矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

矩阵的秩的相关不等式的归

纳小结

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矩阵的秩的相关不等式的归纳小结

林松

（莆田学院数学系，福建，莆田）

摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。

关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换

引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。

一基本的定理

1 设A是数域P上n m

⨯矩阵，于是

⨯矩阵，B是数域上m s

秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩

2设A与B是m n

⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）

二常见的秩的不等式

1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n

证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。

当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。

当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，

从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n

2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n

证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于

000S E

B A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

而 0S E

B E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭

可逆，故

r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫

⎪

⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 0

0AB E ⎛⎫

⎪⎝⎭

=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n

3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）

证：因为0A E B E B E --⎛⎫

⎪

-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫

⎪-⎝⎭

=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）

4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明

r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)

证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于

0AB ABC B ⎛⎫

⎪⎝⎭0s

t E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭

且0

s t E C E ⎛⎫

⎪-⎝⎭

是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0AB

ABC B ⎛⎫

⎪⎝⎭=秩0

0ABC B ⎛⎫

⎪⎝⎭

= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)

5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二

≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )

6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）

证明：根据分块矩阵的乘法可知

000m

n E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫

⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫

⎪-⎝⎭

由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A C

AB CD B D --⎛⎫

⎪-⎝⎭

≥r(AB-CD)

从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）

三 不等式等号成立的探讨

1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：

A 0A 0r =r E

B 0B ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

证明：由

E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

得：A 00-AB r =r E B E

0⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

又

， ∴()()()r AB =r A +r B -n

2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分

必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得n

XA +BY =E

证明：根据题三 1，只需要证明

n

XA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤

⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

存在、，使得

m n n n n

m m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡

⎤=⎢⎥⎣⎦

由

当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤

⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

∴()()()r AB =r A +r B -n