西南科技大学本科期末考试试卷高等数学B1第九套题答案
11-12(下)高数B参考答案及评分标准
高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。
()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。
)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。
)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。
西南科技大学高数B1第八套题
《高等数学B1》（第8套）
课程代码
1
6
1
9
9
0
0
2
1
命题单位
理学院：公共数学教研室
一
二
三、1
2
3
4
5
6
7
四
五பைடு நூலகம்
总分
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、微分方程 的通解是__________.
2、计算反常积分 __________.
3、 __________.
4、设 ，则 __________.
五、应用题(共7分)
求曲线 上相应于 的一段弧的长度.
A、 和 B、 和 C、 D、
三、解答题(每小题8分，共56分)
1、求极限 .
2、求曲线 在 处的切线方程和法线方程.
3、在抛物线 上求与直线 距离最近的点.
4、计算不定积分 .
5、设函数 满足 ，求 .
6、求微分方程 的通解.
7、设函数 ，确定 的值，使 在 处连续.
四、证明题(共7分)
证明不等式 .
5、设有平面光滑曲线L: ，则弧微分 __________.
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、 ( ).
A、 B、
C、 D、
2、极限 等于( ).
A、 B、
C、 D、
3、设 ，则有( ).
A、 B、 C、 D、
4、 在 处( ).
A、可导B、连续但不可导C、极限不存在D、不连续
5、函数 的单调增加区间是( ).
西南科技大学2014年年专升本入学考试高等数学复习题及答案
西南科技大学网络教育专升本入学考试高等数学复习题一、单选题 1. =+-++→331221limx x x x x ( )A. 0B. 1C. 2D. 32. =∞→xxx 2sin lim( ) A. 2B. 1C.21 D. 03. =-→111lim x x e( )A. 0B. 1C. ∞D. 不存在但不是∞4. 称x e -是无穷小量是指在下列哪一过程中它是无穷小量 ( )A. 0→xB. ∞→xC. +∞→xD. -∞→x5. 当0→x 时，下列变量中为无穷小的是( )A. x lgB. x1sinC. x cosD. 11-+x6. 当0→x 时，与x 等价的无穷小量是( )A.xx sinB. )1ln(x +C. x x --+1)1(2）D. )1(2+x x7. 已知函数)(x f 在区间),(+∞-∞单调增加，则使)2()(f x f >成立的x 的取值范围是( )A. ),2(+∞B. )0,(-∞C. )2,(-∞D. )2,0(8. 如果在区间),(b a 内，函数)(x f 满足0)(>'x f ，0)(<''x f ，则函数在此区间是( )A.单调递增且曲线是凹的B. 单调递减且曲线是凸的C.单调递增且曲线是凸的D. 单调递减且曲线是凹的9. 设)1()(-=x x x f ，则)(x f 的单调增加区间是 ( )A.（0,1）B. )21,0(C. )1,21(D.前三者均不正确10. 下列极限等于1的是( )A.x xx arctan lim∞→ B.x xx arctan lim→ C.5312lim++→∞x x x D.xxx sin lim∞→ 11. 设m 是常数，则=→230sin limxmxx ( ) A. 0 B. 1C. 2mD.21m12. =-+∞→321limn n n ( )A. 0B.21 C. 1 D. 213. 函数1+=x y 在0=x 处( )A. 无定义B. 不连续C. 连续但不可导D. 可导14. 设在1=x 连续，则=a ( )A.-2B. -1C. 1D. 215. 函数的连续区间是 ( )A. ]3,1()1,0[B. ]3,1[C. )1,0[D. ]3,0[16. 已知函数)(x f 的导函数13)(2--='x x x f ，则曲线)(x f y =在2=x 处切线的斜率是( )A.3B. 5C.9D.1117. 曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点是( )A.（0,0）B.（1,2）C.（-1,2）D.（-1,-2）18. 曲线x y x 222=+在点)1,1(处的法线方程为( )A. 1=xB. 1=yC. x y =D. 0=y19.=+⎰dx xdx d 1211 ( )A.21xdx +B. 211x+ C.4π D. 020. 已知函数)(x f y =在点0x 处可导，且41)()2(000lim=--→x f h x f h h ，则)(0x f '等于( )A.-4B.-2C.2D.421. 设函数)(x f 在点0x 的某领域内可导，且)(0x f 为)(x f 的一个极小值，则hx f h x f h )()2(000lim-+→等于( )A.-2B.0C.1D.222. 设3sin 1xy +=，则='=0x y ( )A.1B.31C.0D. 31-23. 若)(u f 可导，且)(x e f y =，则=dy ( )A.dx e f x)('B.dx e e f xx )('C.dx e e f xx )(D.)(xe f '24. 设)(x f 为连续函数，dt t f x F x)2()(0⎰=，则=')(x F ( )A. )2(x fB. )(2x fC. )2(x f -D. )(2x f -25. 设)(x f 在],[b a 上连续，且b a -≠，则下列各式不成立的是( )A. dt t f dx x f baba ⎰⎰=)()(B.dx x f dx x f abba⎰⎰-=)()(C.0)(=⎰dx x f baD. 若0)(=⎰dx x f ba，必有0)(=x f26. 由曲线xy 1=，直线2,==x x y 所围面积为( ) A.dx x x⎰-21)1(B. dx xx ⎰-21)1( C.dy y dy y⎰⎰-+-2121)2()12(D.dx x dx x⎰⎰-+-2121)2()12(27. 下列积分中，值为零的是( )A.dx x x ⎰-222sinππB.dx x ⎰-11C.dx x ⎰2sin πD.dx x ⎰20cos π28. 事件A 、B 满足A AB =,则A 与B 的关系为 ( )A. B A =B. B A ⊂C. B A ⊃D. B A =29. 任意三个随机事件A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可表示为( )A. C B AB.C B AC. C B AD.C B A30. 把两封信随机地投入标号为1,2,3,4的4个邮筒中，则1,2号邮筒各有一封信的概率等于( )A.161B.121 C.81 D.41二、填空题1. =+∞→x x x 3)21(lim 。
大学高等数学期末考试试题与答案
大学高等数学期末考试试题与答案1、已知曲线y x2bx的一条切线过点(1,2)，求b的值，并求该切线与x轴正半轴所夹的角度。
2、求函数f(x)x36x29x的最大值和最小值，并求最大值和最小值所对应的x值。
一）填空题1、x3或x 52、a 13、m04、k 25、y e(x1)6、F(x)7、ln|secx+tanx|+C8、cos2tdt(cos2t sin2t)dt t+C二）单项选择1、D2、A3、B4、C5、B6、B三）计算题1、（1）limxx2x112limxx2x1)11lim xx2x1) 1x111limxx 1x 12）limx(2arctanx)limx2XXX0xx因为当x趋近于正无穷时，arctanx趋近于/2，所以XXX也趋近于正无穷，与0相差无穷大，所以limx(/2arctanx)不存在。
