行列式典型例题
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第二讲 行列式综合训练
第一部分
例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．
n D =
11
a a
O
解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．
n
D 11c n
c a
-⋅=
101
a a
a a
-
L O
=11()n a a a
--
=n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．
n D n 1
r r -=
111
a
a
a --O 1n
c c +=
1
1
1
a a a +-O
=n
a -2
n a
-
方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．
n D 1c 展开
=1
n a a
a -O
+1
1
001
0(1)
0n n a
a
+--L O
O
而 1
1
01
0(1)
0n n a
a
+--L O
O 最后列展开
=21
(1)n +-2
n a
a -O
=2
n a
--
n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a -
方法4 利用公式
A O O
B
=A B ．
将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2)
(1)n --11a a
a
O
=
11a a
2
n a a -O
=n
a -2
n a
-
方法5 利用公式
A O O
B
=A B ．
例2.2 计算n 阶行列式：
1121221
2
n n n n n
a b a a a a b a D a a a b ++=
+L L M M M L
(120n b b b ≠L )
解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．
121121
221
2
1000
n n n n n n
a a a a
b a a D a a b a a a a b +=++L L L M
M M M L
升阶
213111
n r r r r r r +---=
L 12121100100100n n
a a a
b b b ---L L L M M M M L
11
12,,1
j
j c c b j n -+
=+=
L 111211
1
2100
00000
n n
a a a a a
b b b b b +
++L L L
L M M M M L
=1121(1)n n n
a a
b b b b b +
++L L 这个题的特殊情形是
12121
2
n n n n a x a a a a x a D a a a x
++=
+L
L M M M L
=1
1
()n
n i i x
x a -=+∑
可作为公式记下来．
例2.3 计算n 阶行列式：
121111111
1
1n n
a a D a ++=
+L L M M M L
其中120n a a a ≠L ．
解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式
n
D 12,,i r r i n
-==
L 1121
111
n
a a a a a +--L M O
112,,j j
a c c a j n
+
==
L 211
00
n
b a a L M O
其中11211n
i i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭∑，于是n D 12111n
n i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ．
方法2 升阶（或加边）法
121111*********
1
1
1n n
a D a a +=++L L L
M
M M M L
升阶12,3,,1
i r r i n -=+=
L 121111100100100n
a a a ---L L L M M M M L
11111
121,2,,1
12
1111
1
11j j
n
i j
c c a n
n j n i i n
a a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫
=
=+ ⎪⎝
⎭∑
∑L L
L O
方法3 递推法．将n D 改写为
12111011101
1
1n n
a a D a ++++=
+L
L M M M L
n =
按c 拆开
121111111
1
1a a ++L L M M M L +
1
2110
11011n
a a a ++L L M M M L