求100以内恰有10个不同约数的所有自然数
数论初步
数论初步―――――基础篇－――――<整除>整除的概念很简单，比如3整除6，则表示法为3|6。
而整除的含义，比如a，c为整数，那么a|c的含义，意味着存在一个整数k，使得c＝a×k。
此时a是c的约数。
a|c和a是c 的约数是一样的，等价的。
由上面的含义，可得到很基本的认识是如果a|b，则a|b×k。
可以进而有这样的两条规律：如果有a|b，b|c，则a|c。
―――[规律1]如果有a|c同时a|d，则c±d可以被a整除。
―――[规律2]<幂次式和分解质因数>质数，即只含有1和自身两个约数的数。
那么我们可以写出开始的几个质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41…质因数：如果一个质数a是b的约数，则a是b的质因数。
幂次式：一个带幂次的式子22×33×52，我们称为幂次式。
它的值为2700。
性质：（1）如果底项不同，那么两个幂次式不会相等。
比如23和32不相等。
（2）22 | 23，34| 35。
这条性质的含义是相同的底项，幂次小的肯定可以整除幂次大的。
进一步也有：23×34×5|24×36×52。
分解质因数：任何整数总可以分解成质因数的幂次式。
比如180＝22×32×5。
不同的整数分解的结果都不会一样。
练习：把这几个数写成幂次式： 18，28，60，72。
<再理解整除>我们在上一部分幂次式和分解质因数的基础上，重新去体会整除的含义。
如果a是b的约数或说a|b，那么把a，b都作质因数分解。
那么a的质因数必然都在b的质因数中。
比如18|72。
则18＝2×32，72＝23×32。
<公约数与互质>对于两个整数b,c，如果同时有a|b，a|c，则a是b，c的公约数。
比如3是6和9的公约数。
如果两个数除了1外没有别的公约数，则我们称他们两个互质。
信息学竞赛基础训练题1
信息学竞赛基础训练题1信息学竞赛基础训练题******一.数值计算******1.1.找出100到999之间的整数中所有等于它每位数字立方和的数.1.2.求所有满足条件的四位数:(1)这四位数是11的倍数;(2)a,b,c,d 均是小于10的互不相等的自然数;(3)b+c=a;(4)bc是完全平方数.1.3.已知四位数3025有一个特殊性质:它的前两位数字30和后两位数字25的和是55,而55的平方刚好等于该数(55*55=3025).试编一程序打印所有具有这种性质的四位数.1.4.编程找出四个互不相等的自然数,它们之中任意两数之和为偶数,任意三数之和可以被3整除,而且这四个数的和越小越好(已知它们的和不大于50).1.5.输入两城市之间的距离（单位为千米）及旅行的速度（单位为千米/小时）和从某一城市出发的时间，计算出到达另一城市的时间。
其中输入的时间用1805表示18点05分，而输出的时间用18-5这种形式表示。
******二.数字游戏******2.1.以不同的字母代表0--9之间的数字,现有如下等式成立:a+bc+def=ghij，编程求出满足上述条件等式的个数并将所有等式打印输出.2.2.下面的竖式表示,图中的"*"号只能用素数2,3,5,7代替,因此称为素数乘法竖式.(难度较大，放后)***×**---------------********----------------*****编程找出此乘法竖式的所有可能方案.2.3.出售金鱼:出售金鱼者决定将缸里的金鱼分五次全部卖出:第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条;第二次卖出剩余金鱼的三分之一加三分之一条;第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条;第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条;现在还剩下11条金鱼一次卖出.问缸里原来有多少条金鱼.2.4.一个四位数是一个完全平方数,减去一个每位数字都相同的四位数(如1111,5555)后,仍是一个完全平方数.请编程打印出所有这样的四位数.2.5.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字组成三个三位数,使每个数都是完全平方数.2.6.如果一个数从左边读和从右边读都是同一个数,就称为回文数.例如:686就是一个回文数.编程找出所有既是回文数又是素数的三位数.2.7.有一个八位数12345679,若它乘以9,则得九位数111111111,试求:(1)当这个数乘以什么数时,才能得到全部由5所组成的九位数?(2)当这个数乘以什么数时,才能得到全部由9所组成的九位数?2.8.把N个同学排成一排,由前向后按1,2,1,2......报数,报单数的走出队伍,报双数的向前靠拢重新组成一排,然后再1,2,1,2......报数,报单数的走出队伍,问剩下最后一个人时,这个人原来在哪个位置.（N由键盘输入）2.9.李先生和他的孙子同出生于20世纪,他的孙子与他的年龄之差为60岁,李先生和他的孙子出生年份被3,4,5,6除,余数分别为1,2,3,4.编程求出李先生和他的孙子各出生在哪一年.2.10、有N个人围坐在圆桌周围，座号依次为1……N，从1号开始报数，数到M的人便退出，从下一个人起重新报数，数到M的人也退出，不断进行下去直到最后一个人退出，编程打印出依次退出的人的座号。
小升初第三讲――专题训练之数论问题.(优选)