2、（1）y coslnx1/x sinxdycoslnx1/x sinx dxdx2）y sinlnx1/x2cosx；y(0)sinln11/02cos0 13）2tanxdy2sec2xdx2tanx Cdxe3xxdx e3xd(lnx)dx e3xlnx3e3x/xdxe3xlnx3e3x/x C11dx x ln|x+3|+Cx(13x)xarctanxdx xd(arctanx)xarctanx arctanxdxxarctanx x ln(1x2)+C四）应用题1、设曲线的方程为y x2bx，其导数为y2x b，所以在点(1,2)处的切线方程为y2(2b)(x1)，因为该切线过点(1,2)，所以22(2b)(11)，解得b0.此时切线方程为y2，与x轴正半轴的夹角为45度。
2、f(x)3x212x9，令f(x)0，解得x1或x3，将这两个点代入f(x)得f(1)4，f(3)0，所以最大值为4，最小值为0，对应的x值分别为1和3.1.求函数 $y=x-\ln(1+x)$ 的单调区间与极值。
西南科技大学本科期末考试试卷高等数学B1第九套题
西南科技大学本科期末考试试卷(1)+n⎰B、22lnx处连续，则下列结论不成立的是( ) .4、函数()f x在点A 、()f x 在0x 处有定义B 、()f x 在0x 处左极限存在C 、()f x 在0x 处右极限存在D 、()f x 在0x 处可导 5、函数23++=x x y 在其定义域内( ) .A 、 单调减少B 、 单调增加C 、 图形下凹D 、 图形上凹三、解答题(每小题8分，共56分)1、求极限 12312lim(1+)nn x n x dx →∞⎰.2、设方程2650.y e xy x ++-=求dxdy .3、设直线y ax =与抛物线2y x =围成图形面积为1S ，它们与1x =围成面积为2S ，并且01a <<，确定a 的值，使得12S S +最小，并求出最小值.4、计算不定积分53tan sec x xdx ⎰.5、计算定积分dx x x x ⎰+-20232.6、求微分方程32x y y y xe '''-+=的通解.………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………7、设函数sin 1()(1)11axx f x a x x <⎧=⎨--≥⎩，确定a 的值，使()f x 在1x =处连续.四、证明题(共7分)设)()(x g x f ，在),0[∞+内有二阶连续导数，且当0>x 时，有)()(x g x f ''>'', )0()0(,)0()0(g f g f '='=．证明当0>x 时，)()(x g x f >.五、应用题(共7分) 计算抛物线212y x =被圆 223x y +=所截下的有限部分的弧长.。
大学高等数学试卷9(含答案与评分标准,结构规整可直接考试)
高等数学一、 单项选择题（20分）1． 下列级数中条件收敛的是（ ）A 、∑∞=+-11)1(n nn n B 、∑∞=-11)1(n n n C 、∑∞=-121)1(n n n D 、∑∞=11n n 2．⎰⎰≤++42222y x yx d eσ的值为（ ）A 、)1(24-e πB 、)1(24-e πC 、)1(4-e πD 、4e π3．若000=∂∂==y y x x xf ，000=∂∂==y y x x yf ，则在点),(00y x 处函数),(y x f 是（ ）A 、连续；B 、不连续；C 、可微；D 、都不定。
4．函数223333y x y x Z --+=的极小值点（ ） B 、)0,0(； B 、)2,2(； C 、)2,0(； D 、)0,2(。
5．曲线积分⎰+cds y x )(22，其中c 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分面积是（ ）A 、22a π；B 、3a π；C 、32a π；D 、24a π。
二、 填空题（20分）1．二元函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分存在的充分条件是 。
2．)23(9124223+=+'-''x ey y y x 的特解*y 可设作*y = 。
3．设)sin ,,(y x ye x f z=μ，则du = 。
4．若)(x f 在],[ππ-上满足狄里赫条件，则∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a=⎪⎩⎪⎨⎧±=πx x f x x ___,__________)(___,_____________,__________的间断点为为连续点 5．在xoy 平面上,则由曲线2x y =与24x y -=所围成区域的面积为 。
三、（12分）已知)(x f y =所表示的曲线与直线x y =相切于原点，且满足),(sin 2)(x f x x f ''-=-求)(x f 。
本科高等数学试题及答案
本科高等数学试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分为：A. 0B. 1/3C. 1/2D. 12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. π/2D. -13. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在该点连续，这是：A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 微分方程y'' - 4y' + 4y = 0的通解为：A. y = e^(2x) + e^(-2x)B. y = e^(2x) + e^(-x)C. y = e^(2x) + e^(x)D. y = e^(2x) + e^(-2x) + C1cos(2x) + C2sin(2x)5. 曲线y=x^3 - 3x^2 + 2x在点(1,0)处的切线斜率为：A. 0C. -1D. 26. 函数y=ln(x)的不定积分为：A. x + CB. x^2 + CC. x/ln(x) + CD. ln(x) + C7. 曲线y=x^2与y=x^3所围成的面积为：A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/38. 函数f(x)=x^3 - 3x^2 + 2x的极值点为：A. x=1B. x=2C. x=0D. x=1和x=29. 函数f(x)=x^2 - 4x + 4的最小值为：A. 0B. 4C. -4D. 110. 函数y=e^x的n阶导数为：A. e^xB. ne^xD. n^n * e^x二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的定积分为_________。
12. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为_________。
13. 若函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在该点_________。
14. 曲线y=x^3与y=x^2所围成的面积为_________。
20级大学高等数学B1-B卷-期末考试试卷及参考答案
2. 若 f (x) 二阶可导，且 f (x) f (x) ，又当 x (- ,0) 时， f (x) 0 ， f (x) 0 ，则在 (0, ) 内
[ C ].
A . 单调增加且其图形为上凸 C . 单调减少且其图形为上凸 3. 当 x 时，函数 f (x) x 2 cos x 是[
B . 单调减少且其图形为下凸 D . 单调增加且其图形为下凸
C ].
A ．无穷大量
B ．无穷小量
C ．无界变量
4. 设 f (x) 一阶导数连续，且 lim f (x) 1 ，则 f (0) [ D
x0
2
D ．有界变量
].
