大学物理课件--平面曲线运动--[福州大学...李培官]
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t=0时M在O点，已知运动方程为S=30t+5t2(SI),求t=2
秒时刻，质点M的切向加速度和法向加速度。
解：t=2s ， S=80m 可知此时M在大圆上。
质点的瞬时速率：v=30+10t(m/s)
t=2s v=50m/s
at
dv dt
d 2s dt 2
10m / s2
an
v2
50 2 30
an
v t kRt2
v 2 k 2 22 32
k4
v 4Rt 2 ms1
v 0.5 4R 0.52ms1 2ms1
dv t v2 t
a n
dt
R
a 2kRt k2Rt 4n
a a 4k2R2t 2 k4R2t8 8.25ms2
10 j
)
v
25 (15 10t)2
dt an a2 at2 5 2
at
dv dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
11
【例3】质点M在水平面内运动轨道如图所示：OA段为 直线,AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周。设
v0
O
vt
rt
X 14
二. 圆周运动（circular motion）
15
1.圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t) 角速度 (t) d (t)
dt
速率
vltim0st rltim0t
v ddst , v(t) r(t)
角加速度 d
at
1 2
a时
an at
6t 3
3 ,得:t3
3 , 2 4 ( 3 ) 3.15rad
6
6
22
【例6】一质点沿半径R=2m的圆周运动，其速率
v kRt 2 ms1
k为常数，已知第二秒的速率为 32ms-1，求t =0.5s时质点的速
度和加速度的大小。解：
at a
83.3m / s2
30 15
12
【例4】一质点以60º仰角作上抛运动，忽略空气阻力
。若质点运动轨迹最高处的曲率半径为10米，求抛出时 的初速度大小。
解；最高处a与τ 成直角 vx v0 cos 60
an
g
v
2 x
vx g 98ms1
Y
v0
v0
98 ms1 cos 60
10
【例2】已知r质点5t在i 水(平15面t 内5运t 2动) j，运动方程为：
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。
解： r
பைடு நூலகம்
5ti
(15t
5t
2
)
j
t=1s
v
dr
5i
(15 10t) j
dt
at
5
a
dv
2(m/ s2
23
【例7】某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方
程为 t 3 4t 3 (SI)
(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？ (2) 若主轴直径D = 40 cm，求 t = 1 s 时,该点的速
度和加速度
解: (1)由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t 3 4t 3 (SI)
切向加速度的大小恰好为总加速度大小的一半时，又
为解多：少？d 12t 2 , v R 1.2t 2 ,
dt
dv at dt 2.4t ,
an
v2 R
14.4t4
t 1s时 at 2.4(m s2 ), an 14.4(m s2 )
a at 2 an2 14.6(m s2 )
an 2r
3t2 4
2
0.2
t 1s时，v 0.2(3 4) 1.4(m s1)
a 1.2(m s2 )
an 3 42 0.2 9.8(m s2 )
25
v
a
a
an
此时总加速度的大小为
a an2 a 2 1.22 9.82 9.87 (m s2)
vt
rt
O
X
13
g
j
dv
dt
v dv
t g jdt
v0 cos i v0 sin j 0
vt
v0
cos
i
v0
sin
gt
j
Y
rt
v0
cos
t i
v0t
sin
1 2
gt 2
j
常量 . at 0 a anen r 2en
2 ) 匀变速率圆周运动
常量
如 t 0 时, 0, 0
21
【例5】某质点作半径为R=0.10m的圆周运动，其角位
置随时t的变化规律为=2+4t3(SI) 。求该质点在
t=1s时刻的切向加速度、法向加速度和总加速度；当
今天是2019年12月23日星期一
大学物理课件
---1-2.平面曲线运动
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
想一想
第一章 质点运动学
2
第一章 质点运动学
1-2.平面曲线运动
3
一、平面自然坐标的描述
运动质点
切线
法线
τ
n
自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切 线组成
4
1.密切平面
密切 在质点运动的瞬间，在质点两侧的轨
o
r
et1
at
dv dt
r
d
dt
r
切向单位矢量的时间变化率
lim t0
et t
det dt
d
dt
en
et2et
法向单位矢量
et1
18
a ddvt et ven
切向加速度（速度大小变化引起）
at
dv dt
r
d2s dt2
法向加速度（速度方向变化引起）
at
0,
π 2
,
v 常量
0,
π 2
π
,
v
减小
tan1
an at
y
v
a
en et
oa a
x
20
一般曲线运动（自然坐标）
v
ds dt
et
a
dv dt
et
v2
en
其中
ds
d
曲率半径 .