小升初专项训练---数论数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
翻开任何一本数学辅导书，数论的内容都占据了不少的版面。
在小升初择校考试及小学各类数学竞赛中，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的12%左右，小学阶段的数论知识点主要有：1、质数与合数、因数与倍数、分解质因数2、数的整除特征及整除性质3、余数的性质、同余问题4、位值原理5、最值问题知识点一：质数与合数、因数与倍数、分解质因数1.质数与合数突破要点——质数合数分清楚，2是唯一偶质数(1)质数：一个数除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数统称质数。
(2)合数：一个数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数统称合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数2约数与倍数公因数短除法到一个不能除为止，公倍数除到海枯石烂为止，因数有限个，倍数无穷多。
如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（6，9，15）=3。
3．质因数与分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。
其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
4、要注意以下几条：（1）1既不是质数，也不是合数。
小学数论解析
第一讲：数的整除【知识准备】根据整除的性质，能被2、3、5、4、8、9、11、25、125以及能够被7、11、13同时整除的数的特征综合思考。
知识点：（1）个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位数字是0或者5的数都是5的倍数。
（2）个位数字的和是3或者9的倍数的数字，都能被3或9整除。
（3）一个数末两位数字能被4或25的倍数，这样的数能够被4或25整除。
（4）一个数字末三位数是8或者125的倍数，这样的数字能够被8或125整除。
（5）一个数字的偶数位上数字之和与奇数位上数字之和的差（大减小）能被11整除，这样的数字就能被11整除。
（6）对于一个位数较多的数字，将这个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为一个数字，如果这两个数之差是7、11、13的倍数，这个数就能被7、11、13整除。
例1：能被2、3、5同时整除的最小的三位数是多少？最大的三位数呢？分析：要想保证能被2、5同时整除，这个数字个位必须是0，要想最小百位只能选择1，还要能被3整除，十位数字最小填2，所以最小的三位数是120.最大的三位数百位9、个位0，十位最大选择9，所以是990.练习：（1）、最高位数字是1，并且能被2、3、5同时整除的最小四位数是多少？（2）□1375在方框中填入一个数字，使得这个四位数能被5和11同时整除？（3）在算式□+91=○中，□盖住的是一个能被9整除的两位数，○盖住的是7的倍数，那么□盖住的数字是多少？例2：已知六位数□2008□能被55整除，这个六位数是多少？分析：能被55整除就是说这个数字必须是5的倍数，又是11的倍数。
按照能被5整除的数的特征，个位可以是0或者5.如果个位是是0，那么奇数位上的数字和2，偶数位上的数字和只有是13，所以最高位上的数字是5，所以这个六位数可以是520080.如果个位选择0，那么奇数位上数字之和是7，偶数为上的数字和只有18，实现不了，所以答案是唯一的。
探索练习：1.已知六位数A3826B6能被72整除，这个六位数是多少？2.把789这个三位数连续写多少次，所组成的数字能被9整除？3.一张纸上有一个没有重复数字的五位数3□6□5，已知这个数字能被75整除，那么满足条件的五位数可能是多少？例题3：一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和等于2000，那么这两个质数的和是多少？分析：设两个质数分别是x和y则:3x+2y=2000,因为和2000是偶数，2y也是偶数，所以3 x 也是偶数，那么x只能是质数2，代入上面的式子得出y等于997，所以这两个质数的和是2+997=999.练习：1）a、b、c、d、e、f六个连续质数从大到小排列，它们的和是一个奇数，那么c是多少？2）一个质数的7倍加上另一个质数的2倍和是100，这两个质数的和是多少？3)一个数字的20倍减去1后能被153整除，这样的自然数中最小是多少？数的整除练习：1）能同时被2、3、5整除的最小的自然数是（）,最大的两位数是( )。
第三单元倍数与因数
第三单元倍数与因数单元教学内容：1、倍数与因数。
2、2，5, 3的倍数的特征。
3、奇数和偶数。
4、质数与合数。