A . 不一定是 f (x) 的极值
B . 必是 f (x) 的极大值
C . 必是 f (x) 的极小值
……1 分
由 f (x) 在区间[0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，根据拉格朗日中值定理， (0, 1) ，使得
f (1) f (0) f ( ) ，
P1
P又2因为 f (1) 1 ， 所以 f ( ) 1．
……3 分 ……4 分
学院
考 专业 装
生
信
息 姓名
班级
栏 学号 线
栏 学号 线
集 美 大 学 试 卷 纸（参考解答及评分标准）
2020—2021 学年 第 一 学期
课程名称
高等数学 B1 上
试卷
卷别
适用 学院、专业、 2020 级工程、地信、环境、生物、食工等专业
年级
考试 方式
备注
1.本试卷共 6 页，答题前请检查；2.考试时间 120 分钟。
B卷
闭卷 □√ 开卷 □
D . 不是 f (x) 的极值
《高等数学B》本科期末考试试卷A卷
《咼等数学B2》本科期末考试试卷(A 卷)一、选择题(共5题，每小题3分，共15分) 1、 对于二元函数z f(x,y)在点P(x o ,y 。
)处偏导数存在是在该点处可微的()条 件。
A 、充分非必要B 、必要非充分 C 充要D 非充分非必要 0 1 x 2、 设I 1dx o f (x, y)dy ，交换积分次序后得I () 1 x 0 1 1 x A • 0 dy 1 f (x, y)dx B . °dy 0 f(x, y)dx 0 1 1 0 C . 1dy 0 f (x, y)dx D • 0 dy y 1f (x, y)dx 3、 设 D : x 2 y 2 9,,贝S 2dxdy () D A. 36 B.18 C.9 D. 3 4、 曲线积分jj(x 2y)dx (2x y)dy ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)、(3,2) 的三角形正向边界，该曲线积分二() A.0B.4 C.6D.8 _5、级数(1)n 1的敛散性为() n 1 n _A •绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断三二、填空题(共5题，每小题3分，共15分)西南科技大学 20132 0 14 2 学期 师教二二二二二一二名姓-------------号学称名级班一二二二二二二院学1、lim (x,y) (1.0)2、设z x y，求dz _____________ 。
3、求曲线x t,y t2,z t3在点(1,1,1)处的切线方程________________ 。
4、求函数u xy3z在点(1, 1,2)处的梯度________________。
5、设，为有向曲线弧L在点(x,y)处的切向量的方向角，则平面曲线L上的两类曲线积分的关系L Pdx Qdy J Jds。
三、解答题( 求曲面x21、2、设z f (x21-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分)寸z2 14上平行于平面x 2y 3z 20的切平面方程。
西南科技大学高等数学期中考试(含答案)经管
西南科技大学2012-2013学年第1学期半期考试试卷《高等数学B1》（经管类）参考答案及评分细则一、填空题(每题4分，共16分)1．设2lim()3x x x x a →∞+=-, 则a =____3ln -2__________。
2．设),2013()2)(1()(---=x x x x f Λ求)2013(f '=_____2012!______。
3．[]0()(0)sin 2lim 4,(0)tan x f x f xf x x →-'=设 则等于_____2______。
4．设x y xe =，则弹性函数EyEx = 1+x 。
二、选择题 (每题4分，共16分)1．下列说法正确的是（ C ）A ．无界量是无穷大量；B ．若()f x 在点0x 处连续，则在此点可导；C ．若数列{}n a 无界，则数列{}n a 发散；D ．开区间),(b a 上的连续函数有最大值。
2. 设2()lim 1nxn n xx x e f x e →∞+=+，则的是函数)(0x f x =（ B ）A ．连续点； B. 可去间断点； C. 跳跃间断点； D. 无穷间断点。
3．1()()lim 21x f x f x x →=-设 为可导函数且满足，()y f x =则曲线在点(1(1))f ，处的切线斜率为( B )A ．1 ； B. 2； C. 3； D. 4。
4．设)(x f 可导且2)(0-='x f ，则0→∆x 时，()f x 在0x 处的微分dy 与x ∆比较是( C)A ．高阶无穷小； B.低阶无穷小； C. 同阶无穷小； D. 等价无穷小。
三、解答题 (每题8分，共56分)1．计算极限30lim x x →。
解：30lim x x →=0x →2分） =30tan (1cos )lim 2x x x x →-=2302lim 2x x x x →（4分）=14（2分）2．计算极限011lim()1x x x e →--。
《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷B)及参考答案
《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷B ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设111e()23ex xf x +=+，则0x =是()f x 的 A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点2．设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，则在区间(,)a b 内 A ．()f x 必有界 B ．()f x 必存在反函数C ．()f x 必存在原函数D ．必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=3．π1lim tan 4n n n →∞+的值为A ．eB ．1C ．2e4．若sin ,0()1,0xx f x xx ≠= = ，则(0)f ′ A ．等于0 B ．等于1 C ．等于1− D ．不存在5．曲线2(sin )2(1cos )x t t y t =− =−在π2t =处的切线方程为A ．πx y +=B ．π4x y −=−C ．πx y −=D ．π4x y +=−6．设()f x 是在点00x =的某个邻域(0,)(0)N δδ>内的连续函数，0()()d xΦx f t t =∫，(0,)x N δ∈，且3()lim0x f x A x →=>，则 A ．(0)Φ是()Φx 的极小值B ．(0)Φ是()Φx 的极大值C ．(0)Φ一定不是()Φx 的极值D ．不能断定(0)Φ是否为()Φx 的极值7．设π(1,2,,)i i x i n n ==，n 为正整数，则11lim cos n i n i x n →∞==∑ A ．1cos d x x ∫B ．1cos(π)d x x ∫C ．π1cos d πx x ∫ D ．π1cos(π)d πx x ∫8．已知π42π22sin cos d 1xM x x x−=+∫，π342π2(sin cos )d N x x x −=+∫，π2342π2(sin cos )d Px x x x −=−∫，则有A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N <<9．双纽线22222()x y x y +=−所围成区域面积可表示为 A ．π402cos 2d θθ∫B ．π404cos 2d θθ∫ C ．