离散数学(第2版)_在线作业_1

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(完整word版)离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)

附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。

1.2 将下列命题符号化。

1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。

3) p→q, p:我出校，q:我去图书城；4) q→p , p:你去,q:我去；5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧⌝q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧⌝q；6) 6.1) p∨q 6.2) ⌝(p ↔q) 6.3) p∧¬q6.4) ¬ (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)¬ (r→ (p∧q))7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色；8) ⌝(p↔q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里；9) ¬p→¬ q, p:一个人经一事，q:一个人长一智；10) (p∧¬q) →⌝(r↔ s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。

11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。

13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了；14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里；15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间；16) ¬p→¬q , p:人们辛劳，p: 人们收获1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题；2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书；3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题；4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书，5) 同4);6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。

离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）

离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。

中农大网络教育离散数学(第2版)_在线作业

离散数学(第2版)_在线作业_1交卷时间2019-09-26 14:15:30一、单选题（每题5分，共20道小题，总分值100分）1.命题变元P和Q的极大项M1表示()。

（5分）┐P∨Q┐P∧QP∧┐QP∨┐Q正确答案您的答案是D回答正确展开2.设，下面集合等于A的是()。

（5分）ABCD正确答案您的答案是B回答正确展开3.下面既是哈密顿图又是欧拉图的是()。

（5分）ABCD正确答案您的答案是C回答正确展开4.下列语句中为命题的是()。

（5分）AB水开了吗？C再过5000年，地球上就没有水了D请不要抽烟!正确答案您的答案是C回答正确展开5.n个结点、m条边的无向连通图是树当且仅当m=()。

（5分）A2n-1B nC n-1D n+1正确答案您的答案是C回答正确展开6.命题变元P和Q的极小项m1表示()。

（5分）P∧┐Q┐P∧Q┐P∨QP∨┐Q正确答案您的答案是B回答正确展开7.公式的前束范式为()。

（5分）ABCD正确答案您的答案是D回答正确展开8.无向完全图有()条边。

（5分）A nB n2C n(n-1)D n(n-1)/2正确答案您的答案是D回答正确展开9.设无向图G的所有结点的度数之和为12，则G一定有()。

（5分）6条边5条边3条边4条边正确答案您的答案是A回答正确展开10.下列语句中不是命题的是()。

（5分）AB我是大学生C3是奇数D请勿吸烟!正确答案您的答案是D回答正确展开11.下列不一定是树的是()。

（5分）A每对结点之间都有通路的图B连通但删去一条边则不连通的图C有n个结点，n-1条边的连通图D无回路的连通图正确答案您的答案是A回答正确展开12.在有3个结点的图中,奇度数结点的个数为()。

（5分）A0或2B0C1D1或3正确答案您的答案是A回答正确展开13.集合的对称差运算不满足()。

（5分）A消去律B结合律C交换律D幂等律正确答案您的答案是D回答正确展开14.下列图中()是平面图。

天大2020年春季考试《离散数学(2)-1》在线作业一.doc

1.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C2.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C3.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B4.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B5.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D6.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B7.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D8.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D9.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B10.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A11.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D12.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A13.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C14.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A15.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A16.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A17.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B18.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B19.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D20.题面见图片A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B。

离散数学及其应用第2版课后练习题含答案

离散数学及其应用第2版课后练习题含答案1. 引言《离散数学及其应用》是一本经典的离散数学教材，是计算机科学和数学专业的必修课程。

本文将为读者提供《离散数学及其应用》第2版课后练习题的答案，并希望能够帮助读者加深对离散数学的理解。

2. 答案解析第一章习题 1.11.给定一组七个数字 {1, 3, 3, 4, 6, 9, 12}，请给出这组数字的中位数。

答案：中位数为 4。

2.给出两个整数 a 和 b 的三进制表示： a = 111011，b = 101101。

求 a + b。

答案：a + b = 1011000。

3.证明奇奇数的积为奇数。

答案：令两个奇数分别为 2n + 1 和 2m +1，则有：(2n + 1) × (2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm + n + m) + 1，即奇奇数的积还是一个奇数。

习题 1.21.证明：如果一个整数 n 能同时被 2 和 3 整除，则它也能被 6 整除。

答案：首先，n 能同时被 2 和 3 整除，则分别有 n = 2k 和 n = 3m。

联立方程组 2k = 3m，得 k = (3/2)m。

因此，n = 2k = (3m/2) × 2 = 3m× (2/2) = 6m，可以被 6 整除。

2.求 10010 的八进制表示。

答案：将 10010 转换为四位一组的二进制数，得 0010 0100。

将 0010 和 0100 分别转换为八进制数，得 2 和 4。

因此，10010 的八进制表示为 24。

3.已知 547a5 是 11 的倍数，求 a 的值。

答案：根据 11 的倍数的规律，将 547a5 中的奇数位数字相加，再将偶数位数字相加，然后将两个和的差求出来： (5 + 7 + a) - (4 + 5) = 13 + a - 9 = a + 4。

因为547a5 是 11 的倍数，所以 a + 4 也必须是 11 的倍数。

离散数学第二版屈婉玲 1-5章(答案)

《离散数学1-5章》练习题答案第2，3章(数理逻辑)1.答：（2），（3），（4）2.答：（2），（3），（4），（5），（6）3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是4.答：（4）5.答：⌝P ，Q→P6.答：P(x)∨∃yR(y)7.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))8、c、P→(P∧(Q→P))解：P→(P∧(Q→P))⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))⇔⌝P∨P⇔ 1 (主合取范式)⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))⇔ P∨Q∨R⇔ M0 (主合取范式)⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式) 9、b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)证明：（1） P 附加前提（2） Q 附加前提（3） P→(Q→R) 前提（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P证明、(1) P 附加前提（2） P→⌝Q 前提（3）⌝Q （1），（2）假言推理（4） Q∨⌝R 前提(5) ⌝R （3），（4）析取三段论(6 ) R∧⌝S 前提（7） R （6）化简（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取所以该推理正确10.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。

解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))（集合论部分）1、答：(4)2.答：323.答：（3）4. 答：（4）5.答：（2），（4）6、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)证明：(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）=A⋂（B-C）b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)证明：(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)（二元关系部分）1、答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R1-={<1,1>,<2,4>}2.答：R R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝3.答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}4.答：R 的关系矩阵=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001000000001 R 1-的关系矩阵=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000000100000000015、解：（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001101000;它是反自反的、反对称的、传递的；（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011101110;它是反自反的、对称的；（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};M R =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001110;它既不是自反的、也不是反自反的、也不是对称的、也不是反对称的、也不是传递的。

离散数学第二版最全课后习题答案详解

离散数学第二版最全课后习题答案详解离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、电气工程等领域都有着广泛的应用。