单元教学目标：1、经历倍数与因数、质数和合数的理解过程，以及2,5,3的倍数特征的探索过程，学会归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理水平。
2、能找出10以内某数在百以内的全部倍数，以及百以内某数的所有因数；知道2,5，3的倍数的特征、奇数和偶数、质数和合数，并能做出相对应判断。
3、在理解倍数与因数、探索非零自然数特征的过程中，体会观察、分析、归纳或猜想验证等探索方法，体验数学问题的探索性和挑战性。
单元教学分析：1、利用乘法引导学生理解倍数与因数。
2、突出倍数与因数这两个核心概念，并以此为线索展开本单元知识的学习活动。
3、注重引导学生利用“百数表”及在“长、正方形”活动中，探索数的特征。
课时安排建议：倍数与因数一课时2,5的倍数的特征一课时3的倍数的特征一课时2和3的倍数，3和5的倍数，及2、3、5的倍数的特征一课时找因数一课时找质数一课时找质数练习课一课时练习四一课时金陵小学五年级数学活动导学单《倍数与因数》班级：姓名：主备教师：周红艳授课教师：【学习目标】1、探索找一个数的倍数的方法，能在1-100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。
2、初步学会选择有用的信息实行简单地归纳和类比，发展推理水平、理解自然数和整数，联系乘法理解倍数和因数。
【学习重点】探索找一个数的倍数的方法，能在1-100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数。
【学习难点】找一个数的倍数、因数的方法。
【学习方法】讲解法、交流法、练习法。
【学习准备】导学单、小黑板【知识链接自主预习】创设“水果店”的情境，表现了生活中的数有自然数、负数、小数。
在比较中理解自然数、整数，使对数的理解进一步系统化。
【合作探究展示交流】1、在解决书上提出的问题的过程中引出算式。
5×4=20（元）以这个乘法算式为例说明倍数和因数的含义，即20是4的倍数，20也是5的倍数，4是20的因数，5也是20的因数。
第四讲约数与倍数
◎nr!磚巨人郢屈鈕尋①约数与倍数一、约数与倍数的基本概念：1、约数和倍数的定义：如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。
2、最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：（8，12）=4，（6, 9，15）=3。
3、最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：［8，12］=24，［6，9，15］=90。
4、求两个数的最大公约数一般有三种方法：①分解质约数法②短除法③辗转相除法。
5、最小公倍数一般有三种方法：①分解质约数法②短除法③a^=（a,b）後,b］。
其中辗转相处法的步骤如下：辗转相除法：用较小的数去除较大的数，如果整除，那么较小的数就是所求的最大公约数；如果有余数，则用余数去除刚才的除数，如果再有余数，再用余数去除新的除数。
以此类推，直到最后一次能整除为止。
这时，作为除数的数就是所求的最大公约数。
【定理1】两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
即如果（a，b）=d，那么（a 七，bP）=1。
【定理2】两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。
用字母表示：［a，b］（a，b）=a b【定理3】两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
注意：求一组分数的最大公约数与最小公倍数：先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；b即为所求。
例如：(3,2)V丄a 4 12 [4,12] 124/20/2013求一组分数的最小公倍数方法步骤：先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数b ；a即为所求。
例如：【3,2] 旦二兰b 4 12 (4,12) 4〖经典例题〗例1、把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？例2、现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少？例3、甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？例4、已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5,求这两个自然数『方法总结〗这几个题目是【定理1】和【定理2】的直接应用。
小升初奥数数论模块习题及答案
数论模块1、小明做两个整数的加法，他把万位上的8看成了3，百位上的7看成了9，各位上的5看成了6，算出的结果是49920，问正确的结果应该是多少？2、有一个三位数，如果把数码6加在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。