2θD ．π2401(cos 2)d 2θθ∫10．微分方程24e x y y x ′′−=+的特解形式为 A ．2e x a bx c ++ B ．22e x ax bx c ++ C ．22e x ax bx cx ++ D ．2e x ax bx c ++二、填空题（每题4分，共24分）1．2sin()d lime cos xx x x t tx→−=−∫___________．2．设()f u 可导，2()y f x =在01x =−处取得增量0.05x ∆=时，函数增量y ∆的线性部分为0.15，则(1)f ′=___________．3．设函数()f x 在[1,)+∞上连续，若广义积分1()d f x x +∞∫收敛，且满足24111()()d 2f x f x x x x +∞=−∫，则()f x =___________．4．设(0,0)y x x y x y =>>，则1d d x y x==___________．5．x =___________．6．曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22x y xy y ′+=满足初始条件(1)1y =的特解．2．求函数2()(2)e d x t f x t t −=−∫的最大值与最小值．3．计算下列积分．（1）求定积分10x x ∫．（2）求定积分0∫，其中0a >．4．设曲线y =，过原点作切线，求此曲线、切线及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积．5．证明：当01x <<时，21e 1x xx−−<+．6．设()f x 在区间[,]a b 上二阶连续可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+∫．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷B ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设111e()23ex xf x +=+，则0x =是()f x 的 A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点答案 B解析 令1t x=，因为 11001e 1e 1lim ()lim lim 23e 223e txt t x x x f x −−→−∞→→++===++，11001e 1e 1lim ()lim lim 23e 323e t xt t x x xf x ++→+∞→→++===++， 则0lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠，所以0x =是()f x 的跳跃间断点，故选B 项． 2．设函数()f x 在区间(,)a b 内连续，则在区间(,)a b 内A ．()f x 必有界B ．()f x 必存在反函数C ．()f x 必存在原函数D ．必存在(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=答案 C解析 连续函数在闭区间有界，开区间无法保证有界，故A 错误；单调的连续函数存在反函数，故B 错误；零点定理需要函数在端点处函数值异号，故D 错误；连续函数必存在原函数，故本题选C ．3．π1lim tan 4n n n →∞+的值为A ．eB ．1C ．2e答案 D 解析 因为111tan 2tan lim ln lim ln 1π111ln tan 1tan 1tan 4π1lim tan lim e e e4n n n n n n n nn n n n n n →∞→∞+++−−→∞→∞+=== ，而00112tan 2tan 2tan 2lim ln 1lim lim lim 211(1tan )(1tan )1tan 1tan n n t t n t t n n n t t t t n n ++→∞→∞→→+==== −− −−， 所以2π1lim tan e 4n n n →∞ +=， 故选D 项．4．若sin ,0()1,0xx f x xx ≠= = ，则(0)f ′ A ．等于0 B ．等于1 C ．等于1− D ．不存在答案 A解析 因为200000sin 1()(0)sin cos 1sin lim limlim lim lim 0022x x x x x xf x f x x x x x x x x x →→→→→−−−−−=====−， 故选A 项．5．曲线2(sin )2(1cos )x t t y t =−=−在π2t =处的切线方程为 A ．πx y += B ．π4x y −=− C ．πx y −= D ．π4x y +=−答案 B 解析 当π2t =时，有π22x y =− =，故πππ222d ()22cos 1d ()2sin t t t y y t tx x t t ===′−===′， 由点斜式可得切线方程为2(π2)y x −=−−，整理得本题选B ．6．设()f x 是在点00x =的某个邻域(0,)(0)N δδ>内的连续函数，0()()d xΦx f t t =∫，(0,)x N δ∈，且3()lim0x f x A x →=>，则 A ．(0)Φ是()Φx 的极小值 B ．(0)Φ是()Φx 的极大值C ．(0)Φ一定不是()Φx 的极值D ．不能断定(0)Φ是否为()Φx 的极值答案 A解析 由条件可得4300()1()1limlim 044x x Φx f x A x x →→==>，所以在点00x =的某个邻域内都有()0(0)Φx Φ>=，所以(0)Φ是()Φx 的极小值，应选A 项．7．设π(1,2,,)ii x i n n== ，n 为正整数，则11lim cos n i n i x n →∞==∑ A ．1cos d x x ∫B ．1cos(π)d x x ∫C ．π01cos d πx x ∫ D ．π01cos(π)d πx x ∫ 答案 C解析 由定积分的定义可知π01111π0π1lim cos lim cos cos d ππn n i n n i i i x x x n n n →∞→∞==−==∑∑∫，故选C 项． 8．已知π42π22sin cos d 1xM x x x−=+∫，π342π2(sin cos )d N x x x −=+∫，π2342π2(sin cos )d Px x x x −=−∫，则有A ．N P M <<B ．M P N <<C ．N M P <<D ．P M N <<答案 D解析 由“偶倍奇零”可知π42π22sin cos d 01x Mx x x −==+∫，ππ34422ππ22(sin cos )d cos d 0N x x x x x −−=+=>∫∫，ππ234422ππ22(sin cos )d cos d 0P x x x x x x −−=−=−<∫∫，故P M N <<，应选D 项．9．双纽线22222()x y x y +=−所围成区域面积可表示为 A ．π402cos 2d θθ∫B ．π404cos 2d θθ∫ C ．2θD ．π2401(cos 2)d 2θθ∫答案 A解析 双纽线22222()x y x y +=−的极坐标形式为2cos 2r θ=，再根据对称性，有ππ2440014d 2cos 2d 2A r θθθ=×=∫∫，故选A 项．10．微分方程24e x y y x ′′−=+的特解形式为A ．2e x a bx c ++B ．22e x ax bx c ++C ．22e x ax bx cx ++D ．2e x ax bx c ++答案 D解析 题设微分方程是一个二阶非齐次线性微分方程，其所对应的齐次线性微分方程40y y ′′−=的特征方程为240λ−=，特征根为1,22λ=±．