对于学习离散数学的同学们来说，课后习题的解答是巩固知识、加深理解的重要环节。

本文将为您提供离散数学第二版的最全课后习题答案详解，希望能对您的学习有所帮助。

在开始讲解具体的习题答案之前，让我们先简要回顾一下离散数学的主要内容。

离散数学包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等几个部分。

集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质、运算和关系。

在集合论的习题中，常见的问题包括集合的表示、集合的运算（并集、交集、补集等）、集合的包含关系以及集合的基数等。

例如，有这样一道习题：设集合 A ＝｛1, 2, 3}，B ＝｛2, 3, 4}，求 A ∪ B 和A ∩ B。

答案是：A ∪ B ＝｛1, 2, 3, 4}，A ∩ B ＝｛2, 3}。

这是因为并集是包含两个集合中所有元素的集合，而交集是同时属于两个集合的元素组成的集合。

数理逻辑是研究推理和证明的工具，它包括命题逻辑和谓词逻辑。

在数理逻辑的习题中，需要掌握命题的符号化、逻辑公式的等价变换、推理规则的应用等。

比如，给出这样一个命题：“如果今天下雨，那么我就不去公园”，将其符号化。

我们可以设“今天下雨”为 P，“我去公园”为 Q，那么这个命题可以符号化为P → ¬Q。

图论是研究图的性质和应用的分支。

图的概念在计算机网络、交通运输等领域有着重要的应用。

图论的习题常常涉及图的表示、顶点的度、路径、连通性、图的着色等问题。

假设有这样一道题：一个无向图有 10 个顶点，每个顶点的度都为 6，求这个图的边数。

根据顶点度数之和等于边数的两倍这个定理，我们可以计算出边数为 30。

代数结构则包括群、环、域等概念，在这部分的习题中，需要理解和运用代数结构的定义和性质来解决问题。

接下来，我们具体来看一些习题的详细解答。

例 1：设集合 A ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正奇数}，B ＝｛x ｜ x 是小于 10 的正偶数}，求 A B。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第四节习题答案