4. 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 ) 匀速率圆周运动：速率 v 和角速度 都为
d 3t2 4 d 6t
dt
dt
24
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
v r 1 D 1 3t2 4 0.4 0.2 3t2 4
2
2
a r 6t 0.2 1.2t
6
速度加速度
7
续
8
跳水运动员质心在空中的运动轨迹是抛物线
9
【例1】由楼窗口以水平初速度v0射出 o 一发子弹，取枪口为原点，沿v0为x轴
v0
x
，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试 求：(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及
an
at
轨道方程；(2)子弹在t时刻的速度，切
向加速度和法向加速度。
平面 道上各选取一个邻近的点，与该质点
一起构成三角平面。当两点无限向质
点靠近时，此平面的极限称
密切圆
为该质点瞬间的密切平面。
该三角形的外接圆的 极限称为该点瞬间的 密切圆。
P '' o'
P
P'
曲率中心 密切圆圆心称为该点瞬间的曲率中心。
曲率半径 密切圆半径称为该点瞬间的曲率半径。
5
自然坐标系
2.自然坐标系
lim t0
et t
det dt
d
dt
en
et2et
法向单位矢量
et1
17
3. 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v
ds dt
et
vet
ret
质点作a 变 速ddvt率圆d周dvt运e动t 时v
det dt
切向加速度
v2
et2 v1
dt
y
B
r A
o
x
16
2. 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v
ds dt
et
vet
ret
质点作a 变 速ddvt率圆d周dvt运e动t 时v
det dt
切向加速度
v2
et2 v1
o
r
et1
at
dv dt
r
d
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r
切向单位矢量的时间变化率
an
v
2r
v2 r
圆周运a动加a速t度et anen
a at2 an2
v2
et2 v1
o r et1
v
v 2
v1
19
a atet anen
an 0 0 π
切向加速度
at
dv dt
r
0, 0 π2, v增大
y
g
解：(1)
x v0t,
y 1 gt2 y 1 x2g
2
2 v02
(2) vx v0,vy gt
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2 ,
tan gt
v0
at
dv dt
g 2t v02 g 2t 2
an
g 2 at2
v0 g v02 g 2t 2
a与v的夹角为
arctgan arctg9.8 83.0o
a
1.2
26
Tips for Better Life
欢f迎or 指201导3
谢谢
今天是2019年12月23日星期一
27
秒时刻，质点M的切向加速度和法向加速度。
解：t=2s ， S=80m 可知此时M在大圆上。
质点的瞬时速率：v=30+10t(m/s)
t=2s v=50m/s
at
dv dt
d 2s dt 2
10m / s2
an
v2
50 2 30
an
v t kRt2
v 2 k 2 22 32
k4
v 4Rt 2 ms1
v 0.5 4R 0.52ms1 2ms1
dv t v2 t
a n
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R
a 2kRt k2Rt 4n
a a 4k2R2t 2 k4R2t8 8.25ms2
10 j
)
v
25 (15 10t)2
dt an a2 at2 5 2
at
dv dt
10(3 2t) 1 (3 2t)2
v2 1(m)
an
11
【例3】质点M在水平面内运动轨道如图所示：OA段为 直线,AB、BC段分别为不同半径的两个1/4圆周。设
v0
O
vt
rt
X 14
二. 圆周运动（circular motion）
15
1.圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t) 角速度 (t) d (t)
dt
速率
vltim0st rltim0t
v ddst , v(t) r(t)
角加速度 d
at
1 2
a时
an at
6t 3
3 ,得:t3
3 , 2 4 ( 3 ) 3.15rad
6
6
22
【例6】一质点沿半径R=2m的圆周运动，其速率
v kRt 2 ms1
k为常数，已知第二秒的速率为 32ms-1，求t =0.5s时质点的速
度和加速度的大小。解：
at a
83.3m / s2
30 15
12
【例4】一质点以60º仰角作上抛运动，忽略空气阻力
。若质点运动轨迹最高处的曲率半径为10米，求抛出时 的初速度大小。
解；最高处a与τ 成直角 vx v0 cos 60
an
g
v
2 x
vx g 98ms1
Y
v0
v0
98 ms1 cos 60
10
【例2】已知r质点5t在i 水(平15面t 内5运t 2动) j，运动方程为：
求t=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。
解： r
பைடு நூலகம்
5ti
(15t
5t
2
)
j
t=1s
v
dr
5i
(15 10t) j
dt
at
5
a
dv
2(m/ s2
23
【例7】某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方
程为 t 3 4t 3 (SI)
(1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？ (2) 若主轴直径D = 40 cm，求 t = 1 s 时,该点的速
度和加速度
解: (1)由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t 3 4t 3 (SI)
切向加速度的大小恰好为总加速度大小的一半时，又
为解多：少？d 12t 2 , v R 1.2t 2 ,
dt
dv at dt 2.4t ,
an