又因为24e x y y ′′−=的特解形式为21e x y ax =，4y y x ′′−=的特解形式为2y bx c =+，故原方程特解形式为2e x ax bx c ++，应选D 项．二、填空题（每题4分，共24分）1．2sin()d lime cos xx x x t tx→−=−∫___________．答案13解析 令x t u −=，则当0x →时，021sin()d sin d sin d 1cos 2xxxx t t u u u u x x −=−==−∼∫∫∫， 又由泰勒公式可知222e 1()x x o x =++，2222cos 1()1()2!2x x x o x o x =−+=−+， 故22222223e cos [1()]1()()22x x x x o x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知223e cos ~2x x x −，因此2sin()d 1lim3e cos xx x x t tx→−=−∫． 2．设()f u 可导，2()y f x =在01x =−处取得增量0.05x ∆=时，函数增量y ∆的线性部分为0.15，则(1)f ′=___________．答案 32−解析 由2d 2()y xf x x ′=∆得 1d 2(1)0.050.1(1)x yf f =−′′=−×=−，因为y ∆的线性部分为d y ，由0.1(1)0.15f ′−=得3(1)2f ′=−．3．设函数()f x 在[1,)+∞上连续，若广义积分1()d f x x +∞∫收敛，且满足24111()()d 2f x f x x x x +∞=−∫，则()f x =___________．答案24137x x− 解析 令1()d f x x A +∞=∫，由条件得241111d d 1226A AA x x x x +∞+∞=−=−∫∫， 解得67A =，所以 2413()7f x x x =−． 4．设(0,0)y x x y x y =>>，则1d d x y x==___________．答案 1解析 由条件得ln ln y x x y =，两边对x 求导可得d d ln ln d d y y x y x y x x y x+=+⋅， 解得ln d d ln yyy xx x xy−=−， 当1x =时易得1y =，故1d 1d x y x==．5．x =___________．答案 2C +解析222x C +∫． 6．曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为___________． 答案 24y x =−解析 因为545241lim lim 2x x y x x kx x x →∞→∞−+==+，544241lim(2)lim 241x x x x b y x x x →∞→∞ −+=−=−=− +， 所以曲线5442411x x y x −+=+的斜渐近线为24y x =−．三、解答题（每题6分，共36分）1．求微分方程22x y xy y ′+=满足初始条件(1)1y =的特解． 解 由22x y xy y ′+=可得2d d y y yx x x=− ， 令yu x=，原方程可化为 2d d u xu u x=−， 两边积分得121ln ln ||ln 22u x C u −=+， 即得22u Cx u−=， 代入(1)1y =得1C =−．故原方程的特解为221xy x =+． 2．求函数2()(2)e d x t f x t t −=−∫的最大值与最小值．解 易知函数()f x 为偶函数，所以我们只需考虑()f x 在[0,)+∞内的最大最小值即可．令22()2(2)e 0x f x x x −′=−=可得()f x 的唯一驻点x =x ∈时，()0f x ′>；当)x ∈+∞时，()0f x ′<．考虑到驻点的唯一性，可知x =与x =均为函数()f x 的最大值点，最大值为(f f ==211e +． 注意到0lim ()(2)e d 1t x f x t t +∞−→∞=−=∫及(0)0f =，所以函数()f x 的最小值为(0)0f =．3．计算下列积分．（1）求定积分10x x ∫．解 令ππsin 22x t t =−<< ，当0x =时，0t =；当1x =时，π2t =．则ππ1222222000sin cos d sin (1sin )d xxt t tt t t =−∫∫∫ππ242201π31ππsin d sin d 2242216t t t t =−=⋅−⋅⋅=∫∫． 注 这里用到了华里士公式ππ2201321,123sin d cos d 131π,222n n n n n n n n I x x x x n n n n n −− ×××× −=== −− ×××× −∫∫ 为大于的奇数为正偶数． （2）求定积分0∫，其中0a >．解 方法一 令ππsin 22x a t t =−<< ，当0x =时，0t =；当x a =时，π2t =．则ππ2200cos 1(sin cos )(cos sin )d d sin cos 2sin cos a t t t t t t t a t a t t t++−=++∫∫∫ πππ2220001cos sin 11d(sin cos )1d 1d 2sin cos 22sin cos t t t t t t t t t t−+ =+=+++ ∫∫∫ π20π1π[ln |sin cos |]424t t =++=． 方法二 令ππsin 22x a t t =−<< ，则π20cos d sin cos tt t t=+∫∫，又令π2tu =−，则有 ππ2200cos sin d d sin cos sin cos t ut t t tu u =++∫∫，所以πππ2220001sin cos 1πd d 1d 2sin cos sin cos 24t t t t t t t t t =+== ++∫∫∫∫． 小结 被积函数中含有根式的，尽量去掉根式，去根式的方法一般是根式代换或三角代换法．4．设曲线y=，过原点作切线，求此曲线、切线及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积．解 设切点为(a ，则过原点的切线方程为y =，将(a 代入切线方程得2a =1=，故切线方程为12y x =．由曲线y =[1,2]上的一段绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积为21111π2πd 2ππ1)6S y s x x ==−∫∫∫． 切线12y x =在曲线[0,2]上的一段绕x 轴旋转一周所称旋转体的表面积为222002πd πS y s x ===∫∫．故所求旋转曲面的表面积为12π1)6S S S =+=． 5．证明：当01x <<时，21e 1x x x−−<+． 证 令 ()ln(1)ln(1)2f x x x x +−−−，则(0)0f =，且22112()20(01)111x f x x x x x ′=+−=><<+−−， 由(0)0()0f f x = ′>可得，当01x <<时，()0f x >，化简整理得 21e 1x x x−−<+． 6．设()f x 在区间[,]a b 上二阶连续可导，证明：存在(,)a b ξ∈使得 3()()d ()()224b a a b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+∫． 证 令()()d x a F x f t t =∫，则()F x 在区间[,]a b 上三阶连续可导，取2a b c +=，由泰勒公式可得 231()()()()()()()()26F F c F a F c F c a c a c a c ξ′′′′′′=+−+−+−，1(,)a c ξ∈， 232()()()()()()()()26F F c F b F c F c b c b c b c ξ′′′′′′=+−+−+−，2(,)c b ξ∈， 两式相减可得321()()()()()[()()]48b c F b F a F c b a F F ξξ−′′′′′′′−=−++， 即321()()d ()[()()]248b a a b b c f x x b a f f f ξξ+− ′′′′=−++ ∫， 因为()f x ′′在区间[,]a b 上连续，所以存在12[,](,)a b ξξξ∈⊂，使得211()[()()]2f f f ξξξ′′′′′′=+， 所以 3()()d ()()224b a a b b a f x x b a f f ξ+− ′′=−+ ∫．。