1.4 集合的运算习题1.41.全集},,,,,,,{h g f e d c b a U =，令集合A ，B ，C ，D 分别为},,,{g c b a A =，},,,{g f e d B =，},,{f c a C =，},{h f D =. 试分别计算(1)B A ⋃；(2)C B ⋂；(3)D A -；(4)C B A -⋂)(；(5)D ；(6)C B ⊕；(7))(C B A ⋃⋂；(8)C D A -⋃)(；(9)C A ⋃；(10)C B A ⋃⋃.解 (1)},,,,,,{g f e d c b a B A =⋃.(2)}{f C B =⋂.(3)},,,{g c b a D A =-.(4)}{},,{}{}{)(g f c a g C g C B A =-=-=-⋂. (5)},,,,,{g e d c b a D =.(6)},,,,{}{},,,,,{)()(g e d c a f g f e d c a C B C B C B =-=⋂-⋃=⊕.(7)},,{},,,,,{},,,{)(g c a g f e d c a g c b a C B A =⋂=⋃⋂. (8)},,{},,,,{},,,,,{)(f c a h g e d b h f g c b a C D A =-=-⋃. (9)},,{},,,,{h e d g f c b a C A ==⋃.(10)},,,,,,{g f e d c b a C B A =⋃⋃.2.设C A ⊆且C B ⊆，则C B A ⊆⋃，进而C B A ⊆⋂.证对于任意B A x ⋃∈，则A x ∈或B x ∈. 因为C A ⊆且C B ⊆，所以有C x ∈，因此C B A ⊆⋃.由于A B A ⊆⋂且B A A ⋃⊆，而C B A ⊆⋃，所以C B A ⊆⋂.3.证明De Morgan 律.证先证明B A B A ⋂=⋃. 对于任意B A x ⋃∈，则B A x ⋃∉，由此得出A x ∉且B x ∉，因此A x ∈且B x ∈，即B A x ⋂∈，所以B A B A ⋂⊆⋃. 另一方面，若B A x ⋂∈，则A x ∈且B x ∈，于是A x ∉且B x ∉，进而B A x ⋃∉，因此B A x ⋃∈，所以B A B A ⋃⊆⋂. 故B A B A ⋂=⋃.类似可证B A B A ⋃=⋂.4.对于集合B A ,，证明: B A ⊆当且仅当A B ⊆.证(⇒)假定B A ⊆. 若对于B x ∈，则B x ∉，因为B A ⊆，于是A x ∉，这时A x ∈，所以A B ⊆.(⇐)假定A B ⊆. 对于任意A x ∈，则A x ∉. 因为A B ⊆，所以B x ∉，即B x ∈，进而B A ⊆.5.设B A f →:，对于任意A X ⊆及A Y ⊆，证明: )()()(Y f X f Y X f ⋂⊆⋂. 一般来说)()()(Y f X f Y X f ⋂≠⋂，举例说明之.证因为X Y X ⊆⋂，所以)()(X f Y X f ⊆⋂. 同样因为Y Y X ⊆⋂，所以)()(Y f Y X f ⊆⋂. 于是有)()()(Y f X f Y X f ⋂⊆⋂.例如取},,{c b a A =，}2,1{=B ，令B A f →:，2)()(==b f a f ，1)(=c f . 再取},{c a X =，},{c b Y =，这时}2,1{)(=X f ，}2,1{)(=Y f ，因此}2,1{)()(=⋂Y f X f . 由于}1{})({)(==⋂c f Y X f ，所以有)()()(Y f X f Y X f ⋂≠⋂.6.对于任意集合C B A ,,，证明: B C A C B A --=--)()(.证 )()()()(C B A C B A C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂=-⋂=-- = .)()(B C A B C A --=⋂⋂7.设C B A ,,是集合，下列命题是否成立，为什么?(1)若C A B A ⋃=⋃，则C B =.(2)若C A B A ⋂=⋂，则C B =.(3)若C A B A ⋃=⋃且C A B A ⋂=⋂，则C B =.解 (1)不成立. 例如，},,{c b a A =，},{b a B =，},{c b C =，这时显然有C A B A ⋃=⋃，但C B ≠.(2)不成立. 例如，}{a A =，},{b a B =，},{c a C =，这时显然有C A B A ⋂=⋂，但C B ≠.(3)成立. 因为)()()()(C B A B C A B B A B B ⋂⋃⋂=⋃⋂=⋃⋂= C C C A C B A C B C A =⋂⋃=⋂⋃=⋂⋃⋂=)()()()(.8.对于任意集合A 和B ，证明:(1))()()(B A P B P A P ⋂=⋂.(2))()()(B A P B P A P ⋃⊆⋃，并举例说明)()()(B A P B P A P ⋃=⋃不成立.证(1)任意)()(B P A P X ⋂∈，则)(A P X ∈且)(B P X ∈，于是A X ⊆且B X ⊆，因此，B A X ⋂⊆，进而)(B A P X ⋂∈，所以)()()(B A P B P A P ⋂⊆⋂.又因为A B A ⊆⋂，于是)()(A P B A P ⊆⋂. 同样，)()(B P B A P ⊆⋂，所以)()()(B P A P B A P ⋂⊆⋂.故)()()(B A P B P A P ⋂=⋂.(2)因为B A A ⋃⊆，于是)()(B A P A P ⋃⊆. 同样，)()(B A P B P ⋃⊆，所以)()()(B A P B P A P ⋃⊆⋃.例如},{b a A =，},{c b B =，于是{)(=A P ∅,}},{},{},{b a b a 且{)(=B P ∅,}},{},{},{c b c b ，因此{)()(=⋃B P A P ∅,}},{},,{},{},{},{c b b a c b a ，这时6|)()(|=⋃B P A P . 而},,{c b a B A =⋃，所以82|)(|3==⋃B A P . 显然有)()()(B A P B P A P ⋃≠⋃.9.设B A ,是集合，证明: B A ⊆当且仅当=-B A ∅.证(⇒)若B A ⊆，根据差运算的定义知=-B A ∅.(⇐)若=-B A ∅，对于任意A x ∈，则B x ∈，否则≠-B A ∅，因此B A ⊆.10.对于任意集合C B A ,,, 分别找出使下列等式成立的最简单的充要条件:(1)A C A B A =-⋃-)()(.(2)=-⋂-)()(C A B A ∅.(3)=-⊕-)()(C A B A ∅.解 (1) )()()()()(C B A C A B A C A B A ⋃⋂=⋂⋃⋂=-⋃-)(C B A C B A ⋂-=⋂⋂=，而A C B A =⋂-)(的充要条件是A 与C B ⋂没有公共元素，即=⋂⋂C B A ∅.于是，A C A B A =-⋃-)()(的充要条件是=⋂⋂C B A ∅. (2))()()()()(C B A C A B A C A B A ⋂⋂=⋂⋂⋂=-⋂-)(C B A C B A ⋃-=⋃⋂=，而=⋃-)(C B A ∅的充要条件是⊆A C B ⋃.