3、把一个两位数的个位数字和十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，和恰好是某自然数的平方，这个和是多少？4、一个三位数的各位数字之和是18，其中十位数字比个位数字大1，如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大198，求原数是多少？5、连续2001个自然数的和等于四个不同质数的乘积，求这四个质数和的最小值。
6、请写出5个质数，且它们是公差为12的等差数列。
7、“任何不小于4的偶数都可以表示成两个质数之和”这是著名的哥德巴赫猜想。
例如8=3+5，但是8只有这一种表示形式，而22却有3+19和5+17两种表示形式，那么，能有两种不同质数之和表示形式的最小自然数是几？8、将四个不同的合数分成两组，要求两组的两个合数之和相等，而且每组的两个合数互质，这四个合数之和最小可以是多少？9、任意交换某个三位数的数字顺序，可以得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？10、有11张卡片，分别写有1-11这11个自然数，现在要将这11张卡片分成两堆，使得一堆所有卡片上的数字之和是奇数，另一堆卡片上的数字之和是偶数，能否做到？11、现有七枚硬币均正面（有面值的面）朝上排成一排，若每次可翻动其中的六枚，能否经过若干次的翻动，使七枚硬币的反面朝上？12、被除数比除数的三倍多1，并且被除数、除数、商和余数的和是81，求被除数和除数。
13、一个整数除以15余2，被除数、商、余数的和是100，求被除数和商。
14、两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？15、一个两位数，在它的前面写上3，所组成的三位数比原两位数的7倍多24，求原来的两位数。
奥数题
1.种树挂牌：（高等难度）在10米长的一段马路的一侧种树，每隔1米种一棵，两头都种，共种11棵，如果把三块“爱护树木”的小牌任意挂在三棵树上，然后再把每两棵挂牌的树之间的距离是多少米算出来，看一看这三个距离（即多少米），至少有一个数是偶数，对吗？然后把三块小牌再挂在不同的三棵树上，再算算看。
种树挂牌答案：这三个距离数（即多少米）中，至少有一个数是偶数这话是对的，解答：这三个距离数（即多少米）中，至少有一个数是偶数这话是对的，A树和B树之间的距离AB=3（米）（奇数）B树和C树之间的距离BC=5（米）（奇数）A树和C 树之间的距离AC=3＋5=8（米）（偶数）这是为什么呢？可以这样想：假如距离AB和距离BC之中有一个为偶数，则自不待言，若AB和BC这两个距离都是奇数，则AB和BC之和必是偶数，因为两个奇数之和是偶数，所以说这三个距离中至少有一个是偶数。
2.小华买了一支铅笔，2块橡皮，2个笔记本，付了一元钱，售货员找个他五分钱，小华看了看一支铅笔的价格是8分，就说，叔叔，您把帐算错啦，想一想，小华为什么这么快就知道帐错了？找零问题答案：利用数的奇偶性判断，不用计算就可知道算错了，因为一支铅笔八分钱，是个偶数，另外，不论橡皮和练习本价钱是多少，两块橡皮两个本也肯定是偶数，所以小华应付的总钱数应当是个偶数，他付了1元就是100分，找回的钱是5分是个奇数，所以不需计算就知道算错了。
3.橡皮问题题目：（高等难度）小兰和小绿都有10块橡皮，小兰给小绿2块后，现在小绿比小兰多几块橡皮？橡皮问题题目答案：2×2=4(块)答：现在小绿比小兰多4块橡皮。
4.松树题目：（高等难度）明家门前有一排小树苗，柳树左边有6棵杨树，它的右边有10棵松树，这排小树苗一共有多少棵？松树题目答案：一共有17棵小树苗.5约数：（高等难度）100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？约数答案：如果恰有一个质因数，那么约数最多的是=64，有7个约数；如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是×＝72和×3＝96，各有12个约数；如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是×3×5＝60，×3×7＝84和2××5=90，各有12个约数。
数学约数与公约数的求解
数学约数与公约数的求解在数学中，约数和公约数是常常会遇到的概念。
它们在数论和代数中都有着重要的应用。
在本文中，我将详细介绍约数和公约数的概念以及如何求解它们。
一、约数的求解方法约数，顾名思义即能整除给定数的数字。
例如，数值10的约数有1、2、5和10。
求解一个数的约数有多种方法，下面是两种常见的方法：1. 试除法试除法是最直观也是最常用的方法。
它通过从1到给定数的范围内，依次尝试是否能整除给定数，从而得到所有的约数。
下面是一个具体的例子，以求解数值10的约数为例：- 首先，我们从1开始，尝试是否能整除10。
1不能整除10，所以不是10的约数。
- 接着，我们尝试是否能整除10的下一个数2。
2可以整除10，所以2是10的约数。
- 然后，我们继续尝试是否能整除10的下一个数3。
3不能整除10，所以不是10的约数。
- 最后，我们尝试是否能整除10的下一个数4。
4不能整除10，所以不是10的约数。
通过这种方法，我们可以得到10的所有约数为1、2、5和10。
2. 质因数分解法质因数分解法是另一种常用的求解约数的方法。