西南科技大学本科期末考试试卷高等数学B1第六套题答案
西南科技大学本科期末考试试卷《 高等数学B1》（第6套）参考答案及评分细则一、填空题（每空3分，共15分）1、答案： ⎪⎩⎪⎨⎧-=--='=11212x y x x y 分析：中；考查知识点微分方程的初值问题及可分离变量的微分方程的解法2、答案：⎰⎰+∞+∞→+=+1122)1(lim )1(A A x x dx x x dx ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+∞→A A dx x x x 12111lim 1)11)1(ln(lim A x nx x A --+=+∞→)12ln 11(ln lim +--+=+∞→A A A A 2ln 1-= 分析：难；考查有理函数积分、反常积分的计算方法3、答案：45x分析：易；考查原函数与不定积分的概念。
4、答案：dx dy t ππ12-==分析：易；考查参数方程求导公式及在某点处的微分表达式5、答案；322(1)y y '''+分析：易；二、选择题（每题3分，共15分）1、答案： C分析：易.考查不定积分求微分，参函数求导2、答案：D分析：中；考察利用定积分的定义求数列极限3、答案：C分析：易；考查左右极限及函数的连续性4、答案：A分析：易；考查连续，可导，极限之间的关系5、答案：C分析：易；考查知识点拐点的判定三、解答题(每小题8分，共56分)1、解：原式300arcsin =lim =x x x x x x →→→-分201=6x → 4分 分析：易；考查罗比达法则、等价无穷小2、解：由t et t t e dt dy t ln 2122ln 21ln 21+=⋅+=+，t dtdx 4=， 得 ,)ln 21(24ln 212t e t t etdtdx dt dy dx dy +=+== 3分’ 所以 dtdx dy dt d dx y d 1)(22==tt t e 412)ln 21(122⋅⋅+-⋅ =.)ln 21(422t t e +- 3分 当x=9时，由221t x +=及t>1得t=2, 故 .)2ln 21(16)ln 21(42222922+-=+-===e t t e dx y d t x 2分 分析：中；考查积分上限函数，参数方程确定函数求导，高阶导数3、解：2()20x y xy yy ''-++=02y y x '=⇒=代入原方程得到两个驻点（1,2）和（-1，-2） 3分 又22(2)(2)(2)(12)2(2)x y y x y x y y y y x y x y ''------'''=⇒=-- 2分在点（1,2）203y ''=-< 为最大值点 在点（-1，-2）203y ''=> 为最小值点 3分分析：中；考查最值的综合运用 4、解： 4'4'21331 ln 3ln 1.2343144x dx dx dx x x C x x x x ⎡⎤=+=-+++⎢⎥---+⎣⎦⎰⎰⎰ 分析：易；考查分部积分法这一知识点5、解：由对称性有21212sin 20x e xdx --=⎰ 8分分析：易；考查定积分性质6、解：22cos cos dy dy y x xdx dx y=⇒=⎰⎰， 4分 1sin x C y⇒-=+即1sin y x C =-+ 4分 分析：易；考查可分离变量方程的解法7、解：在0x =处，(0)0,f =00lim ()lim ()0x x f x f x -+→→==， 2分 所以()f x 在0x =处连续 3分 '00()(0)(0)lim lim 1,0x x f x f x f x x---→→-===- '00()(0)1(0)lim lim sin 0,0x x f x f f x x x+++→→-===- 所以()f x 在0x =处不可导 3分分析：难；考查连续性和可导性的判别四、证明题(共7分)证明：)]0()([2)()(0f x f x dt t f x x F x -='='⎰，因为a 为驻点，则0)]0()([2)(=-='f a f a a F ，故)0()(f a f =。
科技学院《高等数学》第二学期期末考试试题测试卷及参考答案
⎩ 1 21 2一、单项选择题（每题 3 分，共计6 ⨯ 3 = 18 分）1. 设二阶常系数线性齐次微分方程 y "- 2 y '+ y = 0 ，则方程的通解为（）．A. (C + C )exB. (C + C x )ex12C. x (C e x + C e - x)⎧ y 2 + z 2 = 4 2. 空间曲线Γ ： ⎨x = 0A ． x 2 + y 2 + z 2= 4 C ． x 2 - y 2 + z 2= 412D ． C e x+ C e - x绕 z 轴旋转而得到的旋转曲面方程是（ ）．B ． x 2 + y 2 - z 2= 4 D ． x 2+ y 2+ z 2= 23. 函数 z = f (x , y ) 的偏导数 f x '(x , y ), f y '(x , y ) 在点(x 0 , y 0 ) 处存在是函数在该点可微分的（）．A ．充分必要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要4. 设 I 1 =⎰⎰(x + y )2d σ, I 2 = ⎰⎰(x + y )3d σ，其中积分区域 D 是由 x 轴， y 轴 DD与直线 x + y = 1所围成，则（）．A. I 1 > I 2B. I 1 < I 2C. I 1 = I 2D. 不能比较5. 设曲线积分⎰(axy 3 - y 2cos x ) d x + (1 + by sin x + 3x 2 y 2) d y 与路径无关，L则a ,b = （）．A ．1, -2B ． -2, 2C ． 2, 2D ． 2, -26. 若级数∑ a n n =1(x - 2)n在 x = -2 处收敛，则此级数在 x = 5 处（ ）．∞ 成绩：姓名：班级：学号：考试方式：闭卷学分：4课程编号：CK0M02B03 课程名称：高等数学A 试卷编号：A 卷 科技学院第二学期期末考试试题y a0 1 A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．收敛性不确定二、填空题（每小题 3 分，共计6 ⨯ 3 = 18 分） 1．方程 y ' + y ' = x 2+ 1特解的形式是()．2→→2．已知向量 a = (4, m ,1) 与 b = (2,3,n ) 平行，则m =（），n =（ ）．y3. 设函数 z = e x ，则全微分dz =()．4.． 将二次积分 ⎰xdx ⎰ 2f (x , y )dy 的积分次序变换成先 x 后 y 的二次积分（）．5.设平面曲线 L 为上半圆周 y =，则⎰sin(x 2 + y 2 ) d s =（）．L∞n6．当| a |（）时，级数∑( ) n =1 收敛．三、计算题 1（每小题 6 分，共计 8×6＝48 分）1.求曲面 z = x 2 + 2y 2上点M (2,1,6) 处切平面方程及法线方程．2. 