于是，=-⋃-)()(C A B A ∅的充要条件是⊆A C B ⋃.(3)=-⊕-)()(C A B A ∅ 的充要条件是C A B A -=-，这就是最简单的=-⊕-)()(C A B A ∅的一个充要条件.11.设B A ,是集合，定义⊗运算(称为环积运算，cycle product)如下:B A B A ⊕=⊗.证明:)()(B A B A B A ⋃⋂⋃=⊗，并讨论⊗运算具有的性质.证由于)()()()(B A B A A B B A B A ⋂⋃⋂=-⋃-=⊕，所以B A B A B A B A B A B A ⋂⋂⋂=⋂⋃⋂=⊕=⊗)()()()()()(B A B A B A B A ⋃⋂⋃=⋃⋂⋃=.利用对称差运算的性质，容易证明⊗运算具有以下性质:(1)A B B A ⊗=⊗.(2)U A A =⊗.(3))()(C B A C B A ⊗⊗=⊗⊗.12.对于任意集合A ，B 和C ，证明:(1))()()(C A B A C B A ⋂⊕⋂=⊕⋂.(2)A C A B A C B ⋂⊕⋂=⋂⊕()()(.证 )]()[()(B C C B A C B A -⋃-⋂=⊕⋂)]([)]([)]([)]([B C A C B A B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂=-⋂⋃-⋂= = )()(B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂.而))()(())()(()()(B A C A C A B A C A B A ⋂-⋂⋃⋂-⋂=⋂⊕⋂ ])[(])[(B A C A C A B A ⋂⋂⋂⋃⋂⋂⋂=)]()[()]()[(B A C A C A B A ⋃⋂⋂⋃⋃⋂⋂=)]()[()]()[(B C A A C A C B A A B A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂=)()(B C A C B A ⋂⋂⋃⋂⋂=所以)()()(C A B A C B A ⋂⊕⋂=⊕⋂.(2)类似可证.13. 设C B A ,,是集合，举例说明)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃=⊕⋃不成立.解例如}{a A =，}{b C B ==，则⋃=⊕⋃A C B A )(∅A =. 由于C A B A ⋃=⋃，所以=⋃⊕⋃)()(C A B A ∅，因此)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃≠⊕⋃.14.根据集合⋃和⋂相互可吸收证明⋃和⋂满足幂等性.证对于任意集合A 以及B ，有A B A A =⋂⋃)( (1)A B A A =⋃⋂)( (2)由(1)得，A B A A A =⋃⋂⋃))((，再由(2)得A A A =⋃. 同理可得，A A A =⋂.15.设C B A ,,是集合，利用两个集合的容斥原理证明:|||)||||(||)||||(|||C B A C B C A B A C B A C B A ⋂⋂+⋂+⋂+⋂-++=⋃⋃ 你能推广到更一般的n 个集合的情形吗?证 |)(||||||)(|||C B A C B A C B A C B A ⋂⋃-+⋃=⋃⋃=⋃⋃|)()(||||)||||(|C B C A C B A B A ⋂⋃⋂-+⋂-+=-+⋂-+=|||)||||(|C B A B A|)()(||||(|C B C A C B C A ⋂⋂⋂-⋂+⋂|||)||||(||)||||(|C B A C B C A B A C B A ⋂⋂+⋂+⋂+⋂-++=. 设n A A A ,...,,21是集合，则∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑.16. (错排问题) 有1, 2, …, n 共n 个元素进行排列，若第i 个元素都没有排在第i 位置(i = 1, 2, …, n )，称这样的排列为错排(derangement). 利用n 个集合的容斥原理计算错排的个数.解设U 表示1, 2, …, n 所有全排列构成的集合，用A i 表示第i 个元素恰好排在第i 位置的全体排列构成的集合(i = 1, 2, …, n ), 则.,,2,1,)!1(||n i n A i =-=.,,,2,1,,)!2(||j i n j i n A A j i ≠=-=⋂...!.1||21=⋂⋂⋂n A A A因为|U | = n !且∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑，所以， |...|||2121n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂∑∑≤<≤=⋂+-=n j i j i n i i A A A U 11|||||||...|)1(...||211n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-++⋂⋂-∑≤<<≤，!1)1()!2()!1(!n n n n -++-+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=!1)1(!21!111!n n n . 17.( Euler 函数) 对于大于1的正数数n ，若k r k r r p p p n 2121=，其中p 1，p 2，…，p k 是不同的素数，r 1，r 2，…，r k 是正整数，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k p p p n n 111111)(21 ϕ. 证设全集U = {1，2，…，n }，用A i 表示能被p i 整除的U 中元素组成的集合，则.,,2,1,||k i p n A ii == .,,,2,1,,||j i k j i p p n A A ji j i ≠==⋂ ....||2121kn p p p n A A A =⋂⋂⋂ 因为|U | = n 且 ∑∑≤<≤=⋂-=⋃⋃⋃n j i j i n i i n A A A A A A 1121|||||...||...|)1(...||2111n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-+-⋂⋂++≤<<≤∑，所以， |...|||2121n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ ∑∑≤<≤=⋂+-=n j i j i n i i A A A U 11|||||||...|)1(...||211n n n k j i k j i A A A A A A ⋂⋂⋂-++⋂⋂-∑≤<<≤，k n k k k p p p n p p n p p n p p n p n p n p n n 211312121)1(-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k p p p n 11111121 .。