它通过将待求解的数字进行质因数分解，然后根据分解结果得到约数。
下面是一个具体的例子，以求解数值24的约数为例：- 首先，我们将24进行质因数分解，得到24 = 2^3 * 3。
- 根据质因数分解的结果，我们可以得到24的约数为1、2、3、4、6、8、12和24。
通过这种方法，我们可以得到24的所有约数。
二、公约数的求解方法公约数，顾名思义即能同时整除两个或多个数的数字。
例如，数值12和18的公约数有1、2、3和6。
求解两个或多个数的公约数有多种方法，下面是两种常见的方法：1. 公因数法公因数法是最直观也是最常用的方法。
它通过找出两个或多个数的所有约数，然后找出它们的公共部分，从而得到所有的公约数。
下面是一个具体的例子，以求解数值12和18的公约数为例：- 首先，我们找出12和18的所有约数。
12的约数有1、2、3、4、6和12，18的约数有1、2、3、6、9和18。
奥数讲义-数论--综合-第1讲
第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x ＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
程序设计基础习题
程序设计基础习题(总17页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1. 编制一个C程序，从键盘输入一个正整数，如果该数为素数，则输出该素数，否则输出该数的所有因子(除去1与自身)。
2. 编制一个C程序，从键盘输入一个正整数N，然后计算并输出S=12||1222N++++最后计算并输出T=11213111 -+-+-+()KK其中K S=的整数部分。
3. 编制一个C程序，计算并输出多项式的值S x x xnnxnn =++-+--++--+1050505120505105230505105123..(.)!.(.)(.)!.(.)(.)!的值，直到 |Sn -Sn-1|< 为止。
其中x从键盘输入。
4. 编制一个C程序，计算下列级数和：sn =1+(2/1)+(3/2)+(5/3)+(8/5)+(13/8)+…+(an/an-1)其中n≥1，由键盘输入；s1=1。
5. 编制一个C程序，计算并输出下列级数之和：e x x x xnxn =+++++12323!!!其中n与x从键盘输入。
6. 编制一个C程序，输出能写成两个数平方之和的所有三位数。
7. 如果一个数恰好等于它的所有因子(包括1但不包括自身)之和，则称之为“完数”。
例如，6的因子为1、2、3，且1+2+3=6，即6是一个“完数”。
编制一个C程序，计算并输出1000以内的所有“完数”之和。
8. 编制一个C程序，从键盘输入30个实数，分别计算并输出以下5个量：所有正数之和，所有负数之和，所有数的绝对值之和，正数的个数，负数的个数。
9. 100元钱买100只鸡，母鸡3元/只，公鸡2元/只，小鸡元/只。
编制一个C程序，制定买鸡方案。
10. 设A，B，C，D，E五人，每人额头上贴了一张或黑或白的纸。
五人对坐，每人都可以看到其他人额头上的纸的颜色，但都不知道自己额头上的纸的颜色。
五人相互观察后开始说话：A说：我看见有三人额头上贴的是白纸，一人额头上贴的是黑纸。
五年级下册数学竞赛试题-第7讲 约数与倍数全国通用
第7讲约数与倍数内容概述掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题．典型问题兴趣篇1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数．2．(1) 20000的约数有多少个？(2) 720的约数有多少个？3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260].4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；(2)求3553，3910和1411的最大公约数．6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？拓展篇1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1．这两个数分别是多少？4．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36].5．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？6．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？7．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？9．两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？10．有4个不同的正整数，它们的和是1111.请问：它们的最大公约数最大能是多少？11．甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126.请问：甲数是多少？12．