6.1数列的概念与简单表示法

3
2
4
排除A、B、C，从而选D.
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5
3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an
(
n
∈
N
*
)B,
则a100等于
（）
A.1
B.-1
C.5
D.-5
解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4，

an-1, an+1.
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3
基础自测
1.下列对数列的理解有四种：
①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集
{1，2，3，…，n}）上的函数；
②数列的项数是有限的；
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③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立
的点；
④数列的通项公式是惟一的.
其中说法正确的序号是
（ C）
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④
项数 无限
递增数列 递减数列 常数列
an+1＞an an+1＜ an an+1=an
其中 n∈N*
有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
an的符号正负相间，如 1，-1，1，-1，…
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2
3.数列的表示法：
数列有三种表示法，它们分别是 列表法、图象法
和解析法.
4.数列的通项公式
（2）将数列变形为
8 (1 0.1), 8 (1 0.01), 8 (1 0.001),,
9
9
9
an

8 9
(1

1 10n
).
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(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,
4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 2 3, 2
原数列可化为
题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一
个通项公式： （1）-1，7，-13，19，… （2）0.8，0.88，0.888，…
（3）1 , 1 , 5 ,13, 29 , 61, 2 4 8 16 32 64
（4）3 ,1, 7 , 9 , 2 10 17
如果数列{an}的第n项an与序号n 之间的关系可 以用一个公式 an=f(n来) 表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.
5.
已知Sn ,则an


S1 , Sn-Sn-1,
(n (n

12)).数列{an}中,
若an
最大,则aann

aann-+11.,若an最小,则aann
（5）0，1，0，1，…
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思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项
公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之
间的关系.
解 （1）符号问题可通过（-1）n或（-1）n+1表
示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝
对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an= (-1)n(6n-5).
(A） D.17
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5.数列{an}中，an n 1 n 1 ，Sn=9，则n=99 .
解析
an
1 n 1
n
n 1
n,
Sn 2 1 3 2 n 1 n
n 1 1 9.
n 99.
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题型分类 深度剖析
解析 由数列与函数的关系知①③对，由数
列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一
的，④不对.
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2.数列1，8 ,15, 24，…的一个通项公式an是（ D ） 57 9
A. n2 B. n(n 2) C. (n 1)2 1 D. n(n 2)
2n 1
n 1
2(n 1)
公式为cn=n2+1 因此可得它的一个通专业项课件公，精式彩为无限！an

2n 1 n2 1
11
（
5） an

0 1
(n为奇数) (n为偶数)
或an
1
(1)n 2
或an

1
cos 2
nπ.
探究提高 （1）由数列的前几项求它的一个通项
公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还
原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式
来求.
（2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是
不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代
值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1
来调整.
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知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式：
（1）4，6，8，10，…（2）1 , 3 , 7 ,15, 31, 2 4 8 16 32

21 21
3,
22 22
3,
23 23
3
,
24 24
3 ,,
∴
an

(1)n

2n 2n
3
.
(4)将数列统一为 3,5, 7 , 9 , …对于分子3，5， 2 5 10 17
7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式
为bn=2n+1，对于分母2，5，10，17，…联想到数 列1，4，9，16，…即数列{n2}，可得分母的通项
1，5，4，….
由此可得a100=-1.
方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1，
两式相加可得an+3=-an，an+6=an，
∴a100=a16×6+4=a4专=业-课1.件，精彩无限！
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4.若数列{an}的前n项和Sn=n2-1,
则a4等于
A.7
B.8
C.9
解析 a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7.
（3）2 ,1,10 ,17 , 26 , 37 , 3 7 9 11 13
（4）3，33，333，3 333，…
解（1）因为各项是从4开始的偶数，
所以an=2n+2. （2）由于每一项分子比分母少1，而分母可写为
21，22，23，24，25，…，故所求数列的一个通
2n 1
解析 ∵1可以写成 3 ，∴分母为3，5，7，9，
3
即2n+1,分子可以看为1×3,2×4,3×5,4×6,故
为n(n+2)，即
an

n(n 2) 2n 1
.
此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A
选 项 为 1， B 选 项 为 3， C 选 项 为 3 ， 均 不 为 1 ， 故
第六编 数 列
§6.1 数列的概念与简单表示法 基础知识 自主学习
要点梳理 1.数列的定义
按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的项.
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1
2.数列的分类
分类原则
按项数分类
按项与项间 的大小关系
分类
按其他 标准分类
类型
满足条件
有穷数列
项数 有限
无穷数列