离散数学第二版罗熊课后答案

离散数学第二版罗熊课后答案第1章绪论 1 ．试述数据、数据库、数据库系统、数据库管理系统的概念。

答：( l ）数据（ Data ) ：叙述事物的符号记录称作数据。

数据的种类存有数字、文字、图形、图像、声音、正文等。

数据与其语义就是不可分的。

解析在现代计算机系统中数据的概念就是广义的。

早期的计算机系统主要用作科学计算，处置的数据就是整数、实数、浮点数等传统数学中的数据。

现代计算机能够存储和处置的对象十分广为，则表示这些对象的数据也越来越繁杂。

数据与其语义就是不可分的。

500 这个数字可以表示一件物品的价格是 500 元，也可以表示一个学术会议参加的人数有 500 人，还可以表示一袋奶粉重 500 克。

( 2 ）数据库（ DataBase ，缩写 DB ) ：数据库就是长期储存在计算机内的、存有非政府的、可以共享资源的数据子集。

数据库中的数据按一定的数据模型非政府、叙述和储存，具备较小的冗余度、较低的数据独立性和易扩展性，并可向各种用户共享资源。

( 3 ）数据库系统（ DataBas 。

Sytem ，缩写 DBS ) ：数据库系统就是所指在计算机系统中导入数据库后的系统形成，通常由数据库、数据库管理系统（及其开发工具）、应用领域系统、数据库管理员形成。

解析数据库系统和数据库就是两个概念。

数据库系统就是一个人一机系统，数据库就是数据库系统的一个组成部分。

但是在日常工作中人们常常把数据库系统缩写为数据库。

期望读者能从人们讲话或文章的上下文中区分“数据库系统”和“数据库”，不要引发混为一谈。

( 4 ）数据库管理系统（ DataBase Management sytem ，简称 DBMs ) ：数据库管理系统是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，用于科学地组织和存储数据、高效地获取和维护数据。

DBMS 的主要功能包含数据定义功能、数据压低功能、数据库的运转管理功能、数据库的创建和保护功能。

解析 DBMS 就是一个大型的繁杂的软件系统，就是计算机中的基础软件。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第六节习题答案

离散数学第二版邓辉文编著第一章第六节习题答案第一篇：离散数学第二版邓辉文编著第一章第六节习题答案1.6 集合对等习题1.6 1.证明: 任意无限集合均存在可数子集.证设A是无限集合，取a0∈A，则A-{a0}是无限集合.取a1∈A，则A-{a0,a1}是无限集合.一直下去，即可得到无限集合A的可数子集{a0,a1,...an,...}.2.证明:(0,1)~[0,1].证由于(0,1)是无限集合，而任意无限集合均存在可数子集，设{a0,a1,...an,...}是(0,1)开区间的一个可数子集合，令f:(0,1)→[0,1]，满足下面的条件f(a0)=0,f(a1)=1, f(ai)=ai-2,i≥2;f(x)=x,x∉{a0,a1,...,an,...}.显然，f 是(0,1)到[0, 1]的一个双射.故(0,1)~[0,1].3.证明: [0,1]~[a,b],a<b.证令f:[0,1]→[a,b]，f(x)=a+(b-a)x，容易证明f是一个双射，进而[0,1]~[a,b].4.有理数集合Q是可数集合.证由于正有理数集合Q+ = ⎨⎧n⎫m,n∈N,m≠0,m与n互素⎬，令⎩m⎭f:Q+→N⨯N，⎛n⎫f ⎪=(m,n)，⎝m⎭则f是单射，所以|Q+| ≤|N⨯N|.由于N~N⨯N，于是|Q+| ≤|N|=ℵ0.而Q+是无限集合，所以|Q+| ≥|N|=ℵ0.于是|Q+| = ℵ0.所以正有理数集合Q+是可数集合.显然Q+与所有负有理数集合Q-对等，而Q = Q+⋃Q-⋃{0}，所有Q是可数集合.5.证明: 全体无理数组成的集合R –Q与R有相同的基数.证在全体无理数集合R –Q中选取可数子集{a0,a1,...an,...}，因为Q可数，设Q = {b0,b1,...bn,...}.构造映射f:R-Q→R如下f(a2i)=ai,f(a2i+1)=bi,i=0,1,2,...；f(x)=x,x∉{a0,a1,...,an,...}.则f:R-Q→R是双射，所以R – Q与R有相同的基数.6.对于任意集合A，P(A)是A的幂集，证明: |A|<|P(A)|.证令g:A→P(A),g(x)={x}，则g是A到P(A)的单射，所以|A|≤|P(A)|.假设|A|=|P(A)|，则存在A到P(A)的双射f.令S={x|x∉f(x)}，则S⊆A.因为f是A到P(A)的双射，必存在y∈A是得f(y)=S.考虑是否y∈S.由于y∈S⇔y∈{x|x∉f(x)}⇔y∉f(y)⇔y∉S，这是一个矛盾.于是|A|=|P(A)|不成立，因此有|A|<|P(A)|.第二篇：离散数学习题及答案离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？(1)若A去，则C和D中要去1个人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，则D留下。

