，同时也有公共的有效范围
（两圆重叠部分 D12 ） 。当然常常不能得到这样一个在函数的 全部解析区域内都有效的统一表达式，而是需要用解析延拓 的方法推出分别在不同区域中有效的表达式。
数学物理方法
（1）z 从某一给定的 z ei0 出发，对应的 w从 w0 出发。令 z 沿逆时针方向环绕原点 ( z 0) 转一圈回到原处时， 它的辐角 由 0 变为0 2 1，而 w 由 w0 变为 w1 ，即 w 从一个单值分 支变到另一个单值分支。继续令 z 沿逆时针方向绕 z 0 转一 圈， z 再次回到原处，它的辐角由0 2 1变为0 4 ， 而 w由 w1 变为 w0 。这样再转第三圈：辐解为0 6 ，而 w由
i
0
2
2 1 4
可见，Z 平面上的一个点： z ei ，对应着 W 平面的两个
w( z) 是一个多值函数，且称 w0与w1为w z 的两个单值分
支，每一个分支是一个单值函数。 造成根式函数 w z 多值的原因：z 的辐角的多值性
( 0 2k ) 。
考察 z 的连续变化：在复平面上可用一条曲线来描述 z 的变化过程。
数学物理方法
例：对于多值函数 f ( z ) 的积分 f ( z )dz ，必须确定 z 与 f ( z ) 之 间的这种对应关系和这种关系的变化。否则积分无意义，至 少不确定。
一、根式函数 最简单的根式函数： w z 1.多值性：令 z ei , arg z 2k 0 2k (k 0,1,2 ) ——无限多个辐角（注意： z 0, ）
0
1 得递推公式 ( x 1) x( x) ( x) ( x 1) x
数学物理方法
递推公式本来是在 x>0 的情况下推导出来的，通常又用它把 Γ函数向 x<0 的区域延拓。 1 设 x (1,0)， 定义 ( x) ( x 1) ( x 1) (0,1) ( x 1)按 x （1）式有定义，这样可以得到 ( x ) x (1,0) 又设 x (2, 1)，定义
1 ( z 1) 1 z
在圆外，级数是发散的。
数学物理方法
1 1 在圆内一点 z i 的泰勒展开： f1 ( z ) 1 z 2 i k (k ) i ( ) f1 (z ) i 2 ( z )k 2 f2 ( z) （1） i k 1 k! 2 k 0 k 0 (1 ) 2 1 i 5 (1 i / 2) k 但此级数的收敛半径为： R lim 1 R 1 2 2 (1 i / 2) k 1
x
数学物理方法
1 1 1 1 1 f2 ( z) i 1 q i i i i i R 1 z 1 1 z 1 1 (z ) O 2 x 2 2 1 2 2 2 i 1 2
1
iy 1 2
可见 f1 ( z ) 和 f 2 ( z ) 这两个解析函数只是同一个解析函数
D1 和 D2 的重叠区域 f1 ( z ) f 2 ( z ) ， 所以 f 2 ( z ) 就是 f1 ( z ) 在 D2 中
的解析延拓。 2.在 D2 内任取一点 b2 ，将 f 2 ( z ) 在 b2 的邻域展开成泰勒级数
f3 ( z )
k 0
f 2( k ) (b2 ) ( z b2 ) k k!
考察∞点的情况：
1 1 令 t ，则 w ，当 t 绕 t 0 转一圈（相当于 z 绕∞点转一 z t
圈）时， w的值不会还原，可见 z 是 w z 的另一支点。
数学物理方法
2.将多个单值分支分开的方法： 在根式函数的两个支点之间作割缝，并规定： z 在连续变化 的过程中不能跨越割缝。
设给定解析元素{D1 , f1 ( z )}，现采用幂级数方法将 f1 ( z ) 解析延拓。
数学物理方法
1.在 D1 内任取一点 b1 ， 将 f1 ( z ) 在 b1 的邻域展开成泰勒级 数 f2 ( z)
k 0
f1( k ) (b1 ) ( z b1 ) k k!
设级数的收敛区域为 D2 。如果 D2 超出了 D1 的范围。由于在
定义：解析元素——区域与解析函数的组合 {D1 , f1 ( z )}{D2 , f 2 ( z )}
数学物理方法
2.应用 （1）已知在某区域中定义的解析函数，用解析延拓的 方法扩大其定义域和解析范围。 （2）已知数学问题的解是某区域D内（除个别奇点外） 的解析函数，利用解析延拓的方法，可以从这个函数表 达式推算出解在D的其他子区域中的表达式。 三、解析延拓的幂级数方法
解析元素的全体构成一个完全的解析函数 F(z)
定义域：除 z=0,-1,-2…以外的全平面（见下图） 五、Γ函数常用公式：见 P104-105
数学物理方法
第二节 多值函数及其黎曼面
前面：单值复变函数，现在：多值复变函数 多值函数 w y( z) ： 对于自变量 z 的每一个值，一般有两个或者两个以上的函 数值 w 与之对应。 多值函数有：根式函数、对数函数、反三角函数… 关心的问题： 自变量 z 与函数值 w 的对应关系，特别是当 z 连续变化 时这种对应关系可能的变化。
w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支。
数学物理方法
定义——支点： 对于每一个特定的多值函数， 都存在一些特殊的点。 当 z环 绕该点转一圈回到原处时，w( z ) 的值将由一个单值分支变到 另一个单值分支。这些特殊的点就称为多值函数的支点。 显然： z 0是w z 的一个支点。
第五章
解析延拓
多值函数与黎曼面
函数
第一节 解析延拓
解析延拓：将解析函数定义域加以扩大
一、解析延拓的一个例子 幂级数：1 z z 2
在以 z 0 为圆心的单位圆内代表一个
解析函数，令为 f1 ( z ) ，即
f1 ( z ) z 1 z z
k 2 k 0
数学物理方法
设级数的收敛区域为 D3。如果 D3 超出了 D2 的范围。由于 在 D2 和 D3 的重叠区域 f3(z)=f2(z)，所以 f3(z)就是 f2(z)在 D3 中的解析延拓。 这样不断作下去，得到一系列的解析元素
Dn , fn ( z)(n 2,3
) 。一个解析元素D1 , f1 ( z )的全部解析
( x) t x 1et dt ( x 0)
0
（ 1）
说明： （i）Γ(x)是含参数（此处为 t）的定积分，是解析函 数的一种重要表达式， 这种表达式特别适于求函数的渐近表 示，或作解析延拓； （ⅱ） （1）式右边的积分的条件是 x>0，因此（1）式只定 义了 x>0 的Γ函数。对 ( x 1) et t x dt 进行分部积分，可
故相应的收敛圆 D2 跨出原来的收敛圆 D1 之外，而级数（1） 在收敛圆内 D2 代表解析函数 f 2 ( z ) ，于是称 f 2 ( z ) 为 f1 ( z ) 在 D2 内的解析延拓。
数学物理方法
i k i i 2 z (z ) (z ) 1 2 2 2 f2 ( z) i k 1 i i 2 i 3 k 0 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 对于 i i 2 z (z ) 1 2 2 1 i i i 2 1 (1 ) (1 ) y 2 2 2 i k 1 (z ) R 2 O i k 1 i (1 ) z 2 2 1 又 q i k i (z ) 1 2 2 i k (1 ) 2