甲、乙是两个不同的自然数，它们都只含有质因数2和3，并且都有12个约数，它们的最大公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？超越篇1．360共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？2．求出所有恰好含有10个约数的两位数，并求出每个数的所有约数之和．3．已知口与易的最大公约数是4，以与c 、易与c 的最小公倍数都是100，而且a ≤ b ．满足条件的自然数a 、b 、c 共有多少组？4．所有70的倍数中，共有多少个数恰有70个约数？5．自然数n 是1，2，3，…，10的公倍数，而且它恰有72个约数，n 的最小值是多少？6．三条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处．里圈跑道长51千米，中圈跑道长41千米，外圈跑道长83千米．甲、乙、丙三人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步，开始时，三人都在旗杆的正东方向，甲每小时跑321千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．他们同时出发．请问：几小时后，三人第一次同时回到出发点？7．如图11-1，在一个600×600的方格表ABCD 中，将AB 与线段CD 上除端点外的所有格点N 1，N 2，N 3，…，N 599分别相连，得到599条线段．请问，在这些线段中：(1)不会与其他格点相交的线段共有多少条？(2)经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）?(3)除去端点，还恰好经过29个格点的直线有多少条？8．有些自然数等于自身约数个数的平方，例如l 和9都具有此性质，请问：是否还有其他自然数具有此性质？如果有，请举例；如果没有，请说明理由．。
100以内数得认识及计算
一、100以内数得认识及计算1、数得认识数得组成：所有数都是由1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这10 个数字组成得，如42是由4个十和2个一组成。
2、100以内数得加、减法几十加几就等于几加几，30+5=35（1）整十数加、减整十数，结果仍然是整十数。
（2）两位数加一位数，用两位数个位上得数加一位数，满十进一。
（3）两位数加整十数，先用两位数十位上得数加整十数然后加上两位数个位上得数，就是结果。
（4）两位数减一位数，先用两位数个位上得数减去一位数，如不够减，先从十位退一当十，与个位上数合成十几，减去减数，再用剩下得数加上先算得得差，就是结果。
（5）两位数减整十数，先用两位数十位上得数减整十数，再加上两位数个位上得数就是结果。
（6）两位数加两位数，相同数位对齐，从个位加起，个位满十向十位进一。
（7）两位数减两位数，相同数位对齐，从个位减起，个位不够减，从十位退一当十，在个位上加十，再减。
（8）连加，连减，加、减混合，如果没有括号，从左往右依次计算，如果有括号，先算小括号里面得，再算外面得。
二、万以内数得读法和写法万以内数得读法1、从高位起，按照数位顺序读。
2、千位上是几就读几千，百位上是几就读几百……3、中间有一个0或两个0，只读一个零”4、末尾不管有几个0，都不读。
万以内数得写法1、从高位起，按照数位顺序写。
2、几千就在千位上写几，几百就在百位上写几……3、中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写0。
三、两位数加、减法（口算）掌握两位数加、减法得口算方法，可以提高计算速度。
四、整百整千数加、减法计算时，想几个百加（减）几个百或几个千加（减）几个千。
五、几百几十得加减法计算时把几百几十数分成整百数和整十数，先把整十数和整十数相加，再和整百数相加，就是结果六、笔算加、减法1、加法计算，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上得数相加满十，要向前一位进1。
验算：调换加数得位置再算一次。
2、减法计算，相同数位对齐，从个位减起，哪位上得数不够减，从前一位退1,在本位上加10再减。
100以内 互质数 最小公倍数 最简分数 偶数 奇数 质数合数
互质数最小公倍数最简分数偶数奇数质数合数约数因数公因数最大公约数和最小公倍数100以内的奇数、偶数、质数、合数表奇数是: 1,3,5,7,9,11……99。
偶数是：0，2,4,6,8,10……100。
质数:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,7379,83，89，97。
（100以内的质数共有25个）合数是：4,6.8,9,12,14,15,18,20……98，99,100 但是,0和1既不是质数也不是合数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的质数是2，最小的合数是4。
自然数中分为奇数和偶数；但是自然数中除了质数和合数外还有0和1。
两个奇数的和（或差）是偶数，两个偶数的和（或差）是偶数，一个奇数与一个偶数的和（或差）是奇数。
几个质数的积一定是合数。