离散数学第2版课后答案

5)?x?1(mod 5)????x?1(mod 3)
?x?3(mod8)??x?1(mod 3) ：求解同余方程组 ?x?1(mod 5)?
m1=8 ， m2=3 ，m3=5 ，m=120 ，m1=15 ， m2=40 ， m3=24
15x≡1(mod 8),40x ≡1(mod 3),24x ≡1(mod 5的) 特解：
所以， p=3
11 计算 2400 mod 319 。
解：
14(2) 解同余方程： 56x≡88(mod 96) 。
解：
（1） (a,m)=(56,96)=8 ， 8|96 ，方程有解
（2） a?=56/8=7 ， b?=88/8=11 ，m?=96/8=12
（3）由辗转相除法可求得 p 和 q 满足 pa?+qm?=1 ， p=-5 ， q=3
?5x?7(mod 12)16(2) 解同余方程组 ? 7x?1(mod 10)?
解：
5x≡7(mod 12) ? 12?(5x -7) ? 4?(5x-7) 且 3?(5x- 7) ? 5x ≡7(mod 4)
且 5x≡7(mod 3) ∴同余方程 5x≡7(mod 12) 与同余方程
组??5x?7(mod 4) 同解
c1=7,c2=1,c3=4
19 ． *设 m1 和 m2 是正整数， b1 和 b2 是整数。证明一次同余方程
5 ．设 a、b、 c、 d 是正整数，满足 ab=cd 。证明： a4+b4+c4+d4 不是素数。证明：设 11)(n-1)! ∴ n 整除 (1++?+2n-1adp?? ，其中 p 和 q 是互素的正整数 cbq aq=cp ? p?aq ? p?a （∵ p 和 q 互素）于是， ?u?n ，使 a=pu ? c=qu

离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)

附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。

1.2 将下列命题符号化。

1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。

11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。

离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案

第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q 的真值为0；r、s 的真值为1，求下列各命题公式的真值。

( 1)p∨ (q∧ r) 0∨ (0∧ 1) 0( 2)( p? r)∧(﹁q∨ s) ( 0? 1)∧(1 ∨ 1) 0∧ 1 0.( 3)(p∧q∧r ) ? (p∧q∧﹁r) ( 1∧ 1∧1) ? (0 ∧0∧0) 0( 4)( r ∧ s)→ (p ∧ q) ( 0∧ 1)→ (1 ∧ 0) 0→0 117．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。

并且，如果 3 是无理数，则 2 也是无理数。

另外6 能被2 整除，6 才能被4 整除。

答：p: 是无理数1q: 3 是无理数0r:2是无理数1s: 6 能被 2 整除1t: 6 能被 4 整除0命题符号化为：p∧(q→ r)∧(t→ s)的真值为1，所以这一段的论述为真19．用真值表判断下列公式的类型：4)(p→ q) →( q→p)5)(p∧ r) ( p∧q)6)((p→ q) ∧ (q→ r)) →(p→r)答： ( 4)p q p→q q p0 0 1 1 10 1 1 0 11 0 0 1 01 1 1 0 0所以公式类型为永真式( 5)公式类型为可满足式(方法如上例) q→ p111(p→q)→( q→ p)1111( 6)公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)](pAq-q)(2)(p^(pVq))V (p^r)⑶(pVq) 一(pAr)答：(2) (p一(pVq)) V(p-r)= (一pV(pVq))V(「pVr)=「pVpVqVru 1 所以公式类型为永真式⑶p q r PV q p A r (pV q) f (p/\「)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可涉足式4,用等值演算法证明下面等值式：⑵(p 一q)A(p—r) u (p 一(qAij)⑷(p A「q) V「pAq)u (p Vq) A」(p A q)证明(2) (p -q) A (p->r)u (」pVq) A(「pVr)u「P V (q A ij)u p一(q A r)(4) (pA「q) V(「pAq)u (p V(^pAq)) A(「qV(「pAq). (p V「p) A (p Vq) A (「qV「p) A(「qVq)u 1 A (p V q) A - (p A q) A 1u (p V q) A (p A q)5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(「p-q)-(「qVp)(2)](p - q) AqAr(3)(p V(q Ar)) 一(p VqVr)解：( 1)主析取范式( p→q)→( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q)( p q) (p q) (p q)m0 m2 m3∑ (0,2,3) 主合取范式：( p→q) →( q p)(p q) ( q p)( p q) ( q p)( p ( q p)) ( q ( q p))1 (p q)(p q) M1∏ (1)(2)主合取范式为：(p →q) q r ( p q) q r(p q) q r 0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为：(p (q r)) →(p q r)(p (q r)) →(p q r)( p ( q r)) (p q r)( p (p q r)) (( q r)) (p q r))11所以该式为永真式.永真式的主合取范式为1主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明：(2)前提：p q, (q r),r结论：p(4)前提：q p,q s,s t,t r结论：p q证明： ( 2)①(q r) 前提引入②q r ①置换③q r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤q ③④拒取式⑥p q 前提引入⑦￢p( 3) ⑤⑥拒取式证明( 4) ：①t r 前提引入②t ①化简律③q s 前提引入④s t 前提引入⑤q t ③④等价三段论⑥( q t ) (t q) ⑤ 置换⑦( q t ) ⑥化简⑧q ②⑥ 假言推理⑨q p 前提引入15在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理：(1) 前提：p(q r),s p,q结论：s r证明① s 附加前提引入 ② s p 前提引入 ③ p ①②假言推理 ④ p (q r)前提引入 ⑤ q r ③④假言推理 ⑥ q 前提引入 ⑦ r ⑤⑥假言推理16 在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面各推理：(1) 前提： p q, r q,r s 结论： p证明：① p 结论的否定引入 ② p ﹁ q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥ r ￢s 前提引入⑦ r ⑥化简律 ⑧ r ﹁r⑤⑦ 合取由于最后一步 r ﹁ r 是矛盾式 , 所以推理正确 .⑩p (11)p q ⑧⑨假言推第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b) 条件时命题的真值:(1)对于任意x, 均有2=(x+ )(x ).(2)存在x, 使得x+5=9.其中(a) 个体域为自然数集合.(b) 个体域为实数集合.解：F(x): 2=(x+ )(x ).G(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为xF(x)，在( a)中为假命题，在(b) 中为真命题。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案21、分别计算⎡1、5⎡，⎡-1⎡，⎡-1、5⎡，⎡1、5⎡，⎡-1⎡，⎡-1、5⎡、解⎡1、5⎡=2，⎡-1⎡=-1，⎡-1、5⎡=-1，⎡1、5⎡=1，⎡-1⎡=-1，⎡-1、5⎡=-2、2、下列映射中，那些是双射? 说明理由、(1)f :Z →Z , f (x )=3x 、(2)f :Z →N , f (x )=|x |+1、(3)f :R →R , f (x )=x3+1、(4)f :N ⨯N →N , f (x1, x2)=x1+x2+1、(5)f :N →N ⨯N , f (x )=(x , x +1)、解 (1)对于任意对x1, x2∈Z ，若f (x1)=f (x2)，则3x1=3x2，于是x1=x2，所以f 是单射、由于对任意x ∈Z ，f (x )≠2∈Z ，因此f 不是满射，进而f 不是双射、(2)由于2,2) =3，因此f 不是单射、又由于0∈N ，而任意x ∈Z 均有f (x )=|x |+1≠0，于是f 不是满射、显然，f 不是双射、(3)对于任意对x1, x2∈R ，若f (x1)=f (x2)，则x1+1=x2+1，于是x1=x2，所以f 是单射、对于任意y ∈R ，取x =(y1)3⎡+1=(y1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f )f =(f f )I A ，f1 (f I A )，进而I A f =I A I A ，因此f =IA 、所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在、6、设f :A →B , g :B →C 、若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明、证因为f 是满射，所以f (A )=B 、又因为g 是满射，所以g (B )=C 、于是(f g )(A )=g (f (A ))=g (B )=C ，因此f g 是A 到C 的满射、另证对于任意z ∈C ，因为g 是满射，于是存在y ∈B 使得g (y )=z 、又因为f 是满射，存在x ∈A 使得f (x )=y 、因此，(f g )(x )=g (f (x ))=g (y )=z ，所以f g 是A 到C 的满射、7、设f :A →B , g :B →C 、试证明: 若f g 是单射，则f 是单射、试举例说明，这时g 不一定是单射、证对于任意x1, x2∈A ，假定f (x1) =f (x2)，则显然g (f (x1))=g (f (x2))，即(f g )(x1)=(f g )(x2)、因为f g 是单射，所以x1=x2，于是f 是单射、例如A ={a , b }，B ={1,2,3}，C ={α, β, γ, δ}，令f (a ) =1, f (b )=2，g (1)=α, g (2)=β, g (3)=β，则显然有(f g )(a )=g (f (a ))=g (1)=α, (f g )(b )=g (f (b ))=g (2)=β, 于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射、8、设f :A →B , 若存在g :B →A ，使得f g =I A 且g f =IB ，试证明: f 是双射且f1-1存在、因为f g =I A ，于是f1 IA 、 f )g =f1，所以有f1=g1、-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射、下证(f g )=g f1 f1)f1=f f1 f1 (f1 I B g =g1=g1-1、∈G 且f f1 f =IA 、证 (1)由定理5、(2)由定理7、(3)由第3题、(4)由定理4、11、若A = {a , b , c }, B = {1,2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论、解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射)、由于|A |=3, |B |=2，所以A到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有、假设|A |=m , |B |=n 、(1)A到B 的满射若m (2)A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n ，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个、(3)A 到B 的双射若m ≠n ，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个、12、设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射，g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B ⨯D ，对任意(a , c )∈A ⨯C , h (a , c )=(f (a ), g (c ))、证明:h 是双射、证对于任意(a1, c1) ∈A ⨯C ，(a2, c2)∈A ⨯C ，假定h (a1, c1)=h (a2, c2)，即(f (a1), g (c1))=(f (a2), g (c2))，于是f (a1)=f (a2)且g (c1)=g (c2)，根据已知条件有a1=a2且c1=c2，进而(a1, c1)=(a2, c2)，因此h 是单射、任意(b , d )∈B ⨯D ，则b ∈B , d ∈D ，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C 使得f (a ) =b , g (c )=d ，因此h (a , c )=(f (a ), g (c ))=(b , d )，所以h 是满射、故h 是双射、13、设f :A →B , g :B →C , h :C →A ，若f g h =IA ，g h f =IB ，h f g =IC ，则f , g , h 均可逆，并求出f1, h1=g h 且h1=h f 、14、已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N 的定义为(1)A (0, n )=n +1, n ≥0;(2)A (m , 0)=A (m1, A (m , n -1)), m >0, n >0、分别计算A (2,3)和A (3,2)、解由已知条件有A (0,1)=2，A (1, 0)=A (0,1)=2，于是A (1,1)=A (0, A (1, 0))=A (0,2)=2+1=3，A (1,2)=A (0, A (1,1))=A (0,3)=3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0)=A (1,1)=3，A (2,1)=A (1, A (2, 0))=A (1,3)=3+2=5，A (2,2)=A (1, A (2,1))=A (1,5)=5+2=7， A (2,3)=A (1, A (2,2))=A (1,7)=7+2=9、因此有A (2, n )=2n +3，A (3, 0)=A (2,1)=2⋅1+3=5，A (3,1) =A (2, A (3, 0))=A (2,5)=2⋅5+3=13， A (3,2) =A (2, A (2,2))=A (2,13)=2⋅13+3=29、所以有A (2,3) =9, A (3,2)=29、。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案