v2 R
14.4t4
t 1s时 at 2.4(m s2 ), an 14.4(m s2 )
a at 2 an2 14.6(m s2 )
an 2r
3t2 4
2
0.2
t 1s时，v 0.2(3 4) 1.4(m s1)
a 1.2(m s2 )
an 3 42 0.2 9.8(m s2 )
25
v
a
a
an
此时总加速度的大小为
a an2 a 2 1.22 9.82 9.87 (m s2)
vt
rt
O
X
13
g
j
dv
dt
v dv
t g jdt
v0 cos i v0 sin j 0
vt
v0
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i
v0
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gt
j
Y
rt
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t i
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1 2
gt 2
j
常量 . at 0 a anen r 2en
2 ) 匀变速率圆周运动
常量
如 t 0 时, 0, 0
21
【例5】某质点作半径为R=0.10m的圆周运动，其角位
置随时t的变化规律为=2+4t3(SI) 。求该质点在
t=1s时刻的切向加速度、法向加速度和总加速度；当
今天是2019年12月23日星期一
大学物理课件
---1-2.平面曲线运动
福州大学至诚学院
大学物理教研室 李培官
想一想
第一章 质点运动学
2
第一章 质点运动学
1-2.平面曲线运动
3
一、平面自然坐标的描述
运动质点
切线
法线
τ
n
自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切 线组成
4
1.密切平面
密切 在质点运动的瞬间，在质点两侧的轨
o
r
et1
at
dv dt
r
d
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r
切向单位矢量的时间变化率
lim t0
et t
det dt
d
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en
et2et
法向单位矢量
et1
18
a ddvt et ven
切向加速度（速度大小变化引起）
at
dv dt
r
d2s dt2
法向加速度（速度方向变化引起）
at
0,
π 2
,
v 常量
0,
π 2
π
,
v
减小
tan1
an at
y
v
a
en et
oa a
x
20
一般曲线运动（自然坐标）
v
ds dt
et
a
dv dt
et
v2
en
其中
ds
d
曲率半径 .
4. 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 ) 匀速率圆周运动：速率 v 和角速度 都为
d 3t2 4 d 6t
dt
dt
24
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加
速度和法向加速度
v r 1 D 1 3t2 4 0.4 0.2 3t2 4
2
2
a r 6t 0.2 1.2t
6
速度加速度
7
续
8
跳水运动员质心在空中的运动轨迹是抛物线
9
【例1】由楼窗口以水平初速度v0射出 o 一发子弹，取枪口为原点，沿v0为x轴
v0
x
，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试 求：(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及
an
at
轨道方程；(2)子弹在t时刻的速度，切
向加速度和法向加速度。
平面 道上各选取一个邻近的点，与该质点
一起构成三角平面。当两点无限向质
点靠近时，此平面的极限称
密切圆
为该质点瞬间的密切平面。
该三角形的外接圆的 极限称为该点瞬间的 密切圆。
P '' o'
P
P'
曲率中心 密切圆圆心称为该点瞬间的曲率中心。
曲率半径 密切圆半径称为该点瞬间的曲率半径。
5
自然坐标系
2.自然坐标系
lim t0
et t
det dt
d
dt
en
et2et
法向单位矢量
et1
17
3. 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v
ds dt
et
vet
ret
质点作a 变 速ddvt率圆d周dvt运e动t 时v
det dt
切向加速度
v2
et2 v1
dt
y
B
r A
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x
16
2. 圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度
v
ds dt
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vet
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质点作a 变 速ddvt率圆d周dvt运e动t 时v
det dt
切向加速度
v2
et2 v1
o
r
et1
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dv dt
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切向单位矢量的时间变化率
an
v
2r
v2 r
圆周运a动加a速t度et anen
a at2 an2
v2
et2 v1
o r et1
v
v 2
v1
19
a atet anen
an 0 0 π
切向加速度
at
dv dt
r
0, 0 π2, v增大
y
g
解：(1)
x v0t,
y 1 gt2 y 1 x2g
2
2 v02
(2) vx v0,vy gt
v
vx2
v
2 y
v02 g 2t 2 ,
tan gt
v0
at
dv dt
g 2t v02 g 2t 2
an
g 2 at2
v0 g v02 g 2t 2
a与v的夹角为
arctgan arctg9.8 83.0o
a
1.2
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