设2sin( x + 2 y - 3z ) = x + 2 y - 3z 确定隐函数 z = z (x , y ) ，求∂z + ∂z ．∂x ∂y3. 设函数 z=f (xy , y 2) ，且 f 具有连续偏导数，求偏导数 ∂z ∂x ∂z 与全微分dz ． ∂y4.计算二重积分⎰⎰(x + y ) d x d y ，其中 D 是由曲线 y = x 2 与曲线 y = 4x 2D（ x ≥ 0 ）以及 y = 1所围成的有界闭区域．5. 求由抛物面2z = x 2 + y 2与平面 z = 2 所围立体的体积．6.计算曲线积分 ⎰xy d x + (x + y ) d y ，其中 L 是由曲线 x = 与 y = x 2 所围L成的闭曲线的逆时针方向．4 - x 2， 2n =0n !n =0 ⎩ 1 21 21∞n17. 判别级数∑(-1) ln(n +100) 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？8. 将函数 f (x ) =15 - x展开成 x - 2 的幂级数，并求收敛区间． 四、计算题 2（每小题 5 分，共计 5×2＝10 分）1. 求球面 x 2+ y 2+ z 2= 4 含在圆柱面 x 2+ y 2= 2x 内部的曲面面积．∞n x∞12n2. 已知幂级数∑ x n =0 五、综合题（6 分）= e ，求幂级数∑(2n )! x 的收敛域以及和函数．→→→设一力场 F = ( y 2 + 1) i + (x 2+ y ) j ，有一质点在此力场中沿曲线 y = ax 2 自 点O (0,0) 移动到点 A (1, a ) ，求a 的值使力场所作的功为最小．参考答案一、单项选择题（每题 3 分，共计6 ⨯ 3 = 18 分）1. 设二阶常系数线性齐次微分方程 y "- 2 y '+ y = 0 ，则方程的通解为（ B ）．A. (C + C )exB. (C + C x )ex12C. x (C e x + C e - x)⎧ y 2 + z 2 = 4 2. 空间曲线Γ ： ⎨x = 0A ． x 2+ y 2+ z 2= 412D ． C e x+ C e - x绕 z 轴旋转而得到的旋转曲面方程是（ A ）．B ． x 2 + y 2 - z 2= 40 1 212 00 y C ． x 2 - y 2 + z 2= 4D ． x 2 + y 2 + z 2= 23. 函数 z = f (x , y ) 的偏导数 f x '(x , y ), f y '(x , y ) 在点(x 0 , y 0 ) 处存在是函数在该点可微分的（ C）．A ．充分必要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要4. 设 I 1 =⎰⎰(x + y )2d σ, I 2 = ⎰⎰(x + y )3d σ，其中积分区域 D 是由 x 轴， y 轴 DD与直线 x + y = 1所围成，则（ A ）．A. I 1 > I 2B. I 1 < I 2C. I 1 = I 2D. 不能比较5. 设曲线积分⎰(axy 3 - y 2cos x ) d x + (1 + by sin x + 3x 2 y 2) d y 与路径无关，L则a ,b = （ D ）．A ．1, -2B ． -2, 2C ． 2, 2D ． 2, -26. 若级数∑ a n n =1(x - 2)n在 x = -2 处收敛，则此级数在 x = 5 处（ C ）．A ．发散B ．条件收敛C ．绝对发散D ．收敛性不确定二、填空题（每小题 3 分，共计6 ⨯ 3 = 18 分）1．方程 y ' + y ' = x 2+ 1特解的形式是( 2y * = x (a x 2 + a x + a ) )．→ →1 2．已知向量 a = (4, m ,1) 与 b = (2,3,n ) 平行，则m = （ 6 ）， n = （）．2y3.设函数 z = e x，则全微分dz =(e x(- y x 2 dx + 1 dy ))．x4.． 将二次积分⎰xdx ⎰ 2f (x , y )dy 的积分次序变换成先 x 后 y 的二次积分（ ⎰dy⎰2 yf (x , y )dx ）．∞ 2a5.设平面曲线 L 为上半圆周 y∞1 n，则⎰sin(x 2 + y 2 ) d s =（ 4πsin 4 ）．L6．当| a |（ > 1）时，级数∑( ) n =1 收敛．三、计算题 1（每小题 6 分，共计 8×6＝48 分）1.求曲面 z = x 2 + 2y 2上点M (2,1,6) 处切平面方程及法线方程．解：因为 z = f (x , y ) = x 2+ 2 y2切平面法向量n = (2x , 4 y , -1) |M = (4, 4, -1) 2 分所以切平面方程为4(x - 2) + 4( y -1) - (z - 6) = 0 ，即4x + 4 y - z = 64 分法线方程为x - 2= y - 1 =z - 66 分4 4 -12.设2sin( x + 2 y - 3z ) = x + 2 y - 3z 确定隐函数 z = z (x , y ) ，求∂z + ∂z． ∂x ∂y解：设函数 F (x , y , z ) = 2sin(x + 2 y - 3z ) - x - 2 y + 3z ，则F x = 2cos(x + 2 y - 3z ) - 1 ， F z = -6cos(x + 2 y - 3z ) + 3F y = 4cos(x + 2 y - 3z ) - 2 ， 3 分∂z 2cos(x + 2 y - 3z ) - 1 1 所以∂x = 3(2cos(x + 2 y - 3z ) - 1) = 3， 4 分∂z 2(2cos(x + 2 y - 3z ) - 1) 2 ∂y = 3(2cos(x + 2 y - 3z ) - 1) = 3 ， 5 分∂z ∂z 于是 ∂x + ∂y= 1 ．6 分y 1 1 2 1 2 2 y 13.设函数 z =f (xy , y 2) ，且 f 具有连续偏导数，求偏导数 ∂z ∂x ∂z与全微分dz ．∂y解 ： ∂z= yf '，∂z= xf ' + 2 yf '，4 分∂x 1∂y1 2dz = yf 'dx + (xf ' + 2yf ')dy6 分4.计算二重积分⎰⎰(x + y ) d x d y ，其中 D 是由直线 y = x 2 与直线 y = 4x 2D（ x ≥ 0 ）以及 y = 1所围成的有界闭区域． 解：使用直角坐标计算，⎰⎰(x + y ) d x d y = ⎰d y ⎰ D2(x + y ) d x4 分= ⎰1⎡ 1 x 2 + yx ⎤d y0 ⎢⎣2 ⎦⎥ y 2= ⎰ ( 3 y + 1 3y 2) d y = 31 ． 6 分0 8 2 80 5.求由抛物面2z = x 2 + y 2与平面 z = 2 所围立体的体积．解：所围立体在 xoy 面的投影区域为 D : x 2+ y 2≤ 4 ，1 分则立体的体积为A =1 ⎰⎰(x2 + y 2 )dxdy3 分D=1 ⎰⎰ρ3d ρd θ D=1⎰2πd θ⎰ 2ρ3d ρ52 0 0= 4π．6 分6.计算曲线积分 ⎰xy d x + (x + y ) d y ，其中 L 是由曲线 x = 与 y = x 2 所围Lyy ， 分x 1 n =0n =0n =0x 成的闭曲线的逆时针方向．解：利用格林公式计算，这里 P = xy ,Q = x + y ，则1 分⎰ xy d x + (x + y ) d y = ⎰⎰(1 - x ) d x d y3 分LD= ⎰0(1 - x ) d x ⎰x 2 d y5 分13( - x 2- x 2+ x 3 ) d x 0⎡ 2 3⎢ x 2- 1 x 3 - 2 5 x 2+ 1 ⎤111 x 4 ⎥ =． 6 分⎣ 3 3 5 4 ⎦ 0 60∞n1 7. 