离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2 映射的有关概念习题1.21. 分别计算⎡1. 5⎤，⎡-1⎤，⎡-1. 5⎤，⎣1. 5⎦，⎣-1⎦，⎣-1. 5⎦.解⎡1. 5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1. 5⎤=-1，⎣1. 5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1. 5⎦=-2.2. 下列映射中，那些是双射? 说明理由.(1)f :Z →Z , f (x ) =3x .(2)f :Z →N , f (x ) =|x |+1.(3)f :R →R , f (x ) =x 3+1.(4)f :N ⨯N →N , f (x 1, x 2) =x 1+x 2+1.(5)f :N →N⨯N , f (x ) =(x , x +1).解 (1)对于任意对x 1, x 2∈Z，若f (x 1) =f (x 2) ，则3x 1=3x 2，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 由于对任意x ∈Z，f (x ) ≠2∈Z，因此f 不是满射，进而f 不是双射.(2)由于2, -2∈Z且f (2) =f (-2) =3，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意x ∈Z均有f (x ) =|x |+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 不是双射.(3)对于任意对x 1, x 2∈R，若f (x 1) =f (x 2) ，则x 1+1=x 2+1，于是x 1=x 2，所以f 是单射. 对于任意y ∈R，取x =(y -1) ，这时1⎡⎤3f (x ) =x +1=⎢(y -1) 3⎥+1=(y -1) +1=y ，⎣⎦33313所以f 是满射. 进而f 是双射.(4)由于(1, 2), (2, 1) ∈N⨯N 且(1, 2) ≠(2, 1) ，而f (1, 2) =f (2, 1) =4，因此f 不是单射. 又由于0∈N，而任意(x 1, x 2) ∈N⨯N 均有f (x 1, x 2) =x 1+x2+1≠0，于是f 不是满射. 显然，f 就不是双射.(5)由于x 1, x 2∈N，若f (x 1) =f (x 2) ，则(x 1, x 1+1) =(x 2, x 2+1) ，于是x 1=x 2，因此f 是单射. 又由于(0, 0) ∈N⨯N ，而任意x ∈N均有f (x ) =(x , x +1) ≠(0, 0) ，于是f 不是满射. 因为f 不是满射，所以f 不是双射.3. 对于有限集合A 和B ，假定f :A →B且|A |=|B |，证明: f 是单射的充要条件是f 是满射. 对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒) 因为f 是单射，所以|A |=|f (A ) |. 由于|A |=|B |，所以|f (A ) |=|B |. 又因为B 有限且f (A ) ⊆B ，故f (A ) =B ，即f 是满射.(⇐) 若f 是满射，则f (A ) =B . 由于|A |=|B |，于是|A |=|f (A ) |. 又因为A 和B 是有限集合，因此f 是单射.对于无限集合，上述结论不成立. 例如f :N →N，f (x ) =2x ，f 是单射，但f 不是满射.4. 设f :A →B , 试证明:(1)f I B =f .(2)I A f =f .特别地，若f :A →A，则f I A =I A f =f .证 (1)对于任意x ∈A，由于f (x ) ∈B，所以(f I B )(x ) =I B (f (x )) =f (x ) ，因此f I B =f .(2)对于任意x ∈A，由于I A (x ) =x ，所以(I A f )(x ) =f (I A (x )) =f (x ) ，于是有I A f =f .由(1)和(2)知，若f :A →A，则f I A =I A f =f .5. 试举出一个例子说明f f =f 成立，其中f :A →A且f ≠I A . 若f 的逆映射存在，满足条件的f 还存在吗?解令A ={a , b , c }，f (a ) =f (b ) =f (c ) =a ，即对于任意x ∈A，f (x ) =a ，显然f :A →A且f ≠I A . 而对于任意x ∈A，有(f f )(x ) =f (f (x )) =f (a ) =a ，因此f f =f .若f f =f 且f 的逆映射f -1存在，由第3题知f f =f =f I A ，所以-1-1于是利用定理7有(f f ) f =(f f ) I A ，f -1 (f f ) =f -1 (f I A ) ，进而I A f =I A I A ，因此f =I A . 所以若f 的逆映射存在，满足条件的f 不存在.6. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是满射，则f g 是满射，试证明.证因为f 是满射，所以f (A ) =B . 又因为g 是满射，所以g (B ) =C . 于是(f g ) (A ) =g (f (A )) =g (B ) =C ，因此f g 是A 到C 的满射.另证对于任意z ∈C，因为g 是满射，于是存在y ∈B使得g (y ) =z . 又因为f 是满射，存在x ∈A使得f (x ) =y . 因此，(f g )(x ) =g (f (x )) =g (y ) =z ，所以f g 是A 到C 的满射.7. 设f :A →B , g :B →C . 试证明: 若f g 是单射，则f 是单射. 试举例说明，这时g 不一定是单射.证对于任意x 1, x 2∈A，假定f (x 1) =f (x 2) ，则显然g (f (x 1)) =g (f (x 2)) ，即(f g )(x 1) =(f g )(x 2) . 因为f g 是单射，所以x 1=x 2，于是f 是单射.例如A ={a , b }，B ={1, 2, 3}，C ={α,β,γ,δ}，令f (a ) =1, f (b ) =2，g (1) =α, g (2) =β, g (3) =β，则显然有(f g )(a ) =g (f (a )) =g (1) =α, (f g )(b ) =g (f(b )) =g (2) =β,于是f g 是A 到C 的单射，但g 显然不是单射.8. 设f :A →B , 若存在g :B →A，使得f g =I A 且g f =I B ，试证明: f 是双射且f -1=g .证因为f g =I A ，而I A 是单射，所以f 是单射. 又因为g f =I B ，而I B 是满射，所以f 是满射. 因此f 是双射.由于f 是双射，所以f而(f -1-1存在. 因为f g =I A ，于是f -1 (f g ) =f -1 I A . f ) g =f -1 I A 且I B g =f -1，所以有f -1=g .9. 设f :A →B , g :B →C . 若f 和g 是双射，则f g 是双射且(f g ) -1=g -1 f -1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，f g 是双射. 下证(f g ) =g f -1. 因为(f g ) (g -1 f -1) =f (g g -1) f -1=f I B f -1=f f -1=I A ， (g -1 f -1) (f g ) =g -1 (f -1 f ) g =g -1 I B g =g -1 g =I C ，在上面的推导中多次利用了定理7. 由第7题知，(f g ) -1=g -1 f10. 设G 是集合A 到A 的所有双射组成的集合，证明(1)任意f , g ∈G，有f g ∈G .(2)对于任意f , g , h ∈G，有(f g ) h =f (g h ).(3)I A ∈G且对于任意f ∈G，有I A f =f I A =f .(4)对于任意f ∈G，有f -1-1. ∈G且f f -1=f -1 f =I A .证 (1)由定理5.(2)由定理7.(3)由第3题.(4)由定理4.11. 若A = {a , b , c }, B = {1, 2}, 问A 到B 的满射、单射、双射各有多少个? 试推广你的结论.解将A 中的3个元素对应到B 中的2个元素，相当于将3个元素分成2部分，共有3种分法; 在计算A 到B 的满射个数时还需要将B 中元素进行排列，共有2种排列方式，于是A 到B 的满射共有3⨯2=6个(请自己分别写出A 到B 的6个满射).由于|A |=3, |B |=2，所以A 到B 的单射没有，进而A 到B 的双射也没有. 假设|A |=m , |B |=n .(1) A到B 的满射若m(2) A到B 的单射若m >n ，不存在单射；若m ≤n，由于B 中任意选取m 个m 元素，再将其进行全排列都得到A 到B 的单射，故A 到B 的单射共有C n ⋅m ! 个.(3)A 到B 的双射若m ≠n，不存在双射；若m =n ，此时B 中元素的任意一个排列均可得到一个A 到B 的双射，因此A 到B 的双射共有m ! 个.12. 设A , B , C , D 是任意集合，f 是A 到B 的双射， g 是C 到D 的双射，令h :A ⨯C →B⨯D ，对任意(a , c ) ∈A⨯C , h (a , c ) =(f (a ), g (c )). 证明:h 是双射.证对于任意(a 1, c 1) ∈A⨯C ，(a 2, c 2) ∈A⨯C ，假定h (a 1, c 1) =h (a 2, c 2) ，即(f (a 1), g (c 1)) =(f (a 2), g (c 2)) ，于是f (a 1) =f (a 2) 且g (c 1) =g (c 2) ，根据已知条件有a 1=a 2且c 1=c 2，进而(a 1, c 1) =(a 2, c 2) ，因此h 是单射.任意(b , d ) ∈B⨯D ，则b ∈B , d ∈D，由于f 是A 到B 的双射且g 是C 到D 的双射，于是存在a ∈A , c ∈C使得f (a ) =b , g (c ) =d ，因此h (a , c ) =(f (a ), g (c )) =(b , d ) ，所以h 是满射.故h 是双射.13. 设f :A →B , g :B →C , h :C →A，若f g h =I A ，g h f =I B ，h f g =I C ，则f , g , h 均可逆，并求出f -1, g -1, h -1.证因为恒等映射是双射，多次使用定理6即可得结论.由于f g h =I A ，所以f 是单射且h 是满射. 由于g h f =I B ，所以g 是单射且f 是满射. 由于h f g =I C ，所以h 是单射且g 是满射. 于是f , g , h 是双射，因此f , g , h 均可逆.由于f g h =I A ，所以f -1=g h 且h -1=f g ，进而g -1=h f .14. 已知Ackermann 函数A :N ⨯N →N的定义为(1)A (0, n ) =n +1, n ≥0;(2)A (m , 0) =A (m -1, 1), m >0;(3)A (m , n ) =A (m -1, A (m , n -1)), m >0, n >0.分别计算A (2, 3) 和A (3, 2) .解由已知条件有A (0, 1) =2，A (1, 0) =A (0, 1) =2，于是A (1, 1) =A (0, A (1, 0)) =A (0, 2) =2+1=3，A (1, 2) =A (0, A (1, 1)) =A (0, 3) =3+1=4，由此可进一步得出A (1, n ) =n +2，A (2, 0) =A (1, 1) =3，A (2, 1) =A (1, A (2, 0)) =A (1, 3) =3+2=5，A (2, 2) =A (1, A (2, 1)) =A (1, 5) =5+2=7， A (2, 3) =A (1, A (2, 2)) =A (1, 7) =7+2=9. 因此有A (2, n ) =2n +3，A (3, 0) =A (2, 1) =2⋅1+3=5，A (3, 1) =A (2, A (3, 0)) =A (2, 5) =2⋅5+3=13， A (3, 2) =A (2, A (2, 2)) =A (2,13) =2⋅13+3=29. 所以有A (2, 3) =9, A (3, 2) =29.。