1、自然数：0、1、2、3、4…一个自然数不是奇数就是偶数。
2、整数：自然数，负数3、小数（1）概念：把整数1平均分成10份，100份，1000份…得到的十分之几、百分之几、千分之几…可以用小数表示（2）小数的性质：在小数的末尾添上零或去掉零小数的大小不变（3）若将小数扩大，是将小数点右移；若将小数缩小，是将小数点左移4、分数（1）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数（2）分数单位：表示其中一份的数（3）分数的性质：分数的分子分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变（4）分数的分类：①真分数：分子小于分母的分数②假分数：分子等于或大于分母的分数③带分数：假分数可以写成整数与真分数合成数（5）最简分数：分子分母是互质数的分数（6）百分数：一个数是另一个数的百分之几的数5、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变6、偶数：能被2整除的数奇数：不能被2整除的数7、素数(质数又称素数)：一个数，只有1和它本身两个因数(或约数)，最小的素数是2合数：一个数，如果除了1和本身外还有其他的因数，最小的合数是41既不是合数，也不是素数8、互质数：最大公因数是1的两个数因数（又称约数）定义：两个整数相乘，其中这两个数都叫做积的因数。
灵通乐吧
11
例 2. 把 100 拆成 10 个素数之和，要求其中最大的素数尽可能 大，那么这个最大的素数是几？
我是这样解的。
如果我们从正面入手寻找最大的素数，也同样需 要用尝试的方法逐一探求，这样困难重重。不妨以退
为进、逆向思考，要使 10 个素数中的最大素数尽可能大，另外的 9 个素数
就必须尽可能地小，假如另外 9 个素数都取 2，那么最大的素数就是
100－2×9=821、80 也都是合数，79 才是素数，这样，9 个最小的
素数中，只能取 8 个 2，另一个取 5，这时所求的最大素
数就是 100－2×8－5=79。
（作者单位：江苏省海门市德胜小学）
玩游戏 “我们玩动物园的游戏吧！”6 岁的小灵通对小 妹妹说。 “怎么玩呀？”小妹妹问道。 “很简单，我当小猴，你当游客。你喂我核桃、 花生和巧克力。”小灵通兴奋地说。
[整理版]自然数约数的个数及所有约数的和
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自然数约数的个数及所有约数的和我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。
自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。
殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以12为例，分解质因数得到12＝22×3。
在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。
所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。
推广到一般：如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。
N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1)以360为例，360＝23×32×5。
质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。
检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。
二、约数的总和仍以12为例，12＝22×3。
根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：22×31＋21×31＋20×31＋22×30＋21×30＋20×30，化简后得到：(22＋21＋20)(31＋30)。
分解质因数
分解质因数分解质因数的方法，掌握约数个数和约数和的求法和具体意义。
设自然数n的质因子分解式如n= p11a× p22a×...×p k ak那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)n的所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+Pk+Pk2+…pkak）练习1.180一共有________个约数；这些约数的和是________；720有________个奇约数；这些奇约数的和是________；1~20中，有________个数的约数之和是4的倍数；2.有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？3.求100以内有6个约数的数有那些？3.下面的算式中，不同字母代表不同的数字，求算式×d=1995．4.将下列八个数：15，18，21，22，42，44，50，60分为个数相等的两组，使这两组数的乘积相等，应怎样分法？5.A=61×62×63×…×86×87×88．问A能否被6188整除？