判别级数∑(-1) ln(n +100) 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？∞ 1 ∞ 1 解： 因为正项级数∑ln(n +100) > ∑ n +100 ， n =0∞1 n =0 ∞1由级数∑ n + 100 发散，知级数∑ln(n +100) 发散，2 分n =0∞nn =01又交错级数∑(-1) ln(n +100) 满足条件：1） lim1= 0 ，n →∞ln(n +100)2） 1 > 1ln(n +100) ln(n +101)， 4 分∞n1 所以交错级数∑(-1) ln(n +100) 收敛，∞n1 于是级数∑(-1) ln(n +100) 条件收敛．6 分8. 将函数 f (x ) =15 - x展开成 x - 2 的幂级数，并求收敛区间． = n =0= ⎰xyn !n =0 - + + 211 1解：因为 f (x ) == 5 - x3(1 - 2 分x 2) 31 x -2 ( x - 2) 2 = [1 + + + ( x - 2) n 4 分3 3 32 3 n= ∑ n =0(x - 2)n 3n +1求收敛区间，从< 1中解出-1 < x < 5 6 分四、计算题 2（每小题5 分，共计 5×2＝10 分）1. 求球面 x 2+ y 2+ z 2= 4 含在圆柱面 x 2+ y 2= 2x 内部的曲面面积． 解：该部分曲面在 xoy 平面上的投影域为D ： x 2 + y 2 ≤ 2 x ， 1 分则d A=x d y =x d yx d y 3 分于是A = 4⎰⎰D πd x d y2 cos θ= 4⎰ πd θ⎰ρ2= 8(π- 2) = 16π．5 分3∞n x∞12n2. 已知幂级数∑ x n =0∞= e ，求幂级数∑(2n )! x 12n的收敛域以及和函数．解：先求出幂级数∑(2n )! x的收敛域，因为∞ x - 23n =0] -n ! n !⎰lim x 2n +2⋅ (2n )! = limx = 0 ， n →∞ (2n + 2)! x2n n →∞ (2n + 2)(2n +1)所以收敛域为(-∞, +∞) ，2 分x∞1n1 2131n又e =∑ xn =0= 1+ x + x 2! + x + + x 3! n ! + ， x ∈(-∞, +∞)- x ∞1 n 12 1 3( -1) n n e = ∑ (-x ) n =0 = 1- x + x 2! - x + +3! x + ， x ∈(-∞, +∞) n ! 4 分上面两式相加除以 2 即得1 (e x + e - x ) = 1 + 1 x2 + 1 x 4 + 1x 6 + ∑ 1 x 2n ． 5 分2 2! 4! 6! 五、综合题（6 分）→→→n =0 (2n )!设一力场 F = ( y 2 + 1) i + (x 2+ y ) j ，有一质点在此力场中沿曲线 y = ax 2 自点O (0,0) 移动到点 A (1, a ) ，求a 的值使力场所作的功为最小． 解：据第二类曲线积分的物理应用知，W (a ) = ⎰( y 2 +1)dx + (x 2 + y )dy2 分L= 1(a 2 x 4 + 1)dx + (x 2 + ax 2 )2axdx=12 43a 2 5a (a +1) 4 1⎰0(a x + 2a (a + 1)x + 1)dx = [ x +5 2x ] 0a 2 a 2 + a 7 2 a = + = a + + 1， 4 分5 2 10 2对W (a ) 求导，得 W '(a ) = 7 a + 1 ，令W '(a ) = 0 ，得a = - 5，5 2 又W "(a ) = 7 > 0 ，所以当a = - 514时，力场所作的功为最小．6 分5 14∞ 2。
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西南科技大学本科期末考试试卷
《 高等数学B1》（第9套）
参考答案及评分细则
一、填空题（每空3分，共15分）
1、答案：212()x y C C x e -=+
分析：易；考查二阶常系数齐次线性微分方程的解法
2、答案：1
分析：难；考查洛比达法则、反常积分的计算方法
3、答案：x e
分析：易；考查原函数与不定积分的概念
4、答案：dx x x dy 11
2-=
分析：易；考查复合函数微分法及微分表达式
5、答案：2
分析：中；考查曲率的计算
二、选择题（每题3分，共15分）
1、答案：B
分析：中；考查变定积分求导,无穷小的阶，洛必达法则
2、答案：B
分析：难；考查利用定积分的定义求数列极限
3、答案：C
分析：中；考查极限的运算、等价无穷小的概念及等价无穷小的替换
4、答案：D
分析：易；考查连续，可导，极限之间的关系。
5、答案：B
分析：易；考查单调性及凹凸性的判定
三、解答题(每小题8分，共56分)
1、解：1
4421=lim(1+)(-)=326n n e ζζ→∞分分原式 分析：中；考查积分中值定理、重要极限
2、解：等式两边同时对x 求导得：
6620y dy dy e y x x dx dx
+++= 6分 则()626y dy e x x y dx
+=-- 则()
266y dy x y dx e x --=+ 2分 分析：易；考查隐函数确定的导数
3、解：1
22120()()a a S S ax x dx x ax dx +=-+-⎰⎰ 2分 3111323
a a =-+ 2分
2121()022S S a a '+=-=⇒=
，即2
a =使得12S S +最小。
4分
最小值为26
- 分析：难；考查最值的综合运用，定积分几何应用
4、解：533'422'2223'
753 tan sec tan sec (sec )(sec 1)sec (sec )121sec sec sec .753x xdx
x xd x x xd x x x x C ==-=-++⎰⎰⎰
分析：中；考查分部积分、直接积分
5
、解：0001|x dx ==-⎰⎰
⎰ 2分
01)1)x dx x dx =-+-⎰⎰ 3分
35531222220122224[][](2355315
x x x x =-+-=+ 3分 分析：中.考查定积分化简技巧、换元积分法、基本积分公式
分析：中；考查定积分化简技巧、换元积分法、基本积分公式
6、解：特征方程为2320r r -+=（2分），特征根为121,2r r ==（1分）.设原方程的特解为
()x y x ax b e *=+（2分），带入原方程可定出1(2)2
x y x x e *=-+（2分）.原方程的通解为2121(2)2
x x x y C e C e x x e =+-+（1分）. 分析：中；考查二阶常系数线性微分方程的求解方法
7、解：11
lim ()lim sin sin x x f x ax a --→→==，3分 1lim ()1(1)x f x f +→=-=，3分。
所以sin 1a =-，即22a n ππ=-。
2分 分析：中；考查连续性的判别
四、证明题(共7分)
证明：令)()()(x g x f x F -=，则)(x F 在),0[∞+内有二阶连续导数，且
)0(0)(,0)0(,0)0(>>''='=x x F F F 3分
)(x F 在00=x 处的泰勒公式：222)(2)(1)0()0()(x F x F x F F x F ！！！ξξ''=''+'+= （其中ξ介于0和x 之间），则当0>x 时，0)(>x F 。
故当0>x 时，)()(x g x f >。
4分 分析：难；考查辅助函数构造及二阶泰勒公式
五、应用题(共7分) 解：由22212
3
y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，解得抛物线与圆的两个交点为
和， 2分 由对称性知，所求弧长为
221ln(2
s x ==+ 5分
分析：难；考查求其弧长。