离散数学第二版邓辉文编著第一章第五节习题答案

1.5集合的划分与覆盖习题1.51.设},,,{d c b a A =，求出集合A 的所有不同的划分.解可以按照划分的块的数目依次求出A 的所有不同的划分共15个. 仅一个划分块:}},,,{{1d c b a =π.有两个划分块: }},,{},{{2d c b a =π，}},,{},{{3d c a b =π，}},,{},{{4d b a c =π，}},,{},{{5c b a d =π；}},{},,{{6d c b a =π，}},{},,{{7d b c a =π，}},{},,{{8c b d a =π. 有三个划分块: }},{},{},{{9d c b a =π，}},{},{},{{10d b c a =π，}},{},{},{{11c b d a =π，}},{},{},{{12d a c b =π，}},{},{},{{13c a d b =π，}},{},{},{{14b a d c =π.有四个划分块: }}{},{},{},{{15d c b a =π.2.对于整数集合Z ，令}Z |3{1∈=k k A ，}Z |13{2∈+=k k A ，}Z |23{3∈+=k k A , 则},,{321A A A 是Z 的划分. 试验证之.解因为(1)≠i A ∅，3,2,1=i .(2)=⋂j i A A ∅，3,2,1,,=≠j i j i .(3)=⋃⋃321A A A Z.所以，},,{321A A A 是Z 的划分.3.设}|{I i A i ∈=π是集合A 的一种划分，对于集合B ，所有≠⋂B A i ∅的B A i ⋂组成的集合是B A ⋂的划分. 试证明之.证对于任意j i ≠，因为=⋂j i A A ∅，于是=⋂⋂=⋂⋂⋂B A A B A B A j i j i )()(∅=⋂B ∅.又因为A AI i i =∈ ，所以B A B A B A Ii iI i i ⋂=⋂=⋂∈∈ )(. 故≠⋂⋂B A B A i i |{∅},I i ∈是B A ⋂的划分.4.设集合A 有两种划分}|{1I i A i ∈=π和}|{2J j B j ∈=π，问21ππ⋃是否必是A 的划分，为什么？21ππ-呢?解21ππ⋃及21ππ-均不一定是A 的划分. 例如},,,{d c b a A =，取A 的划分为 }},,{},{{1d c b a =π，}},{},{},{{2c b d a =π，这时}},,{},,{},{},{{21d c b c b d a =⋃ππ，}},,{{21d c b =-ππ，它们都不是A 的划分.5.证明: 设1≥n ，则(1).1)1,(=n S(2).1),(=n n S(3).12)2,(1-=-n n S证 (1)和(2)显然.(3)将n 个元素的集合A 划分成2个块1A 和2A ，先将A 中的第一个放在第一个块1A 中，对于其余的1-n 个元素分别考虑是否与第一个元素在同一个块1A 中，只有两种情况发生: 1A x ∈或1A x ∉，于是共有1122...22--=⋅⋅⋅n n 种放的方式，但要排除所有元素都在1A 中而2A 为空的情形. 故.12)2,(1-=-n n S 6.设},,,,,,,,,,{j i h g f e d c b a A =},,,,{1d c b a A = },,,{2g f e A = },,,,{3i g e d A =},,,{4j h d A =},,,{5j i h A =},,,,,,{6j h f c b a A =分别判定下列集合是否是A 的划分、覆盖: (1)},,{521A A A . (2)},,{531A A A . (3)}.,{63A A(4)}.,,{432A A A解显然对于任意61≤≤i ，有≠i A ∅.(1)因为=⋂21A A ∅，=⋂51A A ∅，=⋂52A A ∅且A A A A =⋃⋃521，所以},,{521A A A 是A 的划分.(2)由于A f ∈而531A A A f ⋃⋃∉，所以},,{531A A A 不是A 的覆盖.(3)因为=⋂63A A ∅，且A A A =⋃63，所以},{63A A 是A 的划分.(4)由于A a ∈而432A A A a ⋃⋃∉，所以},,{432A A A 不是A 的覆盖.7.写出集合},{b a A =的所有不同的覆盖.解由A 得到的非空子集为},{},{},{b a b a ，于是},{b a A =的所有不同的覆盖分别为(1)}},{{b a .(2)}}{},{{b a .(3)}},{},{{b a a .(4)}},{},{{b a b .(5)}},{},{},{{b a b a .。

天津大学《离散数学(2)-2》在线作业二-01

《离散数学(2)-2》在线作业二
设G=(n,m)是欧拉图，则n,m有关系 ( )。

A:n=m
B:n,m的奇偶性必相同
C:n,m的奇偶性必相反
D:n,m的奇偶性即可相同也可相反
参考选项：D
结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是（）
A:欧拉图
B:汉密尔顿图
C:非平面图
D:不存在的
参考选项：D
题面见图片：
A:A
B:B
C:C
D:D
参考选项：D
设|V|1,D=V,E是强连通图，当且仅当 ( )。

A:D中至少有一条通路
B:D中至少有一条回路
C:D中有通过每个结点至少一次的通路
D:D中有通过每个结点至少一次的回路
参考选项：D
题面见图片：
A:A
B:B
C:C
D:D
参考选项：D
设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去 ( ) 条边可以得到树。

A:4
B:5
C:6
D:10
参考选项：C
1。

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