6.小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？7.有一个自然数，它的个位数是零，它共有8个约数，这个数最小是多少？8.把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出他们分别有多少各两位数的约数（1）146；（2）255；（3）360；（4）400．9.已知自然数a有2个约数，那么3a有多少个约数？10.165有多少个约数？这些约数的和是的多少？11.有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少？12.三个连续自然数的乘积是120，这三个数是_________．13.小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910”．你能算出小明的名次、年龄与他这次考试分数吗？14.学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大1岁，四个人的年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少？15.在算式AB×CD=1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母所代表的数字的和．16.自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值．17.如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数都能被30整除，求这两个数．18.一个整数a与1080的积是一个平方数，当a最小时，这个平方数是多少？19.五个孩子的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440，求这五个孩子的年龄．20.求1155的两位约数中最大的一个是多少？21.三个自然数a、b、c，已知a×b=30，b×c=35，a×c=42，求a×b×c是多少？22.将750元奖金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱化成以角作单位的数就正好是获奖人数的12倍，求获奖人数．23.将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自乘积相等．2、5、14、24、27、55、56、99．24.若一个自然数N分解质因数得N=2r×3p×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数？25.自然数a和b恰好都有99个自然数因数（包括1和改数本身），试问，数a×b能不能恰好有1000个自然数因数（包括1和该数本身）26.四个连续自然数的积为1680，则这四个数中最小的是_________．27.a、b、c三个数都是两位整数，且a＜b＜c，已知它们的和是偶数，它们的积是3960，则a，b，c 三个数分别为_________．28.有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？29.555555的约数中，最大的三位数是_________．30.设n是满足下列条件的自然数，它们是75的倍数且恰好有75个自然数因数（包括1和本身），求的最小值．31.求自然数N，使得它能倍5和49整除，并且有10个约数（包括1和本身）32.已知（++++）+=1，且a，b，c，d正好是四个连续的自然数，则b+d等于多少？。
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朦胧1、求100以内恰有10个不同约数的所有自然数。
答：一个正整数n=p1^a1*p2^a2*...*pk^ak的约数的个数为(a1+1)(a2+1)...(ak+1)，这样，找约数个数为10的自然数，需要先分解10，即10=10*1=2*5，因此，所求的n或者是m^9形式，或者是p*q^4形式（其中p,q,m为不同的素数），而这些形式在100内的只有3*2^4=48,5*2^4=80
2、证明：当abc是37的倍数时，cba也是37的倍数．
这个三位数是abc，用表达式表示为：100a+10b+c，
因为是37的倍数，则可表示为：100a+10b+c=37k（k为整数），
这个数乘11得1100a+110b+11c=11×37k，仍旧是37的倍数
三位数cba可表示为：100c+10a+b，
这个数与1100a+110b+11c的和为：1100a+110b+11c+100c+10a+b=1110a+111b+111c=111×（10a+b+c）=37×3×（10a+b+c）是37的倍数，
所以cba也是37的倍数．
3、用1,2,3,4这四个数字可以排出多少个能被11整除的四位数？
1+2+3+4=10
被11整除的数,奇数位和 - 偶数位和 = 11的倍数,在这题中只能为0,也就必然是
1、4为一组、
2、3为一组,分别做奇数位和偶数位.
因此共有2*2*2 = 8个：
1243
1342
4213
4312
2134
2431
3124
3421。